A Expression de D

ECS1 H. Boucher 30/04/2021 Devoir surveill´confin´ee n^o6 (dur´ee : 4 heures)

Les r´esultats devront ˆetre encadr´es .

Si le candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, il l’indique sur sa copie et poursuit en expliquant les initiatives qu’il a ´et´e amen´e `a prendre.

Probl`eme 1

A C ¸ a fonctionne

On d´efinit la fonctionf : R^∗₊ −→ R

x 7−→ Arctanx x

.

1. Soit h:x7→x−(1 +x²) Arctanx. Justifier quef est de classeC¹ et montrer que

∀x∈R^∗₊, f⁰(x) = h(x) x²(1 +x²).

2. (a) Montrer que pour toutx∈R^∗+, il existe c∈]0,x[ tel que Arctanx= x 1 +c². (b) En d´eduire que pour toutx∈R^∗+, 06Arctanx6x.

(c) Justifier quef est prolongeable par continuit´e en 0. On notera encoref la fonction ainsi prolong´ee

` a R+.

3. ´Ecrire une fonction Scilab qui prend en entr´ee un nombrex>0 et qui renvoief(x) (la fonction Arctan est pr´ed´efinie dans Scilab et se note atan).

4. (a) Montrer que pour toutx∈R+, 0>h(x)>−2x³ 3 . (b) En d´eduire que∀x∈R^∗+,−1

3 2x

1 +x² 6f⁰(x)60.

5. (a) Montrer quef⁰ admet une limite en 0 et la calculer.

(b) ´Etablir que∀x∈R^∗+,f(x)−f(0) =−xf⁰(x)− x² 1 +x².

(c) En d´eduire quef est d´erivable en 0 puis quef est de classeC¹ surR+.

6. D´eterminer le comportement def en +∞ et tracer une allure de sa courbe repr´esentative.

B C ¸ a suit

On d´efinit la suite (u_n)n∈N par

(u0 ∈R^∗+

∀ ∈N, u_n+1 =f(u_n) . 7. Montrer que pour toutn∈N,un est bien d´efini et un∈R^∗+

8. Montrer que|f⁰|est major´ee par 1 3.

1

9. Montrer que l’´equation f(x) =x admet une unique solution`∈R+ et que de plus`∈]0,1[.

10. (a) Montrer que pour toutn∈N, on a|u_n+1−`|6 1

3|u_n−`|.

(b) En d´eduire que pour toutn∈N, on a|u_n−`|6 1

3ⁿ|u₀−`|puis queu_n−−−−−→

n→+∞ `.

11. D´esormais et jusqu’`a la fin, on choisitu0= 1. Pour tout ε >0, d´eterminer en fonction deu0,`etεun entier N ∈Ntel que∀n>N,|u_n−`|< ε.

12. (a) Montrer que pour toutn∈N,u2n+1 6`6u2n.

(b) Compl´eter la fonction Scilab suivante pour que, ´etant donn´e le param`etre d’entr´eee, elle renvoie une approximation de ` `a e pr`es. Vous pourrez consid´erer comme d´ej`a programm´ee la fonction de la question 3.

function L = appr(e) U = 1

while

end L = endfunction

(c) Modifier cette fonction pour qu’elle renvoie non plus une valeur approch´ee de `mais un nombre N tel queuN etuN+1 encadrent`avec une pr´ecision ε.

Probl`eme 2

Le site de vente en ligne amacon.zom doit livrer n colis diff´erents (avec n ∈N^∗) `a nclients qui en ont command´e chacun un. H´elas, ce site peu recommandable d´epose en fait les colis au hasard (un `a chaque client quand mˆeme) et on souhaite d´eterminer le nombre D_n de distributions telles qu’aucun client n’obtienne le bon colis.

A Expression de D

1. D´eterminer (en justifiant !) D₁,D₂ D₃.

2. ´Etablir(`a l’aide d’un raisonnement rigoureux) que pour toutn>1, Dn+2= (n+ 1)(Dn+1+Dn).

3. D´eterminer D₄ etD₅.

4. Pour toutn>1, on pose u_n=D_n+1−(n+ 1)D_n. (a) Montrer que (u_n)n∈N^∗ est une suite g´eom´etrique.

(b) En d´eduire que pour toutn>1,D_n+1= (n+ 1)D_n+ (−1)ⁿ⁺¹. 5. Montrer que, pour tout n>1,

D_n n! =

n

X

k=0

(−1)^k k!

2

B C’est limite

En supposant que toutes les distributions possibles sont ´equiprobables, on note p_n la probabilit´e que personne n’ait le bon colis. Le but de cette partie est d’´etudier lim

n→+∞pn. 6. Justifier quepn= Dn

n! .

7. Pour tousn>0 entier etx∈R, on posefn(x) =e^x×

n

X

k=0

(−x)^k k!

!

. Calculer une expression simplifi´ee de f_n⁰(x), le nombre d´eriv´e de f_n au pointx.

8. Pour tousn∈Netx∈[0,1], montrer que

|f_n⁰(x)|6 e n!. 9. En d´eduire que pour toutn∈N,

|f_n(1)−fn(0)|6 e n!. 10. Conclure.

11. D´eterminer un nombre rationnel qui soit une approximation de lim

n→+∞p_n `a 10<sup>−2</sup> pr`es.

C Calcul de D

, deuxi` eme approche

On note I =]− ∞,1[ et on pose, pour tout x∈I,g(x) = e^−x 1−x.

12. (a) Justifier queg est de classeC^∞ surI et montrer qu’elle v´erifie :∀x∈I, (1−x)g⁰(x) =xg(x).

(b) En appliquant la formule de Leibniz `a cette ´egalit´e, montrer que pour toutx∈I, (1−x)g⁽ⁿ⁺¹⁾(x)−(x+n)g⁽ⁿ⁾(x)−ng⁽ⁿ⁻¹⁾(x) = 0.

13. Pour tout n ∈ N, on appelle d_n = g⁽ⁿ⁾(0). Montrer que pour tout n ∈ N^∗, d_n = D_n. On notera

´egalement par convention D0 =d0.

14. (a) Montrer que pour toutn∈N, la d´eriv´een-i`eme dex7→ 1

1−x estx7→ n!

(1−x)ⁿ⁺¹. (b) En appliquant la formule de Leibniz `a l’´egalit´e e^xg(x) = 1

1−x, montrer que pour tout n∈N,

n

X

k=0

n k

D_k =n!.

15. Quelques g´en´eralit´es. Soit J un intervalle deR contenant 0 etf :J →Rune fonction de classe C^∞. (a) Justifier que pour tout x∈J,f(x) =f(0) +

Z x

0

f⁰(t)dt.

(b) `A l’aide d’une int´egration par parties (on pourra choisir t7→ t−x comme primitive de t7→ 1), montrer que ∀x∈J,f(x) =f(0) +f⁰(0)x+

Z x

0

(x−t)f⁰⁰(t)dt.

3

(c) ´Etablir par r´ecurrence que pour tout n∈N et toutx∈J, f(x) =

n

X

k=0

1

k!f^(k)(0)x^k+ Z x

0

1

n!(x−t)ⁿf⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt. (?) 16. Pour toutn∈N^∗, `a l’aide de l’´equation (?),

(a) ´etablir que∀x∈I, g(x) =

n

X

k=0

D_k k!x^k+

Z _x

0

(x−t)ⁿg⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt;

(b) d´eterminer deux polynˆomes P et Q de degr´e n tels que, pour tout x ∈ I, e^−x = P(x) +A(x) et 1

1−x = Q(x) +B(x), o`u A(x) et B(x) s’expriment chacun `a l’aide d’une int´egrale qu’on ne cherchera pas `a simplifier.

17. (a) D´eterminer le coefficient de X^k dans le polynˆome produitP(X)Q(X).

(b) En admettant que pour 0 6 k 6 n, ce coefficient s’identifie avec celui du polynˆome apparu en question 16a, retrouver l’expression deDk.

D Application ` a un probl` eme de probabilit´ es

Etant donn´´ en∈N^∗, on dispose denboˆıtes num´erot´ees de 1 `an, chacune contenant une boule portant le mˆeme num´ero. On retire toutes les boules et on les replace al´eatoirement, toujours `a raison d’une boule par boˆıte. On noteX la variable al´eatoire qui repr´esente le nombre de boules ayant retrouv´e leur boˆıte d’origine.

18. Pour 06k6n, montrer que P(X=k) =

n k

Dn−k

n! . 19. Montrer que pour tout 16k6n,k

n k

=n n−1

k−1

. 20. D´eterminer l’esp´erance de X.

4