Application des 2 principes

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APPLICATION DES DEUX PRINCIPES 1) Expression des deux principes.

Le système étudié est un système fermé dont l'état est caractérisé par deux variables indépendantes x et y.

Pour une transformation élémentaire (dx,dy), le travail et la quantité de chaleur reçus par le système sont des formes différentielles des variables x et y:

∣

^δ^δ^W^Q ⁼⁼^A^A¹²^^{x, y}^{x , y}^^dx^dx^^^B^B¹²^^^{x, ydy}^{x ,y}^^dy

D'après le 1^er principeδWδQ est une différentielle totale, celle de l'énergie interne du système:

δWδQ=dU= A₁A₂dx B₁B₂dy=Ax, ydxBx, ydy.

A et B ne sont pas indépendants mais liés par



^∂^∂^A^y



x

=



^∂^∂^B^x



y

théorème de SCHWARZ.

D'après le second principe δQ

T est aussi une différentielle totale, celle de l'entropie du système:

δQ

T =dS= A₂

T dx B₂

T dy=A 'x ,ydxB 'x ,ydy ⇒



^∂^∂^A'y



x

=



^∂^∂^B'x



y

.

2) Exemple : corps pur dans un seul état physique. a . Coefficients calorimétriques.

L'état du corps pur peut être décrit par les 3 variables P,V,T liées par une équation d'état FP , V ,T =0.

On n'a donc que deux variables indépendantes et, selon le couple choisi, la quantité de chaleur élémentaire s'exprime de trois façons différentes, chacune définissant 2 coefficients calorimétriques:

δQ=m c_vdT ℓdV ; δQ=m c_pdThdP ; δQ=λdVµ dP.

Si le corps n'est soumis qu'à des forces pressantes extérieures, le travail élémentaire de ces forces s'exprimera toujours par δW=−P dV.

b . Relations entre coefficients calorimétriques.

Les 6 coefficients c_v,c_p,ℓ,h ,λ et µ ne sont pas indépendants. Les plus importants sont c_vet c_p, mesurables directement, et on peut exprimer les 4 autres en fonction de c_vet c_p.

m c_vdT ℓdV=m c_pdTh dP ⇒ ℓ =mc_p−c_v



^∂^∂T^V



P

; h= −mc_p−c_v



^∂^∂^T^P



V

ou h= ℓ



^∂^∂^V^P



T

m c_vdT ℓdV=λdVµdP ⇒ µ=m c_v



^∂^∂^T^P



V

m c_pdTh dP =λdVµdP ⇒ λ=m c_p



^∂^∂^V^T



P

c .Relations de CLAPEYRON.

dU=mc_vdT ℓ−PdV ; ∂²U

∂V∂T=



^∂^∂^{m c}^V^v^



T

=



^{∂ℓ−P}^∂T



V

; m



^∂^∂^c^V^v



T

=



^∂^{∂ ℓ}^T



V

−



^∂^∂PT



V

dS=m c_vdT T  ℓ

TdV ; ∂²S

∂V∂T =



^∂

^

^∂^m^V^c^T^v

^ 

T

=



^∂^∂

^

^T^T^ℓ

^ 

V

; m



^∂^∂^c^V^v



T

=



^{∂ ℓ}^∂T



V

−ℓ T

D'où la 1^ère relation de Clapeyron : ℓ =T



^∂^∂^P^T



V

=βT P et aussi m



^∂^∂^c^V^v



T

=T



^∂^∂²^T^P²



V

.

D'après h= ℓ



^∂^∂^VP



T

, on obtient la 2^ème relation de Clapeyron : h= −T



^∂∂^VT



P

= −αT V.

(2)

2

On peut aussi calculer h directement, sans connaître ℓ en exprimant que dH est une différentielle totale:

dH=dUdPV.

dH=m c_pdT hVdP ; ∂²H

∂P∂T =



^∂^∂^{m c}^P^p^



T

=



^∂^hV^∂^T ^



P

; m



^∂c^∂^P^p



T

=



^∂^∂^h^T



P





^∂^∂T^V



P

dS=m c_pdT T  h

TdP ; ∂²S

∂P∂T =



^∂

^

^m^∂^P^c^T^p

^ 

T

=



^∂^∂

^

^T^T^h

^ 

P

; m



^∂c^∂^P^p



T

=



^∂^∂^T^h



P

−h T On en déduit h= −T



^∂^∂^VT



P

et aussi m



^∂^∂^c^P^p



T

= −T



^∂^∂T²^V²



P

.

d . Relation de MAYER. mc_p−c_v = ℓ



^∂^∂^V^T



P

= −h



^∂^∂^T^P



V

; mc_p−c_v =T



^∂^∂^P^T



V



^∂^∂^V^T



P

=βTP V

e .Exemple: le gaz parfait.



A partir de l 'équation d 'état P V=n R T , calculer ℓ, h, c_p−c_v,



^∂c^∂^V^v



T

,



^∂^∂^c^P^p



T

pour un gaz parfait.

f .Relation de REECH.

Dans le plan (V,P) la pente d'une adiabatique réversible (isentropique) est



^∂^∂P^V



S

que l'on peut exprimer à partir de δQ=T dS=λdVµdP=0 ⇒



^∂^∂^V^P



S

= −λ µ. Or λ=m c_p



^∂^∂TV



P

et µ=mc_v



^∂∂P^T



V

d 'où λ

µ= −γ



^∂^∂V^P



T

.



^∂^∂V^P



T

est la pente de l'isotherme dans le plan (V,P).

D'où la relation de REECH:



^∂^∂PV



S



^∂^∂V^P



T

=γ1.

Remarque .

La pente de l'isotherme s'exprime aussi par



^∂^∂V^P



T

=ℓ h ; λ

µ= −γℓ h.

P

V isentropique

isotherme