Les bifurcations de Feigenbaum
ou cascade de doublements de période
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_du_chaos
Bifurcation vers le chaos par doublement de période.
Mitchell Feigenbaum a redécouvert une route vers le chaos qui avait été étudiée dans les années 1960 par Myrberg. Aujourd'hui, cette route est appelée « cascade de doublements de période » pour décrire la transition entre un comportement périodique et un attracteur chaotique. Ce scénario est observé par exemple avec la suite logistique, qui est définie par récurrence par une application du segment [0, 1] dans lui-même :
[…] La dynamique de cette application présente un comportement très différent selon la valeur du paramètre r :
Pour , le système possède un point fixe attractif, qui devient instable lorsque
Pour , l'application possède un attracteur qui est une orbite périodique, de période 2n où n est un entier qui tend vers l'infini lorsque r tend vers 3,57…
Lorsque , l'application possède un attracteur chaotique fractal découvert par le biologiste May (1976).
Le cas r = 4 avait été étudié dès 1947 par Ulam et von Neumann. À noter qu'on peut dans ce cas précis établir l'expression exacte de la mesure invariante ergodique.
Lorsque le paramètre r augmente, on obtient donc une succession de bifurcations entre les comportements périodiques et le chaos, résumée sur la figure ci-contre.
http://walter.bislins.ch/blog/index.asp?page=Feigenbaum%2DDiagramm+erzeugen+und+analysi eren
