Algorithmes approchés pour des problèmes d'ordonnancement multicritères de type job shop flexible et job shop multiressource

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Algorithmes approchés pour des problèmes

d’ordonnancement multicritères de type job shop

flexible et job shop multiressource

Geoffrey Vilcot

To cite this version:

Geoffrey Vilcot. Algorithmes approchés pour des problèmes d’ordonnancement multicritères de type

job shop flexible et job shop multiressource. Autre [cs.OH]. Université François Rabelais - Tours, 2007.

Français. �tel-00198068�

TOURS

É ole Do torale :Santé, S ien es et Te hnologies

Année Universitaire: 2006-2007

THÈSE POUR OBTENIR LE GRADE DE DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ DE TOURS

Dis ipline : Informatique

présentée et soutenue publiquement

par :

GeoreyVILCOT le 19novembre 2007

Algorithmes appro hés pour des problèmes d'ordonnan ement multi ritères de type job shop

flexible et job shop multiressour e

Dire teur dethèse : Jean-Charles Billaut

JURY :

Nom Qualité Lieu d'exer i e

BILLAUT Jean-Charles Professeurdesuniversités E ole Polyte hnique de l'universitéde Tours DAUZÈRE-PÉRÈS Stéphane Professeur E ole des Mines de

St-Etienne

LOPEZPierre Cher heur LAAS-CNRS, Toulouse PORTMANN Marie-Claude Professeurdesuniversités E ole desMinesde Nan y T'KINDT Vin ent Maître de Conféren es,

HDR

E ole Polyte hnique de l'universitéde Tours TEGHEMJa ques Professeur Fa ulté Polyte hnique de

Mons

It's been a long road,getting fromthere to here. It's been a long time, but my time isnally near.

(DianeWarren - Where My HeartWillTake Me (Faithof the Heart))

Le travail présenté dans e do ument à été réalisé au sein du Laboratoire d'Infor-matique de l'Université François-Rabelais de Tours ainsi que dans l'entreprise Volume Softwaredont lesiège estbasé àTours.

J'aimerais remer ierJean-Charles Billautpour avoirétémonen adrantdethèse pen-dant es 3 années ainsi que Karl Buléon qui est le responsable de l'équipe nouveaux produits à VolumeSoftware et quim'a a ueillidans sonéquipe.

Ensuite j'aimeraisremer iertoutel'équipeOrdonnan ementetConduitedu labo-ratoire, Armandde Garsignies PDGde Volume Software, JeanCarton quim'a prodigué denombreux onseilsquant àlaprogrammationsousVB.Net. Ennj'aimeraisremer ier Yanni kKergosien et Julien Janvier, deux étudiants du y led'ingénieur qui m'ont aidé dansmes re her hes.

J'adresse aussi mes remer iements à Marie-Claude Portmann et Stéphane Dauzère-Pérès d'avoir a eptés d'être rapporteurde mathèse, ainsiqu'à Ja quesTeghem, Pierre Lopez etVin ent T'Kindtpour avoir a eptésd'être dansmon jury.

Avant-propos 3

Glossaire 9

Introdu tion 11

1 Présentation du ontexte industriel et s ientique 13

1.1 Contexteindustriel . . . 13

1.2 Modélisationdu problème . . . 14

1.3 Optimisationmulti ritère . . . 16

1.3.1 Dénitionde l'optimalité . . . 16

1.3.2 Détermination desoptima de Pareto . . . 16

1.4 Notionssurlathéoriede la omplexité . . . 18

1.5 Généralitéssurles méthodes derésolution . . . 19

1.5.1 Re her he Tabou . . . 20

1.5.2 AlgorithmeGénétique . . . 21

1.6 Présentation du do ument . . . 22

2 État de l'art 25 2.1 Job shopexible . . . 25

2.2 Job shopmultiressour e . . . 34

2.3 Job shopmulti ritère . . . 36

3 Job shop exible multi ritère 39 3.1 Dénitionformelle du problème . . . 39

3.2 Modèles de PLNE . . . 40

3.3.1 Les points ommuns . . . 43

3.3.2 Appro he Epsilon- ontrainte,

T Sǫ

. . . 48

3.3.3 Appro he par ombinaison linéaire des ritères,

T Sℓc

. . . 49

3.4 Appro he par algorithmegénétique pour le jobshopexible . . . 51

3.4.1 Un algorithmegénétique à odage indire t,

AG

ind

. . . 51

3.4.2 Un algorithmegénétique ave un odage dire t,

AG

dir

. . . 53

3.4.3 Algorithme Mémétique,

M em

. . . 58

3.5 Expérimentations . . . 60

3.5.1 Proto oleexpérimental. . . 60

3.5.2 Indi ateurs . . . 62

3.5.3 Expérimentationspréliminaires . . . 63

3.5.4 Comparaison desméthodes . . . 64

3.5.5 Comparaison ave unfront de référen e . . . 74

3.5.6 Comparaison ave lare her he Tabou de Dauzère-Pérès et Paulli . 77 3.5.7 Expérimentation surles ritères du makespan et de la somme des retards . . . 83

3.6 Con lusion surleproblèmede job shopexible . . . 86

4 Jobshop multiressour e multi ritère 87 4.1 Dénition formelle duproblème . . . 87

4.2 Modélisationpar unPLNE . . . 88

4.3 Modélisations parun graphe. . . 89

4.3.1 Graphe ave unsommet par opération . . . 89

4.3.2 Graphe ave unsommet par sous-opération . . . 90

4.4 Appro he Tabou pour lejob shopmultiressour e,

T S

M P T

. . . 93

4.5 Appro heparalgorithmegénétiquepourlejobshopmultiressour e,

AG

M P T

97 4.6 Expérimentations . . . 99

4.6.1 Les instan es . . . 99

4.6.2 Expérimentationspréliminaires . . . 100

4.6.3 Comparaison desméthodes . . . 100

4.6.4 Comparaison ave CPLEX. . . 102

4.7 Con lusion surlejob shopmultiressour e . . . 102

5.1 Présentation générale deDire tPlanning . . . 105

5.2 Interfa e manuelle . . . 106

5.2.1 Prise en ompte des alendriers . . . 107

5.2.2 Gestion desopérations verrouillées . . . 108

5.2.3 Temps de montagedépendant delaséquen e . . . 108

5.2.4 Le non hevau hement desopérations . . . 108

5.2.5 L'aide àlaplani ation . . . 110

5.2.6 Le moduled'ordonnan ement . . . 112

5.3 Con lusionsurDire tPlanning . . . 116

Con lusion 117 A Expérimentations préliminaires 119 A.1 Paramétrage desalgorithmes pour lejobshopexible . . . 119

A.1.1 Paramétrage desre her hesTabou . . . 119

A.1.2 Paramétrage de l'algorithme génétiqueà odage indire t . . . 122

A.1.3 Paramétrage de l'algorithme génétiqueà odage dire t . . . 124

A.1.4 Paramétrage de l'appro he mémétique . . . 125

A.2 Paramétrage desalgorithmes pour lejobshopmultiressour e . . . 127

A.2.1 Paramétrage de lare her he Tabou . . . 127



J

: ensemble destravaux.



n

: nombre de travaux(

|J| = n

).



n

i

: nombre d'opérations dansletravail

i

. 

R

: ensembledesressour es.



m

: nombre deressour es (

|R| = m

). 

R

k

: laressour e

k

.



O

i,j

: opération

j

dutravail

i

. 

O

i,n

i

: dernièreopération dutravail

i

.



O

i,j,k

: sous-opération,s'exé utant sur

R

k

, del'opération

j

du travail

i

. 

Γ

i,j

: ensemble dessu esseursdire ts de l'opération

O

i,j

.



Γ

−1

i,j

: ensembledesprédé esseurs dire ts del'opération

O

i,j

. 

t

i,j

: datede début réelle del'opération

O

i,j

.



C

i,j

: datede nréelle de l'opération

O

i,j

. 

C

i

: datede nréelle dutravail

i

.



r

i,j

: datede début auplus ttde l'opération

O

i,j

. 

r

i

: date dedébut au plustt dutravail

i

.



t

i,j

: datede début réel de l'opération

O

i,j

.



d

i

: datede nau plustard souhaitéedu travail

i

.



R

i,j

: ensemble desressour espouvant exé uterl'opération

O

i,j

( asexible). 

R

m

i,j

:ensembledesressour esdevantexé uterl'opération

O

i,j

( asmultiressour e). 

p

i,j,k

: duréeopératoirede l'opération

O

i,j

sur laressour e

R

k

.



a(O

i,j

)

: ressour e quiexé utel'opération

O

i,j

danslasolution onsidérée. 

C

max

: datede n deladernière opération ou Makespan;

C

max

= max

i=1..n

C

i

. 

ΣC

: somme desdatesde n;

ΣC =

P

i=1..n

(C

i

)

.



L

max

: plusgrand retard algébrique;

L

max

= max

i=1..n

(C

i

− d

i

)

. 

ΣT

: sommedes retardsabsolus;

ΣT =

P

i=1..n

(max(0; C

i

− d

i

))

. 

ΣU

: nombre detravaux enretard.

Les problèmes abordés dans e do ument s'ins rivent dansle ontexte d'un partena-riat, sous forme d'un ontrat CIFRE, entre la so iété Volume Software d'une part et le Laboratoire d'Informatique de l'Université de Tours d'autre part. Ce partenariat porte surledéveloppement du logi ielDire tPlanning.Celogi iel estdestinéà laplani ation et à l'ordonnan ement dansdesateliers deprodu tion. Il seprésente sous laforme d'un planning mural intera tif. De plus il est très exible et peut s'adapter fa ilement aux diérents métiers des utilisateurs. Il possède aussi une interfa e vers les ERP et peut ainsi s'intégrer dans le système d'informations de l'entreprise. Par ailleurs, son module d'ordonnan ementpermetdeproposerrapidementdetrèsbonnessolutionsàl'utilisateur. La première version du logi iel a été, en partie, développée lors d'une thèse CIFRE pré édente réalisée par Philippe Mauguière [Mauguière, 2004 ℄. Grâ e à son travail, Di-re tPlanning peut prendreen ompte desproblèmes dejob shopave temps demontage dépendants de laséquen e, des alendrierset destâ hes verrouillées.

Cependant,d'autresbesoinsindustrielsontétéremontés.Lepremierde esbesoinsest lanotiondema hines ompatibles. Eneet,iln'estpasrarequ'unema hinesetrouveen plusieursexemplairesdansl'atelier defabri ationoualors qu'unema hinepuisseréaliser diérents typesd'opérations. Alorsque jusqu'àprésent, 'était à l'utilisateur de hoisir, a priori, l'ae tation desopérations surles ressour es, il devenait primordial de pouvoir laisser le logi iel trouver de lui-même la ou les meilleures ae tations possibles. Il en résultel'étude duproblème dejob shopexible présentée au hapitre 3.

Ense ondlieu,lesindustrielsnousontdemandédepouvoir réerdestâ hesqui né es-siteraientplusd'uneressour epourêtrea omplies. Celaarrive,par exemple,lorsqu'une tâ he a besoin à la fois d'une ma hine et d'un ou plusieurs opérateurs humains. Nous avonsdon étudiédans le hapitre 4 les problèmes d'ordonnan ement multiressour es.

Au-delà de es onsidérations, Dire tPlanning s'adresse à un vaste ensemble hétéro-gène d'industries. Dans es onditions, il est di ile, pour ne pas dire impossible, de déterminer quelsserontles ritères àoptimiserpour haque lient.Nousavonsdon opté pour une appro he multi ritère qui her he à déterminer lefront de Pareto. Au vude la taille desinstan es industrielles que Dire tPlanning est amené àrésoudre, une appro he exa te ne peut être envisagée. Nous nous sommes don naturellement dirigés vers des méta-heuristiques.

Lapremièreméthodequenousutilisonsestunere her heTabou.Unere her heTabou est une méthode de voisinage : elle part d'une solution existante et elle va dénir des

solutions pro hes, appelées des voisins, es solutions diérant peu de la pré édente. Dansle asd'unproblèmed'ordonnan ement,unvoisinpeut,parexempleêtredénipar unesimpleinterversiondedeuxopérations.Lemeilleurvoisindevientlasolution ourante et lepro essusre ommen e. Unmé anisme appelé la listeTabou empê he derevenirsur une solution déjà explorée.

La se onde méthode que nous utilisons est un algorithme génétique, inspirée par la théoriedel'évolution deDarwin.Un telalgorithmemanipuleplusieurssolutions simulta-nément,quel'onappellepopulationd'individus etensemble. Auneitérationdonnée,on va hoisirdefaçonprobabilistedesindividusquel'onva roiserdeuxàdeux,lesmeilleurs ayant plus de han es d'être hoisis. De e mélange, on obtient de nouveaux individus qui possèdent des ara téristiques de leurs deux parents. Un mé anisme de séle tion est là pour éliminer les individus les moins bons. Ainsi, au l des itérations, la population va évoluer vers de meilleurs individus. Ce genred'algorithmes est parti ulièrement bien adapté pour déterminer une approximationdu front de Pareto puisqu'ilsmanipulent un ensemble desolutions.

Unere her heTabouetunalgorithmegénétiquepourleproblèmedejobshopexible multi ritère sontimplémentés danslafuture versionde Dire tPlanning.

Présentation du ontexte industriel

et s ientique

1.1 Contexte industriel

Ce travailde re her he s'ins rit dansle adre d'une ollaboration ave laso iété Vo-lumeSoftware.Cetteso iété estspé ialiséedansledéveloppementd'outils informatiques dédiés aux industries de l'imprimerie et du artonnage. Volume Software ommer ialise notamment lesERP(EnterpriseResour e Planning)VoluPa k etVoluPrim,dédiés à es métiers.

Les industries de l'imprimerie et du artonnage, omme la plupart des se teurs in-dustriels, doivent faire fa e à des délais lients toujours plus ontraignants et pouvoir gérerjournalièrement denombreuses modi ationsde ommandes.Dans e ontexte,les problématiquesd'ordonnan ement d'ateliersprennent tout leursens.

Les pro essus industriels de es se teurs d'a tivités peuvent né essiter des gammes simplesou omplexes(opérationsenparallèle). Par exemple,pouréditer unlivreondoit faire fa eàdesproblématiques demise enpage, d'impression, depliage, d'en artage, de dé oupeetdereliure.Ladiversitédesressour es(ma hinesethommes)etdes ontraintes (attented'outilsné essairesàlafabri ation,arrêtsma hine,...) onduitàdesproblèmes omplexesmais on rets.

Dela ollaboration entreleLaboratoired'Informatiquedel'UniversitédeToursetde la so iété Volume Software est né le logi iel Dire tPlanning (www.dire tplanning. om). Ce logi iel se présente omme un planning mural intera tif. Bien que Volume Software soit spé ialisée dans l'imprimerie et le artonnage, Dire tPlanning peut fa ilement être personnalisé pour n'importe quel type de métier. L'apportprin ipal de la ollaboration porte surlemodule d'ordonnan ement deDire tPlanning.

Lesétudespré édemment menées([Mauguière,2004 ℄) ontprin ipalementportésurle problème de job shop ave prise en ompte des temps de préparation dépendants de la séquen eet des alendriers [Mauguièreet al.,2005 ℄.

de fon tionnalités, qu'ilsauraient aimés voirapparaître dansDire tPlanning.

Le premier de es besoins a porté sur lapossibilité de pouvoir hanger dynamique-ment l'ae tation des tâ hes sur leurs ressour es ompatibles (une imprimante quatre ouleurspeutee tuerdesimpressionsentrois ouleurs, ertainesma hinespeuventfaire de l'impressionet/oudeladé oupe,et .).Cela amisen éviden el'existen ede plusieurs ressour es possibles pour ee tuer une tâ he, autrement dit un problème d'ae tation, qui pouvait êtrerésolupar le moduled'ordonnan ement.

Lese ondde esbesoinsétaitdegérernementladisponibilitéde ertainsopérateurs à ompéten esparti ulières( aleurs),quisontné essairesau alagedesimpressionsetde ellesd'autresopérateurs(rouleursparexemple),quisontné essairesen oursd'opération pours'assurerdubondéroulement (remplissagedepapier,dé hargementdesimpressions au fur età mesure, ...).Cela a mis enéviden e lebesoin de plusieursressour es simulta-nément pour ee tuer une tâ he, autrement dit un problème multiressour e, qui devait être pris en ompte au niveau dumoduled'ordonnan ement.

D'autrepart, Dire tPlanning est ommer ialisé dansun grand nombre d'entreprises, et pasuniquement dansledomainedel'imprimerie etdu artonnage.Certains lientsont desproblèmes pour tenir leursdélais, d'autresontdesproblèmes degestiondesen- ours de produ tion, et . Les ritères à optimiser dépendent don des lients. De plus, avant qu'unesolutionnesoitretournéeparlelogi iel, ertains lientssouhaitaientavoirle hoix entre plusieurs solutions,an depouvoir appliquerdes ritères subje tifs.

Il était don naturel d'aborder le problème sous un angle multi ritère, permettant ainsiaudé ideur de hoisirleou les ritèresàoptimiser, deluiorirunegarantiesur es ritères, et de diversier lenombre de solutions qui luisont proposées.

Tous es besoinssont à l'originedesproblèmes abordésdansla suitedu do ument.

1.2 Modélisation du problème

Les problèmes d'ateliers que nous onsidérons sont appelés dans la littérature des problèmes de job shop. Dans es problèmes, on a des travaux omposés d'opérations à ordonnan er surdesressour es,etl'obje tifestd'optimiserunouplusieurs ritères.Dans lalittératureaulieudutermeopération,onparleaussidetâ he,d'a tivité.Lesressour es (renouvelables) peuvent être de naturediérentes : ma hines, outils, opérateurs... Dans lasuitede e do ument,saufmention ontraire,nousutiliseronslestermesgénériquesde travaux, d'opérations et de ressour es.

Notations

Job shop Formellement un problème d'atelier à heminements multiples, ou pro-blèmedejobshop,estdéniainsi:on onsidèreunensemble

J

omposéde

n

travaux.Ces travauxdoivent êtreordonnan éssur

m

ressour esdisjon tives,l'ensembledesressour es est noté

R

. On note

R

k

la

k

`

eme

ressour e. Chaque travail

i

est omposé de

n

i

opéra-tions.L'opération

j

dutravail

i

estnotée

O

i,j

. L'opération

O

i,j

s'exé utesurlaressour e

R

O

i,j

et a une durée notée

p

i,j

. Dans les problèmes que nous onsidérons, les gammes ne sont pas né essairement linéaires, 'est-à-dire qu'une opération peut avoir plusieurs su esseurs(l'ensemble

Γ

i,j

)et plusieursprédé esseurs(l'ensemble

Γ

−1

i,j

).Onsupposeque haque travail n'aqu'une seule opération nale notée

O

i,n

i

. Pour une opération

O

i,j

, sa datededébut réel estnotée

t

i,j

et sadatede n

C

i,j

. A haque travail

i

estasso iéeune date de début au plus tt

r

i

et une date de n souhaitée

d

i

. La date de n d'un travail estnotée

C

i

:

C

i

= C

i,n

i

.

Job shop exible Le job shop exible est une extension du problème de job shop. Formellement, haqueopérationestexé utée suruneressour e à hoisir parmiplusieurs. On note

R

i,j

l'ensemble des ressour es pouvant exé uter l'opération

O

i,j

. On note la duréeopératoirede l'opération

O

i,j

surla ressour e

R

k

par

p

i,j,k

. Onnote

a(O

i,j

) ∈ R

i,j

laressour e quiexé ute nalement

O

i,j

danslasolution onsidérée.

Job shopmultiressour e Le job shopmultiressour eest une extension duproblème de jobshop. Formellement, haque opération doit êtreexé utée surplusieurs ressour es. Ceproblèmesetrouvedanslalittératuresousl'appellationjobshopwithmultipro essor tasks. Généralementon onsidèrequetouteslesressour essontutiliséesparl'opération pendant la même période de temps. On appellera sous-opération  l'exé ution d'une opérationsurunedesressour esné essaires.Onnote

R

m

i,j

l'ensembledesressour esdevant exé uter l'opération

O

i,j

, et

p

i,j,k

la durée opératoire de la sous-opération

O

i,j,k

sur la ressour e

R

k

. Onne onsidèrepasa priorique

p

i,j,k

= p

i,j

∀R

k

∈ R

m

i,j

.

Critères d'évaluation Pour évaluer la qualité d'un ordonnan ement on utilise des mesures ou ritères. Les ritères quenous onsidérons sont les suivants:

 Makespan :ladatedendeladernièreopération,elleestnotée

C

max

= max

i=1..n

C

i

.  La somme des dates de n des travaux, notée

ΣC =

P

i=1..n

(C

i

)

.  La date de n moyenne des travaux,

C =

1

n

ΣC

. Optimiser

C

est équivalent à optimiser

ΣC

.  Les en- ours,

F =

1

n

P

i=1..n

(C

i

− r

i

)

.

 Le plus grand retard,noté

L

max

= max

i=1..n

(C

i

− d

i

)

.  La somme des retards, notée

ΣT

i

=

P

i=1..n

(max(0; C

i

− d

i

))

.  Le retard moyen,

T =

1

n

ΣT

. Optimiser

T

est équivalent à optimiser

ΣT

.  Le nombre detravaux enretard, noté

ΣU

.

Classi ation des problèmes d'ordonnan ement Ilexiste unenotation pour réfé-ren erlesproblèmesd'ordonnan ement, initialement proposéepar[Graham et al.,1979 ℄. Cettenotation est diviséeentrois hamps :

α|β|γ

.

 Le hamp

α

représentelatypologieduproblème:

J

pour unproblèmedejobshop,

F J

pour le job shopexible,

F

pour un ow shop,

M P T

(Multi-Pro essor Task) pour desproblèmes multiressour es.

 Le hamp

β

donneles ontraintesduproblème:

d

i

s'ilyadesdatesdensouhaitées,

demontagedépendantsdelaséquen e,

˜

d

i

s'ilyadesdatesdenimpérativespour les travaux,

d

˜

i,j

s'il y a des dates de n impératives sur les opérations,

recrc

si un travail doit passer plusieurs fois sur la même ressour e,

unavail

j

s'il y a des périodes d'ina tivités,et .

 Le hamp

γ

ontientleoules ritèresàoptimiser:

C

max

, L

max

, C, T

...(Onrenvoie à [T'kindtet Billaut, 2006℄ pour une notation pluspré ise du hamp

γ

).

1.3 Optimisation multi ritère

Beau oupdetravauxdere her heenordonnan ementn'optimisentqu'unseul ritère, alors quelesvéritablesproblématiquesindustriellessontdenaturemulti ritère.Ainsi,un dé ideur industrielpeutêtreintéresséparminimiser lesen- ours(

F

),toutenminimisant le retard moyen delivraison au lient (

T

),sans oublierleplus grand retard (

L

max

). Ces ritères sont de nature oni tuelle, 'est-à-dire qu'il n'existe pas de solution optimale pourtoutles ritèressimultanément.Ainsilanotiond'optimadeParetoestfondamentale en optimisation multi ritère.

Onrenvoieà[T'kindtet Billaut, 2006 ℄pourplusdedétails on ernantl'optimisation multi ritère en ordonnan ement. Nous rappelons i-après les notions de base utiles à la ompréhension dureste du do ument.

1.3.1 Dénition de l'optimalité

Soit

S

l'ensemble des solutions et

Z

l'image de

S ⊂ R

K

dans l'espa e des ritères, ave

K

ritères

Z

i

.

Dénition :

x ∈ S

est un optimum de Pareto Faible siet seulement si

∄y ∈ S

tel que

∀i = 1, .., K; Z

i

(y) < Z

i

(x)

. Onnote

W E

l'ensemble desPareto faiblesde

S

.

Dénition :

x ∈ S

est un optimum de Pareto stri t siet seulement si

∄y ∈ S

tel que

∀i = 1, .., K; Z

i

(y) ≤ Z

i

(x)

ave aumoinsuneinégalité stri te.Onnote

E

l'ensembledes Pareto stri tsde

S

et

E ⊆ W E

.

La gure1.1illustre les notions de Pareto faible et Pareto stri tdans le asde deux ritères.

Par lasuite nous nousintéressons uniquement à ladétermination dePareto stri ts.

1.3.2 Détermination des optima de Pareto Il existetrois grandesappro hespour ledé ideur :

1. Le dé ideur souhaite que le système lui retourne une solution. Dans e as, le dé- ideur donne sapréféren eentreles ritères, sousforme de ontraintes(bornes) ou sousformedepoidsasso iésaux ritères,parexemple.C'estuneappro heapriori.

-6

Z

1

Z

2

z1

z2

z3

z4

z5

z6

z7 z8

z1, z2, z3, z4, z5, z6, z7, z8

sontdesPareto faibles

z3, z4, z5, z6

sont desParetostri ts

Fig. 1.1Illustration desnotions Pareto faible et Paretostri t

2. Le dé ideur souhaiteinteragirave lesystèmede résolution.A haqueitération, le dé ideur pré iseladire tionde re her he qu'il préfère.C'estune appro he intera -tive.

3. Le dé ideur souhaite hoisir parmi un ensemble de solutions de Pareto. C'est une appro he a posteriori. Dans e as, le système de résolution doit déterminer l'en-semble desoptima de Pareto.

Pour trouver des optima de Pareto, il existe diérentes familles de méthodes de ré-solution. Cette liste n'est pas exhaustive et on renvoie à [T'kindt et Billaut,2006 ℄ pour plusde détails.

Combinaison linéaire des ritères Ave ette appro he, on agrège les valeurs des diérents ritères pour obtenir au nal un seul indi ateur. Des oe ients sur haque ritèrepermettent de pré iserladire tion delare her he. Dans e asle hamp

γ

prend omme valeur:

F

ℓ

(Z

1

, . . . , Z

K

)

.

Appro he

ǫ

- ontrainte Ave ette appro he, unseul ritère

Z

u

est optimisé, sous la ontrainte que tousles autres ritères sont bornés par une valeur.Dans e as le hamp

γ

prend omme valeur:

ǫ(Z

u

|Z

1

, . . . , Z

u−1

, Z

u+1

, . . . , Z

K

)

.

Obje tifàatteindre Ave etteappro heleproblèmen'estpasdetrouverunoptimum dePareto, maisdetrouverunesolutionquisatisfaitlesobje tifssur haque ritère. Dans e asle hamp

γ

prend omme valeur:

GP (Z

1

, . . . , Z

K

)

(Goal Programming).

Appro he lexi ographique Les ritères sont optimisés les uns après les autres. Une foisquelepremier ritère

Z

1

estoptimisé,onoptimiselese ond ritèreens'interdisantde dégraderlepremier, et .Dans e asle hamp

γ

prend omme valeur:

Lex(Z

1

, . . . , Z

K

)

.

1.4 Notions sur la théorie de la omplexité

La théorie de la omplexité permet de déterminer la di ulté théorique intrinsèque d'unproblèmedonné,oud'unproblèmeparrapportàunautre.Con rètementon her he à savoir si le problème étudié est plutt fa ile ou plutt di ile à résoudre. La théorie dela omplexité permet de lasserles problèmes selon leurdi ulté.

Onétudie habituellement deux typesde problèmes : les problèmes de dé ision et les problèmes de re her he. Les problèmes de dé ision sont des problèmes pour lesquels on her he à répondreà une question par ouiou par non. Par exemple,dansun graphe orienté

G

, existe-t-il un hemin entre le sommet

a

et le sommet

z

de longueur

≤ l

?. Dans les problèmes de re her he, on her he à trouver une solution à un problème. Par exemple,dansungrapheorienté

G

trouver un heminentrelesommet

a

etlesommet

z

delongueurinférieureouégaleà

l

.Enn,lesproblèmesd'optimisationformentun sous-groupedesproblèmes dere her he.Dans e as, lasolutiondoitminimiser oumaximiser une fon tion obje tif. Par exemple, dans un graphe orienté

G

trouver le plus ourt hemin entrelesommet

a

et lesommet

z

.

Enordonnan ement,onren ontreàlafoisdesproblèmesdedé isionetd'optimisation. Lesproblèmes de dé isionsont surtout utiliséspourrésoudrele problèmed'optimisation qui lui estasso ié,ou pour aiderà déterminer sa lassede omplexité.

Pour un algorithme, il existe deux types de omplexité : la omplexité temporelle qui renseigne sur le temps de al ul né essaire pour obtenir une solution optimale et la omplexité spatialequirenseignesurl'espa emémoire né essaire.Par lasuite,nousnous intéressons uniquement à la omplexité temporelle.

La omplexité d'un algorithme va mesurer lenombre d'instru tionsélémentaires né- essairesà l'algorithmepour résoudreleproblème onsidéré.Comme pour unordinateur donné,letempsd'exé utiondépenddunombred'instru tions,onutiliseletermedetemps d'exé ution. Onditsouvent queletempsd'exé ution dépend delataillede l'instan edu problème. En eet, il est plus long de résoudre un problème d'ordonnan ement de 10 000 opérations quelemême problème omposéde seulement 10opérations. Ondénitla taille de l'instan ed'un problème omme étant lenombre de symboles,à une onstante multipli ative près,né essairesau odage del'instan e.Un algorithmeestditpolynomial sisontemps d'exé utionestbornéparunefon tionpolynomialedelatailledel'instan e. Onditqu'ilaune omplexitéen

O(p(n))

,où

p

estlepolynmeet

n

latailledel'instan e. On dit qu'un algorithme est pseudo-polynomial si le polynme bornant letemps d'exé- ution dépend de lataille de l'instan e et de l'amplitude du plus grand entier. Sinon,la omplexité est diteexponentielle.

Les problèmes appartenant à la lasse

P

sont des problèmes pouvant être résolus en temps polynomial. Lesproblèmes polynomiaux sont onsidérés omme étant des pro-blèmes fa iles. La lasse

N P

ontient les problèmes pour lesquels il existe un algo-rithme non déterministe polynomial pour les résoudre. On dit aussi que la lasse

N P

est la lasse des problèmes pour lesquels on peut vérier une réponse oui en temps polynomial. Un algorithme non déterministe polynomial peut résoudre un problème en temps polynomialà onditionde disposer d'unmodule divinatoirequipermetde fairele

bon hoix à haque itération. Si l'algorithmen'a pasde moduledivinatoire, alors ildoit énumérer toutes les possibilités à haque itération, et dans e as le temps d'exé ution devientexponentiel.C'estpourquoionditqu'uneréponsepositiveàunproblèmede

N P

peut être vériée en temps polynomial. Aujour d'aujourd'hui, on nesait pasréaliser un moduledivinatoire.

La lasse

N P

- omplet est une sous- lasse de

N P

. Elle est onstituée des problèmes les plusdi iles de

N P

. Pour dénir la lasse

N P

- omplet, ilest né essaire d'intro-duire lanotion de rédu tion polynomiale d'un problème

P

1

versun problème

P

2

. On dit que

P

1

seréduit polynomialement à

P

2

siet seulement si ilexiste unalgorithme polyno-mial onstruisant à partir des données d'une instan e de

P

1

les données d'une instan e de

P

2

, de sorte que la réponse à

P

1

est oui si et seulement si la réponse à

P

2

est oui. Onnote

P

1

∝ P

2

ette rédu tion polynomiale.Un problème est

N P

- omplet si tousles problèmes de

N P

seréduisent polynomialement àlui.

Les problèmes

N P

-di iles sont les problèmes de re her he pour lesquels les pro-blèmesdedé isionasso iéssont

N P

- omplets.Ontrouveraunedénitionplusrigoureuse d'un problème

N P

-di ile dans[Garey etJohnson, 1979℄.

Lagrandequestiondelathéoriedela omplexitéest

P = N P

?Onsaitque

P ⊆ N P

(si onpeuttrouver une solution entemps polynomial, alors onpeut vérier une réponse ouien temps polynomial).

Les problèmes abordés dans ette thèse sont tous

N P

-di iles. Ils ne peuvent don pasêtrerésolus de façon optimaleen temps polynomial, saufsi

P = N P

.

1.5 Généralités sur les méthodes de résolution

Il existe deux grandes familles de méthodes de résolution : les méthodes exa tes et les méthodes appro hées. Les méthodes exa tes her hent à trouver la ou les solutions optimales. Selonletype de problème onsidéré (notamment les problèmes NP-di iles), le temps de al ul peut être prohibitif. On peut iter omme méthodes : la pro édure par séparation et évaluation (PSE) ([Carlier et Pinson,1989 ℄), les algorithmes de pro-grammationdynamique,laprogrammationlinéaire ennombresentiersoulesalgorithmes polynomiauxpourlesproblèmesdela lasse

P

.Hormislesalgorithmespolynomiauxpour les problèmes polynomiaux, es méthodes sont généralement limitées à la résolution de petites instan esen raison de leur omplexité algorithmique. Toutefois, lesprogrès réali-sés ré emment dans les solvers ommer iaux (CPLEX, XPRESS-MP,...) sont tels, qu'il n'est parfois passuperu de tester quelques modèles de programmation linéaire sur des instan es degrande taille.

Les méthodes appro hées trouvent de bonnes solutions ( 'est-à-dire non né essai-rement optimales) en un temps raisonnable. On peut iter omme méthodes les algo-rithmes gloutons, les méthodesd'explorations de voisinage [Kirkpatri ket al.,1983 ℄,les algorithmesévolutionnaires [Holland, 1975 ℄,les olonies defourmis[Colorniet al.,1991 ℄, et .

et les Algorithmes Génétiques.

1.5.1 Re her he Tabou

Fred Glover a étélepremierà proposer lare her he Tabou omme méthode de réso-lution ([Glover, 1989 ℄).Unere her heTabouestuneméthoded'explorationdevoisinage. Onpartd'unesolutioninitiale

s

init

.Cettesolutiondevientlasolution ourante

s

età partir de ettesolutiononévalueunensembledesolutions

V (s)

quiluisont  pro hes, essolutionssont appeléeslesvoisins.Lemeilleurvoisin

v

best

devientlanouvellesolution ourante

s

, e hangement de solution ourante s'appelle le mouvement. Le pro essus re ommen e jusqu'à e qu'une ondition d'arrêt soit satisfaite. Pour éviter de bou ler parmi les solutionsexplorées, uneliste, appeléeliste tabou

T ℓ

, ontient lessolutions déjà explorées et on s'interdit de hoisir une solution de ette liste. On peut noter que le meilleur voisin n'est pas for ément de meilleure qualité que la solution ourante, ainsi la méthode permet de sortir desextrema lo aux. La solution retournée est la meilleure solution

s

best

trouvée au ours delare her he.

La générationde lasolution initialedépenddu problème onsidéré. Dansle asd'un problème d'ordonnan ement d'atelier, onutilise le plussouvent un algorithmeglouton.

La onstru tion d'une solution voisine dépend également du problème et pour un mêmeproblème,plusieursméthodespeuventêtreenvisagées.Dansle asd'unproblèmede jobshop,uneméthodede onstru tiondevoisinssimple onsisteparexempleàintervertir deux opérations onsé utivessur uneressour e.

Une fois que la méthode de onstru tion d'un voisin est dénie, il faut savoir quels voisins seront explorés, 'est e qu'on appelle le voisinage. Pour qu'un voisinage soit e a e il fautqu'il aitdeuxpropriétés.La première estquelatailledu voisinagene soit pasexponentielleave lataillede l'instan eduproblème. Lase ondeestquelevoisinage soit onnexe.Onditqu'unvoisinageest onnexes'ilestpossibled'atteindren'importe quelle solution en partant de n'importequelle autre solution, et e en unnombre ni de mouvements. On peut noter qu'une ondition susante est de montrer qu'une solution optimale est atteignable.

L'évaluationdelaqualitédetouslesvoisinsdefaçonexa tepeutdemander untemps de al ul important.Pouraméliorerlavitessed'exé utiondelare her heTabou,onpeut évaluer les voisinsde façon appro hée,en utilisant une borneinférieure par exemple.

On peut gérer la liste tabou de diérentes façons. La plus simple est de onsidérer l'enregistrementdel'intégralité delasolutiondanslalistetabou.Cetteméthodeprésente l'avantage de ertier qu'on ne peut pas explorer une solution déjà visitée, le prin ipal défautvientdutempsde al ulné essairepourdéterminer silevoisin onsidéréesttabou ounon.Uneautrefaçonestden'enregistrer queles ara téristiquesdumouvement.Sion reprendnotreexempled'unepermutationd'opérations,onpourraitenregistrerseulement danslalistetaboulesdeuxopérationsintervertiesetoninterdiraitd'intervertirànouveau es opérations.

latailledelaliste:lesélémentslesplusan ienssontrempla ésparlesplusré ents.Ainsi, après un ertain nombre d'itérations on peut à nouveau faire un mouvement qui avait déjàétaitfaitparlepassé,maisaprioridans e aslasolution ouranteestsusamment diérente pour nepasbou ler.

Certainesre her hesTabouutilisentun ritèred'aspiration.Dans e as,ons'autorise à hoisirunvoisintabous'ileststri tementaméliorant.Le ritèred'aspirationn'estutilisé quelorsque lalistetabou ne ontient quelades ription dumouvement.

Uneautrete hniquepouraméliorerl'e a itédelaméthodeestl'utilisationdepoints deredémarrage.Au oursdelare her he, onenregistrede bonsvoisinsquin'ontpasété hoisis ar ils n'étaient pas lesmeilleurs. A lan de lare her he, on relan e la méthode en partant d'un de espointsderedémarrage.

L'algorithme 1 dé rit les héma général d'unere her heTabou. Algorithme 1Prin ipe général d'une re her he Tabou

Pré- onditions: Qual(

x

) : Qualité (à maximiser) delasolution

x

/*Initialisation */

1 Génération delasolution initiale

s

init

2

s = s

best

= s

init

;

3

T ℓ = ∅

/*Bou le prin ipale */

4 Tant queCondition d'arrêtnon satisfaitefaire 5

v

best

= ∅

/* Re her he du meilleurvoisin non-tabou */

6 Construire l'ensembledesvoisins

V (s)

de lasolution

s

7 Pour haque

v ∈ V (s)

faire

8 Si

v /

∈ T ℓ

et Qual(

v

)> Qual(

v

best

)

alors 9

v

best

= v

10 nSi 11 nPour 12

s = v

best

13

T ℓ = T ℓ ∪ v

best

/* Mise à jourde la liste tabou */ 14 SiQual(

s

best

) <Qual(

s

) alors

15

s

best

= s

/* Miseà jour de la meilleure solution trouvée */ 16 nSi

17 nTant que 18 retourner

s

best

1.5.2 Algorithme Génétique

John H.Holland([Holland, 1975 ℄)àétélepremierà proposer d'adapter lathéoriede l'évolution de Darwin pour la résolution de problèmes. L'idée générale est que dans la naturegrâ eàlaséle tion naturelle,unepopulationvas'amélioreraul desgénérations. L'algorithme manipule une populationd'individus et haqueindividu représente une

solutionduproblème onsidéré. Unindividuestreprésenté parson hromosome.Apartir du hromosome, il est possible de onstruire une solution au problème. La qualité d'un individu est donnée par safor e quidépend de e qu'on her he à optimiser.

A haque génération, on va roiser deux individus pour générer un ou plusieurs in-dividus enfants quiauront des ara téristiquesdesdeuxparents. La probabilité pour un individu d'être hoisipour engendrer des enfantsest proportionnelle à safor e. En plus du roisement, un individu enfant a une ertaine probabilité (habituellement faible) de muter, 'est-à-dire quele hromosome vaêtre modiéde façon aléatoire.

On applique un opérateur de séle tion pour éliminer les individus les moins bons. Cet opérateur peut être sto hastique, 'est-à-direqu'un mauvais individu aura une plus grande probabilité d'être éliminé qu'un individu meilleur.

L'algorithme 2donne les hémagénéral d'un algorithme génétique. Algorithme 2 Prin ipe général d'un algorithmegénétique

1 Génération de lapopulationinitiale

P

0

2

t = 0

3 Tant queCritère d'arrêt nonsatisfait faire

4 Génération desenfants

E

t

à partir desparents

P

t

5 Mutation éventuelledesenfants

E

t

6 Séle tion desmeilleursindividus de

P

t

∪ E

t

pour former

P

t+1

7

t = t + 1

8 nTant que

9 retourner le oules meilleurs individusde

P

t

Nous onseillons la le ture de [Portmann et Vignier, 2001 ℄ où une présentation des algorithmes génétiquesappliqués à l'ordonnan ement est proposée.

1.6 Présentation du do ument

Le hapitre 2 présente des états de l'art sur les problèmes qui seront abordés ulté-rieurement. Tout d'abord le problème du job shop exible, qui est elui pour lequel la littérature est ertainement la plus abondante; ensuite le problème du job shop multi-ressour e, pour lequel les études sont moinsnombreuses; enn leproblème du job shop multi ritère quia donné lieuà très peu d'études.

Le hapitre 3portesurl'étudedujobshopexible multi ritère(sans multiressour e) et le hapitre 4 portesurl'étude dujob shopmultiressour emulti ritère (sans problème d'ae tation).

Dans le hapitre 3,après avoir rappelé deux modélisations du problème par un pro-gramme linéaire ennombres entiers, nousproposons inq algorithmes de résolution :

 deuxalgorithmes de re her he Tabou- méthode onnue poursone a ité pourle problème dujob shop- quidièrent par leur appro he duproblème multi ritère,  deux algorithmes génétiques - méthode onnue pour son e a ité pour

l'approxi-mation dufront de Pareto - quidièrentà labase parleur odage d'unesolution,  un algorithme mémétique, 'est-à-dire une hybridation entre un algorithme

géné-tiqueet une re her he lo ale.

Ces méthodesde résolution sont évaluées surdesinstan esde lalittérature adaptées au problèmeave datesde nsouhaitées.

Dans le hapitre 4, après avoir proposé une modélisation du problème par un pro-grammelinéaire ennombres entiers, nousproposons deuxalgorithmesde résolution, ins-pirés desalgorithmes proposésau hapitre 3:

 unalgorithmeTabou,  unalgorithmegénétique.

Ces deux algorithmes plus le programme linéaire sont omparés sur des instan es adaptées de ellesde lalittérature et surdenouvellesinstan es généréesaléatoirement.

Le hapitre 5présentelelogi ielDire tPlanning ommer ialisé par laSo iétéVolume Softwareetquelquesalgorithmesimplémentéspourtenir ompte de ertaines ontraintes liéesàlaproblématiqueindustrielle(tâ hesverrouillées,tempsdepréparationsdépendant de laséquen eet alendriers).

État de l'art

Lesproblèmesd'ordonnan ementd'ateliersontététrèsétudiésdansla litté-raturedepuisplusde50ans.Nousnefaisonspasi iunétatdel'artexhaustif maisnousnousintéressonsprin ipalementauxproblèmesd'ordonnan ement d'ateliers de typejob shopave ae tation et/oumultiressour e.

2.1 Job shop exible

Bru ker et S hlie 1990

Lesproblèmes dejob shopexible ont ététrèsétudiésdanslalittérature. Lepremier arti letraitantde etypedeproblèmeest[Bru ker et S hlie,1990 ℄.Lesauteursproposent unalgorithmepolynomialpourleproblèmedejobshopave ma hinesàusagesmultiples (multi-purpose ma hine), ave omme obje tif le makespan dans le as où on a deux travaux.

Dans la problématique multi-purpose ma hine, haqueopération a besoin d'un outil pour pouvoir être réalisée. Une ma hine peut avoir plusieurs outils installés. Chaque opération peut don êtreexé utéesurun ensemblede ma hines selonles outilsinstallés. Dansle asoù haque opérationné essiteun outil diérent,onretrouve unproblèmede jobshop exibletel quenousl'avonsdéni.

Juris h 1992

Dans sathèse Juris h ([Juris h, 1992 ℄) proposeune pro édure par séparation et éva-luation (PSE) pour la résolution du problème de job shop ave ma hines à apa ités multiples. En plus de laPSE, l'auteur donne quelquesheuristiquesainsi quedes bornes inférieuresau problème.

L'auteurs'appuiebeau oupsurlanotiondeblo .Unblo estunesu ession(aumoins deux) d'opérations ritiques surune même ressour e. Une propriété intéressante estque sionadeuxsolutions

y

et

y

′

ave

C

max

(y

′

_{) < C}

max

(y)

, alorsaumoinsunedespropriétés suivantesest vériée :

 Dans

y

′

au moins une opération d'un blo

B

de

y

est exé utée sur une autre res-sour e quedans

y

,

 Dans

y

′

aumoinsuneopérationd'unblo

B

de

y

,diérentedelapremièreopération de

B

estexé utéeavant lapremière opération de

B

,

 Dans

y

′

aumoinsuneopérationd'unblo

B

de

y

,diérentedeladernièreopération de

B

estexé utéeaprès ladernière opération de

B

.

Brandimarte 1993

Brandimarte ([Brandimarte, 1993 ℄) a proposé une appro he hiérar hique pour ré-soudreleproblèmedejobshopexible.Dansunepremièreétape,leproblèmed'ae tation est résoluet on résoutdansune se ondeétapeleproblème dejobshoprestant.L'auteur proposeplusieurs méthodesqui utilisent toutes une re her he Tabou.L'auteur onsidère indépendamment deux ritères, lemakespan et la sommepondérée desretards.

Dans la première appro he, un algorithme à règles de priorité ae te les opérations sur lesressour es. Ensuite, laRe her he Tabou résoutle problèmede job shop.Une fois le résultatobtenu, lepro essuspeut re ommen erave unerègle de priorité diérente.

Dans la se onde appro he, les deux premières étapes sont identiques. Mais au lieu de relan er unalgorithmede liste, seulesles opérations ritiques sont sus eptiblesd'être réae tées. Une liste tabou est maintenue pour éviter de revenir à une ae tation déjà évaluée.

La gure2.1donne les héma général de haque appro he.

L'auteur proposequatrevoisinagesdiérents.Danstousles as, l'auteurne onsidère quedespermutationsentredesopérationssu essivessuruneressour e.Danslepremier voisinage,on hoisitaléatoirementunensembled'é hangespossibled'opérations, lataille de l'ensemble étant un paramètre de la méthode. Dans le se ond voisinage, on hoisit aléatoirement untravail.Chaqueopération de etravail esté hangée ave lesopérations adja entes sur haque ressour e. Dans le troisième voisinage, une ressour e est hoisie aléatoirement et toutes les ombinaisons de la séquen e des opérations sont évaluées. Dans lequatrièmevoisinage, seuleslesopérations ritiquessont onsidérées.

Hurink, Juris h et Thole 1994

[Hurinket al., 1994 ℄proposent derésoudreunproblèmede jobshopave ma hines à apa ités multiples.L'obje tifestde minimiserlemakespan.Lesauteursproposentdeux voisinages quisont basés surlanotion deblo ([Juris h, 1992 ℄).

Le premier voisinage

N 1

onsiste à hanger l'ae tation d'une opération d'un blo

B

ou àdépla er uneopération d'un blo

B

, diérente de lapremière (resp.ladernière), avant (resp. après) toutes les autres opérations de

B

. Les auteurs onje turent que e

Sous-problème dejob shop Ae tation Règlesdepriorité Moniteur

?

Ae tation et ordonnan ement initial

6

Informations



Choixdu voisinage et paramètres de laTabou



Choixd'unenouvelle régle

Sous-problème de jobshop Ae tation Moniteur

?

Ae tation Opérations

6

Informations



Choixdu voisinage et paramètres delaTabou



Choixd'une nouvelle Première appro he Se onde appro he

6

Ae tation

ritiques

Fig.2.1 Lesdeuxappro hesproposées par [Brandimarte, 1993 ℄

voisinage est onnexe.

Lese ondvoisinage

N 2

onsisteà hangerl'ae tationd'uneopération

j

d'unblo

B

ou à dépla er une opération

j

d'un blo

B

, diérente de lapremière (resp. la dernière), avant (resp. après) toutes les autres opérations de

B

. Si le dépla ement de

j

provoque un ir uit, alors

j

est dépla ée dans le blo

B

à la position la plus à gau he (resp. à droite) telle que l'ordonnan ement soit faisable. Les auteurs prouvent que e voisinage est onnexe. Onpeut remarquer que

N 1 ⊆ N 2

.

Les auteursproposent aussiune heuristique qui onstruit un ordonnan ement. Cette méthodeest baséesurles te hniques d'insertion.

Paulli 1995

Paulli ([Paulli, 1995 ℄) s'intéresse à la problématique des ateliers exibles (Flexible Manufa turing System - FMS), qui sont un as parti ulier du job shop exible. L'au-teur prend en ompte une ontrainte supplémentaire : le nombre de travaux présents simultanément dansl'atelier est limité à la valeur

P

. Ainsi sil'atelier estplein, un nou-veau travail ne pourra ommen er quelorsqu'undestravaux en oursdans l'ateliersera terminé. L'obje tif estde minimiser lemakespan.

L'auteur part des onstatations suivantes:

1. Si l'ae tation desopérations surlesressour esest xée,alors leproblèmedevient unproblèmedejobshopave la ontrainte supplémentaire den'avoirqu'unnombre limité de travaux simultanément en ours d'exé ution,

première opération d'un travail entrant est un su esseur de la dernière opération du travail sortant.

Si es deux onditions sont réalisées, alors le problème résultant est un problème de job shop lassique.

L'auteurproposeuneméthodehiérar hiqueendeuxtempspourrésoudreleproblème: 1. Ae ter lesopérations auxressour eset lier les travauxentre eux.

2. Résoudre leproblème de jobshoprésultant.

Pour améliorer la méthode, l'auteur utilise une bou le de retour entre l'étape 2 et l'étape1 pour aner l'ae tationet les liensentrelestravaux. L'algorithme 3résumela méthode proposéepar Paulli.

Algorithme 3 Algorithme proposépar [Paulli,1995 ℄ pour le problèmede FMS 1 Ae ter lesopérationsaux ressour es

2 Lier lestravaux

3 Tant queCondition d'arrêt nonvériée faire 4 Résoudre leproblèmede job shop

5 Ré-ae ter et/oure-lierlestravauxselon lesinformationsdonnées parla résolu-tiondu jobshop

6 nTant que

La première ae tation (ligne 1) et les premiers liens (ligne 2) sont réalisés par des règlesde priorités.Leproblèmedejob shop(ligne4)estrésoluparunere her heTabou. Ledépla ementd'uneopérationsuruneautreressour e,àunepositionfaisable,assurela ré-ae tion. Similairement,onsupprimeunlienentredeuxtravauxeton réeunnouveau lien pour hanger lesliensentre lestravaux(ligne 5).

Perregaard 1995

Perregaard ([Perregaard, 1995℄) onsidère dans sa thèse les problèmes de job shop hybride et de ow shop hybride. La diéren e de e type de problème ave le job shop lassique est que les ressour es sont rassemblées en étages de ma hines parallèles. Une opérationpourradon s'exé utersurn'importequelleressour edel'étage onsidéré.C'est un asparti ulier dujob shopexible.

L'auteur propose une pro édure par séparation et évaluation pour résoudre le pro-blème.

Chambers et Barnes 1996 et 1998

Chambers et Wesley Barnes ([Chambers et Barnes,1996 ℄) ont proposé en 1996 une re her he Taboupour résoudreleproblèmede jobshopexible enminimisant le makes-pan.Lesauteurs onsidèrent deuxtypesdevoisins,lepremier onsisteenun hangement dans la séquen e des opérations sur une ressour e, le se ond modie l'ae tation d'une opération.

Le voisinage est déniainsi: haque ressour e est onsidérée su essivement et pour ha uned'elle,onidentielessuitesd'opérations ritiques.Pour haquesuite,lapremière (resp. la dernière) opération est intervertie ave l'opération pré édente (resp. suivante) sur la ressour e. De plus, pour haque opération ritique on essaye de la réae ter sur toutes lesressour es ompatibles.

Dans[Chambers et Barnes,1998 ℄,lesauteurs ont étenduleurméthodeen implémen-tant unegestion parti ulière delaliste tabou.

Dauzère-Pérès et Paulli 1997

Dauzère-Pérèset Paulli([Dauzère-Pérès et Paulli, 1997 ℄)proposent une modélisation et une re her he Tabou pour le problème de job shop exible (qu'ils nomment general multipro essor job-shop). Cetteméthode étant importante pour la le turede la suite de e do ument,nouslaprésentons plusen détail.

Un nouveau modèle de graphe Les auteurs ommen ent par proposer une exten-sionaugraphe onjon tif-disjon tif lassique,originalement proposéparRoyet Sussman ([Royet Sussmann, 1964 ℄). Le graphe lassique est déni ainsi :

G = (V, A, E

a

₎

, l'en-sembledessommetsest

V

ave unsommet paropération plusunsommetsour e

s

et un sommet puits

t

.

A

est l'ensemble des ar s onjon tifs : il existe un ar onjon tif entre deuxopérationssu essivesd'un même travail.Deplus, ona desar s onjon tifsentre

s

et haquepremière opération d'un travail,ainsiqu'entre haque dernièreopération d'un travail et

t

.

E

a

k

est l'ensemble des ar s disjon tifs entre haque paire d'opérations ae -tées à la ressour e

R

k

. On pose

E

a

₌

S

R

k

∈R

E

a

k

. La longueur d'un ar est égale à la duréeopératoire del'opération orrespondant au sommetde départ del'ar . Onobtient une séle tion

S

k

en xant le sens de haque ar dans

E

a

k

. On dénit une séle tion om-plète

S

telle que

S =

S

R

k

∈R

S

k

. Onnote

f (x)

(resp.

p(x)

) l'opération su esseur (resp. prédé esseur)de

x

dansletravail.

Sinous onsidéronslaversionétendueoùl'ae tationn'estpasen ore onnue,ilexiste un ar disjon tif dans

E

a

k

entre haque paire d'opérations pour lesquelles elles peuvent s'exé utersurlamême ressour e.Deplus, omme lesdurées opératoires d'uneopération dépendent delaressour e,lesar sdisjon tifsentredeuxmêmesopérationspeuvent avoir deslongueursdiérentes.

Trouver unesolutionfaisablepourleproblèmedejobshopexiblesigniedéterminer une séle tion omplètede lafaçon suivante :

Étape 1 Pour haque opération

x

, xer le sens d'un ou deux ar s disjon tifs de

E

a

atta hés à

x

, retirer tous lesautres.

S

doitêtre telque :

1. Au plus un ar onjon tif se termine sur une opération et au plus un ar onjon tif partd'uneopération.

2. Si une opération a un ar entrant et un ar sortant, alors les deux ar s sont danslemême ensemble

S

k

.

3. Dans haque ensemble

S

k

6= ∅

, il doitexister une et seulement une opération sansar entrant et une et seulement uneopération sans ar sortant.

Étape 2 Pour haque ensemble

S

k

6= ∅

,

S

k

= S

k

∪ {(s, i); (j, t)}

, où les opérations

i

et

j

sont respe tivement la première et la dernière opération ordonnan ées sur la ressour e

R

k

.

Si la séle tion

S

dénit un graphe sans ir uit, alors lasolution au problème de job shopexible estréalisable.

La re her he Tabou proposée Onobtient un voisin par le dépla ement d'une opé-ration.Cettete hnique permet àlafoislamodi ationdel'ae tation etlamodi ation de la séquen e. Dans legraphe onjon tif, dépla er une opération

x

entreles opérations

y

et

z

signie:

 ea er l'ar

(v, x)

et

(x, w)

, où

v

(respe tivement

w

) est leprédé esseur (respe ti-vement lesu esseur)de

x

surlaressour e quil'exé ute,

 ajouter unar

(v, w)

,  ea erl'ar

(y, z)

,

 ajouter lesar s

(y, x)

et

(x, z)

.

Onnote e mouvement par letriplet

{x, y, z}

.

Les auteurs ont démontré qu'au un ir uit n'est réé en déplaçant une opération

x

, si

x

estordonnan ée entreles opérations

y

(

y 6= f (x)

)et

z

(

z 6= p(x)

),et si:

r

y

< r

f(x)

+ p

f(x),a(f (x))

et

r

z

+ p

z,a(z)

> r

p(x)

Le voisinage proposépar les auteurs onsiste à explorer tousles triplets

{x, y, z}

qui satisfont la ondition pré édente. Les voisins sont évalués grâ e à une borne inférieure, de plus lesvoisins sont lassés en inq atégories selon leurqualité espérée.

Lesauteurs se sont intéressés à troisfaçonsdiérentesde gérer laliste tabou.Soit

x

l'opération dépla ée entreles opérations

y

et

z

;

v

et

w

sont les opérationsordonnan ées avant et après

x

sur la ressour e sur laquelle

x

est a tuellement ae tée, on note ette ressour e

a(x)

.

1. On ajoute

(v, w)

à la liste tabou. Un dépla ement

(x

′

_{, y}

′

_{, z}

′

₎

est tabou si

(y

′

_{, z}

′

₎

appartient à laliste.

2. Onajoute

(x, a(x))

àlalistetabou.Undépla ement

(x

′

_{, y}

′

_{, z}

′

₎

esttabousi

(x

′

_{, a(y}

′

₎₎

appartient à laliste.

3. On ajoute

(x, y)

àla listetabou.Un dépla ement

(x

′

_{, y}

′

_{, z}

′

₎

esttabou si

(x

′

_{, y}

′

₎

ou

(z

′

, x

′

)

appartient à laliste.

Lors de leurs expérimentations, les auteurs ont onstaté que la troisième façon de gérer laliste taboudonnait les meilleursrésultats.

Bru ker, Juris h et Krämer 1997

Bru ker, Juris h et Krämer ([Bru ker et al.,1997 ℄) ont étudié la omplexité de plu-sieurs problèmes d'ordonnan ement où il est question d'ae tation. La première partie est onsa réeauxproblèmes àma hinesparallèles. Lase onde parties'intéresseaux pro-blématiques d'atelier : ow shop,job shopet open shop.

Mesghouni 1999

Mesghouni ([Mesghouni, 1999℄) a étudié lors de sa thèse le problème de job shop exible.Il aproposé deuxappro he évolutionnistes pourle résoudre.

Mastrolilli et Gambardella 2000

MastrolillietGambardella([Mastrolilliet Gambardella, 2000 ℄)ontproposédeux stru -tures de voisinage (

N opt1

et

N opt2

) pour le problème de job shop exible.Leurs voisi-nagessontbaséssurledépla ementd'uneopérationdanslegraphedisjon tif.Lesauteurs ont démontré quesi une solutionfaisable

S

n'apasde voisin selon lepremier voisinage, i.e.

N opt1(S) = ∅

, alors

S

est unordonnan ement optimal pour le makespan.

N opt2

est une extension de

N opt1

où

N opt2

onserve la propriété d'optimalité en as d'absen e de voisin. Les auteurs ont démontré la onnexité de

N opt2

. D'après leurs expérimenta-tions,malgrél'absen e dela onnexitéduvoisinage

N opt1

, edernier donnedemeilleurs résultatsque

N opt2

grâ eà saplusgrande vitessed'exé ution.

Ka em, Hammadi et Borne 2002

Ka em, Hammadi et Borne ([Ka em etal., 2002 ℄) ont proposé un algorithme géné-tique multi ritère pour le problème de job shop exible, utilisant de la logique oue pourl'évaluationdesindividus.Les ritèresqu'ils onsidèrentsontlemakespan,la harge maximaledes ressour eset lasommedes harges desressour es.

Kis 2003

Kis ([Kis,2003 ℄) étudie un problème d'atelier où haque travail possède une gamme omplexe: ertainesséquen es d'opérationsdoivent êtreexé utées enparallèles,d'autres séquen es peuvent s'exé uter sur des ressour es diérentes. Au nal haque travail est dé rit par un graphequi ontient des hemins'et' et des hemins'ou'. Ce problème est plus général que le job shop exible. L'auteur propose deux méthodes pour résoudre le problème:unere her heTabouetunalgorithmegénétique.L'obje tifestlaminimisation dumakespan.

Levoisinagedelare her heTabouestbasésurdeste hniquesd'insertiondeséquen es d'opérationsdansunordonnan ement partiel.L'algorithme génétiqueutiliseuniquement un opérateur de roisement. Cet opérateur onsidère deux individus : un maître et un apprenti. L'idée est d'utiliser un sous-ensemble du maître pour améliorer l'apprenti et ainsigénérerun nouvelindividuenfant.Lesexpérimentationsmontrent lasupérioritéde lare her he Tabou surl'algorithme génétique.

Mati et Xie 2004

Matiet Xie ([Matiet Xie, 2004 ℄)ont étudiéla omplexité desproblèmes dejob shop exibleoù seulement deuxtravauxsont onsidérés.

Le premier as étudié est elui du problème de job shop à deux travaux ave des ma hines à apa ités multiples non reliées. Les auteurs ont montré que e problème est NP-Di ile pourles ritèresdumakespanet pourlasommedesdatesdendestravaux. Dans le as oùla préemption estautorisée,le problèmeest NP-Di ile pour les ritères

L

max

, ΣT, ΣwT, ΣwC, ΣU

et

ΣwU

.

Le se ond problème onsidéré est le problème où un travail est exible et le se ond n'est pas exible (i.e. une seule ressour e par opération). Dans e as les auteurs ont montréqueleproblèmeestpolynomialpourlaminimisationdumakespan.Ilsontproposé un algorithmepolynomialbasé surune appro he géométrique.

Dupas 2004

Dupas dans son mémoire de HDR ([Dupas, 2004 ℄) onsidère les problèmes d'ordon-nan ementd'ateliersdenature y liqueetexible.Sonétudes'intéresseàlarésolutionde es problèmesvia desalgorithmes évolutionnistes. En e qui on ernele as dujobshop exible, l'auteur reprend l'algorithme proposépar [Mesghouni, 1999 ℄ ave une appro he multi ritère baséesurNSGA-II ([Deb etal., 2002℄).

Nait Tahar, Yalaoui, Amodeo et Chu 2004

NaitTahar,Yalaoui,AmodeoetChu([Tahar etal., 2004 ℄)sesontintéressésàun pro-blème d'ordonnan ement dansunatelier de fabri ation de artons. Dansleur probléma-tique, ertaines ressour essont enplusieursexemplaires(ma hines parallèlesidentiques). De plus, ils onsidèrent destemps de montagedépendants de laséquen e entre les opé-rations. Le ritère minimisé estla sommedes retardsabsolus. Leur problème estun job shophybride. Lesauteurs proposent un algorithmegénétique.

Unindividuestreprésentésouslaformed'unematri ede

m

lignesetde

n

olonnes,i i

m

estlenombre deressour eset

n

estlenombremaximald'opérationssuruneressour e. Sur haqueligneonalaséquen edesopérationssurlaressour e.Ce odageestpro hede elui quenousproposonsdanslase tion3.4.2.Le roisementproposéestuneadaptation du roisement à unpoint.

Alvarez-Valdes, Fuertes, Tamarit, Giménez et Ramos 2005

Alvarez-Valdes, Fuertes, Tamarit, Giménez et Ramos ([Alvarez-Valdes etal., 2005℄) ont étudié un problème d'ordonnan ement pour l'industrie du verre. Le problème est à labase unjob shopexible,maisil omporteun ertainnombre departi ularités.

Les travaux peuvent aboutir soit à des produits nis soit à des produits semi-nis. Ainsi il peut exister des ontraintes de pré éden e entre ertains travaux, un produit ni peut né essiter un ou plusieurs produits semi-nis. Deplus, omme un travail peut fournir plusieurs unités de produits semi-nis,un produit ni peut ne né essiter qu'une partie d'un travail produisant des produits semi-nis. Un travail de produits nis peut avoir une date de n souhaitée, une date de n au plus tt et une date de n au plus

tard.Lestravauxpossèdentunpoidsreétant l'importan edurespe tdeleurdatede n souhaitée.

Les ressour es peuvent être aussi bien des ma hines que deséquipes de travailleurs. Chaque ressour e peut avoir des périodes d'ina tivités selon un alendrier qui lui est propre. Certaines ressour es ne peuvent exé uter qu'une opération à la fois, d'autres peuvent entraiter plusieurs simultanément.Dans le asd'uneéquipe, lenombre de tra-vailleurspeut varier selon la période du jour (équipe réduite lanuitpar exemple), dans e ason onsidèreque laressour ea une vitessevariableselon ladate.

Lestravauxsont omposésdeplusieurs opérations. Chaqueopérationpeuts'exé uter sur plusieurs ressour es. Certaines opérations d'un travail peuvent se hevau her selon un oe ient. Ce oe ient représente la proportion qu'une opération doit être traitée avant quel'opération suivante puisse ommen er.

Dans le as où un travail

i

né essite un autre travail

j

( as d'un produit semi-ni), la première opération de

i

peut éventuellement ommen er avant la n de la dernière opération de

j

, ela modéliseun hevau hement entre travaux.

Certainesséquen es d'opérationsdoivent s'exé utersansdélaientreelles.C'estle as lorsqueles opérationsmanipulent duverre en fusion.

La fon tion obje tif est une fon tion linéaire par mor eaux autour de la date de n souhaitée.

Les auteurs proposent une méthode derésolution en deuxétapes : lepremière étape onstruit une solution réalisable, la se onde étape améliore ette solution grâ e à une re her he lo ale.

Zhang et Gen 2005

Zhang et Gen ([Zhang et Gen, 2005 ℄) ont proposé un algorithme génétique pour le problèmede job shopexiblemulti ritère. Ils onsidèrent lesmême ritères que

[Ka em etal., 2002 ℄ 'est-à-direlemakespan,la hargemaximaleetlasommedes harges desressour es.D'aprèslesexpérimentationsprésentéesparlesauteurs, etalgorithmeest meilleurque elui de[Ka em et al.,2002℄.

Ho, Tay et Lai 2007

Ho, Tay et Lai ([Hoet al.,2007 ℄) ont proposé un algorithme génétique pour le job shopexible.L'originalitédeleurappro hevientdel'ajoutd'unmoduled'apprentissage. Auldesgénérations, emoduleapprendàre onnaître ertaines bonnes ara téristiques des hromosomes.

Onreprésente unindividu parun hromosome omposéde deuxparties:lapremière partie représente l'ordre desopérations entre elles, lase onde partie est l'ae tation des opérations sur les ressour es. Ce odage n'étant pas dire t, les auteurs ont proposé un algorithmepourgénérerunordonnan ement a tifàpartird'un hromosome.Laméthode de roisementestdutypeàdeuxpointspour ha unedesdeuxpartiesdu hromosome.

Le module d'apprentissage ontient

m

hromosomes a priori de bonne qualité. On ompare les

n

meilleurs individu de la population ourante ave eux ontenus dans la mémoire dumoduled'apprentissage,l'obje tif estdetrouver les

k

pluspro hesindividus de lamémoire.Ces

k

individusrempla ent les

k

plusmauvaisdelapopulation ourante. La miseà jour dumodule intervient toutes les

q

itérations del'algorithme génétique.

2.2 Job shop multiressour e

Dauzère, Roux et Lasserre 1998

Dauzère-Pérès, Roux et Lasserre ([Dauzère-Pérès etal., 1998℄) ont étendu le modèle et lare her he tabou de [Dauzère-Pérès et Paulli, 1997 ℄.Dans leur arti le, en plusde la exibilité, ils onsidèrent qu'une opération peut né essiter plusieurs ressour es simulta-nément (multiressour e) et une opération peut avoir plus d'un su esseur et plus d'un prédé esseur.

Lesauteursontdémontréquelevoisinagedelare her heTabouproposéeest onnexe. L'évaluationd'un voisinestréalisée grâ eà une borneinférieure.

Chen et Lee 1999

Chen et Lee ([Chen et Lee,1999 ℄) ont étudié un problème d'atelier dans lequel une opération né essite un ensemble de ressour es. Cet ensemble de ressour es doit être hoisi parmi un ensemble d'ensembles de ressour es qui dépend de l'opération, les sous-ensemblesn'étantpasfor émentdisjoints.Par exemple,uneopérationpeutêtreexé utée soit sur

{R

1

, R

2

, R

3

}

,

{R

1

, R

2

}

,

{R

1

, R

3

}

,

{R

2

, R

3

}

ou

{R

2

}

. La durée de l'opération dépendde l'ensembledesressour es hoisi.L'opération doitêtreexé utéesimultanément sur toutes lesressour esde l'ensemble onsidéré.

Lesauteursproposentuneappro heendeuxtemps:ae tationpuisordonnan ement. Ilsproposent unalgorithmepseudo-polynomialpourrésoudreoptimalementl'ae tation dans le as où il n'y a que deux ressour es et dans un as parti ulier du problème à trois ressour es. Une heuristique à garantie de performan e est proposée pour la phase d'ordonnan ement.

Cheng, Wang et Sriskandarajah 1999

Cheng, Wang et Sriskandarajah ([Cheng etal., 1999℄)ont étudiéle problèmede ow shop à deux ma hines dans lequel un opérateur est hargé de préparer et de naliser (démontage) les travaux sur les ma hines. Deux as sont onsidérés : séparable et non séparable. Dansle asséparable, laphasede montage peut ommen er avant que l'opé-ration soit disponible sur laressour e. De même on onsidère quel'opération n'est plus présente surla ressour e lors du démontage. Dansle asnon séparable, l'opération doit êtresurlaressour epourquelemontagepuisse ommen er,idempourledémontage.Les

auteurs ne onsidèrent que le as de mouvements y liques, 'est-à-dire que l'opérateur doitsedépla er entre lesdeux ma hines selon un ertain y le.

LesauteursontdémontréqueleproblèmeestNP- ompletausensfortaussibiendans le asséparable que non séparable. Ilsont aussi proposé desheuristiques pour résoudre leproblème.

Sha hnai et Turek 1999

Sha hnaietTurek([Sha hnaiet Turek,1999 ℄) ont étudiéunproblème d'ordonnan e-ment d'opérations ausein d'un systèmemulti-ressour e, plus spé iquement un système informatique.Dans e problème, une opération né essiteplusieurs ressour es simultané-ment, ainsiqu'une ertainequantité de haque ressour e.L'obje tif estde minimiser les temps de réponses.Lesauteurs proposent une heuristique pour résoudreleproblème.

Artigues et Roubellat 2000

Artigues et Roubellat ([Artigueset Roubellat,2000 ℄) ont étudié le problème de ges-tion de projet à ontraintes de ressour e (RCPSP) dans le as multi-mode. Dans e problème, il faut ordonnan er des travaux omposés d'opérations sur des ressour esqui peuventêtre umulatives.Lesauteursproposentuneextensiondumodèledegraphepour prendre en ompte les ressour es umulatives.

Les auteurs proposent un algorithme pour insérer des travaux dansun ordonnan e-ment existant,ave omme obje tif deminimiser l'impa tsurleplus grand retard.

Dauzère-Pérès et Pavageau 2001

Dauzère-Pérèset Pavageau ([Dauzère-Pérès et Pavageau, 2001 ℄)ontproposéune mo-délisation d'un problème de job shop exible et multiressour e qui est une extension du modèlede [Dauzère-Pérès et al.,1998 ℄.Dans e nouveau modèle, uneopération peut né essiterplusieurs ressour es, maisladurée opératoire peut êtrediérente selon la res-sour e.Lemodèleestrestreintàdeux as:soitlesdatesdedébutde haquesous-opération sont identiques,soit e sont lesdates de nqui sont identiques.

Un autreapportde e papier estl'extension de la ondition deDauzère ([Dauzère-Pérès et Paulli, 1997 ℄) au asmultiressour e.

O§uz, Er an, Cheng et Fung 2003

O§uz, Fikret Er an, Cheng et Fung ([O§uz etal., 2003 ℄) ont étudié le problème de ow shophybrideàdeuxétages ave desopérations multi-ressour es.Dans e problème, untravaildoit passeren premiersurl'étage 1et ense ondsurl'étage2.La parti ularité de e problème est qu'une opération peut né essiter simultanément plusieurs ressour es d'un même étage. Les auteurs proposent un algorithme basé sur des règles de priorités ave omme obje tifla minimisationdu makespan.