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de la thèse
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quatrième partie
Chapitre
8
mod`eles POD-Galerkin - vers
Analyse de la robustesse des
l’optimisation de forme
Aperçu
1 Introduction . . . 183
2 Analyse de l’instabilité de von Kármán . . . 184
2.1 Analyse de stabilité linéaire fondée sur le modèle réduit . . . 184
2.2 Amélioration du modèle réduit - ajout d’un shift mode . . . 187
3 Robustesse du ROM vis-à-vis d’une variation du nombre de Reynolds . . 189
3.1 Base POD robuste . . . 190
3.2 Modification du nombre de Reynolds dans le ROM . . . 191
3.3 Prédiction des états intermédiaires grâce au ROM . . . 192
4 Robustesse du ROM vis-à-vis d’une modification de la forme . . . 194
4.1 Modifier la forme du profil dans le ROM . . . 194
4.2 Validation de l’approche sur le modèle “haute-fidélité” . . . 196
4.3 Analyse de la robustesse du ROM pour l’optimisation de forme . . . 197
5 Conclusion - le ROM comme outil de prédiction . . . 204
1
Introduction
L’objectif principal de la méthode de modélisation de dimension réduite développée dans le cadre de cette étude est son intégration au sein de processus itératifs tels que des boucles d’optimisation de forme, ou encore au sein de simulations multi-disciplinaires, en particulier en interaction fluide-structure. Dans ces contextes où de nombreuses simulations successives d’écoulements complexes sont nécessaires ou lorsqu’une réponse en temps réel est attendue, l’utilisation de modèles d’ordre faible semble inévitable. Afin que l’approche décrite dans ce mémoire trouve une application dans le cadre de ces problématiques, il est nécessaire qu’elle conduise à :
– une représentation fidèle des données de référence utilisées pour construire le modèle réduit, – une prédiction efficace des dynamiques “voisines” des configurations de référence.
Le premier point a été traité aux chapitres 6et 7. Il a en effet été montré que l’approche POD-Galerkin
pouvait conduire à une estimation pertinente des états de référence même dans des cas non-strictement périodiques incluant éventuellement des évènements rares. Le second point fait l’objet de ce chapitre, l’objectif étant ici d’examiner la robustesse de la méthode vis-à-vis de variations paramétriques de la configuration étudiée.
Dans la littérature, les modèles d’ordre réduit fondés sur la décomposition aux valeurs propres ont fait l’objet de nombreuses applications dans le domaine du contrôle d’écoulements notamment, où ils ont pu
être substitués avec succès aux modèles HF (Ravindran,2000, par exemple). Afin d’assurer une certaine
d’un paramètre de l’écoulement, plusieurs stratégies ont été développées. L’utilisation de bases POD
construites une fois pour toutes à partir de différentes bases de données1a été considérée (Graham et al.,
1999a; Bergmann et al., 2005) et appliquée pour le contrôle optimal du sillage laminaire d’un cylindre circulaire oscillant. Dans ce contexte, la méthode procédant par définition de régions de confiance ou
Trust-Region POD (TRPOD), utilisée notamment parArian et al. (2000), présente l’avantage d’assurer
la convergence de la solution optimale obtenue par le modèle réduit vers la solution du problème mettant en jeu le modèle HF. Quelle que soit la méthodologie mise en œuvre pour accroître la pertinence du sous-espace de projection, l’idée directrice est que la sensibilité du modèle réduit doit être fidèle à celle du modèle physique complexe pour la variation d’un paramètre donné de l’écoulement, ce paramètre pou-vant correspondre à l’intensité de l’activation d’un dispositif de contrôle, à la forme du domaine physique considéré, à la valeur du nombre de Reynolds, à la température ou l’incidence d’une aile, par exemple.
Dans ce chapitre, la question de la robustesse du modèle POD-Galerkin est abordée sous plusieurs
angles. Au§3, la capacité du ROM à prédire l’évolution des dynamiques prédominantes de l’écoulement
lorsque le nombre de Reynolds est modifié est examinée dans le cas de l’écoulement transsonique autour
d’un profil d’aile de type NACA0012 à incidence nulle étudié au chapitre6. Différentes méthodes sont
envisagées et comparées pour introduire cette variation paramétrique dans le modèle réduit. Au§4, une
seconde étude paramétrique est menée dans la perspective d’une intégration d’un modèle réduit POD-Galerkin dans un processus d’optimisation de forme. Dans ce sens, une stratégie est proposée pour la prise en compte de la variation de la forme du profil d’aile dans le système dynamique d’ordre faible. Cette méthode est en premier lieu évaluée sur le modèle HF, puis les résultats obtenus via le ROM sont
comparés à ces données de référence. Dans une section préliminaire (§2), une analyse de stabilité linéaire
est proposée via le modèle réduit quant à l’apparition de l’instabilité de von Kármán sous l’effet d’une augmentation du nombre de Mach. Cette brève étude a pour objectif l’évaluation des capacités prédictives du ROM au cours de la phase transitoire de croissance de l’instabilité. Cette analyse permet de pointer certaines limites de la méthode et de proposer des solutions pour accroître sa précision dans ce contexte.
2
Analyse de l’instabilité de von Kármán
L’écoulement incompressible autour d’un profil d’aile de type NACA0012 à incidence nulle est
station-naire pour des nombres de Reynolds modérés de l’ordre de [0.5, 1]× 104. Sous l’effet d’une augmentation
du nombre de Mach, l’épaississement des couches limites en aval des régions d’accélération conduit à une augmentation de la taille des bulbes de recirculation près du bord de fuite. Une légère ondulation du
sillage apparaissant pour des nombres de Mach de l’ordre de 0.2− 0.3 conduit à une déstabilisation de
ces régions tourbillonnaires et au déclenchement de l’instabilité de von Kármán. Une analyse physique
détaillée de ce phénomène induit par la compressibilité de l’écoulement a été rapportée par Bouhadji
& Braza(2003a,b). Dans cette section, une analyse de stabilité linéaire globale d’un tel écoulement est proposée en utilisant le ROM comme modèle physique de référence. Dans la littérature, ce type d’études fondées sur des approches d’ordre faible a été mené dans le cas d’écoulements bidimensionnels
incom-pressibles autour de cylindres de section circulaire (Bergmann, 2004, par exemple) et de section carrée
(Galletti et al.,2007). Suite à l’analyse de stabilité linéaire relative à l’apparition de l’échappement tour-billonnaire de von Kármán, une stratégie d’amélioration du ROM pour une meilleure prédiction du régime transitoire est présentée.
2.1
Analyse de stabilité linéaire fondée sur le modèle réduit
L’analyse de stabilité linéaire d’un système dynamique autonome2 consiste à étudier l’évolution du
caractère stable ou instable de ses points d’équilibre lorsqu’un paramètre physique du système3 est
mo-difié. Le système correspondant au modèle réduit développé au chapitre6 (6.52) peut être écrit sous la
forme suivante, pour un paramètre du système physique fixé κ : ˙
a = f (a, κ) , (8.1)
1Ou encore de différentes excitations du paramètre de contrôle.
2Autonome signifie que le second membre du système ne dépend pas explicitement du temps. 3Ce paramètre correspond ici au nombre de Mach.
où f est un flot polynomial quadratique à coefficients constants ne dépendant pas explicitement du temps.
Un point d’équilibre ou point fixe du système (8.1), a0 est tel que :
˙
a0= f (a0, κ) = 0. (8.2)
La linéarisation du système (8.1) autour du point a0peut s’écrire, pour ˜a = a− a0 :
˙˜a = J (a0, κ) ˜a, (8.3)
avec J la jacobienne de f . Le point d’équilibre a0est stable si toutes les valeurs propres ζide l’opérateur
linéaire J sont telles que Re(ζi) < 0 et instable s’il existe des valeurs propres de J telles que Re(ζi) > 0.
Dans le cadre de la présente étude où le paramètre de bifurcation considéré est le nombre de Mach,
la jacobienne du système (6.52) s’écrit :
Jij(a, M ) = Lij+ Lsij+
Npod
X
k=1
(Qijk+ Qikj) ak. (8.4)
Les modèles d’ordre réduit sont construits comme précédemment sur la base de réalisations collectées sur une période de l’instabilité de von Kármán de l’écoulement établi. Ces ROM présentent un point fixe pour
a≈ 04, ce qui signifie que l’écoulement moyen correspond à un état d’équilibre du ROM. Le fait que ce
point fixe diffère de celui du modèle HF est examiné dans la section suivante. Dans un premier temps, l’analyse de stabilité est menée au voisinage du point fixe du ROM. Les trois configurations étudiées
(M ∈ [0.40, 0.45, 0.60]) sont caractérisées par un échappement tourbillonnaire développé et périodique.
Les valeurs propres de la matrice jacobienne au point fixe et pour ces différentes valeurs du nombre de
Mach sont présentées sur la figure8.1. L’existence, pour chaque nombre de Mach considéré, d’une paire
de valeurs propres présentant une partie réelle positive trahit l’instabilité du point d’équilibre pour les trois configurations. Re (1/s) Im (r a d /s ) -2500 -2000 -1500 -1000 -500 0 -6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000 Ma=0.60 Ma=0.45 Ma=0.40 (a) Re (1/s) Im (r a d /s ) 0 10 20 30 40 50 -4000 -2000 0 2000 4000 Ma=0.60 Ma=0.45 Ma=0.40 (b)
Fig. 8.1 – (a) Représentation dans le plan complexe des valeurs propres de la jacobienne du modèle réduit linéarisé autour du point fixe pour M = 0.40, M = 0.45 et M = 0.60. Profil d’aile de type NACA0012 à
incidence nulle et Re= 5000. (b) Détail des valeurs propres de partie réelle positive.
Les valeurs propres de partie réelle positive sont associées aux deux modes instables liés à l’échappe-ment tourbillonnaire. Le nombre de Mach critique pour l’apparition de l’instabilité peut être recherché : dans le cas d’une bifurcation de Hopf super-critique, il correspond au seuil pour lequel les valeurs propres
associées à ces modes “traversent” l’axe des imaginaires. Les valeurs propres de la jacobienne peuvent être décomposées comme suit :
ζj = σj+ 2iπωj, soit J (a0, M ) vj = (σj+ 2iπωj) vj, (8.5)
si vi est un vecteur propre associé à ζi. Ainsi, pour les valeurs propres présentant une partie réelle
positive, σi correspond au taux de croissance ou d’amplification temporel de l’instabilité et ωi, à sa
fréquence propre. Les taux d’amplification obtenus par l’étude des valeurs propres de la jacobienne au point fixe sont effectivement observés lors de la phase transitoire de croissance de l’instabilité comme
l’illustre la figure 8.2. Sur cette figure, la croissance du coefficient temporel associé au premier mode
POD5 est représentée par le logarithme de l’amplitude instantanée du coefficient temporel, déterminée
grâce à la transformée de Hilbert comme décrit au§3.6du chapitre7.
Temps (s) a 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 -2 -1 0 1 2 (a) Temps (s) lo g (a m p (a 1 )) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 -4 -3 -2 -1 0 1 2 (b) s=10.3 Temps (s) a 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 -2 -1 0 1 2 (e) Temps (s) a 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 -2 -1 0 1 2 (c) Temps (s) lo g (a m p (a 1 )) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 -4 -3 -2 -1 0 1 2 (d) s=21.5 Temps (s) lo g (a m p (a 1 )) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 -4 -3 -2 -1 0 1 2 (f) s=35.9
Fig. 8.2 – (a, c, e) Croissance du premier coefficient temporel de la POD à partir du point fixe et (b, d, f) logarithme de l’enveloppe du premier coefficient temporel de la POD obtenue par la transformée de Hilbert et représentation des taux de croissance ; pour (a-b) M = 0.40, (c-d) M = 0.45 et (e-f) M = 0.60. L’évolution des valeurs propres de la jacobienne du modèle réduit en fonction du nombre de Mach
confirme l’existence d’une valeur critique de déclenchement de l’instabilité ici estimée6 à M
c ≈ 0.35 pour
une période d’échappement tourbillonnaire égale à Stc≈ 4.8 × 10−2s. Ces résultats sont en accord avec
les études antérieures effectuées sur la base de simulations HF (Bouhadji & Braza,2003a,b). L’objectif
n’étant pas ici une évaluation exacte du seuil d’instabilité mais une illustration du comportement du modèle réduit en régime transitoire, un nombre limité de configurations ont été analysées. Une étude plus détaillée pourra être envisagée grâce au ROM, conjointement à une analyse effectuée par simulation
5Il apparaît que le premier (second) mode POD correspond à la partie réelle (imaginaire, respectivement) du premier mode instable.
directe des équations de Navier-Stokes.
Une limitation des modèles POD-Galerkin tels qu’ils ont été développés jusqu’alors a été mise en évidence pour l’analyse des écoulements transitoires : les points fixes des modèles réduits et HF diffèrent. Par ailleurs, le taux de croissance prédit par un modèle réduit construit sur la base de réalisations collectées une fois le régime périodique permanent atteint est-il fidèle à celui obtenu via l’approche “haute-fidélité” ? Dans la section suivante, une méthode est mise en œuvre pour améliorer les capacités prédictives du ROM dans les phases transitoires.
2.2
Amélioration du modèle réduit - ajout d’un shift mode
Afin d’introduire dans le modèle réduit un degré de liberté supplémentaire n’ayant pas été capturé par
la POD,Noack et al.(2003) suggèrent d’ajouter un mode correctif du champ moyen dénommé shift mode.
L’introduction de ce mode est motivée par le fait que la base POD construite à partir de données collectées en régime établi n’est pas apte à représenter le champ stationnaire instable précédant le déclenchement de
l’instabilité de von Kármán7. Cette analyse, initialement proposée dans le cadre de la modélisation d’ordre
réduit de l’écoulement autour d’un cylindre circulaire à faible nombres de Reynolds, est transposable au
contexte de la présente étude. Une comparaison des champs moyen et stationnaire instable8 de vitesse
longitudinale obtenus pour des nombres de Reynolds et de Mach respectivement égaux à 5000 et 0.6 est
présentée sur la figure 8.3.
u1 (m/s): -5.0 37.7 80.5 123.2 165.9 208.6
(a)
u1 (m/s): -5.0 37.7 80.5 123.2 165.9 208.6
(b)
Fig. 8.3 – Iso-contours des champs (a) moyen et (b) stationnaire instable de vitesse longitudinale. Profil
d’aile de type NACA0012 à incidence nulle, M = 0.6 et Re= 5000.
La représentation relative du champ stationnaire instable vinst centré, sur une base POD comprenant
Npod modes est calculée comme suit :
RNpod v inst = s Npod P i=1 (vinst− v, Φ i)2 kvinst− vk . (8.6)
Dans la pratique, R10 vinst
≈ 7.3 × 10−4. Afin d’obtenir une représentation optimale de ce champ qui
correspond au point d’équilibre du modèle “haute-fidélité”,Noack et al.(2003) proposent d’introduire dans
la base réduite un mode correspondant à la différence entre les champs moyen et stationnaire instable
par le procédé d’orthogonalisation de Schmidt. Le shift-mode Φs est ainsi calculé :
Φs= v∆− Npod P i=1 v∆, Φi Φi kv∆− Npod P i=1 (v∆, Φ i) Φik avec v∆= v− vinst. (8.7)
Les différentes composantes du shift-mode utilisé dans cette étude sont présentées sur la figure 8.4. Le
coefficient temporel correspondant est :
as= (v− v, Φs). (8.8)
7En d’autres termes, ce champ est orthogonal au sous-espace décrit par la base POD tronquée.
8En pratique le champ stationnaire instable considéré correspond au dernier cliché précédant la perte de symétrie de l’écoulement.
Une base POD enrichie est alors considérée pour la représentation des fluctuations du vecteur d’état : v− v ≈ asΦs+ Npod X i=1 aiΦi. (8.9)
Ainsi le point d’équilibre des équations de Navier-Stokes est exactement représenté. Le coefficient temporel
supplémentaire peut être prédit par un modèle POD-Galerkin à Npod+1 équations tel qu’il a été développé
précédemment en incluant le mode additionnel dans la base réduite.
s_1/rho: -5.0 -3.9 -2.8 -1.7 -0.6 0.6 1.7 2.8 3.9 5.0
(a)
s_u2: -0.20 -0.16 -0.11 -0.07 -0.02 0.02 0.07 0.11 0.16 0.20
(c)
s_p: -2.00E-02 -1.20E-02 -4.00E-03 4.00E-03 1.20E-02 2.00E-02
(d)
s_u1: -2.0 -1.6 -1.1 -0.7 -0.2 0.2 0.7 1.1 1.6 2.0
(b)
Fig. 8.4 – Iso-contours des shift modes entre champs stationnaires instables et champs moyens associés
à (a) 1/ρ (m3/kg), (b) u
1 (m/s), (c) u2 (m/s) et (d) p (Pa).
L’introduction artificielle du point d’équilibre du modèle HF dans la base POD conduit à une
mo-dification du point fixe de ROM. Un calcul numérique montre que ce nouveau point fixe est a0 ≈
t[0 . . . 0 − (v∆, Φs
)] donc proche du champ stationnaire instable.
Sur la figure 8.5(a) sont comparées les évolutions temporelles du coefficient associé au shift-mode,
à partir du point fixe, issues de la projection des données de référence collectées au cours du régime transitoire et de la prédiction par le ROM. La prédiction par le modèle réduit est relativement en bon accord avec la simulation HF. Il apparaît clairement que la contribution du mode associé à la correction du champ moyen au cours de la phase transitoire s’annule lorsque le régime périodique permanent (le cycle limite) est atteint. Afin d’évaluer l’amélioration du ROM pour la capture de la phase de croissance de l’instabilité de von Kármán, l’évolution de l’“énergie instationnaire” associée aux coefficients temporels
des modes POD est représentée sur la figure8.5(b). Les prédictions de cette quantité définie par e(Npod) =
PNpod
i=1 a 2
i par les ROM incluant ou non le shift-mode sont comparées aux résultats de référence issus de
la simulation directe. Une bien meilleure capture de la phase de croissance exponentielle de l’instabilité est obtenue grâce à la modification du modèle réduit, la croissance prédite par le ROM classique étant
ailleurs, une surévaluation de l’énergie fluctuante est mise en évidence lors de la phase de saturation.
Ce comportement erroné, qualifié de “over-shoot” par Noack et al.(2003), peut être expliqué par le fait
que les modes POD ont été déterminés à partir de réalisations de l’écoulement établi et qu’ils n’assurent par conséquent pas une représentation optimale de la phase transitoire et, en particulier, du transfert d’énergie entre le shift-mode et la base POD au cours de la phase de saturation.
Temps (s) lo g (e ) 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 Navier-Stokes ROM
ROM + shift mode
(b) Temps (s) a _ s h if t 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 -8 -6 -4 -2 0 (a)
Fig. 8.5 – (a) Evolution du coefficient temporel associé au shift mode obtenue par projection des données
HF () et prédite par le ROM (ligne rouge). (b) Evolution du logarithme de l’“énergie instationnaire” du
système issue de la projection des données de référence (), du ROM classique (ligne pointillée) et du
ROM incluant le shift mode (ligne rouge).
Afin de poursuivre l’amélioration de la capture des phases transitoires par le ROM, il est possible d’envisager une calibration à partir des données de référence collectées sur cet intervalle temporel comme
proposé parGalletti et al.(2007) ou encore de construire une base POD spécifique relative à ces données.
Une autre approche peut consister à introduire dans la base réduite les modes globaux d’instabilité
ob-tenus directement à partir du modèle HF près du point d’équilibre (Noack et al.,2003).Morzyński et al.
(2006) proposent par ailleurs un procédé permettant une interpolation continue des modes d’instabilité
vers les modes POD. Cette technique est mise en œuvre pour la prédiction de l’écoulement transitoire
autour d’un profil d’aile à Re= 100 par ROM (Stankiewicz et al.,2008).
Dans cette section, la robustesse du modèle réduit a été évaluée quant à la prédiction de phases tran-sitoires de l’écoulement non représentées dans la base de données de référence utilisée pour construire la décomposition aux valeurs propres. Une analyse de stabilité fondée sur le ROM a illustré un comporte-ment qualitativecomporte-ment correct de ce dernier. Néanmoins, il est apparu que certaines propriétés du modèle HF, telles que la position du point fixe correspondant à l’écoulement stationnaire instable ainsi que le taux de croissance transitoire jusqu’au régime permanent, n’étaient pas nécessairement bien capturées par le modèle POD-Galerkin tel qu’il a été décrit précédemment. Pour cela un mode additionnel représentant la modification du champ moyen au cours de la phase d’établissement a été considéré dans la base réduite. Il s’avère que l’introduction de ce mode permet d’obtenir une équivalence des points d’équilibre entre modèles “haute” et “basse-fidélité” ainsi qu’une amélioration notable de la prédiction de la croissance de l’instabilité de von Kármán. Il est important de noter que cette modification du modèle réduit implique
simplement l’ajout d’un mode9 et ne nécessite pas d’évaluation supplémentaire au cours de la phase
transitoire. Dans la section suivante, la robustesse du ROM par rapport à une variation paramétrique de la configuration de l’écoulement est examinée.
3
Robustesse du ROM vis-à-vis d’une variation du nombre de
Reynolds
Dans cette section, la capacité du modèle réduit à estimer l’évolution des dynamiques prédominantes de l’écoulement lorsque le nombre de Reynolds infini amont varie est analysée. L’étude proposée concerne l’écoulement autour d’un profil d’aile de type NACA0012 à incidence nulle précédemment décrit, pour un nombre de Mach fixe égal à 0.6. Comme cela a déjà été détaillé, pour cette configuration instationnaire gouvernée par l’instabilité de von Kármán, l’essentiel de l’instationnarité est représentée par les deux
9Par contre, il est nécessaire de pouvoir évaluer l’état stationnaire instable grâce au modèle HF, ce qui, suivant les écoulements considérés peut s’avérer très délicat.
premiers modes de la décomposition aux valeurs propres. L’objectif est donc d’évaluer la modification de l’amplitude et de la fréquence de la première paire de coefficients temporels lorsque le nombre de Rey-nolds varie entre deux configurations connues, pour lesquelles des bases de données HF sont disponibles. Quelques études de ce type ont été rapportées dans la littérature dans des cas d’écoulements
bidimension-nels incompressibles pour des nombres de Reynolds faibles (Deane et al.,1991;Galletti et al.,2004, par
exemple). Différentes approches y ont été mises en œuvre pour tenir compte de la modification du nombre de Reynolds au sein du ROM et les résultats obtenus sont divers, n’autorisant pas de conclusion nette quant à la capacité du modèle réduit à prédire des configurations non préalablement résolues par simu-lation directe. Dans le cadre de la présente analyse de robustesse, l’intervalle d’étude est volontairement
large (5000≤ Re≤ 10000) et le nombre d’écoulements supposés connus se limite aux deux configurations
extrêmes. Dans un premier temps, la nécessité d’utiliser une base POD étendue est mise en évidence,
puis au§3.2, deux stratégies sont considérées pour introduire la variation du nombre de Reynolds dans
le modèle réduit. Enfin, les principaux résultats obtenus sont présentés au§3.3.
3.1
Base POD robuste
Sur l’intervalle de nombres de Reynolds considéré dans cette étude, la topologie générale de l’écoule-ment gouverné par l’échappel’écoule-ment tourbillonnaire de von Kármán reste la même. Néanmoins, une
modi-fication significative de la fréquence fondamentale de cette instabilité, illustrée sur la figure8.6 par des
iso-contours instantanés de vorticité, justifie l’introduction d’une base POD étendue. En effet, une base POD construite à partir de réalisations collectées dans l’une des deux configurations extrêmes n’est pas adaptée à la capture de l’information dans l’autre configuration.
Vorticité: -2.0 -1.6 -1.1 -0.7 -0.2 0.2 0.7 1.1 1.6 2.0 (a)
Vorticité: -2.0 -1.6 -1.1 -0.7 -0.2 0.2 0.7 1.1 1.6 2.0 (b)
Fig. 8.6 – Iso-contours instantanés de vorticité (non-dimensionnelle) dans l’écoulement autour d’une aile de type NACA0012 à incidence nulle, pour un nombre de Mach égal à 0.6 et des nombres de Reynolds égaux à (a) 5000 et (b) 10000.
Pour illustrer ce point, l’information statistique retenue à Re = 5000 (écoulement A) par des bases
POD construites spécifiquement pour les deux configurations extrêmes (écoulement A et écoulement B
à Re = 10000) sont comparées. Dans les deux cas, Nt = 100 clichés consécutifs de l’écoulement sont
considérés sur une période d’échappement tourbillonnaire. Le produit scalaire spatial utilisé est le même dans les deux cas : la variance statistique moyenne considérée pour la normalisation est calculée à partir
des deux séries de réalisations. L’information statistique capturée par le ième mode d’une base POD{Φ
i}
est calculée comme suit :
I(i) = 1 T T Z 0 (vA− vA, Φi) 2 dt et Imax= 1 T N t X i=1 T Z 0 vA− vA, ΦAi 2 dt (8.10)
représente l’information statistique totale de la base de données associée à l’écoulement A (vA). Imax est
utilisée pour le calcul de l’information relative. {ΦAi} est la base POD extraite à partir de la base de
données A. Comme le montre la contribution relative de chaque mode et l’information cumulée capturée
par les deux bases (figure8.7), la base POD construite pour l’écoulement B représente mal l’écoulement
A. En effet, pour Npod = 10, seulement 36.2% de l’information statistique de la base de données est
capturée par cette dernière contre plus de 99.99% pour la base optimale.
Afin d’obtenir une représentation a priori10correcte des configurations extrêmes et intermédiaires, une
base POD étendue est construite à partir de l’ensemble des clichés centrés collectés dans les configurations
10La notion de base “a priori” s’oppose ici à la notion de base adaptative qui serait actualisée au cours de l’étude paramétrique.
Mode In fo rm a ti o n re la ti v e 5 10 15 20 25 30 10-9 10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 Base Re 5000 Base Re 10000 Base mixte (a) Mode In fo rm a ti o n re la ti v e c u m u lé e (% ) 5 10 15 20 25 30 20 40 60 80 100 Base Re 5000 Base Re 10000 Base mixte (b) 10 modes - 99.99%, 36.18%, 99.73%
Fig. 8.7 – (a) Contribution relative de chaque mode POD à l’extraction de l’information statistique de la base de données et (b) information statistique cumulée de la base POD tronquée en fonction du nombre
de modes pour l’écoulement à Re= 5000 pour des bases POD construites à Re= 5000 (écoulement A,
◦), Re= 10000 (écoulement B, ) et pour une base POD mixte (4).
A et B, noté Z :
Z =(vA)1− vA, . . . , (vA)Nt− vA, (vB)1− vB, . . . , (vB)Nt − vB . (8.11)
Les qualités de représentation de cette base POD mixte sont illustrées sur la figure 8.7. Par rapport
aux bases POD précédentes, l’information relative capturée décroît moins rapidement lorsque l’indice du mode augmente ; l’information à représenter étant plus riche, elle se trouve plus régulièrement répartie parmi les premiers modes que dans le cas où un seul écoulement est considéré. Une telle base conduit à
une représentation efficace de l’écoulement A11 (99.7% de l’énergie pour N
pod = 10). Cette base POD
étendue avec Npod= 10 est considérée dans la suite de l’étude pour la construction de modèles réduits
associés aux écoulements de référence et intermédiaires.
3.2
Modification du nombre de Reynolds dans le ROM
Afin de modifier le nombre de Reynolds au sein du modèle réduit POD-Galerkin tel qu’il a été
développé au chapitre6, deux stratégies sont mises en œuvre.
Variation de la viscosité
A partir d’un écoulement de référence connu et pour lequel un ROM a été construit, une première
méthode de modification du nombre de Reynolds consiste à faire varier la viscosité du fluide12dans (6.38)
de telle sorte que µ = µrefReref/Re. Dans l’étude proposée, la configuration de référence est l’écoulement
B. Le champ moyen considéré est celui de l’écoulement de référence. Cette approche présente l’avantage d’une actualisation très rapide du ROM, les coefficients constants du système d’EDO associés au terme diffusif étant simplement multipliés par un facteur correctif.
Interpolation des champs moyens connus
Une seconde méthode consiste à introduire un forçage dans le modèle réduit (6.52) via une modification
du champ moyen. Ce champ moyen peut, par exemple, être interpolé entre des états connus de telle sorte que les conditions aux limites en entrée du domaine de calcul correspondent à la configuration intermédiaire étudiée. Ce procédé correspond à l’introduction d’une fonction de contrôle stationnaire (Graham et al.,1999a). Dans le cadre de cette étude, une interpolation linéaire entre les champs moyens
11La qualité de la représentation de cette base vis-à-vis de l’écoulement B et des configurations intermédiaires a également été examinée.
des écoulements A et B associés aux variables qui dépendent linéairement du nombre de Reynolds13 (ρ et p dans le cas présent) est utilisée et les composantes de la vitesse (qui conservent les mêmes valeurs en entrée du domaine) sont également interpolées :
vint = (1− k) vA+ kvB avec k =
ReA− Re
ReA− ReB
. (8.12)
Le terme de forçage du ROM (ou fonction de contrôle) peut alors s’exprimer comme suit, dans la formu-lation modifiée considérée :
vcont= (1/ρ)? uint 1 uint 2 pint avec (1/ρ)?= 1− k (1− k + kr)2(1/ρ)A+ k 1−k r + k 2(1/ρ)B et r = ReB ReA. (8.13)
La POD s’écrit alors :
v≈ vcont+
N pod
X
i=1
aiΦi. (8.14)
Cette approche nécessite la réévaluation des coefficients associés aux termes constants et linéaires du
ROM (Ci et Lij) , soit Npod(Npod+ 1) coefficients.
Utiliser un forçage du champ moyen issu d’une interpolation permet d’évaluer les variables d’état du modèle physique HF pour les écoulements intermédiaires. Plusieurs approches de calibration peuvent être envisagées, notamment :
– calibrer chaque configuration extrême indépendamment puis interpoler les coefficients correspon-dants,
– effectuer une calibration globale de l’ensemble des données de toutes les configurations connues. La dernière approche est utilisée dans le cadre de cette étude de robustesse.
Les deux stratégies proposées pour tenir compte d’une variation du nombre de Reynolds dans le ROM sont mises en œuvre et comparées dans la section suivante, pour la prédiction de l’évolution des dyna-miques prédominantes d’écoulements intermédiaires non préalablement simulés par le modèle physique complexe.
3.3
Prédiction des états intermédiaires grâce au ROM
La capacité du ROM à prédire l’évolution des premiers coefficients de la POD lorsque le nombre de Reynolds varie entre deux états connus est examinée. Pour un nombre de Mach fixé à 0.6, deux séries de
tests sont menées et les résultats correspondants sont présentés sur la figure8.8. Deux intervalles d’étude
sont considérés, 5000 ≤ Re ≤ 10000 et 5000 ≤ Re ≤ 7500 pour évaluer l’effet d’un raffinement sur la
qualité de la prédiction par le ROM. Pour chaque expérience, l’amplitude du premier coefficient temporel de la POD normalisé par l’amplitude maximale observée ainsi que le nombre de Strouhal caractéristique de la fréquence fondamentale de l’échappement tourbillonnaire sont évalués en quelques états intermé-diaires, grâce aux méthodes présentées précédemment. Des valeurs de référence obtenues par projection de réalisations du modèle HF sont présentées pour comparaison. Bien que la topologie de l’écoulement ne soit pas radicalement modifiée sur l’intervalle de variation du nombre de Reynolds considéré, l’évolution de l’amplitude de référence de la première dynamique POD n’est pas triviale et présente un caractère non-linéaire. Pour l’évaluation des amplitudes et fréquences, des intégrations courtes des ROM sont consi-dérées à partir de conditions initiales interpolées et les mesures sont effectuées au cours de la deuxième période d’intégration.
D’un point de vue général, les deux approches considérées conduisent à une prédiction qualitativement correcte de l’évolution de l’amplitude des premiers coefficients temporels. La variation de viscosité à partir de la configuration de référence B n’autorise cependant pas une estimation aussi précise que l’approche
13Pour la formulation dimensionnelle des variables d’état considérée dans cette étude, la variation du nombre de Reynolds se traduit par une modification, en entrée du domaine de calcul, des variables thermodynamiques alors que les variables cinématiques restent constantes pour un nombre de Mach donné.
fondée sur l’interpolation des champs moyens. Bien que l’interpolation mise en œuvre soit linéaire, le comportement non-linéaire de l’évolution de l’amplitude est capturé. Enfin, il apparaît clairement qu’un raffinement de l’intervalle d’étude améliore la prédiction de l’amplitude pour les états intermédiaires.
En ce qui concerne la prédiction de la variation de la fréquence fondamentale de l’instabilité de von Kármán, seule l’approche mettant en jeu une interpolation des configurations connues conduit à une
prédiction pertinente, comparable à celle obtenue par exemple par Galletti et al. (2004) dans le cas de
l’écoulement bidimensionnel incompressible autour d’un cylindre de section carrée pour 60≤ Re≤ 225.
La non-linéarité de l’évolution de la fréquence des premiers coefficients temporels semble relativement moins bien prédite que celle associée à leur amplitude.
Nombre de Reynolds N o m b re d e S tr o u h a l 5000 5500 6000 6500 7000 7500 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 (d) Nombre de Reynolds N o m b re d e S tr o u h a l 5000 6000 7000 8000 9000 10000 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9 1.95 (c) Nombre de Reynolds A /A m a x 5000 6000 7000 8000 9000 10000 0.86 0.88 0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1 Viscosité Champ moyen Navier-Stokes (a) Nombre de Reynolds A /A m a x 5000 5500 6000 6500 7000 7500 0.82 0.84 0.86 0.88 0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1 (b)
Fig. 8.8 – Variation de (a,b) l’amplitude normalisée et (c,d) de la fréquence adimensionnelle du premier
coefficient temporel de la POD lorsque le nombre de Reynolds varie : (a,c) 5000≤ Re≤ 10000 et (b,d)
5000 ≤ Re ≤ 7500. Les configurations extrêmes, supposées connues, sont repérées par des carrés verts.
Les cercles noirs représentent les valeurs de référence obtenues par l’approche HF à comparer aux deux méthodes de modification du nombre de Reynolds dans le ROM.
Cette analyse de la robustesse du modèle réduit vis-à-vis d’une variation paramétrique du nombre de Reynolds illustre les capacités prédictives du ROM et semble encourageante dans la perspective d’une substitution du modèle physique “haute-fidélité” par cette approche au sein de processus d’optimisation par exemple. Le modèle réduit a ici été utilisé comme un outil d’interpolation entre des états connus du système physique. D’une manière générale, il ne semble pas que le POD ROM soit un outil adapté à l’exploration de nouvelles propriétés ou configurations physiques de l’écoulement. Plus précisément, un changement majeur de la topologie de l’écoulement ne peut par exemple pas être prédit par le modèle réduit si des informations relatives à la topologie initiale et à la nouvelle ne sont pas toutes les deux incluses dans la base de données utilisée pour définir le sous-espace de projection. En ce sens, l’exploration doit être menée grâce au modèle HF, les états intermédiaires pouvant ensuite être estimés via le ROM. Dans
le cadre de cette première étude de robustesse, une base POD étendue a été suffisante pour représenter correctement l’ensemble des états intermédiaires. Dans d’autres contextes, l’utilisation de bases réduites adaptatives sera préférée. Dans la section suivante, une analyse de la robustesse du ROM vis-à-vis d’une modification de la forme de l’aile est proposée.
4
Robustesse du ROM vis-à-vis d’une modification de la forme
Afin de pouvoir envisager l’intégration de modèles réduits POD-Galerkin dans des boucles d’optimi-sation de forme ou encore dans des simulations couplées en interaction fluide-structure par exemple, la robustesse du ROM vis-à-vis d’une modification de la forme du domaine physique d’étude est examinée. L’étude proposée porte sur l’analyse de la capacité du POD ROM à prédire l’évolution des dynamiques prédominantes de l’écoulement transsonique autour d’un profil d’aile NACA0012, lorsque la forme de ce profil est modifiée. Des études de ce type ont été rapportées dans la littérature pour des écoulements
stationnaires14(Le Gresley & Alonso,2000, par exemple) et le fait de considérer ici un écoulement
insta-tionnaire représente une originalité. De même que dans l’étude de robustesse précédente où une variation du nombre de Reynolds a été introduite dans le ROM, une stratégie de modification de la forme du profil d’aile au sein du modèle réduit doit être développée. Une méthode permettant de prendre en compte de faibles variations de la position des parois solides sans modifier le domaine de calcul est proposée
(§4.1) et validée sur le modèle “haute-fidélité” au§4.2. Cette méthodologie est par la suite utilisée pour
la modification de la forme du profil d’aile dans le ROM et l’analyse de sa pertinence pour la prédiction
d’états intermédiaires non préalablement calculés par simulation HF est détaillée au§4.3.
4.1
Modifier la forme du profil dans le ROM
Du point de vue du modèle réduit tel qu’il a été développé dans la présente étude, la forme du domaine physique de calcul (Ω) n’intervient qu’implicitement via le produit scalaire utilisé pour évaluer les coefficients constants du système d’EDO à partir de la base POD tronquée et des champs moyens. Dans la pratique, la discrétisation de ce produit scalaire conduit à la définition d’une matrice de masse représentative du domaine physique de calcul. Une approche intuitive pour la modification de la forme du domaine physique dans le ROM pourrait donc consister à modifier le produit scalaire via la matrice de masse pour tenir compte de l’évolution de la discrétisation spatiale associée au domaine modifié, autrement dit la déformation du maillage. Néanmoins, cette approche présente de nombreux inconvénients notamment pour la construction d’une base POD a priori robuste pour différentes formes du profil. En effet, la modification du domaine de calcul sur lequel les réalisations HF sont collectées pour l’évaluation de la base conduit à un problème pratique de définition du produit scalaire où différentes matrices de masse doivent être considérées suivant les réalisations. De plus, une telle approche est fortement dépendante de la méthode de déformation du maillage représentant le domaine physique discrétisé associé à un profil donné, plusieurs matrices de masse pouvant alors correspondre au même domaine physique déformé. Ce dernier point semble être le plus contraignant et justifie le fait qu’aucun résultat satisfaisant n’ait été obtenu par cette approche dans le cadre de la présente étude.
Modifier la forme sans modifier le domaine de calcul - formule de Hadamard
Les remarques précédentes mettent en relief l’intérêt d’une stratégie de variation de la forme du profil d’aile ne nécessitant pas de modification du domaine physique de calcul. Dans un contexte où de petites déformations du profil original sont considérées, il est possible de traduire la déformation par une mo-dification des conditions aux limites sur la paroi solide déformée, le domaine physique de calcul restant ainsi le même. Ce type d’approches présentent l’avantage d’être adaptées aux POD ROM précédemment développés. Par ailleurs, la modification des conditions aux limites dans le ROM notamment via l’intro-duction d’une fonction de contrôle a fait l’objet de nombreuses études antérieures, en particulier dans le cadre du contrôle des écoulements, qui ont conduit à des résultats en très bon accord avec les simulations HF (Graham et al., 1999a; Bergmann et al.,2005, par exemple). Pour la variation de la forme du profil d’aile, la stratégie de modification des conditions aux limites doit en premier lieu être validée au niveau
14Ce type d’approches se fonde sur l’utilisation d’une décomposition aux valeurs propres non plus spatio-temporelle mais où la variable temporelle est remplacée par un paramètre de forme du domaine physique.
du modèle “haute-fidélité” avant d’envisager son introduction dans le ROM.
Dans le cas d’écoulements non-visqueux simulés via les équations d’Euler, des conditions aux limites dites de “transpiration” peuvent être introduites pour traduire un déplacement fictif de la paroi solide. Ce type d’approches, fondées sur la prise en compte de la modification de la normale à la surface du profil entre les configurations originale et déformée, a été utilisé avec succès pour l’optimisation de forme
dans l’optique d’une réduction du “bang” sonique (Vázquez et al.,2002). Dans le cadre de cette thèse, où
des écoulements visqueux simulés par les équations de Navier-Stokes sont considérés, une autre approche est mise en œuvre. La méthode considérée est fondée sur la formule de Hadamard, permettant d’évaluer la sensibilité de la solution d’une équation aux dérivées partielles par rapport à une variation du
do-maine. Cette approche a été appliquée en optimisation de forme sur la base des équations d’Euler (Beux
& Dervieux, 1991; Dervieux et al., 2007). Dans la présente étude, la formule de Hadamard est utilisée pour déterminer la modification des conditions aux limites sur la paroi solide lorsque celle-ci subit une déformation normale. Seul ce point est décrit par la suite ; pour plus de détails concernant cette méthode,
le lecteur pourra se référer à Dervieux(1980).
Etant donné un domaine physique de référence Ω dont la frontière solide associée au profil d’aile
est notée Γ0, l’objectif est, pour une variable v donnée dont la condition sur la frontière Γ0 est connue,
d’évaluer v(x, δγ) pour x∈ Γ0, qui désigne la valeur de v sur la frontière du domaine initial non déformé
lorsqu’une déformation normale δγ est appliquée à cette frontière. En d’autres termes, cela conduit à évaluer quelles conditions aux limites introduire sur les frontières du domaine de calcul initial pour “mimer” une certaine déformation du profil. δγ correspond ici à la valeur algébrique de la déformation
locale normale à la frontière Γ0, de telle sorte que v(x, 0) corresponde à la condition à la limite du domaine
non déformé. Au voisinage du domaine de référence, la modification de cette condition de frontière peut être évaluée, à l’ordre un par rapport à la variation normale de la frontière, comme suit :
v (x, δγ)≈ v(x, 0) +∂v(x, 0)
∂γ δγ pour x∈ Γ0. (8.15)
La valeur de ∂v(x, 0)/∂γ sur la frontière peut être obtenue grâce à la formule de Hadamard qui dérive du lemme de mécanique des milieux continus suivant, pour une fonction C dépendante de la position de
la frontière et une certaine frontière Γγ donnée (Dervieux,1980) :
d dγ Z Γγ C (γ) dσ ! δγ = Z Γγ ∂C(γ) ∂γ δγdσ + Z Γγ (∇nC (γ) + HC (γ)) δγdσ, (8.16)
où∇n désigne le gradient normal à la frontière et H la courbure locale de la frontière. En supposant que
les conditions aux limites prescrites à la surface du profil d’aile puissent s’écrire, moyennant un éventuel
changement de variables, telles que v(x, 0) = 0 sur Γ0et en considérant n’importe quelle fonction test Ψ,
le lemme précédent permet d’écrire : Z Γ0 ∂v(x, 0) ∂γ δγΨ(x)dσ = Z Γ0 ∂v(x, 0)Ψ(x) ∂γ δγdσ = d dγ Z Γ0 v(x, 0)Ψ(x)dσ δγ −Z Γ0 (∇n(v(x, 0)Ψ(x)) + H (v(x, 0)Ψ(x))) δγdσ = − Z Γ0 ∇nv(x, 0)δγΨ(x)dσ, (8.17) et par conséquent v (x, δγ)≈ −∇nv(x, 0)δγ pour x∈ Γ0, (8.18)
ce qui correspond à la formule de Hadamard pour la sensibilité des conditions aux limites lorsque la frontière est déformée.
En pratique, les conditions aux limites imposées à la paroi de l’aile sont l’annulation des trois
com-posantes de la vitesse et une température constante égale à Tf. En considérant une déformation normale
de cette frontière paramétrée par la fonction δγ, les conditions aux limites à prescrire pour simuler le déplacement de la paroi sont les suivantes :
– pour les trois composantes de la vitesse :
ui(x, δγ)≈ −∇nui(x, 0)δγ pour x∈ Γ0, (8.19)
– pour la température :
T (x, δγ)≈ Tf− ∇nT (x, 0)δγ pour x∈ Γ0. (8.20)
Au chapitre3, deux approches ont été proposées pour l’extrapolation de la valeur de la pression à la paroi,
une première fondée sur le calcul du “vrai” gradient pariétal dérivé des équations de Navier-Stokes et une seconde, simplifiée, supposant le gradient de densité nul à la paroi. Cette dernière approche est utilisée dans le cadre de cette étude de modification du domaine, pour des raisons de simplicité. Néanmoins, afin de s’assurer que cette approximation ne conduise pas à des simulations erronées, une étude comparative détaillée des résultats obtenus par les deux méthodes a été menée dans la présente configuration physique. Pour l’écoulement considéré, cette approximation ne semble pas avoir d’effet significatif comme en atteste
les résultats rapportés dans l’annexe A. Lorsque la forme du profil est fictivement modifiée grâce à la
formule de Hadamard, il convient également de modifier la condition∇nρ = 0 de telle sorte que :
∇nρ (x, δγ)≈ −∇n(∇nρ(x, 0)) δγ pour x∈ Γ0. (8.21)
Dans un premier temps, cette méthode de modification de la forme du profil d’aile sans modification du domaine de calcul est validée au niveau du modèle HF avant d’être utilisée pour introduire une variation de forme dans le modèle réduit.
4.2
Validation de l’approche sur le modèle “haute-fidélité”
Pour s’assurer de la pertinence de la méthode de variation “fictive” de la forme du profil d’aile, les résultats de simulation directe obtenus en considérant une déformation effective du domaine de calcul et
l’utilisation des conditions aux limites modifiées sont comparés. L’écoulement transsonique (Re= 5000
et M = 0.85) autour d’un profil d’aile à incidence nulle est considéré dans la suite de cette étude. Une variation paramétrique (δγ) du profil est introduite sous forme d’une déformation normale gaussienne de
la partie amont de l’aile comme illustré sur la figure8.9(a). Cette déformation est symétrique, d’expansion
latérale fixe le long de la corde et d’une amplitude égale à 10% de l’épaisseur du profil NACA0012 original. Cette amplitude, constante dans un premier temps, peut être considérée comme un paramètre de forme variable. Les projections de cette déformation sur les axes du repère de calcul sont représentées sur les
figures 8.9(b) et (c). La déformation effective du profil est illustrée sur la figure 8.10(a). La région de
déformation correspond à une zone d’écoulement (quasi-)stationnaire ce qui permet, pour tenir compte de la déformation du profil, de modifier les conditions aux limites sur la paroi solide en remplaçant le
gradient normal instationnaire par le gradient normal du champ moyen dans l’expression8.18:
v (x, δγ)≈ −∇nv(x, 0)δγ pour x∈ Γ0. (8.22)
Cette approximation conduit à une simplification conséquente de l’introduction des conditions aux limites modifiées dans le ROM comme cela sera détaillé par la suite.
Les champs moyens obtenus par le modèle HF en considérant un maillage déformé (figure8.10(b)) et
les conditions aux limites modifiées sont comparés sur la figure 8.11. Les champs moyens associés à la
configuration non déformée (NACA0012) sont également présentés et montrent que la variation de forme considérée conduit à une modification significative de l’écoulement moyen. Un trés bon accord est observé au niveau des champs moyens entre les deux méthodes utilisées pour prendre en compte la déformation du profil. En particulier, la modification de la forme des régions supersoniques est fidèlement capturée par la méthode de déformation “fictive”.
Les évolutions temporelles de la composante longitudinale de la vitesse en un point du sillage proche, obtenues par les deux approches pour le profil déformé et pour le profil de référence, au cours d’une période
de l’instabilité de von Kármán sont représentées sur la figure8.12(en haut). Il apparaît que l’utilisation de
conditions aux limites issues de la formule de Hadamard conduit à une prédiction proche de celle obtenue sur le maillage déformé. Afin de comparer les champs instationnaires issus de ces différentes approches,
les réalisations associées au maximum du signal de vitesse en ce point (traits rouges sur la figure8.12(en
haut)) sont représentées sur la figure8.12. Un bon accord est mis en évidence entre les champs phasés
x/c D é fo rm a ti o n n o rm a le -d /c 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 (a) x/c D é fo rm a ti o n x -d x /c 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -0.0003 -0.0002 -0.0001 0 (b) x/c D é fo rm a ti o n y -d y /c 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -0.006 -0.004 -0.002 0 0.002 0.004 0.006 (c)
Fig. 8.9 – (a) Déformation normale à la frontière (δγ) du profil d’aile le long de la corde. (b) et (c) Projections de cette déformation sur les axes du repère de calcul.
(a) (b)
Fig. 8.10 – (a) Profils d’ailes déformé (rouge) et de référence (NACA0012, noir), échelle non respectée. (b) Détail des maillages associés aux profils déformé (rouge) et de référence (NACA0012, noir).
ailleurs, une différence d’environ 1% est observée quant à la prédiction de la fréquence fondamentale de
l’échappement tourbillonnaire15.
L’étude comparative menée dans cette section montre que pour la configuration d’écoulement et la déformation du profil considérées, l’utilisation de conditions aux limites modifiées sur la paroi solide peut se substituer à la déformation du domaine de calcul. Il est important de noter que la formule de Hadamard utilisée est une approximation au premier ordre de la sensibilité des conditions aux limites qui n’est valable que pour des perturbations de relativement faibles amplitudes autour de la forme de référence. L’intérêt d’une telle approche dans le contexte de cette étude est sa simplicité d’intégration dans le modèle d’ordre réduit par le biais d’une fonction de contrôle. Ce point fait l’objet de la section suivante.
4.3
Analyse de la robustesse du ROM pour l’optimisation de forme
La capacité du modèle réduit à prédire l’évolution des dynamiques prédominantes de l’écoulement lorsque la forme du profil d’aile varie est examinée. L’écoulement transsonique autour d’un profil d’aile à incidence nulle est considéré et la méthode mise en œuvre pour modifier sa forme est fondée sur l’introduction de conditions aux limites fictives mimant le déplacement de la paroi solide. Dans le cadre de cette première étude, les déformations considérées sont stationnaires mais l’approche proposée est directement utilisable pour la simulation de parois mobiles, à la fois par les modèles HF et réduit. Dans un premier temps, la nécessité de considérer une base POD étendue, de même que dans le cas de l’étude de robustesse vis-à-vis d’une variation du nombre de Reynolds, est mise en évidence. Par la suite, la
15La déformation du profil introduit une faible modification (de l’ordre de 5%) de la fréquence de l’instabilité de von Kármán par rapport à celle observée dans la configuration de référence (profil NACA0012).
1/rho: 4.00E+03 5.09E+03 6.18E+03 (a) u1: 100 151 202 253 304 355 (b) u2: -65 -41 -18 6 30 53 (c) p: 12 14 16 19 21 23 (d)
Fig. 8.11 – Iso-contours des champs moyens des écoulements autour d’un profil déformé via une mo-dification du domaine de calcul (traits pleins noirs) et une momo-dification des conditions aux limites sans déformation du maillage (iso-contours et traits pointillés noirs). Pour comparaison, les mêmes iso-contours des champs moyens de l’écoulement autour d’un profil NACA0012 sont représentés (traits/points violets).
Les unités des grandeurs physiques sont les mêmes que sur la figure6.2.
variation de la forme du profil est introduite dans le ROM et ses qualités prédictives sont évaluées quant à la simulation des écoulements de référence et intermédiaires.
Base POD a priori
Pour la présente analyse de robustesse, deux configurations d’écoulement sont supposées connues par des simulations HF : d’une part, l’écoulement transsonique autour d’un profil de type NACA0012 et d’autre part, l’écoulement autour du profil déformé de manière symétrique présenté dans la section précédente. La modification de l’écoulement sous l’effet d’une telle déformation du profil a été illustrée sur
les figures8.11et 8.12. Bien que relativement modéré, le changement de topologie de l’écoulement rend
nécessaire l’introduction d’une base POD étendue. En effet, comme le montrent la contribution propre de
chaque mode ainsi que l’information statistique cumulée (figure8.13), une base POD construite à partir
de réalisations de l’écoulement autour du profil NACA0012 n’est pas pertinente pour la représentation de l’écoulement autour du profil déformé. Il apparaît par contre qu’une base POD mixte construite à
partir des réalisations collectées dans les deux configurations de référence (expression 8.11) conduit à
une représentation proche de celle obtenue par la base optimale : Npod= 10 modes permettent alors de
retenir 99.7% de l’information statistique alors que 90.7% sont capturés par la base POD associée au profil non déformé. La base POD étendue est utilisée dans la suite de cette étude.
Temps (s) u 1 (m /s ) 0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 260 280 300 320 340 Maillage déformé Hadamard NACA0012
1/rho: 4.00E+03 5.09E+03 6.18E+03
(a) u1: 100 151 202 253 304 355 (b) u2: -90 -57 -25 8 41 74 (c) p: 12 14 16 19 21 23 (d)
Fig. 8.12 – (haut) Evolutions temporelles de la composante longitudinale de la vitesse au point
((x1/c, x2/c) = (1.35, 0.19)) issues de simulations “haute-fidélité” des écoulements autour de profils
dé-formés via une modification du domaine de calcul, via une modification des conditions aux limites sans déformation du maillage et non déformé. Les traits rouges repèrent les instantanés représentés au-dessous. (bas) Iso-contours des champs instantanés et phasés des écoulements autour d’un profil déformé via une modification du domaine de calcul (traits pleins noirs) et une modification des conditions aux limites sans déformation du maillage (iso-contours et traits pointillés noirs). Pour comparaison, les mêmes valeurs d’iso-contours des champs instantanés de l’écoulement autour d’un profil NACA0012 sont représentées
(traits/points violets). Les unités des grandeurs physiques sont les mêmes que sur la figure 6.2.
Déformation du profil dans le ROM
La modification de la forme du profil est assurée, au niveau du modèle HF, par l’introduction de condi-tions aux limites de paroi fictive, issues d’une analyse de sensibilité fondée sur la formule de Hadamard.
Mode In fo rm a ti o n re la ti v e c u m u lé e (% ) 5 10 15 20 25 30 40 60 80 100
Base profil déformé Base NACA0012 Base mixte (b) 10 modes - 99.99%, 90.73%, 99.71% Mode In f. re l. 1 2 0.3 0.4 0.5 Mode In fo rm a ti o n re la ti v e 5 10 15 20 25 30 10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100
Base profil déformé Base NACA0012 Base mixte
(a)
Fig. 8.13 – (a) Contribution relative de chaque mode POD à l’extraction de l’information statistique de la base de données et (b) information statistique cumulée de la base POD tronquée en fonction du nombre de modes pour l’écoulement autour du profil d’aile déformé pour des bases POD construites à
partir de clichés de l’écoulement autour du profil déformé (◦), du profil NACA0012 () et pour une base
POD mixte (4).
Dans la section précédente, il a été montré que l’utilisation de conditions aux limites modifiées station-naires conduisait à une simulation efficace de l’écoulement instationnaire autour du profil déformé. Par conséquent, la déformation du profil peut être introduite dans le ROM grâce à l’ajout d’une fonction de contrôle stationnaire modifiant le champ moyen et assurant une représentation exacte des conditions aux limites de paroi fictives sur le profil. Tout champ satisfaisant ces conditions aux limites peut a priori être considéré. Dans la présente étude, une interpolation des champs moyens connus est mise en œuvre. En effet, les conditions aux limites considérées sont stationnaires et donc incluses dans l’écoulement moyen associé à une configuration déformée donnée. Comme dans le cas de la variation du nombre de Reynolds étudié précédemment, les conditions aux limites sont ainsi représentées exactement, y compris dans les configurations déformées intermédiaires.
Le paramètre de forme considéré étant l’amplitude de la déformation normale présentée sur la
fi-gure8.9, les deux configurations extrêmes connues ainsi que l’ensemble des configurations intermédiaires
peuvent être décrites par la déformation paramétrique δ˜γ(κ) = κδγ pour κ∈ [0, 1]. Les champs moyens
associés aux variables qui dépendent linéairement du paramètre κ sur la frontière du profil (ui, T et ρ
via∇nρ) sont alors interpolés comme suit entre les deux états connus A et B :
vint= (1− κ) vA+ κvB. (8.23)
Le terme de forçage du ROM (ou fonction de contrôle) à introduire peut alors s’exprimer comme suit :
vcont= 1/ρint uint1 uint2 ρintRTint
et la POD s’écrit alors v≈ vcont+
N pod
X
i=1
aiΦi. (8.24)
L’état stationnaire vcont est une approximation du champ moyen de la configuration intermédiaire qui
satisfait les conditions aux limites de paroi fictives pour les écoulements de référence et intermédiaires. Par contre, lorsque κ = 0 ou 1, les champs moyens de référence associés aux variables thermodynamiques ne
sont pas exactement représentés (car 1/ρ6= 1/ρ par exemple, dans le cas général). Pour les déformations
intermédiaires, cette approche nécessite une actualisation des coefficients associés aux termes constant et linéaire du ROM.
Remarque : Pour obtenir une représentation exacte du champ moyen associé à la variable 1/ρ, le terme
de forçage (1/ρ)intpeut être considéré à la place de 1/ρint. Ne connaissant pas a priori la relation entre ρ
A
et ρB sur la frontière, il ne semble pas possible d’envisager une estimation de 1/ρ comme précédemment
prédictions effectuées grâce au ROM.
Dans cette étude, des coefficients de calibration propres à chaque configuration extrême sont évalués et interpolés pour la prédiction des états intermédiaires. La méthode proposée pour la prise en compte de la variation de la forme du profil dans le modèle réduit par forçage du champ moyen est maintenant évaluée pour la prédiction des écoulements autour d’un profil ayant subi une déformation de référence puis intermédiaire.
Prédiction par le ROM
Dans un premier temps, la capacité du modèle réduit à prédire l’écoulement de référence associé à la déformation de plus grande amplitude est examinée. Un ROM est construit sur la base POD étendue
précédemment décrite où les Npod = 10 premiers modes sont retenus. Le champ moyen de référence vB
est considéré. Comme le montrent les courbes de Lissajous sur la figure8.14, une variation significative de
l’amplitude des coefficients temporels de référence apparaît entre les deux formes de profil étudiées. Les coefficients temporels de référence sont rigoureusement prédits dans le cas du profil déformé sur l’horizon temporel des clichés. Au-delà, les dynamiques prédites s’avèrent stables ; en particulier, aucun déphasage n’apparaît par rapport à la fréquence fondamentale de référence.
Temps (s) a 1 0.0000 0.0020 0.0040 0.0060 0.0080 0.0100 0.0120 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Temps (s) a 3 0.0000 0.0020 0.0040 0.0060 0.0080 0.0100 0.0120 -0.5 0 0.5 Temps (s) a 5 0.0000 0.0020 0.0040 0.0060 0.0080 0.0100 0.0120 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 a1 a 3 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 a1 a 5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 a1 a 2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
Profil déformé - référence Profil déformé - ROM NACA0012 - référence
Fig. 8.14 – Coefficients temporels associés aux trois premiers modes POD impairs en fonction du temps
(gauche) et en diagramme de phase (droite) : prédiction par le ROM (lignes rouges) et référence () dans
le cas du profil déformé de référence (profil B). Pour comparaison, les diagrammes de phase de référence associés à l’écoulement autour du profil NACA0012 sont présentés (droite).
Une forme intermédiaire correspondant à une déformation normale d’amplitude moyenne (κ = 0.5) est maintenant considérée. Contrairement au cas précédent, l’écoulement associé à ce profil n’est pas connu
par simulation HF. Sur la figure8.15sont comparés les champs moyens calculés à partir de simulations
issues du modèle HF (frontière fictive) et les champs de forçage obtenus par l’expression (8.24). Pour la
déformation intermédiaire considérée, ces champs sont relativement proches (l’erreur relative en norme
L2est environ égale à 0.1%). La fonction de contrôle stationnaire vcont ainsi obtenue est introduite dans
le ROM et les coefficients temporels de la POD prédits par ce modèle réduit sont présentés sur la figure
8.16.
1/rho: 4.00E+03 4.75E+03 5.50E+03 6.25E+03 7.00E+03
(a) u1: 100 147 193 240 287 333 380 (b) u2: -65 -41 -18 6 30 53 (c) p: 12 14 16 18 20 22 24 (d)
Fig. 8.15 – Champs moyens issus du modèle “haute-fidélité” (traits pleins et iso-contours) et de forçage (fonction de contrôle) obtenus par interpolation des configurations extrêmes (traits pointillés) pour un profil de forme intermédiaire (κ = 0.5). Les unités des grandeurs physiques sont les mêmes que sur la
figure6.2.
La comparaison de ces coefficients temporels avec ceux issus de la projection de clichés HF sur la
base POD16 illustre, pour cette configuration intermédiaire, les capacités prédictives du modèle réduit
et l’efficacité de la fonction de contrôle introduite. Le ROM assure notamment une prédiction rigoureuse de la modification non-linéaire de l’amplitude des coefficients temporels par rapport à une variation du paramètre de forme κ. L’erreur relative de prédiction de l’amplitude des deux premiers coefficients temporels est de l’ordre de 2.8% par rapport à la variation observée entre les configurations extrêmes connues. Par ailleurs, les dynamiques des modes POD prédites sont stables. En effet, les coefficients
temporels issus de la prédiction par le ROM représentés sur la figure8.16correspondent aux cinq dernières
périodes d’intégration temporelle sur une durée égale à 200 périodes de l’instabilité de von Kármán. La condition initiale considérée pour le problème de Cauchy est la projection d’un cliché de l’écoulement établi autour du profil NACA0012. La convergence des coefficients temporels prédits à partir de cette
condition initiale vers les coefficients de référence est illustrée par la figure8.17(a) dans le plan de phase.
Afin d’estimer quantitativement la précision du ROM pour la prédiction de cette configuration
inter-16Pour calculer les coefficients temporels de référence, les données HF sont “centrées” en utilisant la fonction de forçage, afin d’envisager une comparaison avec les dynamiques prédites par le ROM.
a1 a 2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
Profil déformé - référence NACA0012 - référence
Profil déformé - forme intermédiaire - référence Profil déformé - forme intermédiaire - ROM
a1 a 3 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 a1 a 5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2
Fig. 8.16 – Coefficients temporels associés aux trois premiers modes POD impairs en diagramme de
phase : prédiction par le ROM (lignes rouges) et référence () dans le cas du profil de forme intermédiaire.
Pour comparaison, les diagrammes de phase associés aux écoulements autour des profils NACA0012 et déformés de référence sont présentés.
médiaire, l’erreur instantanée globale de prédiction des coefficients temporels est présentée sur la figure
8.17(b). L’erreur de prédiction dans le cas intermédiaire17est plus grande que celle observée sur la
confi-guration de référence (κ = 1) dont les simulations HF ont été utilisées pour construire le POD ROM. Néanmoins, cette erreur reste faible et sa croissance au cours de l’horizon temporel d’étude s’explique par une légère sous-estimation de la fréquence de l’échappement tourbillonnaire (environ 1.4%) par le ROM, ce qui induit un déphasage faible mais croissant des signaux prédits et de référence. L’amplitude des différents coefficients temporels est, quant à elle, efficacement prédite comme en attestent les figures
8.16et8.17(a).
Dans cette section, une méthode a été proposée pour prendre en compte, au sein du modèle réduit, une modification de la forme du profil. Une première étape a consisté à définir, au niveau du modèle HF, des conditions aux limites de paroi fictives permettant d’introduire une déformation du profil sans modifier le domaine de calcul. Cette approche a été préférée à une déformation du maillage pour le développement d’un modèle d’ordre réduit sensible à la forme du profil. En effet, la forme du domaine physique de calcul n’apparaît pas explicitement dans le POD ROM alors qu’une modification des conditions aux limites peut être introduite facilement via une fonction de contrôle. Les conditions aux limites modifiées se fondent sur une formule de Hadamard permettant d’évaluer, à l’ordre un, leur sensibilité par rapport au déplacement normal d’une frontière. Cette méthode a été appliquée au modèle HF dans le cas d’un écoulement bidimensionnel transsonique. Les résultats obtenus sont en bon accord avec ceux issus d’une résolution sur un maillage déformé, pour une amplitude de déformation modérée (10% de l’épaisseur du
