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la

première partie

T

ROISIÈME PARTIE

M I L I E U X P O R E U X

6

L O C A L I S AT I O N D E S S U B F L O R E S C E N C E S

- P R É S E N TAT I O N D E L’ É T U D E E T A N A LY S E

D E L A S T R U C T U R E D E S F R O N T S

Lors des deux études précédentes, nous avons analysé les différents transports et la cristallisation sur des mèches totalement saturées en solution saline, nous li-mitant à la formation d’efflorescences. Dans cette dernière partie de la thèse, nous présentons une étude sur la cristallisation à l’intérieur d’un milieu poreux. De nom-breuses situations de mèche résultant d’une remontée capillaire dans le milieu sont la cause de dégradations de matériaux par le sel. Généralement, ces matériaux ne sont pas totalement saturés par la solution saline et une partie de l’interface liquide-gaz se trouve alors située à l’intérieur du milieu poreux.

Reprenons par exemple, le cas d’un mur soumis à une remontée capillaire impor-tante provenant du sol. Certaines parties du mur pourront être totalement saturées (zones basses ou à proximité de la source d’eau), d’autres partiellement saturées et d’autres totalement sèches. Dans ce chapitre, nous nous focalisons sur l’analyse des transports dans la zone partiellement saturée, comme illustré par la figure 6.1.

La cristallisation sur des milieux saturés en solution saline a déjà été étudiée dans les chapitres précédents. Une cristallisation discrète, une influence importante de l’éva-poration et des hétérogénéités du milieux ont été mis en évidence. De façon équi-valente, on peut se demander comment la cristallisation se forme sur l’interface in-terne, quels sont les mécanismes qui entrent en jeu et quels vont être les facteurs qui vont influencer la formation de subflorescences. Nous allons chercher à répondre à ces questions pour une configuration simple : des fronts capillaro-gravitaires stabili-sés dans des milieux poreux 2D.

Le milieu est toujours en situation de mèche verticale, connecté par sa surface infé-rieure à un réservoir de solution saline. Les bords latéraux sont fermés et le sommet du milieu est ouvert vers l’air extérieur. L’interface liquide-gaz est stabilisée à l’in-térieur du milieu poreux. Comme nous l’avons vu dans la partie I, la position et la structure de l’interface dépendent des équilibres entre les forces de capillarité, de gravité et de viscosité. Ainsi, pour une mèche idéale où les pores sont répartis de ma-nière régulière et ont tous le même diamètre, l’interface stabilisée est plane. Dans le cas d’une mèche non-uniforme, le front devient hétérogène par effet de la capilla-rité.

Nous rappelons ici les hypothèses de travail choisies (voir la section 1.2 de la par-tie I pour plus de détails). Les milieux poreux modèles étudiés sont de type capillaire (C a ≪ 1), par conséquent, les effets visqueux sont négligés. L’interface est donc stabi-lisée dans le milieu poreux par un équilibre entre capillarité et gravité. L’évaporation débute après la stabilisation du front et est régie par la diffusion de la vapeur dans l’air. Afin de compenser la perte d’eau par évaporation un écoulement prend place dans la phase liquide de la mèche et conduit à une accumulation du sel à l’interface. Le schéma de la figure 6.2 résume l’ensemble des transports qui prennent place au cours de l’évaporation sur le front stabilisé.

FIGURE6.2.: Mécanismes de transport au cours de l’évaporation sur un front stabilisé

capillaro-gravitaire.

Une série d’expériences d’évaporation et de cristallisation a été réalisée sur des fronts hétérogènes stabilisés. Les micro-modèles utilisés sont composés de billes de verre de diamètre 1 mm collées aléatoirement entre deux plaques plexiglas. Les résultats

6.1 E T U D E E X P É R I M E N TA L E

de ces expériences sont qualitatifs et vont servir uniquement de point de départ à l’étude numérique réalisée par la suite.

Cette étude se décompose de la façon suivante. Premièrement, une expérience est menée sur des micro-modèles et amène un certain nombre d’observations et de ré-sultats. Ensuite, la méthode numérique est détaillée, puis validée. Finalement, divers calculs sont réalisés à l’aide de cet algorithme et nous permettent d’analyser les dif-férents mécanismes de transport qui prennent place dans la mèche, ainsi que le lien existant entre la répartition du flux d’évaporation, la structure de front, et les sites de cristallisation.

6.1 E

TUDE EXPÉRIMENTALE

Les micro-modèles utilisés pour ces expériences sont composés de deux plaques de plexiglas, sur lesquelles est collé du scotch double-face transparent hydrophobe et des billes de verre silanisées de 1 mm de diamètre. Les micro-modèles sont scellés latéralement par du joint silicone (qui tend à être lui aussi hydrophobe). L’hydropho-bie du réseau est choisie afin de limiter les effets de films que nous ne souhaitons pas étudier pour l’instant (cf section 1.2.1 de la partie I). Le bas du réseau est connecté à un réservoir d’eau salée et le haut du réseau est ouvert à l’air extérieur. Le rem-plissage se fait verticalement à l’aide d’un système de double réservoir : un réservoir fixé au micro-modèle et un réservoir mobile déconnectable. La visualisation est réa-lisée par ombroscopie en plaçant un backlight sous le réseau. L’ombroscopie permet de différencier la phase liquide de la phase gaz, ainsi que les cristaux de sel qui ne laissent passer que peu de lumière. Le dispositif est schématisé dans la figure 6.3.

FIGURE6.3.: Dispositif expérimental des expériences préliminaires de cristallisation

sur fronts internes.

Le front est stabilisé par gravité à l’intérieur du micro-modèle, puis ce dernier est placé horizontalement sur le backlight et déconnecté du réservoir mobile. Des pho-tographies sont prises toutes les dix minutes. Cette configuration diffère de la situa-tion de mèche que nous venons de présenter car le réseau est placé horizontalement

et la stabilisation du front se fait par imbibition. L’objectif de ces expériences quali-tatives est de suivre la cristallisation sur un front hétérogène. La position verticale ou horizontale du réseau n’influence que la structure du front et non les transports. Ainsi par commodité, ces expériences ont été réalisées en plaçant le réseau à l’hori-zontale.

Nous nous limitons à la présentation des résultats obtenus au cours d’une des ex-périences. L’expérience a duré un peu moins de 4.5 jours, pour une concentration en sel initiale de 0.24 g/g de solution, une température ambiante d’environ 20.5◦_{C et}

une humidité relative de 38.5 %. Les résultats sont uniquement visuels. La figure 6.4 regroupe des photographies du micro-modèle à différents instants de l’expérience. Les images ont légèrement été retouchées afin d’améliorer le contraste entre les dif-férentes phases.

a) t = 0 min b) t = 2670 min

c) t = 3630 min d) t = 5280 min

FIGURE6.4.: Visualisations de la cristallisation sur un front hétérogène 2D interne au

milieu poreux. Les amas secondaires sont coloriés en bleu clair sur la première image. Les cercles noirs entourent les sites de cristallisation.

Lors de la stabilisation du front, quelques amas secondaires de liquide ont été pié-gés au dessus de l’interface, ainsi qu’un certain nombre d’amas d’air qui sont piépié-gés dans la phase liquide. Le protocole de remplissage utilisé n’est pas optimal de ce point de vue là et a été amélioré par la suite (cf annexe C.3). Les amas secondaires de solution saline sont coloriés en bleu clair sur l’image (a). On constate que les amas secondaires proches de l’ouverture du réseau vont sécher rapidement et former de cristaux de NaC l (en gris foncé sur l’image (b)), dont on ne va pas tenir compte.

6.1 E T U D E E X P É R I M E N TA L E

Au bout de 2670 minutes, la cristallisation débute au niveau du doigt de liquide cen-tral. Des zooms de cette zone à différents instants permettent de suivre en détail l’évolution de la subflorescence se formant à l’interface (cf figure 6.5).

a) t = 2670 min b) t = 2700 min c) t = 3500 min d) t = 4500 min

FIGURE6.5.: Croissance de la première subflorescence sur le front hétérogène. Le

cris-tal est représenté en rouge sur la première image.

Le cristal se forme en solution et croît dans le liquide. Ce résultat est similaire à ce qu’ont pu observer Shahidzadeh-Bonn et al. au cours de leur étude sur l’évapora-tion de gouttes de solul’évapora-tion de Na2SO4et NaC l [93]. Lorsqu’une goutte de solution

de NaC l s’évapore sur une surface hydrophobe, les cristaux tendent à se former en solution au niveau du substrat pour des raisons énergétiques, ce qui explique en par-tie pourquoi la subflorescence débute en solution dans notre micro-modèle. Nous supposons aussi que la colle du scotch peut créer des sites préférentiels de nucléa-tion. Le cristal se développe ensuite dans la solution avant d’atteindre le sommet du front. Au-delà de 3500 minutes, la subflorescence commence à croître en dehors de la solution (sorte de creeping sur le scotch et les billes) et en direction de l’ouver-ture.

A t = 3630 minutes, la deuxième subflorescence apparaît de nouveau sur un doigt de liquide situé à proximité du sommet du réseau. Les visualisations de la figure 6.6 montrent la croissance de cette subflorescence.

a) t = 3660 min b) t = 3810 min c) t = 4270 min d) t = 5270 min

FIGURE6.6.: Croissance de la seconde subflorescence sur le front hétérogène. Le cristal

est représenté en rouge sur la première image.

Comme pour la première subflorescence, le cristal se forme d’abord en solution. Cette deuxième suflorescence croît à la fois en solution et en dehors de la solution, recouvrant la bille puis s’étalant sur le fond du réseau. On constate que la croissance du cristal en dehors de la solution se fait aussi en direction de l’ouverture du réseau.

Cette expérience permet de mettre en évidence plusieurs points intéressants. Pre-mièrement, la cristallisation sur un front hétérogène se fait de manière discrète. A-près quelques jours d’évaporation, nous n’avons observé la formation que de deux subflorescences à l’interface. De plus, la cristallisation tend à apparaître aux som-mets des doigts de liquide situés à proximité de l’ouverture du réseau. En effet, le transport de vapeur se fait uniquement par diffusion ce qui implique que le flux d’évaporation à l’interface diminue avec l’augmentation de la distance séparant un point de l’interface et l’ouverture du réseau. Le flux d’évaporation est donc plus im-portant sur les points les plus hauts. Ainsi, on s’attend à ce que la cristallisation ap-paraisse en premier au point le plus proche de l’interface. Or ce n’est pas le résultat obtenu expérimentalement. Les subflorescences se sont bien formées dans les par-ties hautes du front, mais pas nécessairement aux sommets. La cristallisation n’est donc pas uniquement pilotée par l’évaporation, ce que nous allons étudier plus en détail à l’aide des simulations numériques sur réseau de pores.

Un dernier point intéressant est la croissance mixte en solution et en creeping com-pact des subflorescences. La direction du creeping est principalement dans la di-rection de l’ouverture du réseau (verticale sur les images), depuis l’interface vers l’ouverture du réseau, montrant un mécanisme d’entraînement entre évaporation et cristallisation. En grandissant vers l’ouverture, le cristal augmente le flux d’évapo-ration à sa surface et entraîne un apport de sel plus conséquent, ce qui favorise de nouveau la cristallisation. Ce phénomène a déjà été mis en évidence lors des études des chapitres 4 et 5. Le cristal tend à croître vers les régions les plus sèches.

6.2 E

TUDE NUMÉRIQUE

Afin de comprendre plus en détail les phénomènes qui entrent en jeu dans la lo-calisation de la cristallisation sur un front interne à un milieu poreux, nous avons développé un code de calcul simulant les différents phénomènes de transport ayant lieu lors de l’évaporation. L’approche utilisée est la même que pour les calculs 3D de l’étude précédente, à savoir la méthode des réseaux de pores. La méthode numé-rique est détaillée en annexe A.2.

La mèche poreuse est modélisée (et idéalisée) par un réseau de pores de type "rues américaines" en 2D. La structure complexe d’un milieu poreux est schématisée par un réseau quadrillé où les intersections correspondent aux pores. Chaque pore est donc connecté à quatre voisins par des liaisons de section rectangulaire, dont les diamètres des liaisons sont générés aléatoirement. Le choix du type de section est lié à des contraintes expérimentales. Actuellement, il n’est pas possible de fabriquer des réseaux ayant des liaisons cylindriques. Néanmoins, il est à noter que dans cette étude la forme de la section des liaisons n’a pas d’impact sur la stabilisation des fronts [88]. La forme des liaisons joue principalement sur la présence ou non de films liquides et sur leur épaisseur. Ces films ont une grande influence sur l’évaporation ([15],[50],[88],[69],[21]). Néanmoins, pour l’instant les films ne sont pas modélisés dans nos simulations, donc la forme de la section des liaisons importe peu. La figure

6.2 E T U D E N U M É R I Q U E

6.7 donne une représentation de la géométrie des pores et des liaisons. La matrice solide est représentée en gris clair, les pores en bleu foncé et les liaisons en bleu clair.

FIGURE6.7.: Schématisation d’un réseau de pores avec des liaisons rectangulaires.

Le réseau de pores va être défini par différentes données géométriques. Sa taille est fixée par le nombre de pores verticaux, N, le nombre de pores horizontaux, M, et la distance entre deux pores voisins, dp, appelée aussi le pas du réseau. Le réseau

obtenu a donc une largeur lr =(M − 1)dp et une hauteur hr =N dp. De plus, le

ré-seau est généré avec une certaine distribution des diamètres de liaison variant sur une plage [dl ,mi n, dl ,max]. Cet intervalle va être dépendant de la distance entre deux

pores consécutifs, dp. On peut donc définir une nouvelle variable prenant en compte

ces différentes données. Il s’agit de Σ qui est définie comme le rapport entre la lar-geur de la distribution des diamètres, soit wd=dl ,max−dl ,mi n, et le pas du réseau :

Σ = wd

dp.

6.2.1 Caractérisation d’un front

La structure d’un front possède différentes caractéristiques géométriques. On peut définir des grandeurs moyennes telles que sa position moyenne, zf, et sa largeur

moyenne, wf. zf est obtenu en moyennant l’ensemble des altitudes des ménisques

composant l’interface : zf = 1 nf nf X i =1 zi (6.1)

où nf est le nombre de ménisques sur le front. Quant à wf, elle correspond à deux

fois la valeur de l’écart-type des altitudes de ménisques vis à vis de zf :

z_f =2 v u u t 1 nf −1 nf X i =1 (zi−zf)2 (6.2)

D’autres données géométriques peuvent aussi servir à caractériser le front : sa lon-gueur, lf, ou de manière équivalente sa tortuosité, τ =

lf

FIGURE6.8.: Représentation schématique d’un front capillaro-gravitaire et des

gran-deurs caractéristiques associées.

minimale, zmaxet zmi n, et sa largeur maximale, l = zmax−zmi n. Ces différentes

gran-deurs sont illustrées dans le schéma de la figure 6.8.

Il est aussi possible de calculer la dimension fractale de l’interface, que l’on note Dc.

La dimension fractale des fronts capillaro-gravitaires 2D est de 7₄([82], [80]) ou de 4₃ si on ne prend en compte que le périmètre externe du front (Grossman et Aharony [40], [41]). Dans notre cas, nous allons calculer la dimension fractale en prenant le front dans son ensemble, on devrait donc obtenir des valeurs de Dc proches de7₄. La

méthode utilisée est celle décrite dans le livre de Mandelbrot [56] (voir aussi [45]), la méthode de la règle ("yardstick"). La longueur du front, L, est calculée en prenant une règle de longueur lr e f : L = nlr e f, avec n le nombre de fois où l’on utilise la

règle pour parcourir le front. En diminuant lr e f, on tend peu à peu vers la longueur

réelle du front. Or l’évolution de n en fonction de lr e f fait intervenir Dc, donnant la

relation suivante :

L =αl1−Dc

r e f (6.3)

ce qui nous permet de calculer la dimension fractale du front.

Par la suite, nous allons chercher à quantifier ces différentes grandeurs et établir le lien entre ces caractéristiques structurelles du front et la distribution de l’évapora-tion ainsi qu’avec la localisal’évapora-tion de la cristallisal’évapora-tion.

6.2 E T U D E N U M É R I Q U E

6.2.2 Facteurs influençant la structure du front

Le front est stabilisé par un équilibre entre les forces de capillarité et de gravité. Ainsi les facteurs pouvant modifier l’une ou l’autre vont potentiellement influencer la structure de l’interface. Les diamètres des liaisons modifient les pressions capil-laires. En faisant varier Σ, nous pourrons donc étaler ou contracter le front. En ce qui concerne les effets gravitaires, l’inclinaison du réseau par rapport à la verticale va modifier leur influence sur la stabilisation de l’interface. Nous allons donc nous intéresser à l’impact de ces deux paramètres sur la structure du front.

De nombreuses études ont déjà été réalisées sur ce sujet, que ce soit pour le cas du drainage ou du séchage (cf section 1.2.1). Les résultats principaux obtenus par le passé sur le drainage ou le séchage en situation capillaro-gravitaire, concernent l’évolution de la largeur moyenne du front, wf, la largeur maximale du front, l, ainsi

que la dimension fractale du front, Dc, en fonction du nombre de Bond et de Σ. Nous

rappelons que le nombre de Bond est un nombre adimensionnel comparant les ef-fets gravitaires aux efef-fets capillaires, que l’on peut définir de la façon suivante :

B o = ¡ ρ − ρai r ¢ g rl2 2σ (6.4)

où rl est le rayon moyen d’une liaison, ρ la masse volumique de la phase liquide, ρai r la masse volumique de l’air, σ la tension de surface entre le liquide et l’air, et g

la gravité.

Dans le cas des milieux 2D, la largeur moyenne des fronts stabilisés par un équilibre capillaro-gravitaire varie en¡Bo

Σ

¢−_0.57

(voir par exemple les travaux de Birovljev et al. [8]). De façon similaire, Prat et Bouleux [70] ont obtenu une loi d’échelle pour la largeur maximale du front, l, en¡Bo

Σ

¢−0.52

. Ainsi, les effets capillaires et les effets gra-vitaires sont regroupés dans une seule variable :Bo

Σ . Par ailleurs, on peut aussi

s’inté-resser à l’évolution de la tortuosité du front en fonction de ces deux paramètres.

Evolution de la structure du front en fonction de Bo_Σ - lois d’échelle

Avant de nous intéresser à l’évaporation, nous avons vérifié si les fronts générés redonnaient bien les lois puissance de Birovljev, et de Prat et Bouleux. Pour cela, une série de simulations spécifiques a été réalisée sur des réseaux de hauteur variable (entre 100 et 250 pores) et de 300 pores de largeur. Le diamètre moyen des liaisons est fixé à 0.35 mm. Σ et l’inclinaison du réseau varient afin d’avoir une plage assez large de valeurs pourBo

Σ . L’influence de Bo

Σ sur la structure du front est illustrée dans

la figure 6.9.

Lorsque Bo

Σ augmente les fronts deviennent de moins en moins hétérogènes. Bo

Σ

augmente avec l’influence de la gravité et avec la diminution de Σ (soit une unifor-misation du réseau), ce que l’on retrouve bien sur la structure des fronts.

0 50 100 150 200 250 300 70 80 90 100 110 120 x (en d_p) z (en d p ) Bo Σ =0.0014 0 50 100 150 200 250 300 60 70 80 x (en d p) z (en d p ) Bo Σ =0.0082 0 50 100 150 200 250 300 65 70 75 80 x (en d p) z (en d p ) Bo Σ =0.2055

FIGURE6.9.: Influence de Bo_Σ sur la structure des fronts.

Les évolutions des largeurs du front (wf et l) moyennées sur 3000 réalisations en

fonction deBo

Σ sont tracées dans la figure 6.10.

−3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 −3 −2.8 −2.6 −2.4 −2.2 −2 −1.8 −1.6 −1.4 −1.2 −1 log₁₀(Bo / Σ) log 10 (largeurs de front) log 10 (wf) log 10 (l) y = −0.569 x − 3.33 y = −0.537 x − 2.85 10−3 10−2 10−1 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 Bo / Σ

Largeurs des fronts

w_f l

FIGURE6.10.: Largeurs des fronts en fonction de Bo_Σ .

Les exposants obtenus pour wf et l sont proches des résultats classiques de 0.57

et 0.52, avec une meilleure précision pour wf que pour l. Ces résultats permettent

donc de valider l’algorithme de stabilisation de l’interface. De plus, on constate que lorsque l’hétérogénéité du front augmente, les variations de wf et l autour de la

valeur moyenne augmentent. Ainsi, lorsque Bo

Σ est faible, on observe que, pour des

conditions identiques, les caractéristiques des fronts peuvent varier fortement d’une réalisation à l’autre.

6.2 E T U D E N U M É R I Q U E

Nous pouvons aussi décrire l’évolution de la tortuosité du front en fonction deBo Σ (voir la figure 6.11). −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 log 10(Bo / Σ) log 10 ( τ ) y = −0.180 x − 0.038 10−3 10−2 10−1 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Bo / Σ τ

FIGURE6.11.: Evolution de la tortuosité moyenne du front en fonction deBo_Σ .

La tortuosité du front augmente avec Bo

Σ qui diminue en évoluant en puissance de

-0.18. Comme pour les largeurs de front, on constate que lorsqueBo

Σ diminue

l’écart-type de la tortuosité augmente. Il est donc possible pour une valeur de Bo

Σ d’obtenir

des fronts ayant des propriétés différentes.

Altitude et diamètre des ménisques

Avant de s’intéresser à l’évaporation puis aux transports dans la phase liquide, il peut être utile d’analyser le lien entre l’altitude d’un ménisque stabilisé et le dia-mètre de la liaison où il est localisé, en particulier pour les sommets des fronts (zones d’évaporation intense comme nous le verrons par la suite). Pour qu’un ménisque soit stabilisé à une altitude zm(par rapport au réservoir), son potentiel d’invasion φ,

doit être négatif :

φ = Patm−2σ µ 1 dl +1 e ¶ | {z }

saut de pression capillaire

− ¡_{Pr es}−_{ρg zm}¢ | {z }

pression hydrostatique

<0 (6.5)

où Patm est la pression atmosphérique, Pr es la pression dans le réservoir, dl le

dia-mètre de la liaison et e l’épaisseur du réseau (voir l’annexe A.2 pour plus de détails). Chaque diamètre de liaison a donc une altitude maximale au dessus de laquelle, la liaison interfaciale ne peut être stable et se vide. Cette altitude maximale correspond à φ = 0 : zmax(dl) = 2σ ρg µ 1 dl +1 e ¶ +Pr es−Patm ρg (6.6)

zmax est donc inversement proportionnel au diamètre de la liaison dl. La liaison de

plus faible diamètre pourra donc se stabiliser sur l’ensemble du front, alors que les liaisons de grand diamètre ne se stabilisent qu’en bas de front. Sur la figure 6.12, nous avons reporté les diamètres de ménisque les plus hauts sur les fronts en fonc-tion de leur altitude pour deux valeurs deBo

Σ (sur les 3000 réalisations). Pour ces deux

75 80 85 90 95 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 z max (en dp) dl (en d p ) 100 110 120 130 140 150 160 170 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 z_max (en d_p) dl (en d p ) Bo Σ =0.0082 Bo Σ =0.0014

FIGURE6.12.: Diamètre des sommets de front en fonction de l’altitude du ménisque.

Chaque marqueur correspond au sommet d’une réalisation et la courbe rouge est la position de zmax pour un diamètre donné (équation 6.6). On s’attendrait à ce que

les liaisons en sommet de front soient celles avec les diamètres les plus faibles. Or les résultats obtenus nous montrent que ce n’est pas le cas. La liaison au sommet du front peut avoir un diamètre compris entre dl ,mi net dl(qui est égal à

dl ,mi n+dl ,max

2 , la

distribution étant uniforme). La répartition des diamètres des sommets sur les 3000 réalisations est représentée sous forme d’histogrammes sur les graphes de la figure 6.13. 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 d_l (en d_p) nb de réalisations 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 d_l (en d_p) nb de réalisations Bo Σ =0.0082 Bo Σ =0.0014

FIGURE6.13.: Distribution des diamètres des sommets des fronts sur 3000

réalisa-tions.

Les diamètres des sommets sont répartis de manière uniforme entre dl ,mi n et une

valeur proche de dl qui vaut 0.35 dp pour les deux séries de simulations. Pour Bo_Σ =

0.0082, au-delà de 0.275 dp le nombre de réalisations diminue rapidement. Il en

est de même pour Bo

Σ =0.0014 au-delà de 0.325 dp. Ces résultats montrent que les

liaisons de sommet ne sont pas nécessairement les liaisons de plus petit diamètre. Ces dernières peuvent avoir n’importe quel diamètre compris entre dl ,mi n et un peu

6.2 E T U D E N U M É R I Q U E

moins de dl.

Il peut être intéressant de comparer ces résultats à la répartition des diamètres sur l’ensemble du front. Pour ces deux séries de simulations, les diamètres des liaisons du réseau sont distribuées uniformément entre 0.1 et 0.6 dp. Ces histogrammes sont

tracés sur la figure 6.14.

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5x 10 4 d l (en dp)

nb de liaisons sur les 3000 réalisations

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5x 10 4 d l (en dp)

nb de liaisons sur les 3000 réalisations

Bo

Σ =0.0082

Bo

Σ =0.0014

FIGURE 6.14.: Distribution des diamètres des liaisons sur 3000 réalisations.

Ces deux histogrammes indiquent que le front se stabilise principalement sur des liaisons ayant un diamètre inférieur à dl. Les diamètres des liaisons sont répartis

de manière uniforme 0.1 et 0.3 dp. Au-delà, le nombre de liaisons décroît

rapide-ment avec dl. Les deux histogrammes diffèrent dans cette zone de décroissance.

Ce-lui pour Bo

Σ =0.0082 décroît jusqu’à 0.5 dp, alors que celui pour Bo

Σ =0.0014 à une

pente nettement plus raide et s’arrête à 0.4 dp.

L’accumulation du sel va prendre place à l’interface. Ainsi à partir des résultats sur les sommets des fronts et sur le diamètre des liaisons du front, on peut donc en conclure que s’il y a cristallisation, cette dernière aura lieu uniquement sur des liai-sons ayant des diamètres inférieurs à dl. L’unique critère géométrique que l’on peut

fixer est l’altitude maximale que peut avoir une liaison sur le front (équation 6.6). Certaines liaisons ont bien un diamètre supérieur au diamètre moyen, cependant selon ce critère de stabilité, on sait qu’elles ne seront pas localisées sur les parties hautes du front. Nous allons montrer par la suite que ces zones de basse altitude ont une évaporation peu intense et que le sel s’y accumule peu.

Symboles romains

B o Nombre de Bond, (−) C a Nombre capillaire, (−)

Dc Dimension fractale du front, (−) dl Diamètre d’une liaison, (m)

dl Diamètre moyen d’une liaison, (m) dp Distance entre pores, (m)

e Epaisseur du réseau, (m)

g Gravité, (m.s−₂

)

hr Hauteur du réseau, (m)

l Largeur maximale du front, (m) l_f Longueur du front, (m)

lr Largeur du réseau, (m)

lr e f Longueur étalon pour le calcul de la dimension fractale, (m) M Nombre de pores sur la largeur du réseau, (−)

N Nombre de pores sur la hauteur du réseau, (−)

nf Nombre de ménisques sur le front, (−)

n Nombre de fois où la règle étalon est utilisée pour le calcul de la dimension fractale, (−)

P Pression, (Pa)

rl Rayon d’une liaison, (m)

rl Rayon moyen d’une liaison, (m)

wd Largeur de la distribution des diamètres des liaisons, (m) wf Largeur moyenne du front, (m)

z Coordonnée spatiale, (m)

zf Position moyenne du front, (m) zm Altitude d’un ménisque, (m)

Symboles grecs

φ Potentiel d’invasion d’une liaison, (Pa)

Σ Largeur adimensionnée de la distribution des diamètres de liaisons, (−)

σ Tension superficielle, (N.m−1) τ Tortuosité du front, (−)

Nomenclature Indices at m atmosphérique, max maximal, mi n minimal, r réseau, r e f référence, r e s réservoir.

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E VA P O R AT I O N S U R D E S F R O N T S

H É T É R O G È N E S

Lorsque la structure du front stabilisé à l’intérieur de la mèche est hétérogène, l’évaporation le long du front est elle aussi hétérogène (en flux d’évaporation local et en densité de flux). Le flux d’évaporation local, qe, est un débit massique

d’évapora-tion à la surface de la liaison. Il nous donne la masse d’eau qui s’évapore par unité de temps. La densité de flux d’évaporation, je, nous donne accès à la vitesse à laquelle

l’eau arrive à l’interface (u = je

ρs). On a la relation suivante entre qeet je:

qe=dle je (7.1)

où dl est le diamètre de la liaison et e l’épaisseur du réseau. Les flux d’évaporation

locaux sont imposés par la diffusion de la vapeur. Ils peuvent ensuite être rapportés à des densités de flux. On constate que pour un même qe, plus le diamètre de la

liai-son est faible, plus la densité de flux sera importante.

En ce qui concerne l’évaporation, qe semble la variable la plus appropriée pour

quantifier les zones actives. Ce qui nous intéresse est de savoir où l’évaporation est la plus importante, c’est-à-dire les zones où le plus d’eau liquide va passer sous forme vapeur. La répartition des débits massiques locaux nous donne cette information. A l’opposé, pour le transport du sel, nous verrons que la densité de flux d’évaporation est la variable la plus adaptée. Il sera donc nécessaire de faire le lien entre les zones d’évaporation intense (où qe est importante) et celles où l’apport d’eau est le plus

rapide (jeimportant), ce que nous ferons en fin de chapitre.

Les variations de qe le long de l’interface sont la conséquence de deux choses.

D’une part, les ménisques sont plus ou moins distants du bord supérieur de la mèche. Or en première approximation, on peut estimer que le flux d’évaporation est inver-sement proportionnel à cette distance. Plus la distance entre le ménisque et le bord supérieur est grande plus l’évaporation est faible. D’autre part, la tortuosité du front peut créer des zones d’évaporation quasi-nulle où la proximité des ménisques crée un écran à la diffusion. Nous avons illustré ces différents points dans la figure 7.1. En partant de ces considérations, il est certain que la structure du front va fortement influencer la répartition de l’évaporation, ce qui va être étudié dans ce chapitre.

FIGURE7.1.: Evaporation sur un front hétérogène.

Premièrement, nous allons travailler à une valeur deBo

Σ fixée pour définir les

diffé-rentes grandeurs utiles pour caractériser l’évaporation. Ensuite, l’évolution moyenne de ces grandeurs en fonction de Bo

Σ est analysée.

7.1 R

ÉPARTITION DU FLUX D

’

ÉVAPORATION LE LONG DES

FRONTS POUR

Σ

FIXÉ

7.1.1 Répartition moyenne du flux d’évaporation

Pour analyser l’influence de l’hétérogénéité du front sur l’évaporation, on s’inté-resse à la répartition du flux d’évaporation en moyenne sur 3000 réalisations. Ces simulations sont réalisées pour une distribution de diamètre uniforme avec Bo

Σ =

0.0060. D’après les résultats précédents, nous avons pu observer que les structures de front varient d’une réalisation à l’autre. Par conséquent, les flux d’évaporation notés qe,i, vont se répartir sur des plages de valeur différentes en fonction de la

réa-lisation. Ainsi, afin de pouvoir comparer les répartitions de flux sur l’ensemble des réalisations, il est nécessaire de normaliser qe,i. Pour cela, on introduit le paramètre rqqui correspond au flux d’évaporation normalisé par le flux moyen du front, qe:

rq,i=

qe,i qe

(7.2)

Ce flux moyen est défini comme la moyenne des flux locaux le long du front :

qe= 1 nf nf X i =1 qe,i (7.3)

où nf est le nombre de ménisques à l’interface.

Nous souhaitons obtenir la répartition moyenne de rq sur l’ensemble des

réalisa-tions. L’histogramme des rq de chaque liaison interfaciale et la courbe cumulative

associée vont nous donner cette information. Ces deux graphes sont tracés sur la fi-gure 7.2.

7.1 R É PA R T I T I O N D U FL U X D’É VA P O R AT I O N L E L O N G D E S F R O N T S P O U R bo Σ FI X É −150 −10 −5 0 0.5 1 1.5 2x 10 5 log₁₀ (r_q) Nombre de liaisons −150 −10 −5 0 5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 log₁₀ (r_q) Courbe cumulative

FIGURE7.2.: Histogramme du logarithme décimal de rq et de sa courbe cumulative,

sur les 3000 réalisations.

Un grand nombre de liaisons ont un flux d’évaporation proche du flux moyen, le maximum de l’histogramme étant situé aux environs de rq =1. De plus, cet

histo-gramme indique qu’il existe un nombre important de ménisques où le flux d’évapo-ration est très faible en comparaison avec qe. En effet, d’après la courbe cumulative

environ 70 % des ménisques ont un rqinférieur à 1.

On constate que la structure du front joue un rôle important sur l’évaporation. Il est possible de calculer une densité de flux minimale (pour un ménisque situé à

zf −l₂), zf étant la position moyenne du front et l la largeur maximale du front) et

une densité de flux maximale (pour un ménisque situé en zf+l₂)) en supposant que

la densité de flux est uniquement inversement proportionnelle à la distance entre le ménisque et l’ouverture du réseau :

jmi n = Dv ,e f fMv RT Pv ,sat−Pv ,ext hr+δ − ³ zf−₂l ´ (7.4) jmax = Dv ,e f fMv RT Pv ,sat−Pv ,ext hr+δ − ³ zf+₂l ´ (7.5)

où δ est l’épaisseur de la couche externe de diffusion à la surface du réseau. Si de plus, on suppose que la liaison ayant une densité de flux minimale a un diamètre minimal, on peut calculer un flux d’évaporation minimal, et de la même façon, il est possible de calculer le flux d’évaporation maximal en prenant le diamètre de liaison maximal : qmi n = dl ,mi ne Dv ,e f fMv RT Pv ,sat−Pv ,ext hr+δ − ³ zf −l₂ ´ (7.6) qmax = dl ,maxe Dv ,e f fMv RT Pv ,sat−Pv ,ext hr+δ − ³ zf +₂l ´ (7.7)

Il est à noter que la probabilité qu’une liaison du front ait un diamètre de dl ,max

est donc une limite supérieure. En supposant que l’évaporation est uniquement in-versement proportionnelle à la distance entre le ménisque et l’ouverture du réseau, l’histogramme des log10(rq) se situerait entre -1.21 et 0.88. Il serait nettement plus

étroit que l’histogramme obtenu. Le voisinage des liaisons modifie fortement le flux d’évaporation. Certaines zones du front vont donc être nettement plus actives pour l’évaporation que d’autres. Il s’agit maintenant de caractériser ces différentes zones, et d’ensuite de tenter de faire le lien entre la structure de ces zones actives et celle du front dans son ensemble.

Une première idée est d’étudier l’altitude de la liaison de flux d’évaporation maxi-mal. On s’attend à ce que cette liaison se situe en sommet de front, pour les rai-sons citées précédemment. Afin de vérifier cela, nous avons calculé la probabilité que la liaison de flux d’évaporation maximal se situe sur les n plus hautes liaisons,

Pqe,max,z(n), sur les 3000 réalisations. L’évolution de Pqe,max,z(n) en fonction de n est

tracée sur la figure 7.3. Notons que le nombre moyen de liaisons par front est de 835 liaisons. 0 50 100 150 200 250 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 n P q e,max , z (x<=n)

FIGURE7.3.: Probabilité que la liaison de flux d’évaporation maximal soit située sur

les n plus hautes altitudes de ménisque.

On constate que 25% des fronts sont dans la situation où le sommet du front corres-pond à la liaison ayant le flux d’évaporation maximal. Sur 50% des fronts, qe,max est

localisé sur les 6 plus hautes altitudes, et 90% des fronts sur les 36 plus hautes. Ces résultats nous montrent que le flux d’évaporation maximal n’est pas corrélé directe-ment avec l’altitude du ménisque.

7.1.2 Définition des grandeurs caractéristiques des zones actives

Nous allons définir les grandeurs caractéristiques des zones actives. Pour détermi-ner quels ménisques sont actifs ou non, une valeur limite de rq est fixée. Elle est

no-tée rq,l i m. Les ménisques ayant un rqsupérieur ou égal à rq,l i msont supposés actifs

7.1 R É PA R T I T I O N D U FL U X D’É VA P O R AT I O N L E L O N G D E S F R O N T S P O U R bo

Σ FI X É

calculer l’évaporation totale des zones actives, Qe,acti f s, que l’on peut ensuite

rame-ner à une proportion de l’évaporation totale du front Qe,tot. Pour une meilleure

com-préhension, nous travaillerons donc avec cette proportion Qe,ac t i f s

Qe,t ot . Les ménisques

actifs peuvent être regroupés en différentes zones dont on pourra calculer : – la longueur, le, ou de manière équivalente, le nombre de ménisque, ne,

– l’altitude moyenne, ze,

– la distance moyenne entre deux zones actives, de,

comme illustré dans la figure 7.4.

FIGURE7.4.: Illustration des zones actives pour l’évaporation et des différentes

don-nées géométriques associées.

Il peut être aussi utile de calculer le nombre de zones actives en fonction de cette proportion, que nous noterons nacti f s.

7.1.3 Etude de l’évaporation sur deux fronts particuliers

Avant de s’intéresser au comportement moyen de ces variables sur les 3000 réa-lisations, nous allons les analyser sur des exemples particuliers. Nous avons choisi deux fronts stabilisés, le front A et le front B tels que : le front A soit plus tortueux et plus large que le front B (τA>τB et wf ,A>wf ,B). Ils sont représentés dans la figure

7.5 et les propriétés structurelles des fronts sont assemblées dans le tableau 7.1.

zf wf l τ nf Dc

Front A 46.4 8.56 21.1 2.69 989 1.22 Front B 46.4 7.17 22.0 2.02 747 1.13

TABLE7.1.: Propriétés géométriques des fronts A et B, pour ,Bo_Σ =_{0.0060. On rappelle}

que zf est la position moyenne du front, wf sa largeur moyenne, l sa

lar-geur maximale etτ sa tortuosité.

On peut supposer que ces deux fronts n’ayant pas les mêmes propriétés géomé-triques, les évaporations qui vont prendre place à la surface de chacun d’entre eux vont elles aussi avoir des propriétés différentes, ce que nous allons tenter de quanti-fier.

0 50 100 150 200 250 300 40

50 60

x (en pas du réseau)

z (en pas du réseau)

Front A

0 50 100 150 200 250 300

40 50 60

x (en pas de réseau)

z (en pas de réseau)

Front B

FIGURE7.5.: Fronts A et B, réseaux 100x300,Bo_Σ =_0.0060.

Repartition globale de qele long des fronts

Dans un premier temps, les répartitions globales du flux d’évaporation le long des fronts sont comparées à l’aide des histogrammes de rq et des courbes cumulatives

associées (voir figure 7.6).

−8 −6 −4 −2 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 log₁₀ (r_q) nb de liaisons Front A Front B −8 −6 −4 −2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 log 10 (rq) Courbes cumulées Front A Front B

FIGURE7.6.: Histogrammes des logarithmes décimaux de rq et leurs courbes

cumu-lées, pour les fronts A et B.

Les histogrammes de rqprésentés dans la figure 7.6, illustrent de nouveau l’idée qu’il

existe un grand nombre de liaisons où l’évaporation est relativement faible en com-paraison avec la valeur moyenne du flux d’évaporation local. D’après les courbes cumulatives, environ 72% (front A) et 68% (front B) des liaisons ont un flux inférieur à qe, le flux d’évaporation moyen sur les liaisons du front. De plus, on peut observer

une différence entre les deux histogrammes traduisant l’influence de la géométrie de chacun des fronts sur la répartition de l’évaporation. L’histogramme du front A est plus étalé, rq variant de 101.13à 10−8.68, alors que pour le front B il ne varie que

de 101.05_{à 10}−_{6.68. Cela s’explique par le fait que le front A est plus hétérogène que le}

7.1 R É PA R T I T I O N D U FL U X D’É VA P O R AT I O N L E L O N G D E S F R O N T S P O U R bo

Σ FI X É

flux d’évaporation le long de l’interface.

Par ailleurs, on constate que les maximums des histogrammes sont proches de rq=

1, c’est-à-dire qu’un grand nombre de liaisons a pour densité de flux qe. Par la suite,

on s’interrogera sur l’existence d’une relation reliant wf ou τ à la largeur de la plage

des valeurs de rq. Nous vérifierons aussi si l’ensemble des réalisations nous donne

un maximum de liaison à rq∼1.

Après avoir observé le comportement global de l’évaporation sur les fronts A et B, nous souhaitons nous intéresser aux zones actives pour l’évaporation. A la vue de ces résultats, on peut dores et déjà s’interroger sur la limite pertinente pour identi-fier les zones actives. On constate à partir des graphes précédents, qu’en fonction de

rq,l i m plus ou moins de liaisons du front vont être prises en compte. Comme cela a

été indiqué précédemment, ces zones actives peuvent être définies par rapport à la proportion de l’évaporation totale qu’elles fournissent Qe,ac t i f s

Qe,t ot . L’évolution de cette

proportion en fonction de rq,l i mest tracée sur la figure 7.7.

−100 −8 −6 −4 −2 0 2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 log₁₀ (r_q,lim) Q e,actifs / Q e,tot Front A Front B

FIGURE7.7.: Proportion d’évaporation sur l’ensemble des zones actives par rapport

au flux d’évaporation total du front, en fonction de rq.

Les deux courbes sont très proches l’une de l’autre, indiquant que la structure du front a peu d’influence sur cette évolution. D’après ces graphes, l’impact des liaisons ayant un rq,l i m<0.01 est négligeable sur l’évaporation totale du front. Elles

corres-pondent vraisemblablement à des liaisons écrantées pour la diffusion de la vapeur. Au delà de rq,l i m =0.01, le ratio

Qe,ac t i f s

Qe,t ot diminue fortement jusqu’à atteindre une

valeur minimale correspondant au ratio du flux d’évaporation de la liaison ayant le flux d’évaporation maximal par le flux total. On constate qu’un rq,l i m de 3.5 donne

environ 50% de l’évaporation totale, ce qui correspond à environ 10% des liaisons du front (cf courbes cumulées de la figure 7.6). Ces liaisons appartiennent donc à des zones d’évaporation intenses, ce que nous allons caractériser.

Représentation des zones actives pour l’évaporation

Afin de déterminer une valeur limite pertinente pour délimiter les zones actives, il est nécessaire d’analyser leur évolution en fonction de Qe,ac t i f s

Qe,t ot . Les zones actives

pour l’évaporation sont tracées sur les deux fronts pour différentes valeurs deQe,ac t i f s

Qe,t ot .

Sur les figures 7.8 et 7.9, les liaisons actives sont tracées en bleu et les autres en rouge.

0 50 100 150 200 250 300 35 40 45 50 55 Q e,actifs / Qe,tot = 0.1 0 50 100 150 200 250 300 35 40 45 50 55 Q_e,actifs / Q_e,tot = 0.5 z (en d p ) 0 50 100 150 200 250 300 35 40 45 50 55 Q e,actifs / Qe,tot = 0.9 x (en d p)

FIGURE7.8.: Répartition des zones actives sur le front A pour différentes valeurs de

Qe,ac t i f s

Qe,t ot . Les zones actives sont représentées en bleu, les zones non-actives

en rouge. 0 50 100 150 200 250 300 40 50 60 Q e,actifs / Qe,tot = 0.1 0 50 100 150 200 250 300 40 50 60 Q_e,actifs / Q_e,tot = 0.5 z (en d p ) 0 50 100 150 200 250 300 40 50 60 Q_e,actifs / Q_e,tot = 0.9 x (en d_p)

FIGURE7.9.: Répartition des zones actives sur le front B pour différentes valeurs de

Qe,ac t i f s

Qe,t ot . Les zones actives sont représentées en bleu, les zones non-actives

en rouge.

Pour 10% de l’évaporation totale, les liaisons actives sont principalement aux som-mets du front, illustrant le fait que l’évaporation tend à être plus forte au niveau des

7.1 R É PA R T I T I O N D U FL U X D’É VA P O R AT I O N L E L O N G D E S F R O N T S P O U R bo

Σ FI X É

ménisques les plus proches de l’ouverture vers l’air extérieur. Ces zones s’élargissent et deviennent plus nombreuses lorsque l’on augmente le pourcentage d’évaporation totale.

A 90% de l’évaporation totale, il existe encore des zones importantes sur les fronts A et B où les liaisons ne sont pas considérées comme actives. On constate que la plu-part des liaisons non-actives applu-partiennent à des zones écrantées. Ce phénomène est moins présent sur le front B, ce dernier étant moins tortueux que le front A. On peut considérer la tortuosité du front comme l’inverse d’un coefficient d’écrantage de la structure du front (voir par exemple l’article de Sapoval [81]). Plus la tortuosité est grande, plus le nombre de liaisons écrantées est important.

Ces représentations couplées du front et de la répartition de la densité de flux d’éva-poration permettent donc d’observer d’une part la corrélation entre qe,acti f set

l’alti-tude des ménisques actifs, i.e : plus le ménisque est haut, plus son évaporation tend à être importante. D’autre part, ces graphes illustrent aussi le phénomène d’écran à la diffusion prenant place sur les deux fronts.

Flux d’évaporation et altitude des ménisques

Afin d’avoir une idée plus précise de la corrélation entre l’altitude du ménisque et son flux d’évaporation, le ratio rq est tracé en fonction de l’altitude normalisée des

ménisques : zm−zf

wf sur les deux graphes de la figure 7.10. Nous rappelons que zf est

l’altitude moyenne du front et wf sa largeur moyenne.

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 (z m − zf) / wf log 10 (rq ) Zone ecrantée −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −8 −6 −4 −2 0 2 (z_m − z_f) / w_f log 10 (r q ) Zone ecrantée

FIGURE7.10.: Flux d’évaporation en fonction de l’altitude du ménisque sur le front A

(à gauche) et le front B (à droite). En dessous de rq =0.01, les liaisons

participent faiblement à l’évaporation globale des fronts (cf figure 7.7) et correspondent donc aux zones écrantées.

On observe une même tendance pour les deux fronts. De manière générale, la den-sité de flux diminue lorsque l’altitude des ménisques décroit. Il existe bien une cer-taine corrélation entre altitude et flux d’évaporation, mais elle n’est pas idéale. Les ménisques les plus bas des fronts correspondent à des liaisons ayant une évapora-tion peu intense, mais pas nécessairement celles ayant le ratio le plus faible comme on peut le voir pour le front A.

Les résultats obtenus pour les deux fronts diffèrent légèrement pour les ménisques ayant un rapport rq très faible. On a pu observer sur les figures 7.8 et 7.9 que le front

A possède un nombre plus important de zones ecrantées pour la diffusion que le front B. Ces zones ecrantées ont des valeurs de rq très faibles mais pas

nécessaire-ment pour les ménisques les plus bas. Ainsi pour le front A, on peut identifier ces zones pour rq<0.01. Les positions des ménisques associés varient de -1.25 à 0.5 wf

par rapport à zf. A l’opposé, le graphe du front B de la figure 7.10 traduit bien un

nombre plus faible de zones écrantées ou des zones moins étendues.

De plus, on retrouve la signature de la structure isolée (x ∼ 240 dp sur la figure 7.9)

et proche de l’ouverture du front B, sur le nuage de points tels que zm−zf

wf

>1. Les altitudes sont importantes et les flux d’évaporation y sont assez élevés.

Ces résultats confortent l’idée que l’évaporation n’est pas uniquement inversement proportionnelle à la distance entre le ménisque et l’ouverture du réseau. La struc-ture du front et le voisinage des liaisons jouent un rôle important sur l’évaporation. Par conséquent, on peut déjà affirmer qu’il va en être de même sur l’écoulement et le transport du sel.

Proportion de liaisons dites "actives"

D’après les graphes des figures 7.8 et 7.9, on constate qu’en augmentant la propor-tion d’évaporapropor-tion dite "active", le nombre de liaisons actives (nl ,acti ves) augmente.

L’évolution de la proportion de liaisons actives par rapport au nombre de liaisons total est tracé sur la figure 7.11.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Q_e,actifs / Q_e,tot nl,actives / n f Front A Front B 10−2 10−1 100 10−3 10−2 10−1 100 Q_e,actifs / Q_e,tot nl,actives / n f Front A Front B

FIGURE7.11.: Proportion de liaisons actives pour l’évaporation en fonction de

Qe,ac t i f s

Qe,t ot .

Comme attendu, le nombre de liaisons actives augmente avec le pourcentage d’éva-poration que l’on prend en compte. En représentation log-log, on constate que les courbes sont pratiquement linéaires sur l’intervalle de 0 à 70%. Les courbes log-log donnent un exposant d’environ 1.33 pour le front A et de 1.31 pour le front B. Il sera intéressant de faire une statistique à l’échelle des 3000 réalisations.

7.1 R É PA R T I T I O N D U FL U X D’É VA P O R AT I O N L E L O N G D E S F R O N T S P O U R bo

Σ FI X É

Caractéristiques des zones actives

Nous souhaitons maintenant analyser l’évolution des caractéristiques des zones actives en fonction de Qe,ac t i f s

Qe,t ot . Nous allons d’abord nous intéresser au nombre de

zones actives et au nombre moyen de ménisques par zone. Un ménisque ou plu-sieurs ménisques voisins constituent une zone active. Nous rappelons que nacti f s

correspond au nombre total de ces différentes zones sur le front, et que ne est le

nombre moyen de ménisques par zone. Ces différentes grandeurs sont tracées pour chacun des front sur la figure 7.12.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 20 40 60 80 100 Q_e,actifs / Q_e,tot nactifs n_actifs Front A n_actifs Front B 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 2 4 6 8 10 Q_e,actifs / Q_e,tot ne Front A Front B

FIGURE7.12.: Nombre de zones actives pour l’évaporation (à gauche) et nombre

moyen de ménisque par zone (à droite) en fonction de Q_Qe,ac t i f s

e,t ot .

L’évolution des courbes de nacti f s est similaire pour les deux fronts. Le nombre de

sites actifs augmente linéairement avecQe,ac t i f s

Qe,t ot jusqu’à atteindre un plateau aux

en-virons de 70% d’évaporation totale du front. Sur cet intervalle de proportion d’évapo-ration active, en traçant les courbes en log-log on obtient un exposant de 1.14 pour les deux fronts. Au delà de 90% (front A) et 95% (front B), le nombre de zones actives diminue. Cette décroissance s’explique par le fait que de plus en plus de liaisons sont définies comme actives, créant une fusion des zones actives et donc la diminution de leur nombre.

Le nombre moyen de ménisques par zone est proche de 1. Il augmente faiblement jusqu’à 80% d’évaporation totale du front, où il augmente ensuite exponentielle-ment, ce qui traduit aussi le fait que les zones s’étalent et fusionnent entre elles.

Pour notre étude sur le transport du sel et la localisation discrète des sites de cris-tallisation, il est intéressant de localiser les zones actives par la distance moyenne entre zones, de, et par leur altitude moyenne, ze. Nous pourrons par la suite

compa-rer ces deux données à celles obtenues pour les maximums de concentration et voir s’il existe une corrélation entre elles.

La distance moyenne entre deux zones consécutives est calculée en déterminant la distance horizontale entre les positions moyennes de chaque zone (cf figure 7.4). Notons, que ce n’est peut-être pas la définition la plus pertinente lorsque les zones sont étendues. Néanmoins, pour des zones composées de quelques ménisques cela

semble être une bonne définition, c’est pourquoi elle a été choisie. Nous calculons aussi une distance équivalente, appelée di det définie comme le ratio entre la largeur

totale du réseau et le nombre de zones actives. Ces distances moyennes entre deux zones actives consécutives sont représentées sur la figure 7.13.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 50 100 150 200 250 300 Q_e,actifs / Q_e,tot de (en d p ) Front A d_id Front A Front B d_id Front B 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Q_e,actifs / Q_e,tot de (en d p ) Front A d_id Front A Front B d_id Front B

FIGURE7.13.: Distance moyenne entre deux zones actives consécutives en fonction de

Qe,ac t i f s

Qe,t ot . Le graphe de droite est un agrandissement de dede 0 à 40 dp.

Les courbes sont pratiquement superposées, indiquant qu’il peu d’impact de la struc-ture du front sur cette distance entre zones actives. Lorsqu’il n’y a qu’une seule zone active, de vaut la largeur du réseau. Lorsque l’on prend en compte de plus en plus

de liaisons, la distance entre zones diminue rapidement, jusqu’à 30% de l’évapora-tion totale. Elle diminue ensuite plus lentement, puis atteint un plateau pour 70% de l’évaporation totale (valeur pour laquelle nacti f satteint un maximum).

Les distances deet di dsont confondues, indiquant que les zones actives sont

globa-lement équi-réparties sur le front. Par la définition de di d, lorsque que de∼di d, de

et nacti f ssont inversement proportionnels. Déterminer l’un nous donnera

automa-tiquement l’autre.

L’évolution de l’altitude moyenne des zones actives est tracée sur la figure 7.14.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 1.5 2 Q e,actifs / Qe,tot (ze − z f ) / w f Front A Front B

FIGURE7.14.: Altitude moyenne adimensionnée des zones actives en fonction de

Qe,ac t i f s

7.2 G R A N D E U R S C A R AC T É R I S T I Q U E S M OY E N N E S D E S Z O N E S AC T I V E S

Les géométries du front ont plus d’impact sur cette donnée. Les deux courbes dif-fèrent fortement lorsque l’on ne tient compte que de moins de 20% de l’évaporation totale. Pour le front A, ze décroit de manière linéaire avec

Qe,ac t i f s

Qe,t ot , qui augmente et

diminue brusquement lorsque le ratio s’approche de 1. Il en est de même pour le front B, excepté dans lorsque Qe,ac t i f s

Qe,t ot

<0.2 . On retrouve ici l’influence de la struc-ture isolée.

Ces deux graphes nous indiquent que zeest supérieure à zf +0.5wf lorsque

Qe,ac t i f s

Qe,t ot

est inférieur à 50%. Les zones actives sont donc majoritairement situées dans la par-tie haute du front, ce qui était un résultat attendu.

7.2 G

RANDEURS CARACTÉRISTIQUES MOYENNES DES ZONES

ACTIVES

Toute la difficulté dans cette analyse est de déterminer quelle est la valeur limite pertinente deQe,ac t i f s

Qe,t ot délimitant les zones d’évaporation intense. Pour les deux fronts,

de 0 à 70% d’évaporation totale, les zones actives sont composées d’un ou deux mé-nisques. Le nombre de zones actives augmente avec Qe,ac t i f s

Qe,t ot , et de manière

inver-sement proportionnelle, la distance entre zones diminue, indiquant toutes deux le caractère discret de l’évaporation pour ces pourcentages d’évaporation. L’altitude moyenne des zones diminue elle aussi, les courbes des deux fronts ayant une allure similaire au-delà de 20% d’évaporation totale. Cette limite de 20 % semble être un bon choix, assurant un caractère discret de l’évaporation et une certaine homogé-néité dans les résultats des deux fronts.

Afin de nous assurer de ce choix, nous avons calculé les valeurs moyennes des gran-deurs caractéristiques des zones actives pour 10%, 20% et 50% d’évaporation totale. Ces résultats sont assemblés dans le tableau 7.2.

Qe,acti f s Qe,tot nacti f s ne de ze−zf wf (-) (-) (-) (en dp) (-) 0.1 8.14 ± 1.18 1.01 ± 0.04 37.70 ± 5.98 0.45 ± 0.17 0.2 18.60 ± 2.06 1.04 ± 0.056 16.34 ± 1.90 0.42 ± 0.12 0.5 55.54 ± 4.39 1.23 ± 0.083 5.44 ± 0.44 0.30 ± 0.09

TABLE7.2.: Propriétés géométriques moyennes des zones actives pour 3000

réalisa-tions. Réseau 200x300 etBo_Σ =0.0060.

On retrouve bien le comportement observé pour les deux fronts particuliers. Les grandeurs caractéristiques varient fortement selon le ratio Qe,ac t i f s

Qe,t ot choisi. En

choi-sissant une limite à 20% de l’évaporation totale, les zones actives sont composées d’un nombre réduit de ménisque (ne∼1) et sont espacées sur le front. On peut se

demander comment ces grandeurs caractéristiques des zones actives vont varier en fonction deBo

7.3 E

VOLUTION DE LA RÉPARTITION DE L

’

ÉVAPORATION EN

FONCTION DE

Σ

Dans un premier temps, l’influence de Bo

Σ sur la probabilité que la liaison de flux

maximal soit située sur les n plus hautes altitudes est analysée. Cette probabilité

Pqe,max,z(n), est calculée sur 3000 réalisations par valeur de

Bo

Σ . Sur la figure 7.15, Pqe,max,z(n)est tracée pour différentes valeurs de

Bo Σ . 0 20 40 60 80 100 120 140 160 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 n P q e,max , z (x<=n) Bo / Σ = 7.2e−4 Bo / Σ = 0.0028 Bo / Σ = 0.0053 Bo / Σ = 0.0077 Bo / Σ = 0.0082

FIGURE7.15.: Probabilité que la liaison de flux d’évaporation maximal soit située sur

les n plus hautes altitudes.

Lorsque Bo

Σ augmente (c’est-à-dire lorsque la largeur et la tortuosité des fronts

di-minuent), les courbes de probabilité deviennent plus raides et finissent par se su-perposer. Des fronts moins étendus semblent donc favoriser la localisation du flux d’évaporation maximale dans les 40 plus hautes altitudes alors que pour les fronts les plus larges le flux maximal peut être situé sur les 90 plus hautes altitudes. On peut donc s’attendre à ce que les zones d’évaporation actives pour un Bo

Σ faible, aient une

altitude moyenne adimensionnée légèrement plus basse que pour des fronts moins larges.

Nous souhaitons analyser l’évolution des grandeurs caractéristiques associées à l’évaporation lorsque l’on tient compte des liaisons fournissant 20% de l’évapora-tion totale, en foncl’évapora-tion de Bo

Σ . Sur la figure 7.16, nous avons tracé le nombre moyen

de zones actives et son écart-type en fonction de Bo Σ .

Le nombre moyen de zones actives diminue légèrement (de 19.5 à 15.5) lorsque les fronts deviennent de plus en plus hétérogènes. On observe aussi que Bo

Σ n’a pas

d’influence sur ne. Ces zones actives ne sont donc composées en moyenne que d’un

seul ménisque. Quant à la distance entre zones actives, elle augmente faiblement avec l’hétérogénéité des fronts et est toujours inversement proportionnelle à nacti f s.

ra-7.4 FL U X D’É VA P O R AT I O N V S D E N S I T É D E FL U X 0 2 4 6 8 x 10−3 12 14 16 18 20 22 Bo / Σ nactifs 0 2 4 6 8 x 10−3 0.95 1 1.05 1.1 Bo / Σ ne 0 2 4 6 8 x 10−3 12 14 16 18 20 22 24 Bo / Σ de (en d p ) 0 2 4 6 8 x 10−3 0.2 0.3 0.4 0.5 Bo / Σ (ze −z f ) / w f

FIGURE7.16.: Evolution du nombre de zones actives donnant 20% de l’évaporation

totale du front, du nombre moyen de ménisques par zones, de la dis-tance entre zones actives et de l’altitude moyenne des zones actives, en

fonction de Bo_Σ .

tio Bo Σ .

Ces résultats nous indiquent que Bo

Σ n’a qu’une faible influence sur les grandeurs

caractéristiques associées aux zones d’évaporation intense. Pour une limite à 20% de l’évaporation totale, en moyenne 18.4 ± 1.4 zones sont considérées comme actives sur le front. Elles sont formées d’un ou au maximum deux ménisques, sont séparées d’une distance moyenne de 16.7 ± 1.5 dp(ce qui indique aux vues de nacti f squ’elles

sont équi-réparties sur le front) et sont localisées dans la partie haute du front. Dans ce qui suit, nous allons donc travailler à Bo et Σ fixés.

7.4 F

LUX D

’

ÉVAPORATION VS DENSITÉ DE FLUX

Avant de passer à l’étude sur le transport du sel et la localisation de la cristalli-sation à l’interface. Nous souhaitons quantifier la différence entre flux d’évapora-tion et densité de flux. De manière plus générale, nous nous sommes aussi intéres-sés au coefficient de corrélation entre qe et je pour chaque front. Pour cela nous

avons tracé sur la figure 7.17, la probabilité pour que la liaison ayant une densité de flux maximale soit une des n liaisons ayant les flux d’évaporation maximaux,

Pje,max,qe(n)et l’histogramme de ce coefficient de corrélation sur les 3000 réalisations,

pour Bo

Σ =0.0060. Ce coefficient de corrélation est défini comme :

cor (qe, je) = nf P i =1 (qe,i−qe)(je,i−je) s nf P i =1 (qe,i−qe)2 s nf P i =1 (je,i−je)2 (7.8)

où qe et jesont les valeurs moyennes du flux d’évaporation et de la densité de flux

le long du front. 0 50 100 150 200 250 300 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 n Pje,max , q e (x<=n) 0.450 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 20 40 60 80 100 120

Coefficient de corrélation entre q_e et j_e

nombre de réalisations

FIGURE7.17.: Probabilité que la liaison ayant la densité de flux maximal soit sur

l’une des liaisons ayant les n plus forts flux d’évaporation et histo-gramme des coefficients de corrélation entre flux et densité de flux sur les 3000 réalisations.

Ces deux résultats nous montrent que les liaisons ayant un flux d’évaporation portant ne correspondent pas nécessairement à celles ayant une densité de flux im-portante. Le coefficient de corrélation moyen est d’environ 0.70, indiquant tout de même une tendance. Sur la figure 7.18, les zones actives définies avec le flux d’éva-poration sont comparées à celles définies avec la densité de flux pour un front parti-culier et Qe,ac t i f s

Qe,t ot

=20%.

Ces deux représentations des zones actives nous indiquent que les zones sont lo-calisées pratiquement aux mêmes endroits que l’on tienne compte de qe ou de je,

mais les liaisons actives ne sont pas nécessairement identiques. On constate aussi que le nombre de liaisons actives est plus important lorsque l’on utilise la densité de flux. En terme de zones actives pour l’évaporation, les deux grandeurs ne sont donc pas équivalentes.

Dans le cas du transport du sel, l’élément important à l’échelle de la liaison inter-faciale est la vitesse de la solution dans la liaison, ou plutôt son rapport avec la dif-fusion, soit le nombre de Péclet local : Pel=_Dul_s, où u est la vitesse moyenne dans la

7.5 C O N C L U S I O N 0 50 100 150 200 250 300 35 40 45 50 55 Flux d’évaporation x (en d_p) z (en d p ) 0 50 100 150 200 250 300 35 40 45 50 55 Densité de flux x (en d p) z (en d p )

FIGURE7.18.: Zones actives sur le front A en fonction du flux d’évaporation et en

fonc-tion de la densité de flux.

proportionnelle à la densité de flux d’évaporation. Il sera donc nécessaire de faire la distinction entre les zones actives pour l’évaporation et les zones où les vitesses de la solution sont les plus importantes.

7.5 C

ONCLUSION

Les résultats obtenus illustrent le caractère fortement hétérogène de la répartition de l’évaporation sur les fronts. Les flux d’évaporation des ménisques des fronts ont des distributions très larges autour de la valeur moyenne des flux. On a pu notam-ment constater qu’environ 70% des liaisons interfaciales ont un flux d’évaporation inférieur à la valeur moyenne. Ces répartitions étendues sont la conséquence de la structure des fronts.

Les hétérogénéités du front génèrent des zones préférentielles d’évaporation (zones dites "actives") et des zones où la diffusion de la vapeur est écrantée. Ces zones écrantées représentent environ 20% du front. A l’inverse, on peut donc conclure que seulement 80% des liaisons produisent la quasi-totalité du flux total d’évapora-tion du front. Nous nous sommes intéressés en particulier à l’évolud’évapora-tion de la propor-tion de liaisons produisant une certaine proporpropor-tion de l’évaporapropor-tion (cf figure 7.11). La proportion de liaisons évolue en loi puissance d’exposant 1.3 avec la proportion d’évaporation prise en compte :

nl ,acti f s nf ∝µ Qe,acti f s Qe,tot ¶1.3 (7.9)

Pour ces deux fronts, 50% de l’évaporation est produite par moins de 10% des liai-sons, nous permettant donc de conclure quant à l’existence de zones préférentielles d’évaporation. Nous avons ensuite cherché à les caractériser.

Contrairement à ce que l’on pouvait penser, il n’y pas de corrélation directe entre le flux d’évaporation (ou la densité de flux) et l’altitude du ménisque où

l’évapora-tion prend place. Par exemple, seuls 25% des fronts ont la liaison de flux d’évapora-tion maximal située sur la liaison la plus haute du front. On peut cependant affirmer que les liaisons actives pour l’évaporation sont situées principalement dans la par-tie haute du front (leur position moyenne étant située au delà de zf +0.3wf lorsque

l’on considère les liaisons donnant de 0 à 50% de l’évaporation totale du front). Les résultats moyens de cette grandeur caractéristique des zones actives montrent une dépendance aux propriétés du front, en particulier lorsque l’on ne prend qu’une pro-portion réduite de l’évaporation totale (Qe,ac t i f s

Qe,t ot

<0.2) (cf figure 7.14).

Les zones d’évaporation intense ont pu être caractérisées. En choisissant de dé-finir comme "actifs" pour l’évaporation les liaisons fournissant en cumulé 20% de l’évaporation totale, les zones actives se sont révélées être en moyenne composées d’un seul ménisque. Ces zones tendent à être équiréparties sur les fronts, séparées par environ 18 dp. Ces propriétés des zones actives sont peu dépendantes de Bo_Σ .

Pour conclure, nous avons aussi pu observer qu’il n’existait pas de corrélation di-recte entre le flux d’évaporation des liaisons et leur densité de flux. Ce résultat éton-nant s’explique par le fait qu’il n’y a pas de corrélation directe ni entre le flux d’évapo-ration et l’altitude des ménisques, ni entre l’altitude des ménisques et les diamètres des liaisons. Pour la suite de l’étude (transport du sel), il sera donc nécessaire d’étu-dier à la fois la corrélation entre le flux d’évaporation et la concentration en sel, ainsi que la corrélation entre la densité de flux et la concentration en sel.