• Aucun résultat trouvé

Implémentation robuste de lois cohésives non régulières en formulation X-FEM

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Partager "Implémentation robuste de lois cohésives non régulières en formulation X-FEM"

Copied!
9
0
0

Texte intégral

(1)

HAL Id: hal-01722099

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01722099

Submitted on 2 Mar 2018

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Public Domain

Implémentation robuste de lois cohésives non régulières

en formulation X-FEM

Guilhem Ferte, Patrick Massin, Nicolas Moes

To cite this version:

Guilhem Ferte, Patrick Massin, Nicolas Moes. Implémentation robuste de lois cohésives non régulières en formulation X-FEM. 11e colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2013, Giens, France. �hal-01722099�

(2)

��������

������������� �������������������������������� ��������������

�����������������������������������������������������������

������������ !"#�

��������������� �!� �"�����#��$��% � � ��������&���� ��'�(�������������)�����������������������������������������(��� �*���+* ����,��������-)�)������������� �.��/��������� �������0 ����� ������������������� ����� ������������ �1 �2"�.���� �//���� ����� ������� !�$������������3������ $������4�5����)�������-�������3��3��)��3���������������������������)��,��������)-���6��� ��7����8� ��������������)��,)�������������������7����)-�������9��������������8��7����� ���������9������������� � )�)����� � 9����� )������� :;����<0� ���� ������� ����),����������� 3��(�6��� � ��� �����)��������� ������ ,����(�� � ������� � ��� � �������� � ��3��� � �� � �)����������� � �� � �)-��� � �� � 9������������� � �,�� � ���� 9�������������������0� �������3�����8�;��������=�9������������8�3�������������3������������)������� �9����7>����)�������������-�������������3�)�������������3��?�����3��������)�)���������)����� ��7������ 3��� � ��� � ������������0 � '�� �)����� � ��� � �������)�� ��� � ��� � ������� � ��������������� � 9������ � �33�� � 8� ���� ��������������3�����-���������-�����0 ����������4�@�������)��,� �;���� �3�����-���������-�����

�% �������������

$9�� � �� � �)����� � �7�99��� � �� � ��������-� � ���� � �� � ������ � �� � 3��3�-����� � �� � 9������� � �� � �7),�������� �7�����9��� ������=���������������)����������)�)������9���� ��)����)��;���� ���)�)������������3�� � A�B0����������3�������7�������������������9��������������������)�������������6����������7��������(����� � �� � ��� � ������� � 3�� � �� � �������������� � ����� � �� � �� � (��� � �� � 9�������� � ����� � �,�� � ��� � 9��������� ������������0�"�����,��������������3�����3�>��������������3�����,������-��������3����� �2����(�����A�B� �� 3��3��) � �7����������� ��� � 9����� � ���)��,�� � �7�=��C��� � ������������ � ����� � ��� � �6,��� � �� � �� � 9������ � 9����� � �()������ � 8 � ��� � ��� � ������������ � 8 � 3����� � �7�� � ������� � ����� � �9�� � �� � ������ � ���3�� � �� � �� 9����������0� '��9������������������)������3���:,����9�-0�<? � ����@����9���)� � ����@����3���������������,���� ���������������(�����������������8�����9���������)��,�� ��� � ���-�����������)���������

����7��,�������������)���������

� ����@������,����0 ��-0��?����6������@�������)��,�0

��

D���� ��,���� D���� 9���)� D���� ���)��,�

(3)

"�������������� �����������������),�������������99)������3��(�6�������)����������3������������� �7�� � ��3����� � ��� � )�)����� � ���)��9� � �� � 9���������� � ;����0 � '7�(E����9 � ��� � �7�33����� � ��� � �)3������ ���3����8�������99)�������3��(�)�������� �3�����(������8�����9�������������(����������3��������)�)������ 9��������)����������3��������������������0

�% &����������������'�������

�%�% "���������������������(�����������������������������������

����������)�������������������3��������3��������

�����������9�-������������)9)����� �������,���)� 3������������9���� � �������3�)������������E���3������������9���������� �����)3����

������=�3������

� �

��� ��

0��'��(����

����)���3����������=�3�������

���

��������������������� ��3��)�������)3�������� � �������9��������9������ � ����3����,������:,����9�-0�<0�&�������

�� � ����3 � �� � �)3�������� � ���� �

� �� � ����� � ��� � ��� � ���� � ��� � ������) � 3���

���

��

��

0��������33���� �

�����������8 �

���������8 �

� �������3������� ������������������������)-���,������)�������������3�����,����������3)�)�������0���9�� ��� �

������� �6,���������9���������������F�)� �����33���� ���,���������������������)��9��=���)�3��� �� ����

:9�-0�<0 '� � ,������ �

��� � ����) � 8 �

���

3�� � �� � ��� � ���)��,� � ��� � ��� � ��33��)� � 3�)������ � ���� ������)�������������,������:,����9�-0�<? � �7���)������������������3��9��������������3��9�����:���3��������������������6��9����< � ���>�����������-�����������)-����(�����= ���������������3�������������������)��������)��,)�0 "��������)�)���������)����� ������������)�������3����=��3�������������)��,��3)�����)�����,�����A�B?

��

��

����� ����

G

)�* �H �

��� � �� � ,����(�� � ������� � �)9���� � 3�� �

���� ��

� ���

���� � �

�� � ���

6�

�,���

���

6�

����

� �

����

� 0�$,��������)9�������� �����9�����������9��(����=3����������3��(�6������?

� �� �?���

!

� � ��

���

���

+

� � ��

� �

+

)�* ��-0��?��������������3��(�6��0

���9�-����������������

���9�-���������)9���)�

��

��

���

(4)

�%�% ,����������������������������������������������(�����������������'�������

'���)����������)�)������9�����)����������������������������)�����3�����,�������9���������������� � ��-�)� � � ���� � I���,�������J � ���� � �7����@)�� � �)9���� � �� � 3������� � �� � �7�����9���0 � '7�����3������� � ���� )�)������9����������������3����������K��������������,�������9��������L��,�������9�������)���������������� � �)3���������8����,�����7�����9����A�B�?

� � ��

��� � ��

� � ��

��� �����

� � � � � �� � ��

) * �H

�������9�����������9��������������

����)�������������������M

� �

�����7�����(������� �N��� � ���� � �� � ��33��� � �������� M � ��� �� � �����7�����(��������N��������������33�������� ���������������������)�3���

:,����9�-0O<M���

�������9��������L��,������������)��3������3�)������� ���������������)

����

�� �����!�

� �����"�

$,������������������)���������������9�����������9��(���:�< ������������)�����������������)��������� � �7����(�����: �����������< ������������)��������9�-0/0�$9������������������(��������������9���������� � ���� � ����������� � ��� � 3����6���� � ���)���� � �� � ����� � 8 � �� � ��� � �� � ���-���� � ���)��,� � �����)� � 3�� � �� � 9������ �

#

��$

� � �7)���� � ��� � �� � ����� � ��� � ��@���� � �7)�)����� � �� � �� � 3����6��� � �� 3)���������� � -���� � ��,��� � �7��,���� � �� � ���� � �� � �)3�������� � ������)�������� �

�� � �� � ���� ���)��,�?�

����

O

0 ��-0�/?�3�����-�����0

��-0��?��������)��,���)-������)� �

(5)

�� � ���� � ���C��� � ����� � �� � ���������� � ���)��,� � �=3������ � �)����� � �� � ���� � �� � �)3�������� � ���� �(���,�����������������������6����3��������0�'��3��(�6�� �������������������������������������������P� ���9����������������������8��7�����9�������������)���)�����9�C������3������0�

% "����������������������������'

%�%�"���������������������������'����������������������������������

"����>����)���� ���������)�������������������������7��3����

����������������������������)��,����� �)9���� ��9����������������������9���3����,����������,)��9�)�?

%�"� ����)3������������ � & '

��

� ��3

����

'

��

� � �

�(�

)�

)

*�)'

)

� � )-* �H�

)0)

� + �)��-���������������

� � �

���

)0)

� , ���������

� � �

0 2)���� � �� � ��1� � :A/B � �� � AQB< � �(���6���� � �� � 3��(�6�� � ���� � �� � ����� � �� � ������� � �� � 3��3��6���� � �7��E���������7�������3�I �����J��)9������� � 3�����)����������3��(�6��0�'�����-�)�������(���)�� ����=����� ������ �3���)� � 3�� �

� ��� � ���� � ��� � ������ � ������� ��� �

0 �5� �����3 � ��� � ���� )�)���������������)��:�����)���������9�-0O<������)�����3��������3�����������)���� ���������3������������� � ���� � 3�����)9������������3������:9�-0O<0���3������ ��7��3����)��������3�����������7)��� ����������������� ��-0�O?�����������3������������)�����������������3��3�����=��������=0

$�K�������������)�� ��)���������������)� ���������3�����������)���� ���������3������������������� �����9����� ��-0�Q?����������������������������������)��,���,�������9������������=3������0 ������� ������� ������� ������� ������� ������ ������� ������� ������� ������� ������� ������� ������ ������ ������ ������������������������������������������ ��������������������������������� � � � �� � �� �� �� � � � � �� �

(6)

�����3���������������������7)-����)�����������**'����-����=�3���)��3�� �

?����**'��)��������� ���)3�������

�����������3����-)�3������-���3�����3��������������� �������������������9��������� ���9������)9���������9�����������9�����I�)�������J� - 3�������**'� :,����9�-0�<0 ��������� ����3�����3������7��-�����������������������AQB��������3���������������(������3����-���� � 3����(����7��K�������)3�������� ��7����8�����������������)�������������� ���������������)9���������**'� ���� �����7�����(������=���������7�33���������3���8�������K������)3���������7�������**'�������K��� � ,��������:9�-0�<0�'7��3������������������������������,)��9���:/<� ��������)�����)������AQB0 '�����������)���,�������������3��(�6������������������������������������ �������,�����8��)��������� � 3��(�6�������>3��A/B?

!

"

!

#

�� �

�$�

�.�

��

�)��

��

�)�� �

).* ���)���������

�.�

���:Q< �����7�3��C���������������,�����8��������������)3��������������������

#

��

!

�$�

3��� � )����� � �� � 3)���������� � 8 � �7�����9���0 � �� � )���,��� � ��� � �=3�������� � ������������ � ��� ������,������)9���������7���3��E������?�������������)3���������������������������9�������3��E������� � ��������3����������

0�$,�������K���3�����-���3�����������������)��,� ��������������������������� �� � �)3�������� � ���������� �

��

��� � ��,�� � ,)��9��� ������ / :���� � ��,������ � ���� ���,�������������-���3�����33����8����9�-0�<0� ����������������������)9����������������������)��,����� � ������9����������� ��� �����������9����������� 0����3���������������������)������� ������ )���,�������'�-���-�������3��(�6��������?

� � �. � � ��

0

%�

��� �

� �

�� � �

.�

����

��

1

)/* �H �

1

�������������)��7)���-������)��,�������3)��������7��,������

1 � � ��

� � 7� � � 7

0&���)���������������)������������3��(�6������)���,��������������������7�3�������)������-���-���?

& �

!

��

��

� ���?� ��

!

� � ��

��

+

.���

+

� � ���

)0*

& .

!

��

�����

�.

!

���

)1* ��-0��?���-�����������������������3�����������3�����0

.

.

.

� �����(����7��K�������)3��������? "����6���������������7)-����) �����������7)-����)���33�)��������� �����(������������3����-����� 9��������������K���**' ��33����������9�����������9����

-

(7)

& �

!

��

�.

��

!

���

)2* ��� � ������,��� � (��� � �� � 3��E������ � �,�� � :R< � ������ � ��� � :.< � 3����� � �7)����� � �� � ����������� ���)��,�����9��������������������������0� ��������7����������9������������7����3�������������-�����,��� ����� � 3��3��)� � 3�� � ���,���� � ���� � �� � ����� � �� � ���3��-� � ������)������� � AOB0 � �� � ��3������ � �� � ����� 3�)�)���� �������(���,����������������������)������������������������������)��,��8��7�����9��� �8�3�)���� ���3�6��������)-���6��0�

%�%�,������������������������������������

��3������ �����������3��������E�����8����,��-����������������3���������3�0�������7�=3������3����� � �����)���������������,����(�������������=�3�������������������3�)�����3����6������������������������� �)���������3�������3���������������3��������������������)�����0�%��>���(������3�3�����7�������������� �)-�����������**'��7�����9����:,����9�-0.< ���������������������������������7������)��������������)����� � ��� �S����8���������� �����������������������,��-����0 ��������������)���� �3���������������8���������� ����3��(�6���������3�)��������)����)�����:������� � ������)���< ������,�>���������������������������3�)��������)�����,���)��3��������3�������������������� � ��-0�R?���������������)��,���)-���6���3�������9������������,�������3������=0 � ����� ������� ������� ������� ������� ������ ������� � ������ ������� ������ ������ �� ��� ������ �� ��� ������������������������������������������ ��������������������������������� � � � �� � ��� �� � � ��� �� � ��-�.?������)����������3����(�����������������3�)��������)0

� � ����,)��9�)�

&

.

��

��

%���������������)-��� ����������3�)��������) ����,)��9�)� **'����

%����9�������3��������������

(8)

:����3��������������<���������@������������������:9�-0.<0������,����� ����������)���������8���������7�� �����������3�����-�)������(���)���� 3������������3����������������������:9�-0.<0� $���� � �� � �7��� � 3��� � �������� � �7),����� � ��� � ���������� � ���)��,� � �� � 3���� � �� � ����� � ���� � ��� � �=3�������� � ��� � �������� � �� � ,������� � )�)��������� � ���� � ���� � �)���3����� � 8 � �� � 3����

'

-

'

'

� �

'

0�'��3��(�6������,��-��3����,�����,���������9���������� �3���������� ���3���"5�3�����������������3�����8������������� ���������O.Q����������3�������9������������=3������ � ��������0

%�%�"�����������������������������������3�������3���

��3������ � �� � 9���������� � 8 � ����� � ����3� � �� � :O< � ��� � ���� � ��-������� � �7�� � ������

����

������3�)��33������7���������)���������3��������6��?

� � �. � � ��

0

%�

��� �

� �

�� � �

.�

����

��

1

��

����

)��* '�� � ���������� � �7��� � �����)�������� � ����������� � ��� � ���������� � �7�3�������) � �� � �� � '�-���-��� � ������� ��7�=3��)��������ARB�������������,�����? � ������3����������������������9���3��)E8�),���)� � ������E����,��)�����7�33������������������

(

������7��3������

&

0� $,�� � �� � �)3�������� � ���)���� � ���� � ��3��� � �� � �������������� � ��

(

�,�� � ��� � 9�������� � (������ )��(��)�� �������,�������)3�������������������� �����=��������������������)�����������������������3�� � 3�������3��(�6���:,����A�B����ARB<? � ����)3������������������������ � �������3�

&

���������)���)�3�����������������=�3�������������������7�����9��� � �������3�

&

�������)����������7�����9���0 $,������������������)�������� ������ ��)�����)������A�B ���������������7�3�������)��)����������� � �)��,������3�����33����8� & �7)�������������������������3���������������?����3��������������������� ��������0 '��-)�)�������������������)��������8�;������)���������������,���������������������������3�"����� � �7�����9�����������3��������������������9���3��,�������)3���������"�0�&��3�����)����������7��3�����)9��� � 3�)�)������� �����������������,��������3�3��,������-)�6��������������������,��-�����������3�����=? � ���3�������������-�������3�)�����������)�)����� �"�0� ��� ��,���������)������7���3��������,������� ��������������3�������������9�C������,����? � �����3������������������7)-����)�����������K�������������)���3�6���7���������:,����9�-0��< � �� � ����� � ��� � ���3������� � �� � -��3�� � ��� � ��K��� � ���������)�� � ���������0 � "��� � ������� ���3�������3��������������������������7������������������8������������� ������3�������� ����������7)-����)���������������K������������3������ �������������������:,����9�-0��<0 '�����7������3�����(������ �����)3���������������������3����3�)����������������(����)�0�$���� ����-������� � ��������F���3�����������������������������-�����0�&��3����������������� )$���������������������6��0� "��� � �)������ � �� � ������ � �� � ��,���� � �)�������� � 3����� � �� � �>������� � �� � �7�������� � ��� � �)����� � ��� 3�����-���������-�����0� ������3����������3�����-��3���3�)��������)���������3��3��)������A.B����)������ 8�;���������������������������������������������-�6��A��B0�"���������������������������� ���������� � 3��,�����������8�����������������,�������9������������8�)�)��������������������������)�����0

(9)

5.

Conclusion et perspectives

La poursuite de notre travail consiste à réaliser des calculs de propagation cohésive sur trajet inconnu. Pour ce faire, à partir du résultat d'un calcul cohésif à un instant

i

, nous cherchons à détecter le front de décohésion. A partir de ce dernier, nous déterminerons une direction de propagation à partir d'un critère de la littérature, soit déduit du champ local de contraintes au voisinage de la pointe, soit déduit du calcul de facteurs d'intensité de contraintes équivalent, soit déduit d'une minimisation énergétique globale. Nous actualiserons alors la surface potentielle de fissuration en exploitant la littérature disponible sur les actualisations de level-sets, avant d'effectuer le calcul pour l'instant

i1

.

Références

[1] N. Moës, J. Dolbow, T. Belytschko. A finite element method for crack growth without remeshing.

International Journal for Numerical methods in engineering, 46: 135-150, 1999.

[2] J.I. Barenblatt. The mathematical theory of equilibrium cracks in brittle fracture. Adv. Appl. Mech., 7: 55-125, 1962.

[3] G. Meschke, P. Dumstorff. Energy-based modelling of cohesive and cohesionless cracks via X-FEM.

Computational Methods in Applied Mechanics Engineering, 196: 2338-2357, 2007.

[4] N. Moës, E. Béchet, M. Tourbier. Imposing Dirichlet boundary conditions in the extended finite element method. International journal for numerical methods in engineering, 67: 1641-1669, 2006.

[5] E. Béchet, M. Moës, B. Wohlmuth. A stable Lagrange multiplier space for stiff interface conditions within the extended finite element method. Int. J. Num. Meth. Eng., 78: 931-954, 2009.

[6] E. Pierres, M.C. Baietto, A. Gravouil. A two-scale extended finite element method for modelling 3D crack growth with interfacial contact. Comput. Meth. Appl. Mech. Eng., 199: 1165-1178, 2010.

[7] E. Lorentz. A mixed interface finite element for cohesive zone models. Computer methods in applied

mechanics and engineering, 198: 317-320, 2008.

[8] D. Doyen, A. Ern, S. Piperno. A three-field augmented Lagrangian formulation of unilateral contact problems with cohesive forces. ESIAM, Math. Model. Numer. Anal., 44: 323-346, 2010.

[9] E. Lorentz, P. Badel. A new path-following constraint for strain-softening finite element simulations.

International journal for numerical methods in engineering, 60: 499-526, 2004.

[10] P. Massin, G. Ferté, A. Caron, N. Moës. Pilotage du chargement en formulation X-FEM: application aux lois cohésives, CSMA 2011, Giens.

Fig. 10: espace dual stable et optimal pour un déplacement quadratique.

1

Arêtes intersectées Autres arêtes

Arêtes intersectées près des nœuds : premières relations d'égalité

Composantes connexes

Relations d'égalité additionnelles DDL final

Figure

Fig. 10: espace dual stable et optimal pour un déplacement quadratique.

Références

Documents relatifs

لﺎﻣﻋﻻا تﺎﻧﺿﺎﺣ لﯾوﻣﺗ قرط.. ﻲﻧﺎﺜﻟا ﻞﺼﻔﻟا : لﺎﻤﻋﻷا تﺎﻨﺿﺎﺣ ﻞﯾﻮﻤﺗ قﺮط ﺪﻴﻬﻤﺗ : ﺔﻤﺋﺎﻗ ﺔﺴﺳﺆﻣ ﺔﻳأ نإ ﺎﻬﻤﻜﲢ تاﺮﺷﺆﻣ و ﺪﻋاﻮﻗ ةﺪﻋ ﻰﻠﻋ ﺔﻴﻨﺒﻣ ، رﺪﺼﳌ جﺎﺘﲢ تﺎﻤﻈﻨﳌا و ﺔﺴﺳﺆﳌا

L'augmentation du conditionnement et la diminution de la précision, étudiés dans [2], ne sont que des symptômes de la colinéarité entre les fonctions d’enrichissement et

Mais notre calcul restera valable lorsque le metal est supraconducteur et que la nature essentiellement.. cooperative du phénomène ne permet plus une appro- che a

L’évolution de l’énergie stockée W patch dans le patch (voir Eq.19) avec un rayon de 6.25mm et un angle de 0 ◦ ainsi que de la porosité dans l’élément contenant le pointe de

Ce chapitre a été focalisé sur la faisabilité et l’évaluation des propriétés de matériaux consolidés à partir d’une solution de laboratoire (SiO 2 /KOH) avec

151 « sandwich » (généralement réalisée avec deux blocs osseux autogènes, fixés de part et d’autre de la crête alvéolaire, qui servent de coffrage) ou d’une greffe

A cascaded nonlinear predictive control algorithm with a load torque disturbance observer of an induction motor drive has been proposed.. The nonlinear predictive controller

Dans cette thèse, une nouvelle méthode numérique pour la simulation de la propagation de fissure par fatigue en plasticité confinée a été développée en couplant la méthode des