TP 6. Résolution d'équations
A. Utilisation de suites récurrentes Exercice I.
Cet exercice est associé à l'exercice XIV. de la Feuille 15, dont le but est de résoudre l'équation (E) :ex= 3 + 2x.
On considère la suite récurrente dénie par u0 =−1, et, ∀n∈N, un+1=f(un), où f(x) = ex−3 2 . L'inégalité des accroissements nis a permis de montrer que cette suite converge vers la solutionα de l'équation(E), et aussi d'obtenir une précision de l'approximation grâce à l'inégalité |un−α| ≤ 1
2n. On souhaite construire un programme approchant α à 0.001 près, ie |un−α| ≤0.001
1. a. Vérier qu'il sut que 1
2n ≤0.001.
b. On va donc calculer les termes de la suiteu, et parallèlement les valeurs de vn= 1
2n, jusqu'à ce que cette dernière quantité soit plus petite que0.001
Quelle instruction peut-on utiliser ?
c. Dans un programme, créer la fonction f à l'aide de la commande function.
d. Compléter le programme pour qu'il renvoie une valeur approchée de α à10−3 près.
2. a. Reprendre le programme précédent en remplaçant 0.001par une précision quelconque >0, donnée par l'utilisateur.
b. Quelle est la complexité du programme, en fonction de ? Exercice II.
Cet exercice est associé à l'exercice XVI. de la Feuille 15, dont le but est de trouver la solutionβ∈]−1; 1[
de l'équation(E) :s3−3x+ 1 = 0.
On considère la suite récurrente dénie par u0 = 0, et, ∀n∈N, un+1 =g(un), où g(x) = x3+ 1 3 . L'inégalité des accroissements nis a permis de montrer que cette suite converge vers la solutionβ de l'équation(E), et aussi d'obtenir une précision de l'approximation grâce à l'inégalité |un−β| ≤ 1
4n ×1 2. S'inspirer de la démarche de l'exercice précédent, pour construire un programme permettant d'approcherβ. On posera cette fois-ci vn= 1
4n ×1 2.
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B. Méthode de dichotomie
La méthode de résolution vue précédemment s'applique bien lorsque le majorant de la dérivée trouvé est strictement inférieur à 1. Dans le cas contraire, l'inégalité des accroissements nis ne permet plus de conclure, car le membre de droite de l'inégalité ne tend plus vers0.
Il faut donc trouver d'autres méthodes. Il en existe plusieurs. La plus simple à mettre en oeuvre (mais aussi plus coûteuse), est la méthode de dichotomie :
On souhaite par exemple résoudre l'équation xex−1 = 0, et on sait (grâce à la continuité et aussi à une étude des variations de la fonction sous-jacente) que la solution se trouve dans un intervalle]a;b[. On "coupe cet intervalle en deux" en prenant c∈]a;b[.
On élimine un des deux intervalles, entre]a;c[et]c;b[, où g(x) =xex−1 ne s'annule pas (en utlisant les variations et la continuité deg).
On réitère cette opération.
La longueur de l'intervalle diminue donc au fur et à mesure que l'on répète ceci, ce qui nous permet d'obtenir un encadrement de la solution avec la précision voulue.
Créer des programmes permettant de résoudre ainsi les équations suivantes : 1. xex−1 = 0
2. x3+ 10x−80 = 0 3. xln(x) = 1
4. x3+x−1 = 0
5. x5+x3+x+ 100 = 0 6. ex = 3 + 2x
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