D255. Vrai ou faux
Solution proposée par Philippe Bertran
Q1
Puisque AB = CD, C appartient au cercle C1 de centre D et de rayon AB.
Puisque l’angle BCD est égal à l’angle BAD, C appartient au cercle C2 circonscrit à ABD ou au cercle C3 symétrique du précédent par rapport à BD.
A, B et D étant donnés, les quadrilatères pour lesquels AB = CD et les angles en A et C sont égaux seront donc obtenus avec les points C intersections du cercle C1 avec le cercle C2 ou le cercle C3. Les solutions correspondant à C2 sont à éliminer car elles correspondent à un quadrilatère ABCD croisé. Il reste deux points C possibles dont l’un seulement est un parallèlogramme. L’autre, s’il est convexe comme dans la figure ci-dessous, est un contre- exemple permettant d’affirmer que la propriété de l’énoncé est fausse.
Q2
Soit ABCD un trapèze isocèle dans lequel AB est parallèle à CD, CB = AD et où la distance AB est le double de la distance de A à CD. Soit A’ le symétrique de A par rapport à CD, d’où AA’ = AB.
2
Dans les quadrilatères ABCD et ACA’D, on a : AC = AC
AD = AD CD = CD AB = AA’
BC = A’D BD = A’C
Les dimensions des côtés et des diagonales, prises dans leur ensemble, sont les mêmes pour les deux quadrilatères qui sont à l’évidence différents puisque CD est un côté du premier et une diagonale du second. La propriété de l’énoncé est donc fausse.
