D272 – Tangentes entières [*** à la main]
On s’intéresse aux polygones convexes de n côtés dont les tangentes des angles au sommet sont toutes des nombres entiers relatifs finis.
Q1 Quelles sont les valeurs possibles de n ?
Q2 Quels sont les polygones pour lesquels les tangentes des angles au sommet sont des entiers distincts entre eux ?
Justifier vos réponses.
Solution proposée par Paul Voyer
Q1
Les angles valent 45°, 63° (arctg 2), 71° (arctg 3), 76° (arctg 4), etc… et leurs suppléments.
La somme des angles externes étant 360°, il ne peut pas y en avoir plus de 8.
On remarque que arctg2+arctg3=135°.
arctg2 doit être associé à arctg-2 ou à arctg3, idem pour arctg-2, arctg3 et arctg-3.
arctg x doit être associé à arctg –x (parallélogramme ou transformé par permutation des angles) pour x ≥4.
Hormis ce cas, les angles sont des combinaisons de arctg±1, arctg±2 et arctg±3.
n vaut 3, 4, 5, 6, 7 ou 8 :
N.B. Sur la figure, les angles sont à l'échelle.
Q2
Les polygones pour lesquels les angles ont des tangentes distinctes sont :
- des pentagones tg= -1, -2, -3, n, -n
- des quadrilatères inscriptibles tg= n1, n2, -n1, -n2 - des trapèzes, tg= n1, -n1, n2, -n2
selon que les angles supplémentaires appariés sont opposés ou voisins.
- des triangles dont les angles ont pour tangentes 1, 2, 3.
