D272. Tangentes entières
On s’intéresse aux polygones convexes de n côtés dont les tangentes des angles au sommet sont toutes des nombres entiers relatifs finis.
Quelles sont les valeurs possibles de n ? Quels sont les polygones pour lesquels les tangentes des angles au sommet sont des entiers distincts entre eux ? Justifier vos réponses.
Réponses : Les valeurs possibles pour n sont 3, 4, 5, 6, 7 et 8.
En effet, les angles aux sommets sont inférieurs à 180° (polygone convexe) donc le plus petit possible est 45° (tan-1(1)) tandis que le plus grand est 135° (tan-1 (-1)) et pour leurs angles supplémentaires c’est pareil or, la somme de ces derniers est égale à 360° donc n est compris entre 3 ( ) et 8 ( ). De plus, la figure suivante prouve l’existence de tels polygones pour les valeurs cités.
Remarquons tout de suite le triangle BOA a des angles aux sommets tous différents et tous les autre triangles aussi car il y a au moins deux angles aigus et supérieur à 45° donc le troisième ) est forcément aigu lui aussi (ce qui élimine tous les tan-1 des entiers négatifs) mais sur , tan-1 est strictement croissante donc l’un des trois angles fait forcément 45° (car )) ) et donc la somme des deux autres supplémentaires est égale à 225° (360°-135°), uniquement possible avec tan-1(2) et tan-1(3).
Certains quadrilatères peuvent avoir des angles aux sommets tous différents (comme BOND avec tan-1(-2), tan-1(-1), tan-1(1) et tan-1(2)) et il en va de même pour certains pentagones (comme par exemple avec tan-
1(-1), tan-1(-3), tan-1(-5), tan-1(-7) et tan-1(-8) ou, un peu plus simple, tan-1(-4), tan-1(-3), tan-1(-2), tan-1(-1) et tan-1(4)). En revanche, aucun hexagone, heptagone ou octogone ne possède tous leurs angles différents (car, en regardant les six plus petits angles supplémentaires possibles, on trouve ) ) ) ) ) ) ).
