Principes et fondements de la modélisation mathématique des écoulements de fluides visqueux

Introduction à la

Mécanique des Fluides

Principes et fondements de la modélisation mathématique des écoulements de fluides visqueux

newtoniens incompressibles

Damien VIOLEAU – EDF R&D / LNHE

Ecole Nationale des Ponts et Chaussées Ecole des Ingénieurs de la Ville de Paris

Cours de Mécanique des Fluides

Plan sommaire

• Notions de cinématique des milieux continus

• Equations de bilans des milieux continus

• Equations des fluides visqueux newtoniens incompressibles

Objectif du cours

• Présenter et expliquer les phénomènes

• Démontrer les équations fondamentales

• Donner des outils simples d’expertise

• Justifier et éclaircir les modèles numériques

Première partie :

Notions de cinématique des milieux continus

T. Levi-Civita

Contexte

Cas des fluides

Il s’agit de déterminer, pour un écoulement donné :

• en chaque point de coordonnées

x, y, z

• à chaque instant

t

… les quantités suivantes :

• les 3 composantes de la vitesse

• la pression

Problématique

La mécanique des milieux continus a pour objectif de donner des outils mathématiques simples permettant :

• d’estimer les efforts (contraintes)

• de déterminer les déformations

… au sein d’un milieu déformable (béton, métal, sol, fluide, etc.)

Description spatiale

L. Euler J.-L. Lagrange

Représentation eulérienne et lagrangienne

Euler Lagrange

Points fixes (virtuels) Particules mobiles (réelles)

Deux approches…

• en théorie équivalentes

• complémentaires.

Dans un logiciel, les deux approches aboutissent à des modélisations

différentes et permettent de prédire des phénomènes différents :

Eulérien

Lagrangien

Champs de tenseurs

Conventions

• Convention d’Einstein :

• On omet souvent la dépendance explicite en

x

_i et

t

• Symbole de Kronecker : coefficients

δ

_ij de la matrice

( )

∑

=

=

3 , 2 , 1

,

i

k i i i

i

e A x t e

A

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

=

1 0

0

0 1

0

0 0

1 I

I e

x

e

y

e

z

On se donne une base orthonormée de vecteurs

e

_i. Les coordonnées spatiales (eulériennes) d’un

point sont notées

x

_k

(k = 1, 2, 3)

ou

x, y, z

.

( ^{x t} )

A

_k

,

( ) ∑ ( )

=

=

3 , 2 , 1

, ,

i

k i i

k

t A x t e

x A

( ) ∑ ( )

=

⊗

=

3 , 2 , 1 ,

, ,

j i

j k i

ij

k

t A x t e e

x A

vectoriel scalaire

10

20 30

On distingue différents tenseurs :

• Ordre 0 (scalaires) :

• Ordre 1 (vectoriels) :

• Ordre 2 (matriciels) :

Opérateurs différentiels (1)

Opérateurs « gradient »

• Vectoriel :

• Tensoriel :

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

∂

= ∂

∂

= ∂

z A y

A x

e A x A A

i

i

, ,

grad

=

∂ ⊗

= ∂

i j j

i

e e

x A A

grad

⎟⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

∂

∂ ∂

∂

∂

∂

∂

∂ ∂

∂

∂

∂

∂

∂

z A y

A x

A

z A y

A x

A

z A y

A x

A

z z

z

y y

y

x x

x

A grad A

60 70

80

Opérateur « rotationnel »

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

∂

∂

∂

− ∂

∂

∂

∂

− ∂

∂

= ∂

y A x

A x

A z

A z

A y

A A

^{z y}

,

^{x z}

,

^{y x}

rot

^{(rot A)}z > 0

x y

Opérateurs différentiels (2)

i

i

x

x A A

A ∂ ∂

= ∂

=

Δ div grad

²

Opérateurs « Laplacien »

• Scalaire :

• Vectoriel : _j

i i

j

e

x x A A

A ∂ ∂

= ∂

= Δ

2

grad div

Opérateurs « divergence »

• Scalaire :

• Vectorielle :

z A y

A x

A x

A A

^{x y z}

i i

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∂

= ∂ div

∂ =

= ∂

i j ij

e x A A

div

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂ ∂

+ ∂

∂ + ∂

∂

∂ ∂

+ ∂

∂ + ∂

∂

∂

z A y

A x

A

z A y

A x

A

z A y

A x

A

zy zz zx

yz yy

yx

xy xz xx

div A > 0

Opérations élémentaires

Théorème de Green-Ostrogradski

•

Ω

: volume de contrôle

•

n

: normale extérieure unitaire au bord

∂Ω

n

Ω ∂ Ω

∫

∫

^Ω

^{div A d Ω =}

^∂Ω

^{A ⋅ n d Γ}

∫

∫

^Ω

^{div A d Ω =}

^∂Ω

^{A ⋅ n d Γ}

Opérations entre tenseurs

• Produit scalaire :

• Transposée d’une matrice :

• Produits matrice-vecteur :

• Produit de deux matrices :

• Trace d’une matrice :

• Double produit de deux matrices :

i i

B A B

A ⋅ =

j i ij

B e A

B A ⋅ =

A

ii

A = tr

B A

e A B A

B ⋅ =

i ij j

=

^T

⋅

( ^A

_ij

^e

ⁱ

^{⊗ e}

^j

)

^T

^{= A}

_ji

^e

ⁱ

^{⊗ e}

^j

( ^{A B} )

B A B

A : =

_{ij ji}

= tr ⋅

j kj i

ik

B e e

A B

A ⋅ = ⊗

Champ de vitesse

Notion de « particule » d’un milieu continu

• Ensemble de molécules suffisamment grand pour définir une vitesse statistique :

• … mais suffisamment petit pour demeurer microscopique ! (Typiquement, ∼

10

⁻⁵

m

)

( ) ( )

∑

( )

=

=

^A

A A

N

k

v

k

v N

1

1

A

Molécule Particule ℓ

L’approche statistique est nécessaire :

• Pour utiliser correctement la notion de vitesse à l’échelle moléculaire ;

• Pour obtenir un champ de vitesse régulier (continu et dérivable) (

ms

⁻¹)

v(ℓ)

ℓ ℓ₀

( ) ( ) ^{x , t v A}

₀

u

_i

≡

Î On appelle quantité de mouvement la grandeur ρ

u

(

u

est donc la quantité de mouvement par unité de masse)

Autres champs

Champ de densité

• Définition :

• Comme la vitesse, c’est un champ régulier (

kg.m

⁻³)

( ) ( )

( )

∑

( )

=

= ρ

≡

ρ

⁰

0 1 0

, 1

A

A A

N

k

k

i

m

t V x

Dérivée matérielle (ou lagrangienne) d’un champ

• Taux de variation d’un champ en suivant une particule :

z dz dy A

y dx A

x dt A

t dA A

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

N N

n) (convectio transport

grad A u t

u A x

A t

A dt

dA

eulérienne dérivée i

i ne

lagrangien dérivée

⋅

∂ +

= ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

Particule à l’instant t

Particule à l’instant t + dt

u(x_i,t)

A(x_i,t)

A(x_i+dx_i,t+dt)

inertie

u t u

u dt

u

d + ⋅

∂

= ∂ grad

Î Accélération d’une particule :

Déformation d’un milieu (1)

( )

[ ^{u u}

^T

]

s grad grad 2

1 +

=

Î On introduit le tenseur taux de déformation :

ou _ij ^{i j}

s

_ji

x u x

s u ⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

∂

= ∂ 2 1

( )

' ' 2

r d s r dt d

r d r d

d ⋅ = ⋅ ⋅

• Dérivée d’un produit scalaire de vecteurs élémentaires :

( ) ( ) ( )

dt r d r d

d r dt d

r d d dt

r d r d

d '

' = ⋅ ' + ⋅

⋅

dr dr’

( )

( ^grad ) ^{' grad '}

' grad

' grad

r d u r

d r d u

r d

r d u r

d r d r d u

T

⋅ + ⋅ ⋅

⋅

=

⋅

⋅ +

⋅

⋅

=

dr

u(r+dr)

( ) ( ^{r r} ) ( ^{u r d r} ) ( ) ^{u r u d r}

u(r)

dt d dt

r d

d = ' − = + − = grad ⋅

Tenseur taux de déformation

• Dérivée lagrangienne d’un petit vecteur matériel :

Déformation d’un milieu (2)

Interprétation du taux de déformation

• Taux de dilatation :

Î Il s’agit de la rapidité avec laquelle le matériau se dilate dans la direction

dr

( ) d r d r s d r dt

r d

d = 2 ⋅ ⋅

2

dr

u(r+dr)

( )

u(r)

r d s r dt d

r d r d

d ⋅ = ⋅ ⋅

2

( )

r d

r s d

r d

r d dt

r d d r

d 1 = ⋅ ⋅

• Taux de distorsion :

Î Il s’agit de la rapidité avec laquelle le matériau se distord dans le plan contenant

dr

et

dr’

2 '

r d

r s d

r d

r d dt

d θ = ⋅ ⋅

dr θ

dr’

θ

≈ θ

=

⋅ d r ' d r d r ' sin d r d r ' r

d

Dilatation

s s

s s

e s e e

s e

e s e

zz yy

xx

z z

y y

x x

tr

+ + =

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

=

( ) u

x s u

dt d d

d

_i

i

div

1 tr =

∂

= ∂ Ω =

⇒ Ω

représente donc le

taux de dilatation.

Î Exemple : le taux de dilatation de l’Univers en expansion est nommé par les cosmologues la constante de Hubble

H

₀

≈ 3.10

^–15

s

^–1

Taux de contraction / dilatation

Dans la base de diagonalisation de

s

:

( ) ( ) ( ) ( )

dt dxdy dz dxdz d

dt dy dydz d

dt dx d

dt d

d Ω = + +

( ) ( ) ( ) ( )

dt dz d dz dt

dy d

dy dt

dx d

dx dt

d d d

1 1

1

1 Ω = + +

⇒ Ω

M

e

x M

e

y M

e

z

dx dz dy

dxdydz dΩ =

M

Cisaillement

Taux de déformation scalaire

Par opposition, une mesure de la déformation du matériau, même en l’absence de dilatation / contraction, est donnée par le taux de déformation scalaire :

s s s

s

s = 2

_{ij ij}

= 2 :

^d

_tr

^Ω

_s

⁼

₌

^cte

₀

≠ 0

Invariants de déformation

s

Un tenseur diagonalisable possède 3 invariants (indépendants de la base), par exemple ses valeurs propres, ou encore les quantités ,

tr s

^p

p = 1, 2, 3

:

( ) [ ^tr ( ) ^tr ] ^{( det ) 0}

2

tr

²

1

^{2 2}

3

− s s + s − s s − s I =

s

(Cayley-Hamilton)

u s div tr =

tr 2

2

2

s

s s

s =

_{ij ij}

= tr s

³

= s

_ij

s

_jk

s

_ki

Exemple : cisaillement constant

Glissement linéaire à volume constant

On se donne une échelle de temps

τ

( ) ^{z e}

^x

^{z e}

^x

u

u = = τ

x z

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎝

⎛ τ

=

0 0

0

0 0

0

/ 1 0

0 gradu

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎝

⎛

= τ

0 0

1

0 0

0

1 0

0 2

s 1

( )

= τ

∂

= ∂

= +

= 1

2

2

^{2 2}

z s u

s s

s

_{xz zx xz}

Î D’une manière générale, le taux de déformation scalaire est l’inverse du temps caractéristique de déformation du matériau :

s

~ 1

τ

Vorticité

( )

[ ^{grad u grad u}

^T

]

2

1 −

=

ω ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

∂

= ∂ ω

i j j

i

ij

x

u x

u 2

1 Tenseur taux de rotation ou vorticité

Partie antisymétrique du gradient des vitesses :

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ^{⎟ ⎟}

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎝

⎛

−

−

−

=

⎟⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

∂

− ∂

∂

∂

∂

− ∂

∂

∂ ∂

− ∂

∂

∂

∂

− ∂

∂

∂ ∂

− ∂

∂

∂

∂

− ∂

∂

∂

= ω

0 rot

rot

rot 0

rot

rot rot

0 2

1 0

0 0

2 1

x y

x z

y z

u u

u u

u u

z v y

w z

u x

w

y w z

v y

u x

v

x w z

u x

v y

u

= 0 s

)

(

x z

z x

e e

e e ⊗

− ⊗ ω

= ω ω ω

+

= s u

grad

Déformation pure

Rotation pure

Deuxième partie :

Equations de bilans des milieux continus

A.-L. Cauchy

Bilans

∫ ( )

∫

∫

∫

Ω

Ω

∂ Ω

Ω

⎥⎦ Ω

⎢⎣ ⎤

⎡ +

∂

= ∂

Γ

⋅ +

∂ Ω

= ∂ Ω

d u t A

A

d n u A t d

Ad A dt

d

div

bords les

travers à

flux locale

variation

Bilan d’un champ sur un volume matériel

On considère un volume

Ω

constitué d’un nombre fixé de particules, Et on note

n

le vecteur normal unitaire extérieur à sa frontière.

La variation (lagrangienne) de l’intégrale d’un champ sur ce volume est due :

• à la variation intrinsèque du champ en chaque point

• au mouvement du volume de contrôle

n

( ) ^t

Ω

( ) ^t

Ω

∂

( ) ^{x t}

u

_i

, n

( ^{t + dt} )

Ω ∂ Ω ( ^t + ^dt )

Équation de continuité (1)

( ) ⁰

div ρ Ω = ∫ ρ ⋅ Γ >

∫

^Ω

^{u d}

^∂Ω

^{u n d}

u

< 0

∂ ρ

∂ t

∫ ( )

∫

^Ω

=

Ω

Ω

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡ + ρ

∂

= ∂ρ Ω

ρ u d

d t dt

d

M

div

( ) ⁰

div ρ =

∂ +

∂ρ u

t = 0

∂ ρ + ∂

∂

∂ρ

i i

x u t

Cas général

On dresse un bilan de densité (

A

=

ρ

⁾

La conservation de la masse

M

contenue dans

Ω

^donne

ou

Illustration monodimensionnelle

Modèle de l’autoroute :

Conclusion : un ralentissement crée un bouchon

x u

t ∂

ρ

− ∂

∂ = ρ

∂

Zone de

ralentissement

Autre forme de l’équation générale

En séparant le terme sous le digne divergence : ou

… l’équation de continuité s’écrit encore : à rapprocher de

Équation de continuité (2)

i i i

i i

i

u x x

u x

u

∂ ρ + ∂

∂ ρ ∂

∂ = ρ

∂ div ( ) ^ρ u ^{= ρ} div u ⁺ u ^⋅ grad ^ρ

dt u

d div

1 ρ = −

ρ ( )

dt u d d

d 1 Ω = div Ω

Cas incompressible

(

ρ

^{= cte) :}

ou ou

Î On se ramène dans ce cas à la conservation du volume.

Remarque : un fluide n’est jamais vraiment incompressible.

Il s’agit en réalité d’une propriété d’un écoulement donné.

0

div u = = 0

∂

∂

i i

x

u = 0

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

z w y

v x

u

Retour sur les bilans

Ainsi, la dérivée lagrangienne et l’intégrale commutent :

… même si

ρ

varie, mais uniquement si

Ω

est un volume matériel ! Î En particulier, pour la densité (

B

= 1):

∫

∫

^Ω

^{ρ Bd Ω =}

^Ω

^{ρ dB} _dt ^{d Ω}

dt d

= 0 Ω

∫

^Ω

ρ ^d dt

d

( )

∫ ( )

∫

∫

Ω Ω Ω

⎥⎦ Ω

⎢⎣ ⎤

⎡ + ρ + ρ ⋅

∂ + ∂ρ

∂ ρ ∂

=

⎥⎦ Ω

⎢⎣ ⎤

⎡ + ρ

∂

= ∂ρ Ω ρ

d B u

u t B

t B B

d u t B

Bd B dt

d

grad div

div

é) (continuit

0

=

Bilan massique sur un volume matériel

Cas où

A

=

ρB

⁽

B

représente la densité de

A

par unité de masse) :

Flux d’une quantité physique

ou encore :

Î Pour la densité (

B

=

1

) : (conservativité de la masse)

∫

∫

^Ω

^ρ dt ^{d Ω = −}

^Ω

^{q d Ω}

dB

B

div

q

B

u t B

B dt

dB 1 div

grad ⋅ = − ρ

∂ +

= ∂

i B i i

i

x

u q x B t

B

∂

∂

− ρ

∂ = + ∂

∂

∂ 1

= 0 q

B

∫

∫

^Ω

^{ρ Bd Ω = −}

^∂Ω

^{q ⋅ n d Γ}

dt

d

B

n

( ) ^t

Ω

( ) ^t

Ω

∂

( ) ^{x t}

q

^B _i

, Bilan massique d’une quantité physique B

L’intégrale d’un champ

B

varie à cause d’un flux (sortant)

q

^B de cette quantité à travers les bords, dû à différentes raisons physiques :

Exemple : traceur passif

Finalement :

•

K

_C (

m

²

s

⁻¹) est le coefficient de diffusion du traceur (positif)

• Des termes-source

S

_C peuvent apparaître (réactions chimiques, etc.) Î Si

C

ne dépend pas de

u

, l’équation est linéaire en

C

! (si

S

_C l’est…)

( ^K

_C

^C ) ^S

_C

u t C

C + ⋅ = +

∂

∂ grad div grad Equation de transport d’une substance C

Bilan massique de la quantité

C

(concentration, par exemple)

Il est nécessaire de proposer un modèle pour le flux :

ou encore :

1 q

^C

= − K

_C

grad C ρ

q

C

u t C

C 1 div

grad ⋅ = − ρ

∂ +

∂

1 à supérieurs

ordres d' termes 0

,

...

1

1 +

∂

− ∂

= ρ

ρ

^C _i

C i C

i

x

K C q

q

q

C

Modes de transport de la quantité C

Il y a deux manières de communiquer une information dans un milieu continu :

• La convection (transport par la matière en mouvement)

• La diffusion (passage de proche en proche par « contagion »)

Convection et diffusion

Î Le phénomène de diffusion homogénéise un champ au cours du temps (phénomène irréversible !)

convection diffusion

( )

_C

Diffusion C Convection

S C

K u

t C

C + ⋅ = +

∂

∂

div grad

grad

( ) ^{n n}

T = σ ⋅

Î Conclusion : en chaque point de l’espace, il existe un tenseur dit « tenseur des contraintes » tel que

σ

Contraintes dans un milieu continu

( ) ^{n T} ( ) ⁿ

T = − −

2

1 2 1

Efforts exercés sur une surface élémentaire

On considère une surface élémentaire

Σ

orientée par le vecteur

n

. La contrainte

T

exercée par le milieu sur le milieu par

unité de surface sur

Σ

vérifie la loi de l’action – réaction :

1 2

n T

1 2

Σ

σ

=

⇒ f div

∫

^∂Ω

^{σ ⋅ Γ}

=

⇒ F n d

Efforts exercés sur un volume

Les efforts intérieurs s’annulent mutuellement :

∫

∫

^Ω

^{Ω =}

^∂Ω

^Γ

= f d T d F

Ω

n T

Tenseur des contraintes

Tenseur des contraintes de Cauchy

Nous avons montré les résultats suivants :

Il existe un tenseur du second ordre tel que : ou

• Les termes diagonaux représentent les pressions / tractions

• Par convention, les sont négatifs s’il s’agit d’une pression

• Les termes extra-diagonaux ( ) représentent les cisaillements

• se mesure en pascals (force / surface)

n T = σ ⋅

σ

j ij

i

n

T = σ σ

ii

σ

ij

i ≠ j σ

ii

σ

τ = σ_xz

Pressions / tractions et cisaillements

La contrainte

T

exercée par le milieu sur le milieu par unité de surface sur

Σ

possède :

• une composante normale

p

(pression / traction)

• une composante tangentielle

τ

(cisaillement)

1 2

n p = σ_zz T

1 2

Σ

e_x e_y e_z

Équation de quantité de mouvement

Principe fondamental de la dynamique

C’est un bilan de quantité de mouvement :

extérieurs Champs s

Contrainte mouvement

de

Quantité

∫

∫

∫

^Ω

^{ρ u d Ω =}

^∂Ω

^{T d Γ +}

^Ω

^{ρ g d Ω}

dt

d ⁿ

Ω ∂ Ω

T

∫ g

∫

∫

^Ω

^{ρ d} _dt ^{u d Ω =}

^∂Ω

^{σ ⋅ n d Γ +}

^Ω

^{ρ g d Ω}

∫

∫

∫

^Ω

^{ρ ⎜} _⎝ ^{⎛ ∂} _∂ ^u _t ^{+ grad u ⋅ u ⎟} _⎠ ^{⎞ d Ω =}

^Ω

^{div σ d Ω +}

^Ω

^{ρ g d Ω}

Equations de Cauchy : g

ou

u t u

u σ +

= ρ

⋅

∂ +

∂ 1 div

grad

_i

j ij j

j i

i

g

u x x u t

i u +

∂ σ

∂

= ρ

∂ + ∂

∂

∀ ∂ 1

,

kj

jk

= σ

σ

⇒

Î Conclusion : est symétrique.

σ

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

σ σ

σ

σ σ

σ

σ σ

σ

= σ

zz yz

xz

yz yy

xy

xz xy

xx

e_x e_y n n

σ_xy=σ_yx

( )

( ) ( )

[ ] ( )

( ) ∫ ( )

∫ ∫

∫

∫

∫

Ω Ω

∂

Ω Ω

∂

Ω Ω

∂

Ω σ

− σ

− Γ

⋅ σ

×

=

Ω σ

δ

− σ δ

− Γ

⋅ σ

−

⋅ σ

=

⎟⎟ Ω

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ σ

∂

− ∂

∂ σ

− ∂ Γ σ

− σ

=

d d

n r

d d

n x

n x

x d x x

d x n x

x

jk kj

j k k

j j k k

j

j k k

j j

k k

j

A A A

A

A A

A A

A A A

∫

^Ω

^⎜⎜ _⎝ ^⎛ ∂ ^⎟⎟ _⎠ ^{⎞ Ω} σ

− ∂

∂ σ

= ∂ d

x x x x

M

_{i j} ^k _k ^j

A A A

A

Symétrie des contraintes

Calcul du moment des forces

Densité de force :

( )

∫

^∂Ω

^{× σ ⋅ Γ}

=

⇒ M r n d

∫

∫

^∂Ω

^{σ ⋅ Γ =}

^Ω

^{σ Ω}

= n d d

F div

∫

^Ω

^{× σ Ω}

= r div d

Résumé des équations obtenues

… soit 4 équations pour 9 inconnues (

u, v, w

et les 6 ) ! Î Il est donc nécessaire de fermer le modèle.

σ

ij

= 0

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

z w y

v x

u

z g y

w x z v w

y u w

x w t

w

z y

w x z v v

y u v

x v t

v

z y

w x z v u

y u u

x u t

u

zy zz zx

yz yy

yx

xy xz xx

∂ − σ

∂ + ρ

∂ σ

∂ + ρ

∂ σ

∂

= ρ

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

∂ σ

∂ + ρ

∂ σ

∂ + ρ

∂ σ

∂

= ρ

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

∂ σ

∂ + ρ

∂ σ

∂ + ρ

∂ σ

∂

= ρ

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

1 1

1

1 1

1

1 1

1

A. L. Cauchy

Equation de continuité

(milieu incompressible)

Equations de quantité de mouvement

(

z

vertical)

Loi de comportement

σ

ij

e

z

e

x

e

y

σ

zz

s

xz

σ

zz

s

xz

σ

zz

s

xz

3 échantillons de matériaux différents,

réagissant différemment à une même sollicitation

Idée maîtresse

• On ne connaît pas encore les contraintes , car elles dépendent du matériau considéré.

• Un matériau est caractérisé par une loi de comportement, reliant les contraintes aux déformations :

• La loi de comportement dépendant de la structure moléculaire du matériau, elle sera donnée par la thermodynamique.

( ) s

= f

σ

Troisième partie : Les équations de Navier-Stokes

C.-L.-M. Navier

Bilan d’énergie

( ) ∫ ∫

∫

∫

^Ω

^{ρ u d Ω =}

^∂Ω

^{σ ⋅ u ⋅ n d Γ +}

^Ω

^{ρ g ⋅ u d Ω −}

^Ω

^{σ s d Ω}

dt

d :

2

2

… puis on intègre sur un volume matériel :

u T ⋅

=

E

c

δ

=

s extérieure forces

des puissance

dissipée puissance

Energie cinétique

On multiplie l’équation de Cauchy par

u

:

( ) ^{u g u}

dt u u

d σ ⋅ + ⋅

= ρ

⋅ 1 div

( ) ^{u g u s}

u dt

d div :

2

2

= σ + ρ ⋅ − σ

ρ

⇒

( ^{div σ} ) ^{⋅ u = div} ( ^{σ ⋅ u} ) ^{− σ : grad u}

s :

σ

=

ij ij

s σ

=

s

e = σ :

est la puissance dissipée par unité de volume et de temps.

Ω

−

= P e E

_{c ext}

…ou encore

Résumé sur les flux

• La quantité −

T

_i

=

−

σ

_ij

n

_j représente le flux de

u

_i passant de vers à travers une facette orientée par

n

_i, par unité de temps, de surface et de masse.

• A un vecteur correspond un flux tensoriel

1 2

n

1 2

Analogie des lois de bilans

Toutes les équations vues présentent des formes semblables :

équation flux source

( ^K

_C

^C ) ^S

_C

u t C

C + ⋅ = +

∂

∂ grad div grad ^q

^C

^{= − ρ K}

_C

^{grad C} S

_C

ρ σ

=

⋅

∂ +

∂ 1 div

grad u u t

u q

^u

= − σ ₀

( ^u ) ^e

u t E

E

c

c

σ ⋅ −

= ρ

⋅

∂ +

∂ 1 div

grad q

^Ec

= − σ ⋅ u − e

Thermodynamique

o

int

s Q

E = σ

_{ij ij}

Ω +

( ^{= − Ω} )

− E

_c

P

_ext

e

… l’énergie cinétique dissipée

est convertie en énergie interne.

Premier principe

Il donne la variation d’énergie totale dans un milieu :

Q W

dE dE

dE

_c

+

_int

= = δ

_ext

+ δ

o

int

P Q

E

E

_c

+ =

_ext

+

Puissance dissipée par une déformation virtuelle

On se limite aux transformations sans échange de chaleur (par exemple à

T

constant), puis on fait varier la déformation. On obtient la puissance virtuelle associée à cette déformation :

ij T

ij

s

e

∂

= ∂ σ

⇒

^int

ij

T ij

ds

e

d

_int

= σ Ω

=

_int

/

int

E

e

Tenseur des contraintes d’un fluide

Détermination de σ

_ij

Pour un fluide, ne peut dépendre que des invariants de

s

_ij :

( ) (

^{2 3}

)

int

f s f tr s , tr s , tr s

e = =

( ) ^{tr ...}

tr 2

tr + μ

²

+ λ

²

+ α

= s s s

Rôle de la grandeur α (fluide incompressible)

Pour une petite déformation :

o o

int

tr s Q Q

e E

+ α

Ω

=

+ Ω

= dt

s d Ω

= Ω 1 s tr

e ≈ α tr

Q d

dE

_int

= α Ω + δ

( )

_{ij ij}

ij ij ij

ij ij

ij

s = αδ s + μ s s + λ s δ s

σ 2 tr

( )

_ij

ij ij

ij

= αδ + μ s + λ s δ

σ

⇒ 2 tr

( )

²

2

tr

tr s + μ s + λ s α

=

− p ^{⇒ σ}

^ij

^{= − p δ}

^ij

^{+ 2 μ s}

^ij

e = μ s

2

⇒

e

int

Pression et viscosité

Viscosité

• La quantité

μ

est appelée viscosité dynamique

• Elle est caractéristique d’un fluide donné et dépend de la température ; elle se mesure en

kg.m

^–1

s

^–1

• Les contraintes visqueuses sont les seules dissipatives, et

μ > 0

• On appelle fluide newtonien un fluide de viscosité constante (seul cas considéré dans ce cours)

I. Newton

Pression

• La pression

p

se mesure en

Pa

, comme les contraintes

• Elle existe parce qu’un fluide est toujours légèrement compressible :

• Elle est extrêmement sensible à de très légères variations

de densité. Il s’agit donc d’une nouvelle inconnue :

^{p = p} ( ^x

_k

^{, t} )

≈ cte

ρ

Exemples de comportements

Quelques exemples simples

• Cas d’un fluide au repos (

s

_ij

= 0

) :

… Les contraintes y sont isotropes.

ij

ij

= − pδ

σ

Résumé de la loi de comportement d’un fluide

⎟⎟

ou

⎠

⎞

⎜⎜ ⎝

⎛

∂ + ∂

∂ μ ∂ + δ

−

= σ

i j j

i ij

ij

x

u x

p u ^{σ = − p I + μ} ( ^{grad u +}

^T

^{grad u} )

ent) (cisaillem

τ

=

• Cas d’un écoulement simplement cisaillé : z

Flux de quantité de mouvement

u

x −τ^xz

z u

xz

∂

μ ∂

= τ

• Cas d’un écoulement purement rotationnel :

… Le frottement y est nul.

0

0 ⇒ τ =

=

s

Équations de Navier-Stokes (1)

Î

ν = μ / ρ

est la viscosité cinématique du fluide.

… à 20° C :

• Eau :

ν = 10

⁻⁶

m

²

s

⁻¹

• Air :

ν = 1,5.10

⁻⁵

m

²

s

⁻¹

• Mercure :

ν = 12 m

²

s

⁻¹

Introduction de la loi dans les équations de Cauchy

ou

g u

p u

t u

u + ν Δ +

− ρ

=

⋅

∂ +

∂ 1 grad

grad g

u t u

u σ +

= ρ

⋅

∂ +

∂ 1 div

grad

i i

i j

j i

i

u g

x u p

x u t

i u + ν Δ +

∂

∂

− ρ

∂ = + ∂

∂

∀ ∂ 1

, s

I

p + μ

−

=

σ 2

⎪⎭ ⇒

⎪ ⎬

⎫

Analyse physique des termes

Convection des vitesses

• Le terme de convection est non-linéaire : (transport de la vitesse par la vitesse)

• Dans la suite, il sera important de comparer les ordres de grandeur de ces deux termes

j i j

i

u e

x u u

u ∂

= ∂

⋅ grad Diffusion des vitesses

• Le terme visqueux homogénéise le champ de vitesses en diffusant la quantité de mouvement

•

ν

joue le rôle d’un coefficient de diffusion des vitesses

• Il s’agit bien d’une conséquence du frottement

• Le changement

t

→ −

t

affecte le terme visqueux seul (irréversibilité)

t u

u + = + ν Δ

∂

∂ ... ...

( ^grad ) ^...

div

... = +

∂ +

∂

Δ

≡

C K

C

C

C t K

C