prédétermination et mise en oeuvre de différents correcteurs
RÉMISIESKIND –remi.sieskind@ens-cachan.fr
Table des matières
1 Identification de la fonction de transfert numérique
1.1 Passage par l’analogique
Pour s’affranchir des problèmes liés aux non-linéarités induites par les frottements secs, on se place autour d’un point de fonctionnement de la MCC (5V par exemple) et on applique un créneau lent (⇠1Hz) et de petite amplitude (1V ici). On obtient sur l’oscilloscope la figure ci-dessous :
FIGURE1 –Réponse indicielle de la MCC
A partir de cette figure, on en déduit le modèle analogique (du premier ordre) suivant : H(p) = K
1 +⌧p (1)
avecK'1,2et⌧'60ms.
La formule 1 1 H(p) ⇤ (système analogique discrétisé associé à un bloqueur
Asservissement numérique de la MCC
1.2 Transformée en Z
Pour commander la machine à partir d’une commande numérique, le système est placé entre un CNA (muni d’un bloqueur d’ordre 0) et un CAN. On peut calculer la fonction de transfert numérique avec la formule suivante :
Hz(z) = (1 z 1)Z{L 1{H(p)
p )⇤}} (3)
On obtient alors :
Hz(z) = K(1 e Te⌧ )
z e Te⌧ (4)
Les coefficients correspondants sont calculables avec Matlab, à l’aide de la commandec2d.
1.3 Réponse indicielle
La commandesteppermet de tracer la réponse indicielle du système en boucle ouverte :
FIGURE2 –Réponse indicielle du système en boucle ouverte
On peut ensuite réaliser la boucle de rétroaction unitaire à l’aide de la commandefeedbacket obtenir de même la réponse indicielle :
FIGURE3 –Réponse indicielle du système bouclé
Ci-dessous, la mise en oeuvre des commandes citées ci-avant :
FIGURE4 –Code Matlab utilisable
2 Correcteur P
Asservissement numérique de la MCC
FIGURE5 –Réponse indicielle pourK= 1,10,30,70
Il appraît clairement que le système reste imprécis (on atteint jamais 1 en valeur asymptotique). De plus on ne peut pas se permettre d’augmenter trop le gain (risque de déstabilisation, le système bouclé est du second ordre).
2.2 Influence de T
eIl est intéressant de mettre en lumière un autre phénomène, celui de l’influence du choix deTe sur la stabilité du système. Pour ce faire, on compare les réponses indicielles (pour les mêmes gains que précédemment) pourTe= 10 3setTe= 10 4s:
FIGURE6 –Réponse indicielle pourK= 1,10,30,70etTe= 10 3s
FIGURE7 –Réponse indicielle pourK= 1,10,30,70etTe= 10 4s
Il apparaît (pour le gain de 70) que lorsqu’on réduit la période d’échantillonnage, des oscillations ap- paraisent. Cela s’explique par le fait qu’en numérique, entre deux instantstett+Tede commande, le système est comme en boucle ouverte avec pour entrée la commande de l’instantt. Si l’on prendTetrès faible devant la dynamique du système, il se comporte comme s’il était commandé en continu (com- mande pseudo-continue). Mais siTeest plus grand, il peut répondre suffisamment vite pour dépasser l’échelon de consigne. En augmentant la valeur deTeà l’extrême, le système peut devenir totalement instable.
Un autre phénomène important concernant le choix deTe, la réponse indicielle analogique du système est "bruitée". Il ne s’agit pas d’un faible bruit ordinaire puisqu’il s’agit d’un artefact de mesure périodique.
En effet, pour mesurer la vitesse de la MCC, une deuxième MCC est entraînée par la première, et on mesure la f.é.m créée aux bornes d’une spire (image de la vitesse) via les collecteurs-balais. Le problème provient du changement de lamelle en contact du collecteur : pendant un instant, la tension mesurée décroît. La composante spectrale de ce phénomène périodique peut être ramenée au milieu du spectre numérique du signal si la période d’échantillonnage est mal choisie (repliement de spectre). Il convient donc de respecter le critère de Shannon et d’utiliser un filtre anti-repliement.
3 Correcteur PI
Pour rendre le système précis, on se propose d’utiliser un correcteur PI.
3.1 Cahier des charges et mise en oeuvre
On s’impose le cahier des charges suivant : – Réponse type premier ordre
– Dynamique identique au système non corrigé – Précision
Pour répondre à ce cahier des charges, on choisit de dimensionner le correcteur par compensation de pôles :
H (p) =K 1 +⌧Ip
= 1 +⌧p
(5)
Asservissement numérique de la MCC
sai avec "Euler avant" donne les mêmes résultats dans ces conditions précises (d’où les deux correcteurs différents implantés dans le schéma simulink de la partie suivante). On trouve :
Hcor(z) =(Te+⌧)z ⌧
⌧z ⌧ (6)
3.2 Performances
On peut alors simuler la réponse à un échelon du système corrigé.
FIGURE8 –Schéma Simulink de simulation des correcteurs
On obtient les figures suivantes :
FIGURE9 –Réponse indicielle du système corrigé comparé à la réponse indicielle du système simplement bouclé
On s’aperçoit que le système est précis, apparemment du premier ordre et on voit que pourKP = 1la dynamique est conservée et que pourHP = 2elle est deux fois supérieure. Forts de ces bons résultats en simulation, on va essayer de corriger le signal réel en prenant en entrée ADC la vitesse de la machine et en sortie DAC la tension de consigne, comme suit :
FIGURE10 –Schéma Simulink d’implantation du correcteur (MCC entre DAC et ADC du DSpace)
Une fois mise en place, la correction donne les résultats suivants :
FIGURE11 –Réponse indicielle du système corrigé réel
En vert figure la consigne envoyée dans le moteur, centrée sur5V (on observe un pic au début qui correspond à la consigne nécessaire pour respecter la dynamique - le moteur doit répondre comme si la vitesse demandée était plus importante au début) et la réponse en vitesse est visible en bleu. Désormais, avec la même dynamique qu’avant, le système est précis.
