N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
G ERONO
Notes sur quelques questions du programme officiel
Nouvelles annales de mathématiques 1resérie, tome 17 (1858), p. 46-48
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NOTES SUR QUELQUES QUESTIONS DU PROGRAMME OFFICIEL.
COMPLÉMENT Di: TRIGONOMÉTRIE RECTILIGJSE.
/ 'aleurs des sinus et cosinus des arcs ^ l , - , . . . , - , — , . . .
3 6 5 io Le coté du décagone régulier inscrit dans la circon- férence est égal à la plus grande partie du rayon divisé en moyenne et extrême raison. Construction géomé- trique. [Extrait du Programme officiel.)
En lisant cet énoncé, on pourrait croire qu'il s'agit d<î tiouvei, d'abord, la \aleui du sinus de—? et d'en con- clure, ensuite, que le côté du décagone régulier inscrit est égal à la plus grande partie du rayon divisé en moyenne et extrême raison \ mais la question a été autrement en- tendue clans les Traités de Trigonométrie rédigés confor- mément au Programme, car la \aleur du sinus de— a
0 IO
été déduite de celle du côté du décagone régulier inscrit.
Quant à la détermination de la valeur du côté du déca- gone , quelques auteurs se bornent à dire, en Trigonomé- trie : « Le côié du décagone régulier est égal, comme on sait, etc. » Je ferai observer qu'oM nen sait rien, si renseignement de la géométrie élémentaire a été, en tout, conforme au Programme officiel (*).
\\\ sujet do l'mscription des polygones réguliers dans le cercle, le d« la geometrie olementahe est d'une grande précision , il n v deux îmnietr* île 1 entendre Voici ce qu'on y troine « In^rwr-e
( 47 )
D'autres auteurs, et ceux-là me semblent s être mieux conformés à l'esprit du Programme, expliquent en trigo- nométrie comment on inscrit un décagone régulier dans le cercle,
Au reste, on peut trouver directement le sinus de— au moyen du calcul suivant :
Les deux arcs ( 3.—U ( a . — ) étant complémentaires,
\ l o / \ 1 0 / r 77
10
on a
• / o n \ ' ( n \
sin 3 . — = cos ( i . — •
V ' o / \
IO/
Mais
s i n
( 3 . ^
N) = 3 .
Si n ( - ) 4 ( V
V j \ïoj ^ \ i o /
Donc
( 2 . — ) = i — 2.. sin2 ( — | •
\ i o / \ i o /
(i OÙ
/ • / ^ \ • ( K \ o • / ff \
4 sinJ — ) — 2 . sin2 — } — 3 sin — ] •+- i — o.
\ i o / \ i o / \ i o /
D'après cela on voit que sin ( — J est racine de l'équa- tion
Cette équation est évidemment vérifiée par x = i. En divisant le premier membre p a r a : — 1? on trouve l*c- quation
}
dans un cercle de rayon donné un carré, un hexagone régulier. » II n'y en nullement question du décagone régulier.
( 4 8 ) qui donne
T • . . I-f-i/5 I • 1 ^ T
La racine positive -.—-— est le sin de — La racine
r
4
IO— ! — 1 / 5 , . . d e 3 7T
négative -.—— •> changée de signe, est le sinus —?
ou le cosinus de -= > comme il est facile de s'en assurer.
5
G.
