Théorie élémentaire des fonctions elliptiques

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

H. L AURENT

Théorie élémentaire des fonctions elliptiques

Nouvelles annales de mathématiques 2

série, tome 17 (1878), p. 247-252

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THEORIE ÉLÉMENTAIRE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES;

PAR M. H. LAURENT.

[SUITE (*).!

A.UTRE MANIERE POUR ARRIVER AUX FORMULES D ADDITION DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.

L'équaiion

dx <ly

t — x2 , i— k^x1) \J i —f1) . i — A'z)1)

( * ) Nouvelles Annales, 2e s e i i t ' , t, \ M 1 , p . 1 1 9 .

qui devient, par les substitutions x = sincf, y = sin<p,

) ,—=-

V I — X2s i n2c p

admet pour intégrale

I Jo

dx V dy

/ ' = c o n s t . ; / / 2

mais on peut lui trouver, comme l'ont prouvé Euler et Lagrange, une intégrale algébrique. Posons, à cet effet, avec Lagrange,

12 ) = J

\f Ï—

ou

( 3 ) -f- — \j\ — /^sinJ<p, —- p u i s

on aura

) <

f 2 \ dt d'où

dp !

dt ~ y

dq I d'où l'on tire

dt) dq\

s i n -

.y._,.

-v—

2 ' V

} ) A'( ] i / i

V

.ini / ^ -r/ . 2

. 2 p~ q

'2

o u e i i G J I

dp dq (b — — = — Mais, en difî'érentiant ( 3 ) , on a

d2o —/"- sin© cos o dw .

•—- — - T T —I — — k1 s i n » COSCP,

dt1

d'où l'on tire, par addition et soustraction,

. 7 '

I =z — A* Sinq COS/?.

De ( 6 ) el ( 7 ) , on lire

d2p COS7 d2q cosp dp d<[ sin<7 dp dq smp ou

d2p cosqdq d*q COSp dp dp binry dq sin/;

ou

dp . dq .

a et a' désignant deux constantes qui doivent rentrer l'une dans l'autre. En remplaçant p et q par leurs va- leurs dans ces formules, on a

( y / i — X2s i n2< p -\- y / i — X -2s i n2^ — a s i n ( c p — ^ ) ,

Ce sont là deux intégrales de la formule (1); mais, en

éliminant dt entre les deux formules précédentes, on

( a5o )

obtient une nouvelle intégrale. En effet, on a dp dq . .

—. — =r ——: on a sin « dp — a Sin 7 dq , a sin 7 a sin/>

et, en intégrant,

a cos/? — a

cos7 4- a", et!' étant une nouvelle constante, et Ton a

« 9 ) a COS ( y -f- ij; ; — a' COS ( y — -]/ ) -f- a " ,

O r , on peut mettre l'intégrale de la formule ( i ) sous la forme

r? dv rP <ty __ çy rip

«/o \ i — / » sin cp «y o yi—A sin-y «^ o yi—A sin p [x désignant u n e constante à laquelle se réduit cp p o u r iL J = o. Si, clans les formules ( 8 ) et ( 9 ) , on fait ó = o, on a

y71 — h2 sin' p. -J- 1 m a sin p ,

On en tire

v 1 — k2 sin2^ — 1 = a'sinpt, a COS p. = a' cos p. -}- ar /.

sin p.

1 , \J 1 — kl

' si

sin p.

ou

1 — X^ sin^f/. -1- 1 v 1 — /i2 sin2u. — r cos a — ; i cost/,

' s i n p

sin p.

En portant dans la formule (9) ces valeurs de a, a', a", on a

y 1 — A

sin-p -f- 1

À2 sin sin a

- cos ^ <f -t- v

2w. — 1

- i - COSp

et, en effectuant,

( i i ) cos © cos 4» — y/i — Â2sin2p. sin© sin -b z=. cos p.

Cette formule est u n e des intégrales les plus célèbres de l'équation (1)5 les formules ( 8 ) en fournissent deux autres :

1 — A-2 sin2© -f- \J 1 — y'i — X2 sin'u -4- 1 .

2^z — - c i r

sin p.

Ï2

sin © — 'b y ] — A2 sin2<p — y/i — /»'A sin2

X'2 sin2tx — 1 . .

— v sin : o 4 - ù >, sin p v ' 4 ;

identiques au fond à la formule (11).

M a i n t e n a n t , si l'on fait

f = = ei, f • -=_- = b9

Jo \j 1 — A'2 sin2© Jo vi — k* sin2^ la formule (1) donnera

donc

y 1 — À*2 sin2 p.

Les formules f 11) et (12) donneront alors

dn<2

\(a — b) — snasnb — en (a — 6), dn[a — b) -4-

~~snia-b)~

, . j dnia — b) — T , . . . dna H- dnb z= -——. '—,— (snacnb -h snbena).

sn a — b\

Si nous posons, u n instant, an [a — b)=j\ sn(a — b) = x.

nous aurons, au lieu de ces dernières formules,

a: [un a — ànb) — [y -+- i) (snacnfc — snbcna), x(dna -f- dn b) — [y — i) ! snacnb -f- snbcna), ou

xdna — y s n a c n b =— sn^cn^, ûcànb — rsn bcna — — snacnb.

On en tire

sn [a — b) z=

dn a -f- b —

dnbcnbsna —

snbdnbcnn — snaiinacnb

— .

dnucwbsna — duacnasni?

Si Ton multiplie haut et bas ces deux formules par l'expression conjuguée de leur dénominateur, on a, en observant que sn

acn*b — sn

bcn

a est égal à snVj — s n

i ,

,. , ,. dnbcnbsna—dnacnasnb

\ia) sn la — b) — —-~ 9

, -, . , ,. k

snambcnacnb-\-dnadn b

v 15 ; dn {a — 6 —

c. Q. F. i).