Note sur les piles de boulets

(1)

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

G UILMIN

Note sur les piles de boulets

Nouvelles annales de mathématiques 1

^re

série, tome 3

(1844), p. 30-32

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NOTE SLR LES PILES DE BOULETS.

PAR M. GUIUttlN ,

Vn< ICJI é l e v é <ie l ' e c o i c n o r m a l e .

Pour démontrer les formules qui servent à la sommation des piles de boulets, on emploie ordinairement celles qui sont relatives aux sommes des puissances semblables des termes d'une progression arithmétique, ou bien on a recours à la théorie des combinaisons : la démonstration suivante, qui n'emploie ni les unes ni les autris, m'a semblé plus simple.

Elle est fondée sur cette remarque. Une tranche de pile carrée de n boulets , sur chaque cote, peut être considérée comme l'assemblage de deux tranches de piles triangulaires, l'une de n boulets, Vautre de n— 1 boulets de côté.

C'est ce que l'on voit facilement en figurant une tranche de pile carrée, et tirant une ligne droite le long des boulets qui forment la diagonale.

D'ailleurs, on le voit facilement par l'identité suivante :

" =—7,— + —:;—•

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— 31 Car

**+ * = ^ et**

La première somme est, comme on sait, le nombre des boulets de la première tranche de pile triangulaire indiquée ; la deuxième est relative à la tranche de n— 1 boulets.

Par suite, en désignant par Qⁿ le nombre des boulets de toute la pile carrée, et par T^ , Tn_i les sommes de boulets de deux piles triangulaires, l'une de n tranches, l'autre de n — 1, on aura

Qn z=:: * n + *w—-î.

LTne pile triangulaire de n — 1 tranches est ainsi composée.

lre tranche, 1 boulet.

* id. 1 + 2 . 3e id. 1 + 2 + 3.

(TI—l)^e tranche, 1 + 2 + 3 + . . . +w—1.

Donc T^w_t=1(«—1)+2(/*—2)+3(7i—3)+. .(/*—l)(/i—(/*—1))

=/i(l+2+3-h...+7i—1)—(l+2^+3a+...(w-J)a).

En changeant « — 1 en 7^, ou 7* en /i + 1 , on aura Tw = (7i+ 1) (1 -+- î + 3 + ... + 7i) — (1 + 22 + 3?... /O

d'où Tn + Q» = (7i + 1) (1 + 2 + 3 + ... + 70.

Remplaçant Qn par la valeur ci-dessus, il vient 2Tn + T*_i = (« + 1) (1 + 2 + 3 + ... 7i).

Ajoutons des deux parts 1 + 2 + 3 + ... 7*, valeur d'une n* tranche, T^w~! deviendra éçal à Tn , et on aura 2T^M + Tⁿ

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— 32 —

ou 3 T

n

^ +

(» + 2)(n+l)n

°^{U Tn==} 1 . 2 . 3 Pile carrée.

La formule qui donne la somme des boulets d'une pile rec- tangulaire se déduisant facilement de la précédente, je n'a- jouterai rien de plus.