Le casse-tête d'avril qui requiert seulement un crayon bleu, un crayon rouge et une feuille de papier ordinaire a été conçu par Gustavus J. Simmons en 1969.
Il s'agit du jeu de Sim qui a pour terrain initial les six sommets d’un hexagone régulier numérotés de 1 à 6 dans le sens anti-horaire. Deux joueurs munis de deux crayons de couleurs différentes (Rouge et Bleu par exemple) s’affrontent en traçant à tour de rôle un des 15 segments (arêtes ou diagonales) qui relient ces sommets .Le premier joueur qui trace un triangle monocolore dont les sommets sont des sommets de l’hexagone a perdu .L’autre joueur est déclaré vainqueur.
Q1 Démontrer que quel que soit le déroulement d’une partie, il y a toujours un perdant (et donc un vainqueur)
Q2 Dans la figure n°1 ci-dessous, sept segments ont été tracés par les deux joueurs dont quatre par Bleu et trois par Rouge. C’est à Rouge de jouer. Prouver qu’il gagne la partie.
Q3 Dans la figure n°2, sept segments ont été tracés par les deux joueurs dont quatre par Rouge et trois par Bleu. C’est à Bleu de jouer. Prouver qu’il gagne la partie.
Solution proposée par Jean Nicot
Q1
- Remarquons que la numérotation des sommets n’a aucune importance. L’hexagone n’est pas nécessairement régulier, il ne doit pas avoir 3 sommets alignés.Si d’un sommet, par exemple 6, partent 3 segments, par exemple 6-1, 6-2, 6-3, de la même couleur, par exemple Rouge, les trois segments 1-2, 1-3, 2-3 seront perdants pour Rouge et l’un d’eux sera aussi perdant pour Bleu. Cette configuration génère obligatoirement un perdant.
On peut remarquer que les 6+6 premiers tracés génèrent obligatoirement un point triple ou, plus simplement, qu’avec le 7ème tracé d’un joueur unique, il existe au moins deux points triples. Il y a donc toujours au moins un segment perdant pour les deux joueurs, donc il y aura un perdant.
Il y a toujours un perdant dans chaque partie. Le second joueur peut plus facilement utiliser les segments déjà tracés pour réduire ses interdits, ce qui lui donne un avantage.
La stratégie des joueurs : ne pas jouer, si possible, sur un segment interdit pour l’adversaire, essayer de compléter un triangle ayant déjà deux côtés de couleurs différentes et générer le plus tard possible un point triple sauf s’il ne provoque qu’une interdiction.
Q2- Figure 1
Bleu avec son point triple 3, possède 4 interdictions : le triangle 256 et le segment 1-3.
Rouge joue 2-4 (4 triple mais une seule interdiction 1-3, commune avec Bleu).
Bleu peut jouer 4-5, ou 1-5 ou 4-6 (mais ni 1-3, 2-5, 2-6 ou 5-6).
Rouge joue 1-5 ou 4-5, Bleu aura encore une dernière possibilité de jeu.
Rouge a encore à sa disposition le coup 2-6 et gagne.
Q3- Figure2
Rouge a une seule interdiction 3-4 mais possède 2 chaines disjointes
Bleu joue 4-5, Rouge peut jouer 3-2, 3-5, 3-6-ou 1-5 (déconseillé car interdit à Bleu) et ne peut jouer 3-4, 4-6.
Bleu joue 3-6 (ou 3-2 si impossible). Rouge joue un des coups restants parmi 2-3 ou 3-5 ou bien 1-5.
Bleu 3-4. Rouge joue son dernier coup.
Bleu 4-6. Rouge n’a plus de possibilité et perd.
