Quand les volets des pièces n°i et n°j sont fermés l’un et l’autre, le châtelain va dans chacune d’elles et ne visite aucune autre pièce

H117 – Les manies du châtelain

Solution

Première observation : comme les nombres 5 et 14 sont des premiers relatifs, au bout de deux semaines, le châtelain a fait la première visite de toutes les chambres. En effet quelle que soit la chambre par laquelle il commence, n°1 par exemple mais tout autre nombre peut être retenu, on a la séquence suivante : 1, 6, 11, 2, 7, 12, 3, 8, 13, 4, 9, 14, 5, 10, 1 qui est représentée par le graphe suivant :

Si on appelle T la transformation qui résulte du passage du châtelain dans la i-ème chambre _i visitée pour la première fois dans la journée, on peut dire qu’à l’issue de quatorze jours, la position des volets résulte de la succession des transformations telles que

10 5 14 9 4 13 8 3 12 7 2 11 6

1.T.T .T .T.T .T.T.T .T.T.T .T.T

T appliquées à la position des volets le 1^er jour.

Dans la suite, on définit la position des volets par un 14-uple constitué de 0 et de 1, 0 signifiant que le volet est ouvert et 1 que le volet est fermé.

Par exemple si (0,1,0,0,1,1,0,0,0,1,0,1,1,0) désigne la position du 1^er jour P , on constate que ₀ selon la pièce par laquelle le châtelain débute ses pérégrinations, on a les positions suivantes :

T (1 P ) = (1,0,0,0,1,1,0,0,0,1,0,1,1,0), ₀ )

(P

T_{2 0} = (0,0,0,0,1,1,0,0,0,1,0,1,1,0), )

(P

T_{3 0} = (0,1,1,1,0,1,0,0,0,1,0,1,1,0) etc…

Deuxième observation qui donne la clé du problème :i,j, les transformations T_iet T_j sont commutatives, à savoir T_i.T_jT_j.T_i

On le vérifie avec par exemple T₇et T₁₂ appliquées à la position

P (0,1,0,0,1,1,0,0,0,1,0,1,1,0) donnée précédemment à titre d’exemple : 0 12

7.T

T (P₀)=T₇(0,1,0,0,1,1,0,0,0,1,0,0,1,0) = (0,1,0,0,1,1,1,1,1,0,0,0,1,0) et T₁₂.T₇ (P₀)=T (0,1,0,0,1,1,1,1,1,0,0,1,1,0) = (0,1,0,0,1,1,1,1,1,0,0,0,1,0) ₁₂

La démonstration plus générale de cette propriété consiste à examiner toutes les configurations possibles avec pour chacune des transformations i et j, les volets correspondants n°i et n°j ouverts

ou fermés ce qui donne 4 cas possibles puis pour chacun d’eux à voir si les pièces n°i et n°j sont séparées ou non par des pièces dont tous les volets sont ouverts. En effet quand tous les volets de ces pièces sont ouverts, tous les volets correspondants sont fermés en cascade et le châtelain peut être amené en partant de la pièce n°i à se retrouver le même jour dans la pièce n°j et réciproquement.

Quand les volets des pièces n°i et n°j sont fermés l’un et l’autre, le châtelain va dans chacune d’elles et ne visite aucune autre pièce. La commutativité est dans ce cas triviale.

Si l’un des volets (n°i ou n°j) est fermé, l’analyse reste simple car les fermetures en cascade ne peuvent se produire qu’avec une seule pièce.

Le cas le plus délicat est donc constitué des deux volets, n°i et n°j ouverts avec des volets tous ouverts ou non dans les pièces intermédiaires. On ne traitera pas dans le détail ce cas de figure mais là encore, l’analyse exhaustive n’offre pas de difficulté majeure.

Grâce à cette propriété de la commutativité, il est alors possible de permuter les

transformations dans un ordre bien déterminé. C’est ainsi que pour commencer on applique à la position initiale les transformations dont les numéros correspondent à des pièces dont les volets sont fermés. Pour chacune de ces transformations, le châtelain se déplace

quotidiennement dans une seule pièce dont il ouvre les volets. Dès lors, après toutes ces transformations tous les volets du manoir sont ouverts.

Le châtelain peut alors appliquer les transformations dont les numéros correspondent à des pièces dont les volets étaient initialement ouverts. En reprenant la question posée : « Qu’en est-il des volets de la pièce n°1 dont les volets sont ouverts le 1^er décembre », on applique d’abord la transformation T qui a pour effet d’entraîner la fermeture des volets dans toutes ₁ les pièces, le châtelain revenant une deuxième fois dans la pièce n°1 pour ouvrir les volets qu’il avait fermés en commençant la journée. Les transformations ultérieures sont d’exécution très simple car il s’agit d’ouvrir les volets qui avaient été fermés lors de T et à chaque fois le ₁ châtelain ne visite qu’une seule pièce.

La pièce n°1 voit donc ses volets ouverts le 15 décembre comme le 1^er décembre et on peut ajouter que toutes les autres pièces retrouvent elles aussi leur configuration initiale.

A titre illustratif, on donne ci-après les deux tableaux qui montrent respectivement l’évolution réelle des volets ouverts/fermés à partir de la position initiale P avec comme ₀ première visite celle de la pièce n°1 et l’évolution des configurations des volets après reclassement des transformations en deux sous-groupes distincts.

Dans le 1^er tableau qui donne les transformations réelles, les pièces dont les volets ont changé de position ont été coloriés en jaune clair.

On vérifie bien ci-après dans ce 2^ème tableau qu’après les transformations 2,5,6,10,12 et 13,tous les volets sont ouverts (couleur rose clair) et le lendemain après T , ils sont tous ₁ fermés (couleur mauve) sauf dans la pièce n°1.