ISAE Analyse TD4 J.SAAB
1. Trouver les primitives des fonctions suivantes:
a) x22x+1+x 3; b) cossinx2x; c) exe+1x ; d) x2x+2; e)tanx; f) (1+x2) arctan1 x
2. En utilisant l’intégration par parties, évaluer:
a) R
2xarctanxdx; b)R
arctanxdx; c)R
x2lnxdx d)R
xe xdx; e)R
x2coshxdx f)R
(x2+ 7x 5) cos 2xdx
3. En utilisant deux intégrations par parties,évaluer:
a) R
e xcosxdx b)R
sinxcoshxdx
4. Evaluer:
a) R 2x+3
x2 5x+6dx; b)R 2x 1
x2 2x+5dx; c) R 2x+3
2x+1dx; d)R 4
x3+4xdx; e)R dx
(x 1)2x2
f)R 2x2
x4 1dx; g) R x4+x2
x2+x 2dx; h)R x3
(x2+1)2dx; i)R dx
(1+x2)3
5. Evaluer:
a) R
sin3xdx; b)R
cos2xdx; c)R 2
1+sinxdx d)R dx
sinxcosx;
6. Trouver les primitives suivantes:
a) R
tanh3xdx; b)R
cosh2xdx; c) R
coshx(coshx+ sinhx)dx d)R dx
coshx; 7. a) R dx
4+p
x; b)R dx
xp
x+1; c) R dx
xp
4 x2; d)R dx px(x 1)
8. Evaluer:
a) R
sin3xcos2xdx; b) R 1
a2cos2x+b2sin2xdx; c)R
sin 5xcos 3xdx; d) R sin2x
cos4xdx 9. Calculer simultanément les deux intégrales:
I=R
eaxcosbxdx J =Rax
sinbxdx
10. Evaluer les primitives suivantes:
I=R cosx
cosx+sinxdx J=R sinx
cosx+sinxdx 11. Trouver lorsquen! 1;les limites des sommes:
a) n2n+12 +n2n+22 + +n2+nn 2
b) p1+pn2+pn+pn
12. Calculer comme somme de Riemann, les intégrales:
a) Rb
axdx b)R2 1 x2dx 13. Calculer:
a) Re 1
0 ln(1 +x)dx b)R1
0 arctanxdx c) R1
1xexdx d)R2
0 e xjsinxjdx 14. Etablir les inégalités
a) jR1 0
cosnx
x+1 dxj ln 2 b)jRp3
1
e xsinx
x2+1 dxj 12e
1
15. Soit
In= Z 2
0
sinnxdx n2IN
CalculerI0; I1 et trouver une formule de récurrence entre lesIn:
16. SoitIn=n1R1 o
sinx
1+x2dx; n2N
Montrer quejInjest bornée et calculer lim
n!1In
17. Evaluer sans calcul l’intégrale suivante:
I= Z 2
0
cos3x cos3x+ sin3xdx 18. Soitf une fonction continue sur[0;1];on pose:
I= Z p1n
o
nf(x)
1 +n2x2dx; n2N (a) Montrer qu’il existe"2i
0;p1n
htel queI=f(")Arctanpn
(b) En déduire la limite deIquand n! 1
19. En utilisant le premier théorème de la moyenne montrer que:
6 Z 12
0
p dx
(1 x2)(1 k2x2) 6 q 1
1 k42
;k2<1
2
