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Exercices sur la continuité Exercice 1(avec solution)
Soit la fonction f définie par :
Etudier la continuité de f en x0 2 . Exercice 2
Soit la fonction g définie par : Etudier la continuité de f en . Exercice 3
Soit la fonction f définie par :
1- Montrer que f est continue sur IR . 2- Dresser le tableau de variation de f .
3- Déterminer l’image par f des intervalles suivants : .
Exercice 4(avec solution)
1- Montrer que l’équation : admet au moins une Solution dans l’intervalle
2- Montrer que l’équation : admet une solution unique dans l’intervalle .
3- on considère la fonction définie sur IR par :
Montrer que la courbe coupe l’axe des abscisses une seule fois Sur l’intervalle .
Exercice 5
On considère la fonction définie sur par : 1- Dresser le tableau de variation de f .
2- Montrer que l’équation : admet une solution unique dans et que .
3- Déterminer le signe de f sur .
2 2
3 2
2 4
2 1 4
x x
f x si x
x f
1 1
0 0 1
2
g x x si x
x g
0 0
x
3 2
1 3 1
f x x x si x
f x x si x
1;
; ; 1 ; 0;3
et IR3
2 1 5
x x x
1; 45 3
5 x 3 x 1
0;1
4 1f x x x
Cf
2; 1
IR f x
x3 2 x x 5
0f x
IR 1 2.
IR
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Exercice 6
On considère la fonction définie sur par : .
1- Montrer que l’équation : admet trois solutions différentes dans et déterminer l’intervalle de chaque solution.
2- Déterminer le signe de f sur . Exercice 7
On considère la fonction définie sur par : . 1- Montrer que f admet une fonction réciproque définie sur un intervalle J à déterminer .
2- Donner l’expression de pour tout x dans J.
3- Construire dans un repère orthonormé la courbe de f et déduit une Construction dans le même repère la courbe de .
Exercice 8
On considère la fonction définie sur par : . 1- calculer
2- Montrer que f admet une fonction réciproque f1 définie sur un intervalle J à déterminer.
3- Donner l’expression de f1
x pour tout x dans J.Exercice 9(avec solution)
on considère la fonction définie sur par : . 1- calculer
2- Etudier les variations de f sur .
3- Montrer que f admet une fonction réciproque définie sur un intervalle J à déterminer .
4- Donner l’expression de pour tout x dans J.
Exercice 10
Soit la fonction f définie sur IR par :
1- Déterminer la valeur de a pour laquelle f est continue sur IR.
2- Dresser le tableau de variation de f .
3- donner les images par f des intervalles et .
IR
f x x
33 x
2 1
0f x IR
IR
;1
f x
x22xf1
f
1x
f1
4;
f x
x 4 x3
lim
x f x
1;
f x
x 2 x21
lim
x f x
1;
f 1
f1 x
22 1 2 2 2
f x x si x x x a
f x si x
x
;1
2; 4
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Exercice 11
On considère la fonction définie sur par : . 2- Montrer que f admet une fonction réciproque définie sur un intervalle J à déterminer .
3- Donner l’expression de pour tout x dans J.
Exercice 12
On considère la fonction définie par : .
1- Déterminer et calculer les limites aux bornes de .
2- Montrer qu’il existe un réel 𝛼 dans tel que : . 3 - Soit g la restriction de f sur l’intervalle .
a) Montrer que g admet une fonction réciproque définie sur un intervalle J à déterminer .
b) Calculer
c) Donner l’expression de pour tout x dans J.
d) Montrer que : . Exercice 13
On considère la fonction définie par : . 1- Déterminer le domaine de définition de f . 2- Soit g la restriction de f sur l’intervalle .
a) Montrer que g admet une fonction réciproque définie sur un intervalle J à déterminer . b) Dresser le tableau de variation de .
c) Calculer . Exercice 14 :
Soit la fonction définie sur par :
1/ Calculer : et . Donner une interprétation géométrique aux résultats 2/ Montrer que :
a/
b/ Déduire que est continue en
1;1
21 f x x
x
f1
f1 x
1f x x
x
Df Df
5; 2 4
f
1;
g1
1 0
lim
x g x
g1
x
g1
g
2 12f x x x
Df
1;
I
g1
g1
1 1 g
f IR
13
2 3
( ) 1 ² 1 1
(1) 1 2
f x x x x
f
1
lim ( )
x
f x
1
lim ( )
x
f x
2 1
( ) 1 1 ²
x IR f x x
x x x
f x0 1
![1. Faire le tableau de variations de f . 2. Donner un majorant k de | f ′ | sur [0, 1].](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)