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GEOMETRIE ANALYTIQUE DE L’ESPACE Equations de droites et de plans
Prérequis : connaître les formules sur les équations de droites et de plans (param.
et cartés.) ainsi que les propriétés de parallélisme et de perpendicularité.
Solutions des exercices r écapitulatifs
1) Soient A(1,12,3) B(-1,10,1) a)
+
= +
= +
=
≡
λ λ λ 3 12 1
z y x d
b) (10,21,12) c) non
2) Soient A(2,-5,4) B(-1,-2,-7)
a) 11
4 3
5 3
2
−
= −
= +
−
≡ x− y z
d
b) )
3 , 109 6 , 9 (− −
c) ,3)
11 , 52 11 (19 −
d) α ≡21 x– y – 6 z – 23 = 0
3) Soient A(-1,-2,7) B(-1,0,4) C(2,1,-5) a)
−
−
=
+ +
−
= +
−
=
≡
µ λ
µ λ µ α
12 3 7
3 2 2
3 1
z y x
b) ,3)
3 , 53 10
( −
c) )
2 ,3 0 , 0 ( d) non
4) Soient A(12,-5,4) B(-1,-2,17) C(4,-2,-8) a) α ≡−15x+52y−3z−68=0
b) ,6,2) 15 (238
c) ,0,0) 15 (−68
d) β ≡−15x+52y−3z+52=0
5) 6
4 15 3 3
2
2 − = − =− −
≡ x y z
d
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6)
=
≡ =
=
≡ =
=
≡ =
2 : 1
//
3 : 1
//
3 : 2
//
y d x OZ
z d x OY
z d y OX
7)
a) a = - 3 et b = 11
b) 9
4 3
1 = −
= et b a
c) 19
7 19
1 =
= et b a
8) a=-2,5 9)
5 4 2
3 2
1
) 4 2, , 3 1
2 (
1
= −
−
−
− =
≡
−
=
∩
y z d x
d d
10) = ' ' 30°
2
cos 3 d où l angle vaut 11) α ≡ax+by+cz+d =0
il existe une infinité de plans exemple : α ≡8x+8y−5z=0
Votre plan convient ssi le produit scalaire ) 3 ,4 3 ,1 2 (1 ).
, , (a bc v
ur r
vaut 0 12)
+
= +
=
=
≡
=
− +
− +
−
≡
λ λ λ
4 3 4 1
3 1 3 4 2 1
4 )² 3 ( )² 2 ( )² 1 (
z y x d
z y
x S
où d' 0
0 1568 770
² 133
4 )² 4 3
3 4 (1 )² 3 2
1 3 (4 )² 2 1 (1
<
∆
= +
−
=
− + +
− + +
−
λ λ
λ λ
λ
pas d’intersection entre d et S
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13)
{ }
{ }
{ }
− −
=
∩
⊂
=
∩
=
∩
⊂
=
∩
=
∩
=
∩
5 ) , 4 5 , 1 5 (13
) 3 , 2 , 1 (
//
) 2 , 1 , 1 (
6 6
5 5 5 5 5
4 4
3 3 3 3 3
2 2 2
2 1 1
α
α α
α
α α
α α
α
d
d d d
d
d d d
d d
d
