Emily Clement 7 février 2017

Automorphismes intérieur de S _n

Emily Clement 7 février 2017

Référence :

— Cours d’algèbre de Daniel Perrin Proposition .1

Pour n‰6, AutS_n “IntS_n

Pour rappelle, si on a un groupeG, on définit les automorphismes intérieurs de G par : IntG“ i_g : x ÞÑ gxg^´1 ;g PG(

L’inclusion Ě est donc évidente.

Pour l’inclusion inverse, on va procéder par deux étapes :

Étape 1 : On montre que si un automorphisme de S_n transforme les transpositions en transpositions, alors il est intérieur.

Étape 2 : On montre que c’est le cas pour tout automorphisme deS_nen caractérisant les transpositions : elles sont d’ordre2, mais ce ne sont pas les seules...

Démonstration de Ď: :

Étape 1 : Un petit lemme : SoitϕPAutS_n, tel que ϕtransforme les transpositions en transpositions.

Or,Sest engendré par les transpositions de la formep1iqdonc on peut se restreindre aux transpositions de cette formes, notons les :

τ_i “ p1iq,@iě2

Parhypothèse, pour tout iě2,ϕpτ_iqest une transposition.

Or,ϕpτiqetϕpτjqne commutent par pour touti‰j, car commeϕest un morphisme injectif, si elle commuteraient,τi“ p1iqetτj “ p1jqcommuteraient, ce qui est exclut par simple calcul.

Donc ϕpτ_iq et ϕpτ_jq ne sont pas disjointes (sinon elles commuteraient), elles ont toutes deux à deux un seul éléments de leur support commun :

Posonsϕpτ₂q “ pα₁α₂qet alorsϕpα₁α₃q, oùpα₁,¨ ¨ ¨ , α_nq “ t1,¨ ¨ ¨ , nu.

Alorsϕpτ_iq “ pα₁, α_iq pour iě 3 car si on avait ϕpτ_iq “ pα₂, α₃q par exemple, on aurait alors :

pα₁, α₂q pα₁α₃q pα₂α₃q “ pα₁α₃q Autrement dit :

ϕpτ2qϕpτ3qϕpτ1q “ϕpτ3q 1

en regroupant à gauche dans ϕ car c’est un morphisme et en appliquant à gauche ϕ^´1 (c’est un automorphisme), on a τ2τ3τi “τ3 ce qui donne :

p12q p13q p1iq “ p13q

Ce qui est exclut.

De plus, lesα_i sont distincts@i, par injectivité de ϕ:ϕpτ_iq “ pα₁, α_iq,@iě2 On pose :α “

ˆ1 ¨ ¨ ¨ n α₁ ¨ ¨ ¨ α_n

˙

et comme :

α τi

loomoon

p1iq

α^´1“ pαp1qαpiqq

Alors :ϕetiα coïncident sur lesτi, qui engendrentS_n, donc surS_n. Donc :

ϕ“i_α PIntpS_nq

Étape 2 :

ϕest un automorphisme, donc envoie un élément d’ordre 2 sur un éléments d’ordre 2.

Les transpositions..ne sont cependant pas les seuls éléments d’ordre 2, il y a pas exemple ceux de la formespabq pcdq...

On va s’intéresser au centralisateur :

Cpsq “ gPS_n, gsg^´1 “s( Lemme .1

SoitsPS_n, on supposen“ ÿn

i“1

ik_i et quesest le produit de k₁` ¨ ¨ ¨ `k_n cycles disjoints :

k₁ cycles d’ordre 1, ...,k_n cycles d’ordren.

Alors :

|cpsq| “

n

ź

i“1

ki!i^ki

Siτ est une transposition,ϕpτq est d’ordre 2 donc comme ϕpτq PS_n il est décom- position en produit dektransposition, et comme i lest d’ordre2, elles sont disjointes.

Ici,ϕpcpτqq “cpϕpτqqcarϕest injective et un morphisme, d’où l’égalité :

|cpτq| “ |cpϕpτiqq|

Ici par rapport au lemme, pourτ :n“2k2`k1 etk“1etk2“n´2 donc :

|cpτq| “`

pn´2q!1¹˘

¨` 1!2¹˘

“2pn´2q!

Pourϕpτq :n“k`1`2kcar on a ktranspositions disjointes.

|cpϕpτqq| “ pn´2kq!1^pn´2kq¨k!2^k

“2^kk!pn´2kq!

Emily Clement page 2

Donc :

2pn´2q!“2^kk!pn´2kq!

Donck“1sauf pour n‰6

Doncϕpτq est le produit...d’une seule transposition..donc c’est une transposition ! Pour par l’étape 1, comme ϕenvoie toutes les transpositions sur les transpositions, on a montré que les automorphisme de S_n sont tous intérieur, sauf peut-être pour n“6.

Emily Clement page 3

Simplicité du groupe alterné

Emily Clement 7 février 2017

Référence : Perrin, Cours d’algèbre, page 28-29

simplicité du groupes alterné An

Proposition .1

Le groupeAn est simple pourně5

Corollaire .1

Pourně5, les sous-groupes distingués de Sn sontt1u,An,Sn

Interêt dans la leçon 103: on a un bon exemple de groupe simple Question à se poser : et en dessous de 5?

Quelques rappels bêtes mais importants : Définition .1

Sn est le groupe des permutations de l’ensembleJ1, nK

unk-cycle est une permutation particulièreσ“ pa1,¨ ¨ ¨, akq,ai PJ1, nK, où σpa_iq “a_i`1

Pourk“2 on parle de transpositions.

ε: S_n Ñ t´1,1u le morphisme signature tel queεpσq “ p´1q^k`1pour unk´cycle.

On noteA_n “kerpεq “ε^´1p1qle groupe des permutationspaires.|A_n| “ n!

2 “ |Sn| {2

Casn“5 :A₅ est simple.

Démonstration Démonstration du théorème :

#A5“5!

2 “60.

Dénombrons les éléments deA5 : On peut dénombrer le nombre de k´cycle dansSncomme

˜ n k

¸

pk´1q!:

— Le neutre, Id :1élément

— 3cycles : on en a20

— 5cycles : on en a

˜ 5 5

¸ 4!“24

1

— double transpositions à support disjoints, qui sont d’ordre2: on a

˜ 5 2

¸

“10

possibilités pour la première transposition, puis

˜ 5 3

¸

“3possibilités.

Soit un total de30choix si on prend l’ordre en compte, mais les transpo- sition commutent^˚0 donc on a en fait15choix.

On a dénombrer ainsi tous les éléments de A5. Soit H CG un sous-groupe distingué deG, non trivial.

On invoque le lemme suivant : Lemme .1

SiσPSn, est un cycle d’ordrep,σ“ pa1,¨ ¨ ¨, apqet siτ PSn, on a :

τ στ^´1“ pτpa1q,¨ ¨ ¨, τpanqq

Démonstration :

SixR tτpa1q,¨ ¨ ¨, τpanqu,τ^´1pxq R ta1,¨ ¨ ¨, apuet donc : τ στ^´1pxq “τ τ^´1pxq “x

Six“τpaiq,τ στ^´1pxq “τ σpaiq “τpai`1q

Il suffit, si on prendpi, j, kqet` i¹, j¹, k¹˘

:

σpi, j, kqσ^´1“ pσpiq, σpjq, σpkqq Donc, :

— SiH contient un élément d’ordre3, ils le contient tous.

— SiH contient un éléments d’ordre 5, il contient le5-Sylow engendré par cet élément, donc tous les5-sous-Sylow (ils sont conjugués), donc tous les éléments d’ordre5.p1q

H est un sous-groupe deGdonc par Lagrange,|H| |60“ |A5|.

On énumère les possibilités :

1. H contient les doubles transpositions : 16“15`1(on compte le neutre) ne divise pas60

2. H contient les3´cycles :20`1-60 3. H contient les5-cycles :24`1“25-60

DoncH contient au moins deux des trois types de permutations :|H| ě1` 15`20“36donc|H| “60.

DoncH“A5

Remarque .1

Pourp1qon invoque le théorème de Sylow : (5.7 dans Perrin) : Théorème .1 (Théorème de Sylow)

SoitGun groupe de cardinal|G| “p^αm,p-m

1. SiH ďG, qui est unp´groupe, il existe unp´Sylow,S, avecH ĂS 2. Lesp´Sylow sont tous conjugués (et donc leur nombrekdivisen) 3. k”1 modp

Emily Clement page 2

Remarque : une version plus poussés pour l’histoire des 3´cycles conjugués : On utilisera pour cette démonstration les lemmes suivants :

Lemme .2

Sině5:

Le groupeAn estn´2fois transitif surJ1, nK: si on aa1,¨ ¨ ¨ , an´2distincts etb1,¨ ¨ ¨, bn´2 distincts,DσPAn tel que :

σpaiqbi

Démonstration :

Il suffit d’écriret1,¨ ¨ ¨, nu “ ta1,¨ ¨ ¨, an´2, an´1, anu “ tb1,¨ ¨ ¨, bn´2, bn´1, bnu et on poseσtelle queσpaiq “bi

Siσest paire : Ok

Sinon, on prendσ˝ pan´1, anq

Dont le corollaire nous sera utile : Corollaire .2

Sině5, les cycles d’ordre 3sont conjugués dansA_n

Démonstration : SoitσPSn

Cas général An est simple pour ně5 Démonstration :

E:“J1, nK, SoitHCAn, non trivial.

SoitσPH,σ‰1.

Ramenons nous au cas précédent : Construire une permutation deAnqui ait n´5point fixes.σ‰1doncDaPE, tel queb“σpaq ‰a.

SoitcPE tel quec‰a, b, σpbq.

On poseτ“ pacbqle3´cycle.

b“σpaqdoncF “ ta, b, c, σa, σb, σcuest de cardinalď5 ρ:“τ στ^´1σ^´1“τ`

στ^´1σ^´1˘ DoncrhopFq “F etρE´F “IdE´F

Quitte à rajouter des éléments, supposons|F| “5,ρ‰1carρpbq “τ σpbq ‰b, carσpBq ‰τ^´1pbq “c

SoitApFql’ensemble des permutations paires deF.

On pose :

ApFq Ñ An

u ÞÑ u: x ÞÑ

#upxq sixPF

x sinon

On a doncA5“ApFq

PosonsH0:“ tuPApFq |uPHu “HXApFq,H0CApFq »A5. ρ|F PH0,ρ|F ‰IdF

OrApFq »A5 est simple, doncH0“ApFq.

Soituun3´cycle deApFq, donc uPH0, doncuest un3´cycle dansH, or les3-cycle sont conjugués dansAn, ils sont donc tous dansH.

Or :

Emily Clement page 3

Lemme .3

Les3-cycles engendrentAn

On a doncH“An

Remarque .2

Pourquoi les3´cycles engendrentAn? Cf Perrin.

Emily Clement page 4