ATS 2021-22 TD EM4
EM4 - CONDUCTION ELECTRIQUE
1 Evanescence des charges volu- miques dans un conducteur**
Soit un métal conducteur de conductivitéγclassique.
o= 8.8 10−12 U SI
1. A l’aide de l’équation 3D de conservation de la charge et d’autres relations, déterminer l’équa- tion différentielle vérifiée par la densité de charge volumiqueρdans le matériau. Résolvez la en sup- posant qu’il se trouve un amas de chargesρoà la date t = 0.
2. Exprimer puis calculer l’ordre de grandeur du temps caractéristique de disparition de l’amas de charges.
3. En déduire jusqu’à quelle fréquence de travail (imaginez le milieu soumis à une tension sinu- soïdale) peut-on négliger la présence d’amas de charges dans un métal (critère de validité de l‘approximation « dans un métal ρ= 0 »).
Réponse :τ =o/γ
2 Analyse d’une situation*
Soit une barre conductrice de longueur Let de sec- tionS. On la plonge dans un champ électrique E~ parallèle à sa longueur. Expliquer l’ensemble des phénomènes qui se produisent et décrire l’état final.
3 Conductivité à haute fréquence**
Dans un conducteur métallique les électrons libres (charge -e, masse m) de densité volumique n ont une vitesse d’ensemble~vpar rapport au réseau cristallin et sont soumis de la part de ce dernier à une force de "frottement" empirique en−m~v/τ. La gravité sera bien entendu négligée.
1. Donner l’origine de cette force et essayer d’inter- préterτ.
2. Les électrons sont d’abord soumis à l’action d’un champ électrique stationnaire E~o. En appliquant le PFD à un électron libre, déterminer l’expres- sion de sa vitesse limite~vl.
3. Désormais, les électrons sont mis en régime sinu- soïdal forcé sous l’action d’un champ électrique E~ =E~o.eiωt. En appliquant le PFD à un électron libre, déterminer l’expression de sa vitesse ~v en RSF.
4. En déduire l’expression de la densité de courant et établir une loi d’Ohm complexe~j =σ. ~E. On exprimera la conductivité complexeσen fonction deσo=ne2τ /met deωτ.
5. Commenter la valeur de σdans les cas extrêmes ωτ 1 etωτ 1.
Réponse : 2)~vl=−eτmE~o, 3)~v=1/τ+iω−e/mE, 4)~ σ= 1+iωτσo
4 Etude d’un fusible**
D’après ses standards, un fusible de type T doit cou- per son courant nominal en une durée ∆t comprise entre 10 et 100 ms. Vérifier que le fusible suivant respecte cette norme. Question bonus : pourquoi existe t’il une limite basse de ∆t?
Données constructeur : fusible en plomb (Pb), courant nominal 1A, sectionS= 2.5 10−3mm2.
Autres données : cP b = 0.129 J/g.K ; µP b = 11,3 103 kg/m3 ; γP b= 4.8 106 S/m ; Tf us.P b= 327.5◦
5 Paratonnerre**
On fournit deux documents : l’un représentant en fonction du temps l’intensité du courant transportée par un éclair, et l’autre décrivant une pointe de paratonnere de la marqueDuval Messien :
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Acier inoxydable, longueur 2m, masse 4.5 kg Autres données :
µacier= 8 103 kg/m3, γacier= 5.9 106 S/m 1. Estimer la charge totaleQtransportée par l’éclair
en vous appuyant sur un document.
2. Calculer la résistance électrique R du paraton- nerre.
3. Evaluer l’énergie totale EJ reçue par effet Joule par le paratonnerre. On précisera tous les détails de la modélisation choisie.
4. L’ordre de grandeur des chaleurs latentes de fu- sion des métaux est de 1M J/kg. Qu’en conclure ? Réponse : 3) EJ ≈270J
6 ARQS*
1. Jusqu’à quelle fréquence (en ordre de grandeur) peuvent osciller des signaux parcourant un circuit de TP (travaux pratiques) pour qu’il puisse être considéré dans l’ARQS ?
2. Le réseau électrique russe peut-il être considéré dans l’ARQS ?
7 Risque de la foudre, position à prendre en cas d’orage***
Un éclair impacte le sol, qui reçoit en ce point un courant I = 5.104 A supposé constant sur la durée consi- dérée. Le sol est modélisé par un demi-espace conducteur de conductivité (faible) σ = 10−2 S.m−1. On supposera que dans le sol, la densité des courants est de la forme
~j=j(r). ~Ur en coordonnées sphériques.
gradA~ =∂A
∂r~ur+1 r
∂A
∂θ~uθ+ 1 rsinθ
∂A
∂φ~uφ
1. On suppose le problème stationnaire pour simpli- fier. En déduire quej(r) =I/(2πr2).
2. Exprimer le champ électriqueE~ =E(r). ~Ur dans le sol et en déduire que le potentiel vaut V(r) = I/(2Πσr).
3. Soit un homme jambes écartées, dont la distance maximale entre 2 points de son corps au contact du sol est environ a = 1 m et dont la résis- tance (du corps) entre ces 2 mêmes points est R = 2.5 kΩ. A quelle distance minimaleDm de l’impact doit-il se trouver pour être certain que son corps soit traversé par un courant inférieur à Im= 25mA(intensité mortelle).
4. La position allongée est-elle plus adéquate contre l’électrocution ? Quel est son avantage ?
Réponse : 3) Dmin= q Ia
2ΠσRIm = 110m
8 Densité volumique de courant*
Soit une solution électrolytique contenant c = 1,1. mol/Ld’ionsCl−(= atomes ayant un électron de trop).
Ces ions acquièrent une vitesse moyenne devo= 10−4m/s.
Calculer la densité volumique de courant au sein de la solu- tion ainsi que l’intensité traversant une section carré de côté a= 1cm. On donneNA= 6,02 1023
Réponse :j= 10,6kA/m2 etI= 1,1A
9 Résistance de différents conduc- teurs**
Chacun des trois conducteurs ci-dessous est parcouru par un courant d’intensité I uniformément réparti sur sa section droite. On note σ la conductivité électrique de ces conducteurs ohmiques.
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1. Exprimer les résistances électriquesR1,2,3 de ces conducteurs.
2. Exprimer la densité volumique de courant et le champ électrique à l’intérieur de ces conducteurs.
10 Résistance d’un conducteur non uniforme***
Déterminer la résistance électrique d’un tronc de cône de résistivité ρ; le tronçon de cône a une hauteur h et les rayons des sections sont égales àa1 et a2.
Aide : poser une variablezpour se repérer dans le matériau, découper le en tranches et sommer leur résistance élémen- taire...
Réponse :R=Πahρ
1a2
11 Conservation de la charge**
On cherche à accumuler des charges à la surface d’une sphère de rayon aen la mettant sous tension. On suppose que les charges ne peuvent subsister qu’en surface et on né- glige la section du fil devant la surface de la sphère. Initia- lement la sphère est neutre. L’ensemble des matériau est de conductivitéγ.
1. On suppose queI=cst(I= intensité du courant parcourant le fil auquel la sphère est reliée). En faisant un bilan de charge à la sphère, déterminer l’équation différentielle vérifiée par σ(t), densité surfacique de charges sur la sphère. Résoudre.
2. Reprendre la question précédente en considérant non plus que I = cst mais que l’extrémité du fil est sous un potentiel Vo fixé, tandis qu’on ap- pelleV celui de la sphère (cf nouveau schéma ci- dessous), dont on a montré dans un TD précédent qu’il était relié àσ :
V = aσ o
3. Retrouver la relation précédente entreV etσ.
Réponse : 1)σ(t) = 4πaIt2, 2)σ= Voao(1−e−t/τ) τ = 4πaDo/Sγ
12 Vitesse des porteurs de charge**
Un fil cylindrique de cuivre de section s = 1 mm2 est parcouru par un courant d’intensité I= 10 A. Données numériques :µ(Cu) = 8.8 103kg/m3,M(Cu) = 63.6g/mol, e= 1.6 10−19 C,NA= 6.02 1023atomes/mol.
1. Sachant que chaque atome de cuivre libère un électron libre (mobile), exprimer puis calculer le nombren∗d’électrons libres par unité de volume.
2. Exprimer puis calculer la vitessev des électrons dans le fil considéré.
Réponse : 1)n∗= 8.3 1028 m−3; 2)v= 7.5 10−4m/s
Synthèse du chapitre
Objectifs principaux Exos
Expression et calcul de l’intensité + lien avec la charge
4,5,7,8, 11,12 Expression et calcul de la densité de courant volu-
mique
3,8,12 Connaître et utiliser la loi d’Ohm locale 1,2,3,7
Savoir faire un bilan de charge 11
Connaître, démontrer et utiliser la loi d’Ohm inté- grale ou/et l’expression de la résistance
4,5,6,7 9,10,11 Connaitre et utiliser le critère de validité de l’ARQS 6
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