D ETERMINER LA CINEMATIQUE D ’ UN
MECANISME TD 05
Exercice 1 : EOLIENNE
On s'intéresse à une éolienne pour particulier (de puissance 18 KW comparée aux éoliennes industrielles dont le diamètre du rotor peut atteindre 125 m et qui fournissent 5 MW).
On donne ci-dessous, la photo et la représentation sous forme de schéma cinématique de cette éolienne.
Ce système est constitué de trois solides :
− le mât 0, de repère associé 𝑅0= (𝑂0, 𝑥⃗0, 𝑦⃗0, 𝑧⃗0), fixe par rapport au sol tel que l’axe (𝑂, 𝑧⃗0) soit dirigé suivant la verticale ascendante ;
− le corps 1, de repère associé 𝑅1= (𝑂1, 𝑥⃗1, 𝑦⃗1, 𝑧⃗1), en mouvement de rotation d’axe (𝑂, 𝑧⃗0) par rapport au mât 0 tel que 𝑧⃗0= 𝑧⃗1 et (𝑥⃗0, 𝑥⃗1) = 𝜃 ;
− les pâles 2, de repère associé 𝑅2= (𝐵, 𝑥⃗2, 𝑦⃗2, 𝑧⃗2), en mouvement de rotation d’axe (𝐵, 𝑥⃗1) par rapport au corps 1 tel que OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = bx⃗⃗1 (b constant), 𝑥⃗1= 𝑥⃗2 et (𝑦⃗1, 𝑦⃗2) = 𝛼.
Si un corps étranger percute une pâle au point de l'endommager, alors un « balourd » se crée (le centre de gravité 𝐺2 des pâles n’est plus sur l’axe de rotation des pâles), et des effets dynamiques (vibrations) peuvent apparaître et être à l’origine d’effort qui vont user anormalement certaines pièces du système.
Pour des calculs ultérieurs de dynamique, il est nécessaire de connaître la position de ce point 𝐺2 dans le repère 0.
Nous poserons la position du centre de gravité 𝐺2 des pâles 2 définie par : 𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑐 𝑧⃗2 2.
Question 1 : Colorier le schéma cinématique de l'énoncé.
Question 2 : Repérer les liaisons et les lister sur un graphe des liaisons. Préciser le paramètre de mouvement associé à chaque liaison. Indiquer le nombre de paramètres indépendants.
Question 3 : Réaliser les figures de changement de base en couleur (avec les mêmes couleurs), et écrire le vecteur rotation associée.
Question 4 : En déduire l’expression de Ω⃗⃗⃗(2/0).
Question 5 : Définir, puis indiquer les trajectoires 𝑇(𝐺2, 2/1), 𝑇(𝐵, 2/1), 𝑇(𝑂, 2/1), 𝑇(𝐵, 1/0), 𝑇(𝑂, 1/0), et 𝑇(𝐺2, 1/0).
Question 6 : Ecrire les vecteurs 𝑦⃗2, 𝑧⃗2 dans la base 1 et 𝑦⃗1, 𝑧⃗1 dans la base 2.
Exercice 2 : COPIE D'ELEVE
Les questions suivantes sont indépendantes.
Question 1 : Corriger les 3 erreurs suivantes :
Question 2 : Corriger les 3 erreurs suivantes :
Question 3 : Corriger les 14 erreurs suivantes :
x⃗⃗1= 𝑥⃗0cos α + 𝑦⃗0sin α x⃗⃗0= cosαx⃗⃗1− sinαy1 y
⃗⃗1= − sin α x⃗⃗0+ cos y⃗⃗0 y⃗⃗0= sinαx⃗⃗1
Ω(1/0) = α 𝑧⃗ Ω⃗⃗⃗(1/2) = β(t) 𝑦⃗1
Question 4 : Nommer les liaisons suivantes :
Exercice 3 : CAMION DE TRANSPORT
On s’intéresse à un camion de transport, dont une photo et un schéma cinématique sont donnés ci-dessous.
1
2
𝑧⃗1 𝑦⃗0
𝑦⃗1 𝑧⃗2
𝑥⃗2 β 𝑥⃗1
α 𝑥⃗0 𝑦⃗1 𝑥⃗1 𝑧⃗0= 𝑧⃗1
α β
0 1 2
liaison sphère cylindre de centre B
et d'axe (B, x⃗⃗1) liaison pivot d'axe
0 liaison glissière
d'axe x⃗⃗1
z⃗1
Ce système est constitué de quatre solides, listés ci-dessous avec leur repère lié :
− châssis 0, 𝑅0= (𝑂, 𝑥⃗0, 𝑦⃗0, 𝑧⃗0) ;
− corps 1 d’un des deux vérins hydrauliques, 𝑅1= (𝑂, 𝑥⃗1, 𝑦⃗1, 𝑧⃗1) ;
− tige 2 d’un des deux vérins hydrauliques, 𝑅2= (𝑂, 𝑥⃗2, 𝑦⃗2, 𝑧⃗2) ;
− benne 3, 𝑅3= (𝐶, 𝑥⃗3, 𝑦⃗3, 𝑧⃗3).
On donne les caractéristiques géométriques et les paramètres de position :
− le point O se situe à une hauteur ℎ = 1𝑚 par rapport au sol ;
− ‖𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖ = 3𝑚 ;
− 𝛼 = (𝑥⃗0, 𝑥⃗1), 𝛽 = (𝑥⃗0, 𝑥⃗3) et 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝜆 𝑥⃗1.
Pour éviter toute collision, le constructeur annonce que la hauteur maximale de la benne « levée » est de 5,84 m. Cela se produit lorsque :
− les tiges des vérins sont complètement sorties : 𝜆𝑚𝑎𝑥= 3,5𝑚 ;
− l’inclinaison des vérins par rapport au châssis est de 𝛼𝑚𝑎𝑥= 140° ;
− l’inclinaison de la benne par rapport au châssis est de 𝛽𝑚𝑎𝑥= 60°.
Question 1 : Colorier le schéma cinématique de l'énoncé.
Question 2 : Réaliser un graphe de liaison. S’il est défini, préciser le paramètre de position associé à chaque liaison.
Question 3 : Réaliser les figures de changement de base, et en déduire le vecteur rotation associé.
Question 4 : Que dire des bases 1 et 2 ? En déduire Ω⃗⃗⃗(2/1), puis Ω⃗⃗⃗(2/0).
Question 5 : Définir, puis indiquer les trajectoires 𝑇(𝐴, 3/0), 𝑇(𝐵, 3/0), 𝑇(𝐶, 3/0), 𝑇(𝐵, 2/1), 𝑇(𝐵, 1/0) et 𝑇(𝐵, 2/0).
Question 6 : Déterminer un vecteur position de A dans le repère 0, en fonction des paramètres de position et des caractéristiques géométriques.
Exercice 4 : CARROUSEL
On s'intéresse à un carrousel 1 qui tourne par rapport au sol 0 autour d'un axe fixe (𝑂, 𝑧⃗0). On pose 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑅 𝑥⃗1 et 𝜃 = (𝑥⃗0, 𝑥⃗1).
Question 1 : Ecrire le vecteur position du point A.
Question 2 : Déterminer la vitesse 𝑉⃗⃗(𝐴, 1/0). Vérifier l'homogénéité des résultats.
Question 3 : Déterminer l’accélération 𝑎⃗(𝐴, 1/0). Vérifier l'homogénéité des résultats.
On suppose maintenant la vitesse de rotation du carrousel constante θ̇ = ω = constante.
Question 4 : Que devient l'accélération 𝑎⃗(𝐴, 1/0) ? Dessiner les 3 vecteurs positions, vitesse et accélération en vue de dessus en couleur.
Question 5 : Que peut-on dire des directions d'un vecteur de norme constante et de sa dérivée ?
Exercice 5 : LE BIONIC BAR DU PAQUEBOT HARMONY
(Support proche du Robot Ericc, TP Mines-Pont X-ENS PSI)
Meet two robotic bartenders who know how to shake up your night out. They can mix, muddle, and stir it up too.
With moves as fluid as the Pimm’s in your cup, they can create an almost endless combination of cocktails, whether it’s a classic Manhattan or a custom order of your own design. Just order by app on the nearby tablets and watch your bionic mixologist do its thing. Designed and powered by the minds at Makr Shakr, the Bionic Bar® is making history at sea.
Le chariot S1, auquel on associe le repère 𝑅1= (𝐴, 𝑥⃗1, 𝑦⃗1, 𝑧⃗1), est en mouvement de translation de direction y0 par rapport au bâti S0, de repère 𝑅0= (𝑂, 𝑥⃗0, 𝑦⃗0, 𝑧⃗0).
Le corps S2, auquel on associe le repère 𝑅2= (𝐴, 𝑥⃗2, 𝑦⃗2, 𝑧⃗2), est en mouvement de rotation autour de l'axe (𝐴, 𝑧⃗1) avec le chariot S1.
Le bras S3, auquel on associe le repère 𝑅3= (𝐵, 𝑥⃗3, 𝑦⃗3, 𝑧⃗3), est en mouvement de rotation autour de l'axe (𝐵, 𝑦⃗2) avec le corps S2.
On donne ci-dessous un extrait du cahier des charges :
Exigence 1 Afin que la boisson ne soit pas renversée, il est nécessaire que la pince avance horizontalement selon 𝑥⃗0 à vitesse constante V par rapport au châssis du robot.
Question 1 : Colorier le schéma cinématique de l'énoncé.
Question 2 : Réaliser un graphe de liaison. S’il est défini, préciser le paramètre de position associé à chaque liaison.
Question 3 : Réaliser les figures de changement de base en couleur et en déduire le vecteur rotation associée.
Question 4 : Que dire des bases 0 et 1 ? En déduire Ω⃗⃗⃗(1/0) et Ω⃗⃗⃗(3/0).
Question 5 : Définir les trajectoires 𝑇(𝑃, 3/2), 𝑇(𝐵, 3/2), 𝑇(𝐵, 2/1), 𝑇(𝑃, 2/1), 𝑇(𝐴, 2/1), 𝑇(𝐴, 1/0), 𝑇(𝐵, 1/0) et 𝑇(𝑃, 1/0).
Question 6 : Quels sont les paramètres du mouvement ? Sont-ils indépendants ?
Question 7 : Déterminer un vecteur position de P dans le repère 0, en fonction des paramètres de position et des caractéristiques géométriques.
Question 8 : Déterminer les produits scalaires et vectoriels suivants : x⃗⃗1. x⃗⃗1, x⃗⃗1. z⃗1, x⃗⃗1. x⃗⃗2, x⃗⃗2. x⃗⃗1, x⃗⃗1. x⃗⃗3, x⃗⃗1. z⃗3
x⃗⃗1∧ x⃗⃗1, x⃗⃗1∧ z⃗1, x⃗⃗1∧ x⃗⃗2, x⃗⃗2∧ x⃗⃗1, x⃗⃗1∧ y⃗⃗2, x⃗⃗2∧ z⃗1, x⃗⃗3∧ z⃗1, z⃗3∧ z⃗1, x⃗⃗1∧ x⃗⃗3, y⃗⃗1∧ z⃗3, x⃗⃗1. (x⃗⃗1∧ z⃗3) Question 9 : Déterminer le vecteur vitesse 𝑉⃗⃗(𝑃, 3/0) avec 2 méthodes. Vérifier l'homogénéité du résultat.
Question 10 : Déterminer le vecteur accélération 𝑎⃗(𝑃, 3/0). Vérifier l'homogénéité du résultat.
Question 11 : Projeter 𝑉⃗⃗(𝑃, 3/0) dans la base 0 et donner les 3 équations scalaire qui traduisent l'exigence 1. En déduire 𝛼̇, 𝛽̇ et 𝜆̇ en fonction de V, α, β, λ et des paramètres caractéristiques.
Une intégration numérique se fait facilement.
Exercice 6 : COPIE D'ELEVE
Question 1 : Corriger les 8 erreurs suivantes : a⃗⃗(A, 1/0) = Rθ̇2 x⃗⃗1+ θ̈ y⃗⃗1
V(B, 3/0)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = λ x⃗⃗2+ (λα̇ cos(β) + aα̇)𝑦⃗2− β̇ z⃗2
A⃗⃗⃗(B, 3/0) = −λα̇2 cos(β)x⃗⃗1− aα̇2 x⃗⃗1+ λ̈ x⃗⃗2− λβ̇2x⃗⃗2+ λ̇α̇ cos(β) y⃗⃗2+ λα̈ cos(β)𝑦⃗2− 2λα̇β̇ sin(β)𝑦⃗2+ λ̇α̇ cos(β) y⃗⃗2+ aα̈ 𝑦⃗2
− 2λ̇β̇ z⃗2− λβ z⃗2 Γ⃗⃗⃗(A, 1/0) = R(−θ̇2 x⃗⃗1+ θ̈ y⃗⃗1)
(et A en O) L
Exercice 7 : PRODUIT SCALAIRE
Question 1 : Calculer 𝑥⃗1. 𝑥⃗2, 𝑧⃗3. 𝑥⃗1, 𝑥⃗2. 𝑦⃗1, 𝑥⃗2. 𝑥⃗1, 𝑥⃗4. 𝑦⃗1
Question 2 : Calculer 𝑥⃗2. 𝑧⃗3, 𝑥⃗3. 𝑥⃗1, 𝑥⃗3. 𝑧⃗2, 𝑥⃗2. 𝑦⃗1, 𝑧⃗1. 𝑧⃗4 Question 3 : Calculer 𝑦⃗3. 𝑧⃗4, 𝑧⃗3. 𝑦⃗1, 𝑥⃗3. 𝑥⃗4, 𝑥⃗3. 𝑦⃗4, 𝑧⃗1. 𝑦⃗4
Exercice 8 : PRODUIT VECTORIEL
Question 1 : Calculer 𝑦⃗1∧ 𝑦⃗2, 𝑥⃗1∧ 𝑦⃗2, 𝑦⃗1∧ 𝑧⃗2, 𝑧⃗2∧ 𝑥⃗1
Question 2 : Calculer 𝑥⃗2∧ 𝑧⃗3, 𝑥⃗3∧ 𝑥⃗2, 𝑧⃗3∧ 𝑦⃗2, 𝑧⃗2∧ 𝑥⃗3 Question 3 : Calculer 𝑧⃗3∧ 𝑧⃗4, 𝑥⃗3∧ 𝑦⃗4, 𝑦⃗2∧ 𝑥⃗4, 𝑦⃗4∧ 𝑦⃗3
Pour aller plus loin :
http://www.jdotec.net → Exercices interactifs → Calcul vectoriel https://sciencesindustrielles.com/logiciels → QCM Prod
Exercice 9 : PRODUIT VECTORIEL - CENTRIFUGEUSE DE LABORATOIRE
Une centrifugeuse de laboratoire est constituée d’un carter 1 en forme de bol, d’un rotor 2 auquel sont fixées des éprouvettes 3.
Les éprouvettes contiennent chacune deux liquides de masse volumique différente.
Sous l'effet centrifuge dû à la rotation du rotor 2, les éprouvettes 3 s'inclinent et le liquide dont la masse volumique est la plus grande est rejeté vers le fond des éprouvettes, ce qui réalise la séparation des deux liquides.
𝑦⃗1
𝑦⃗2
𝑥⃗1 𝑧⃗1= 𝑧⃗2
𝑥⃗2 α
𝑧⃗3
β 𝑦⃗2= 𝑦⃗3
𝑥⃗2 𝑥⃗3
𝑧⃗2
𝑦⃗4
𝛾 𝑥⃗3= 𝑥⃗4
𝑧⃗3 𝑧⃗4
𝑦⃗3
𝑧⃗1 𝑧⃗2
𝑦⃗1 𝑥⃗1= 𝑥⃗2
𝑦⃗2 α
𝑧⃗3 β 𝑦⃗2= 𝑦⃗3
𝑥⃗2 𝑥⃗3
𝑧⃗2
𝑥⃗4
𝛾 𝑧⃗3= 𝑧⃗4
𝑦⃗3 𝑦⃗4
𝑥⃗3
Le repère 𝑅1= (𝑂1, 𝑥⃗1, 𝑦⃗1, 𝑧⃗1) est associé au carter 1.
Le rotor 2 a un mouvement de rotation d’axe (𝑂1, 𝑧⃗1) par rapport au carter 1.
On pose 𝑅2= (𝑂2, 𝑥⃗2, 𝑦⃗2, 𝑧⃗2) le repère associé au rotor 2, 𝛼 = (𝑥⃗1, 𝑥⃗2) et 𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ℎ 𝑧⃗1𝑂2 1. L’éprouvette 3 a un mouvement de rotation d’axe (𝑂3, 𝑦⃗3) par rapport au rotor 2.
On pose 𝑅3= (𝑂3, 𝑥⃗3, 𝑦⃗3, 𝑧⃗3) le repère associé à l’éprouvette 3, 𝛽 = (𝑥⃗2, 𝑥⃗3), 𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑅 𝑥⃗2𝑂3 2 et 𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑙 𝑥⃗3𝐴3 3. Question 1 : Réaliser le schéma cinématique en couleur.
Question 2 : Réaliser les figures planes en couleur illustrant les 2 paramètres d’orientation et . Indiquer les vecteurs rotation.
Question 3 : Déterminer le vecteur 𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1𝐴3 .
Question 4 : Déterminer les produits scalaires et vectoriels suivants : x⃗⃗1. x⃗⃗1, x⃗⃗1. z⃗1, x⃗⃗1. x⃗⃗2, x⃗⃗2. x⃗⃗1, x⃗⃗1. x⃗⃗3, x⃗⃗1. z⃗3
x⃗⃗1∧ x⃗⃗1, x⃗⃗1∧ z⃗1, x⃗⃗1∧ x⃗⃗2, x⃗⃗2∧ x⃗⃗1, x⃗⃗1∧ y⃗⃗2, x⃗⃗2∧ z⃗1, x⃗⃗3∧ z⃗1, z⃗3∧ z⃗1, x⃗⃗1∧ x⃗⃗3, y⃗⃗1∧ z⃗3, x⃗⃗1. (x⃗⃗1∧ z⃗3) Question 5 : Déterminer le vecteur vitesse 𝑉⃗⃗(𝐴3, 3/1). Vérifier l'homogénéité du résultat.
Question 6 : Déterminer le vecteur accélération 𝑎⃗(𝐴3, 3/1). Vérifier l'homogénéité du résultat.
Exercice 10 : MAGIC ARMS
(D'après concours E4A, PSI, 1999)
Le « Magic Arms » est un manège fabriqué par la société WAAGNER-BIRO. Ses mouvements simultanés autour de trois axes, désorientent les 39 passagers embarqués qui ne savent plus reconnaître le dessus du dessous pendant quelques minutes.
La structure métallique d’environ 12 m de haut est composée de deux bras mobiles et d'une nacelle.
Les passagers assis dans la nacelle 3, sont parfaitement maintenus par un harnais. Pendant les 9 premières secondes du cycle, le bras principal 1 et le bras 2, sont liés l’un à l’autre, et commencent à tourner par rapport à la structure 0. En même temps, la nacelle 3 tourne autour de son axe. Après ces 9 secondes, le maximum de hauteur est atteint et les deux bras se désindexent et se mettent à tourner indépendamment l’un de l’autre. Tous les mouvements sont pilotés par un ordinateur.
Cette installation permet une combinaison de mouvements complexe qui assure des sensations fortes chez les utilisateurs.
Le paramétrage adopté est le suivant :
Soit R0= (O1, x⃗⃗0, y⃗⃗0, z⃗0) un repère orthonormé direct lié à la structure fixe 0.
Soit R1= (O1, x⃗⃗1, y⃗⃗1, z⃗1) un repère orthonormé direct lié au bras 1, en mouvement de rotation d’axe (O1, z⃗1) par rapport au bâti 0 tel que z⃗0= z⃗1et (x⃗⃗0, x⃗⃗1) = Ψ.
Soit R2= (O2, x⃗⃗2, y⃗⃗2, z⃗2) un repère orthonormé direct lié au bras 2, en mouvement de rotation d’axe (O2, z⃗2) par rapport au bras 1 tel que z⃗1= z⃗2 et (x⃗⃗1, x⃗⃗2) =θ
Soit R3= (O3, x⃗⃗3, y⃗⃗3, z⃗3) un repère orthonormé direct lié à la nacelle 3, en mouvement de rotation d’axe (O3, y⃗⃗3) par rapport au bras 2 tel que y⃗⃗2= y⃗⃗3 et (x⃗⃗2, x⃗⃗3) =α.
Question 1 : Réaliser 3 figures planes illustrant les 3 paramètres d’orientation Ψ, θ et α, puis en déduire le vecteur rotation traduisant chaque figure.
Question 2 : Déterminer les expressions de la vitesse et de l’accélération du passager situé en M : 𝑉⃗⃗(𝑀, 3/0), puis de 𝛤⃗(𝑀, 3/0).
On se place à un instant particulier t =19,8 s, où θ est petit, et α est petit, ce qui implique Ψ=0,28 rad, θ=0,1 rad et α=0,13 rad, ce qui implique
{
cos(𝜃) = cos(𝛼) = 1 sin(𝜃) = 𝜃 sin(𝛼) = 𝛼
Question 3 : A l'aide des simplifications ci-dessus, exprimer les vecteurs 𝑥⃗2, puis 𝑥⃗1 dans la base 𝐵3. En déduire, l'expression littérale de 𝑉⃗⃗(𝑀, 3/0), dans la base 𝐵3 à cet instant.
Question 4 : Sachant que 𝑎 = 3,9 𝑚, 𝑐 = 2,87 𝑚 et 𝑅 = 2,61 𝑚, et que pendant la plage [17s ; 27s] les vitesses angulaires sont constantes et valent 𝛹̇ = 0,84 𝑟𝑎𝑑/𝑠, 𝜃̇ = 0,94 𝑟𝑎𝑑/𝑠 et 𝛼̇ = −0,628 𝑟𝑎𝑑/𝑠, déterminer les valeurs numériques des composantes de 𝑉⃗⃗(𝑀, 3/0) dans la base 𝐵3 . En déduire ‖𝑉⃗⃗(𝑀, 3/0)‖.
Question 5 : Valider cette valeur à partir du graphique ci-dessous.
Question 6 : Donner ‖𝑉⃗⃗(𝑀, 3/0)‖, en km/h. Qu'en pensez-vous ?
Question 7 : Déterminer ‖𝛤⃗(𝑀, 3/0)‖ à cet instant à partir du graphe ci-dessous. À combien de g correspond-t-elle ? Qu'en pensez-vous ?
O1O2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = a y⃗⃗1+ b z⃗0
O2O3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = c y⃗⃗2
O3M
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = R z⃗3
Exercice 11 : MANEGE SPIN FLY
On s'intéresse au manège Spin Fly présent dans de nombreuses fêtes foraines.
Objectif : déterminer l’accélération subie par un client du manège, dans le but de de vérifier que la limite supportable (sans inconfort) par l'homme d'une valeur de 2g, ne soit pas dépassée.
Ce système est constitué de quatre solides :
– l'estrade 0 (plancher), de repère associé R0= (O, x⃗⃗0, y⃗⃗0, z⃗0), fixe par rapport à la terre telle que l’axe (O, z⃗0) soit dirigé suivant la verticale ascendante ;
– le plateau 1, de repère associé R1= (O, x⃗⃗1, y⃗⃗1, z⃗1), en mouvement de rotation d’axe (O, z⃗0) par rapport à l'estrade 0 tel que z⃗0= z⃗1et (x⃗⃗0, x⃗⃗1) = Ψ ;
– le bras 2, de repère associé R2= (B, x⃗⃗2, y⃗⃗2, z⃗2), en mouvement de rotation d’axe (B, x⃗⃗1) par rapport au plateau 1 tel que OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = b z⃗0 (avec b constant), x⃗⃗1= x⃗⃗2 et (y⃗⃗1, y⃗⃗2) = θ ;
– le disque 3, de repère associé R3= (B, x⃗⃗3, y⃗⃗3, z⃗3), en mouvement de rotation d’axe (B, z⃗2) par rapport au bras 2 tel que z⃗2= z⃗3 et (x⃗⃗2, x⃗⃗3) = φ.
La position du point D du disque 3 est défini par : BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = c x⃗⃗3 avec c constant.
Question 1 : Réaliser les figures de changement de base illustrant les 3 paramètres d’orientation. En déduire sous chaque figure, le vecteur rotation traduisant la figure.
Question 2 : Déterminer les trajectoires T(D,3/2), T(D,2/1), T(D,1/0), T(D,3/0) Question 3 : Déterminer les torseurs cinématiques {𝑉(3/2)}, {𝑉(2/1)}, {𝑉(1/0)}.
Question 4 : En déduire le torseur cinématique {𝑉(3/0)} au point B.
Question 5 : En déduire le torseur cinématique {𝑉(3/0)} au point D en montrant que :
𝑉⃗⃗(𝐷, 3/0) = 𝑐(𝜑̇ + 𝜓̇ 𝑐𝑜𝑠 𝜃)𝑦⃗3+ 𝑐(𝜃̇ 𝑠𝑖𝑛 𝜑 − 𝜓̇ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜑)𝑧⃗2
On se place dans le cas où le disque, le bras et le plateau tournent à vitesse constante : 𝛹̇ = 𝑐𝑡𝑒, 𝜃̇ = 𝑐𝑡𝑒 et 𝜑̇ = 𝑐𝑡𝑒.
Question 6 : Montrer que l'accélération 𝛤⃗(𝐷, 3/0) s'écrit :
Γ⃗(D, 3/0) = c(θ̇ sin φ − ψ̇ sin θ cos φ)ψ̇ sin θ x⃗⃗1− c(θ̇ sin φ − ψ̇ sin θ cos φ)θ̇y⃗⃗2
+ c(ψ̇2cos θ sin θ sin φ + 2φ̇θ̇ cos θ + 2ψ̇φ̇ sin θ sinφ)z⃗2− c(φ̇ + ψ̇ cos θ)2x⃗⃗3− c(ψ̇θ̇ sin θ)y⃗⃗3 La suite de l’étude consisterait à projeter ce vecteur dans une base unique afin de déterminer l’expression de sa norme.
Puis, après application numérique, il serait possible de vérifier, si la limite supportable par l'homme (2g) est dépassée.
Exercice 12 : COPIE D'ELEVE
Question 1 : Corriger les 4 erreurs suivantes :
ν⃗⃗(1/0) = { V⃗⃗⃗(C, 1/0) = 0⃗⃗
Ω⃗⃗⃗⃗(1/0) = α̇ z⃗0
C
Exercice 13 : TRAPEZE DE VITESSE
(D’après Centrale PSI 2017)
On s’intéresse au mouvement de translation d’un chariot, commandé par un trapèze de vitesse. On note Vmax la vitesse max, xmax le déplacement max et t1 t2 t3 les instants des 3 phases.
Question 1 : Tracer les 3 graphiques 𝑎(𝑡), 𝑉(𝑡), 𝑥(𝑡).
Question 2 : Déterminer la distance totale parcourue 𝑥𝑚𝑎𝑥.
Question 3 : Déterminer les lois du mouvement en complétant le tableau suivant :
0 ≤ t ≤ t1 : t1≤ t ≤ t2 t2≤ t ≤ t3
a(t) 𝑉(t) 𝑥(t)
Exercice 14 : BOEING-BELL V22 OSPREY
On s'intéresse à l'appareil de transport hybride américain Boeing-Bell V22 Osprey. Il s'agit du croisement entre un avion de transport militaire et un hélicoptère (voir FIGURE 1 et 2).
Marquant l'aboutissement d'un projet commencé 20 ans plus tôt, la production en série du V-22 Osprey a été lancée fin 2005. Au total, 458 exemplaires sont prévus pour équiper trois composantes de l'armée américaine : l'US Marine Corps, l'US Air Force et l'US Navy. En mars 2014, environ 150 sont en service dans l'USMC, 25 dans l'USAF1. (Vous pouvez également l'apercevoir dans le film Transformers).
Sa formule à moteurs basculants lui permet de décoller et atterrir verticalement, comme les hélicoptères de transport qu'il doit remplacer. C'est le premier appareil de ce type et de cette taille à être construit en série.
FIGURE 2 - Déploiement des moteurs, puis des pales
FIGURE 1 - Un V-22 Osprey, passant du mode « hélicoptère » au mode « avion »
Un extrait du cahier des charges du système est donné ci-dessous (voir FIGURE 3) :
OBJECTIF
L'objectif est de vérifier que la vitesse maximale en bout de pale respecte le critère du cahier des charges fonctionnel (CdCF) 1.2.1 . Une mauvaise étude cinématique pourrait entraîner une destruction des pales due au franchissement de la vitesse du son ou des efforts gyroscopiques trop élevé au moment de l'inclinaison des moteurs.
PARTIE I - VOL STATIONNAIRE EN MODE « HELICOPTERE »
Dans cette partie, le Boeing-Bell V22 Osprey est dans la phase de vie où il a décollé. Le véhicule est en mode « hélicoptère » et monte à la verticale à vitesse constante. Le fuselage (0) sera considéré comme un repère galiléen.
On donne le modèle cinématique simplifié des propulsions du V-22 Osprey ci-dessous (voir FIGURE 4).
FIGURE 4 - Schéma cinématique simplifié des propulsions du V-22 Osprey Fuselage 0
moteur 1 rotor 2
pale 3 FIGURE 3 - Diagramme des exigences du Boeing-Bell V22 Osprey,
extrait du CdCF
Avant de l'avion
𝑧⃗0
𝑥⃗0 𝑦⃗0
PARAMETRAGE
Nous allons utiliser le schéma cinématique partiel ci-dessous (voir FIGURE 5).
Le fuselage (0) est supposé fixe dans cette phase de vie. Le repère associé est le repère R0= (A, x⃗0 , y⃗0 , z⃗0), z⃗0 étant l'axe vertical ascendant.
Le moteur (1), en liaison pivot d'axe (A , x⃗0), par rapport au fuselage (0), a pour repère associé le repère R1= (A , x⃗1 , y⃗1 , z⃗1) tel que AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = L1z⃗1 et α =(y⃗0, y⃗1) =(z⃗0, z⃗1).
Le rotor (2), en liaison pivot d'axe (B , z⃗1), par rapport au moteur (1), a pour repère associé le repère R2= (B , x⃗2 , y⃗2 , z⃗2) tel que BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = L2x⃗⃗2 et β =(x⃗1, x⃗2) = (y⃗1, y⃗2).
La pale (3), en liaison pivot d'axe (C, z⃗2), par rapport au rotor (2), a pour repère associé le repère R3= (C , x⃗3 , y⃗3 , z⃗3) tel que CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = L3x⃗⃗3 et γ=(x⃗2, x⃗3) = (y⃗2, y⃗3).
Question 1 : Colorier les solides 0, 1, 2 et 3 sur le schéma cinématique de la FIGURE 5.
Question 2 : Réaliser, en utilisant les mêmes couleurs, les figures de changement de base ainsi que le graphe des liaisons.
Question 3 : Ecrire le vecteur position 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
Question 4 : Exprimer sous sa forme la plus réduite, la vitesse du point D dans le mouvement de 3/0 notée 𝑉⃗⃗(𝐷, 3/0).
PARTIE II - PASSAGE EN MODE « AVION »
On considère maintenant, la phase de vie où le V22 Osprey change de mode. Les pales sont complètement dépliées, ainsi 𝛄 = 𝟎 [rad] et 𝛄̇ = 𝟎 [rad/s]. Les rotors tournent et changent d'orientation pour passer du mode « hélicoptère » au mode « avion » 𝛂̇ = 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞 et 𝛃̇ = 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞 (voir FIGURE 1).
Question 5 : Que peut-on dire des bases 𝐵2 et 𝐵3 ? Ecrire Ω⃗⃗⃗(1/0), Ω⃗⃗⃗(2/1) et Ω⃗⃗⃗(3/2).
En simplifiant l’expression de 𝑉⃗⃗(𝐷, 3/0)déterminée à la question 4, avec les nouvelles hypothèses, montrer que celle-ci s'écrit
𝑉⃗⃗(𝐷, 3/0) = −𝛼̇𝐿1 𝑦⃗1+ ((𝐿2+ 𝐿3)𝛼̇ 𝑠𝑖𝑛 𝛽)𝑧⃗1+ (𝐿2+ 𝐿3) 𝛽̇ 𝑦⃗2 Question 6 : Ecrire l'accélération du point D dans le mouvement de 3/0 notée 𝑎⃗(𝐷, 3/0).
PARTIE III - VOL FACE AU VENT, AVEC PASSAGE EN MODE « AVION »
On modélise le vent par le torseur cinématique : V(𝑎𝑖𝑟/0) =
𝐷{ Ω⃗⃗⃗(𝑎𝑖𝑟/0) 𝑉⃗⃗(𝐷, 𝑎𝑖𝑟/0)=
𝐷{ 0⃗⃗
𝑉𝑣𝑒𝑛𝑡𝑦⃗0, avec 𝑉𝑣𝑒𝑛𝑡
constante.
Lorsque le rotor tripale tourne, toutes les pales n'ont pas la même vitesse relative par rapport à l’air et donc pas la même portance (voir FIGURE 6). On cherche à savoir quelle pale a le plus de portance.
𝐿2
𝐿1
A B
D 𝐿3
C 𝑧⃗1= 𝑧⃗2
𝑧⃗0
𝑥⃗0= 𝑥⃗1 𝑥⃗2
𝑥⃗3
0 1
2
3
𝑥⃗1 𝛼
𝛽
𝛾 𝑥⃗2
𝑧⃗2= 𝑧⃗3
FIGURE 5 - Schéma cinématique paramétré d'une propulsion du V-22 Osprey
On donne les valeurs numériques suivantes :
𝐿1= 3,5 𝑚; 𝐿2= 0,8 𝑚 ;𝐿3= 5 𝑚 ; 𝛼 = 45° ;
𝛼̇ = 1 𝑡𝑟/𝑚𝑖𝑛 ; 𝛽̇ =′412 𝑡𝑟/𝑚𝑖𝑛 ; γ = 0 𝑡𝑟 ; γ̇ = 0 𝑡𝑟/𝑚𝑖𝑛 ; 𝑉𝑣𝑒𝑛𝑡= 50𝑘𝑚/ℎ.
Ainsi que la position des trois pales, à l’instant de l’étude : 𝛽1= 20° ; 𝛽2= 140° ; 𝛽3= 260°.
Question 7 : Donner les vitesses angulaires 𝛼̇, 𝛽̇ et la vitesse 𝑉𝑣𝑒𝑛𝑡en unité SI.
Question 8 : Exprimer la vitesse 𝑉⃗⃗(𝐷, 3/𝑎𝑖𝑟) en projection sur la direction 𝑦⃗2pour déterminer la vitesse relative de la pale 3 par rapport à l’air, appelée « VENT RELATIF ». Vous utiliserez une composition des vitesses.
Question 9 : Faire l'application numérique pour les 3 pales. Reproduire et compléter le tableau suivant. Quelle pale a la vitesse relative la plus élevée et donc la portance la plus grande ?
Pale 1 Pale 2 Pale 3
Position angulaire de la pale 𝛽𝑖
Vitesse relative en bout de 𝑝𝑎𝑙𝑒𝑖/𝑎𝑖𝑟
Question 10 : Le critère 1.2.1 du cahier des charges est-il respecté ?
FIGURE 6 – Forces de Portance et Trainée sur une pale dans le repère local R3
force de portance
force de trainée Sens du déplacement
de la pale 3 par rapport à l’air
Sens du « VENT RELATIF » 𝑉⃗⃗(𝐷, 𝑎𝑖𝑟/3)
𝑧⃗3
𝑦⃗3 𝑥⃗3 D
