Un modèle mathématique des débuts de l'épidémie de coronavirus en France

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Un modèle mathématique des débuts de l’épidémie de

coronavirus en France

Nicolas Bacaër

To cite this version:

Nicolas Bacaër. Un modèle mathématique des débuts de l’épidémie de coronavirus en France.

Mathe-matical Modelling of Natural Phenomena, EDP Sciences, 2020, 15, pp.29. �10.1051/mmnp/2020015�.

�hal-02509142v7�

l'épidémie de oronavirus en Fran e

Ni olas Ba aër

∗

Math. Model. Nat.Phenom.15 (2020)29 doi: 10.1051/mmnp/2020015

hal :02509142

Tradu tions : [ar, de ,es , it,ja, nl, pt ,ru, zh℄, [html℄

Résumé

OnétudieunmodèlemathématiquedetypeS-E-I-Ràdeuxphases, ins-piré del'épidémiea tuelle de oronavirus. Siles onta tssont réduitsà zéro à partir d'une ertaine date

T

pro he du début de l'épidémie, la taille nale de l'épidémieest pro he de elle que l'on obtient en multi-pliant le nombre umuléde as

R(T )

à ette date parla reprodu tivité

R

0

del'épidémie.Plusgénéralement,siles onta tssontdivisésautemps

T

par

q > 1

desorteque

R

0

/q < 1

,alorslataillenaledel'épidémieest pro he de

R(T ) R

0

(1 − 1/q)/(1 − R

0

/q)

.Onajusteapproximativement lesparamètresdumodèleauxdonnéesrelativesau oronavirusenFran e.

1 Le modèle La gure 1

a

montre le nombre umulé de as onrmésde oronavirusen Fran eentrele 25févrieret le29mars2020; esdonnéesin luentàlafoisles laboratoiresdebiologiemédi aledevilleet lespatientshospitalisés[10℄.Ilfaut distinguerladatedu15marsàpartirdelaquelledesmesuresdrastiquesontété prisessubitementpourarrêterl'épidémie(fermeturedesé oles,desrestaurants, et .). Pour estrois dates, le nombre umulé de as onrmés est passé de13 à

5 423

puisà

40 174

. La gure1

b

montre lesmêmes données en oordonnées logarithmiques ainsi que des droites de régression linéaire. On observe trois périodes : dans la première, qui va jusqu'au 6 mars, la roissan e est rapide maisassezirrégulière;dansladeuxième,quivajusqu'au15mars,la roissan e estunpeumoinsrapidemaisrégulière;danslatroisième,àpartirdu16mars, la roissan e est ralentiemais toujoursrégulière. Si l'on ajuste une droite sur l'ensemble des deux premières périodes, qui va du 25 février au 15 mars, on

∗

Institut de re her he pour le développement, Unité de modélisation mathématique et informatiquedessystèmes omplexes,LesCordeliers,Paris,Fran e,ni olas.ba aerird.fr

trouveque lenombre de as roît omme

e

λt

ave untaux

λ ≃

0,31 parjour (droiterouge).Letempsdedoublementest

(ln 2)/λ ≃

2,2jours.Sienrevan he onselimite àladeuxièmepériode, ave desdonnéesquisontparti ulièrement bien alignées en é helle logarithmique, on obtient

λ ≃

0,225 par jour et un tempsdedoublementde3,1 jours(droitebleue).Commelesdonnéesdudébut del'épidémiesontperturbéesparunepartimportantedenouveaux asimportés et pardes eetssto hastiques, 'est probablementladeuxième estimation qui estlaplus able.Pourlatroisièmepériode,après lamiseen pla ede mesures drastiques,letempsdedoublementpasseà4,9jours.

0

5

10

15

20

25

30

35

0

20 000

40 000

10 000

30 000

5 000

15 000

25 000

35 000

45 000

15 mars

0

5

10

15

20

25

30

35

10

2

4

6

8

3

5

7

9

11

15 mars

ln(cas)

Figure1a)Nombre umuléde as onrmésenFran eentrele25févrieret le29mars2020,d'aprèsSantépubliqueFran eet[11℄.b)Logarithmenépérien de e nombreet droitesderégressionlinéaire.

Onvaétudierunmodèlemathématiqueinspiréde etteépidémie.Divisonsla populationen inq ompartiments,selonunevariantedumodèle lassique S-E-I-R(voirparexemple[3,p.61℄):sus eptibled'êtreinfe té(

S

),infe téenphase latenteautrementditnonen oreinfe tieux(

E

),infe tieuxsansprote tion(

I

),et retirédela haînedetransmissionenétant omptabiliséparmiles as onrmés (

R

1

) ou en ne l'étant pas (

R

2

). Cha un de es deux derniers ompartiments regroupedon àlafois euxquisonten oreinfe tieuxmaisisoléset euxquine sontplusinfe tieux arguérisoudé édés.Certainsmaladesontdessymptmes defaiblegravitéet restent hezeuxsanssefairetester,d'autreshabitentdans desmaisonsderetraitesetn'ontpasnonplusététestésmalgréles ompli ations voireledé ès; esont es atégoriesquel'onretrouvedansle ompartiment

R

2

. On peut évidemment raner à l'inni e modèle pour le rendre plus réaliste maisonaessayéi idelimiteraumaximumlenombredeparamètresin onnus; onaaussi pour but prin ipal d'obtenirun résultatthéorique relatifà lataille naledel'épidémie.

Notons

N

lapopulationtotale (supposéegrande)de sorteque

N = S(t) +

E(t) + I(t) + R

1

(t) + R

2

(t)

. Notons

a

le taux de onta t ee tif,

b

le taux auquelles personnes infe tées en phaselatente deviennentinfe tieuses, et

c

le taux moyen auquel les personnes infe tieuses sont isolées et don retirées de la haîne detransmission. Notons

f

la fra tion d'individusinfe tieux qui sont

omptabilisés parmi les as onrmésau momentde l'isolement(

0 ≤ f ≤ 1

); ette fra tion peut varier au l du temps mais on supposera pour simplier qu'elleest onstante.Alors

dS

dt

=

−a S

I

N

,

(1)

dE

dt

=

a S

I

N

− b E ,

(2)

dI

dt

=

b E − c I ,

(3)

dR

1

dt

=

f c I ,

(4)

dR

2

dt

=

(1 − f ) c I .

(5) Pour fairele lien ave lesdonnées dela gure1,

R

1

(t)

orrespondau nombre umulé de as onrmés à l'instant

t

. Si l'on note

R(t) = R

1

(t) + R

2

(t)

, on remarqueque

dR

dt

= c I .

(6)

Ave

R

1

(0) = R

2

(0) = 0

,onendéduitque

R

1

(t) = f R(t)

et

R

2

(t) = (1−f )R(t)

pourtout

t ≥ 0

.

Au début de l'épidémie, lenombre de as reste très petit parrapportà la populationtotaledesorteque

S(t) ≃ N

, equi onduitàlalinéarisation

dE

dt

≃ a I − b E,

dI

dt

= b E − c I.

Les ompartiments

E

et

I

maisaussiles ompartiments

R

1

et

R

2

tendentdon à roîtreexponentiellement omme

e

λt

,où

λ

estlaplusgrandevaleurproprede lamatri e



−b

a

b

−c



.

(7)

Lepolynme ara téristiqueest

λ

2

_{+ (b + c)λ + b(c − a) = 0.}

(8) Don

λ =

−(b + c) +

p(b + c)

2

_{− 4b(c − a)}

2

=

−(b + c) +

p(b − c)

2

_{+ 4ab}

2

.

(9)

[9℄indiquequeladuréed'in ubation, 'est-à-direlapériodeavantapparition dessymptmes,est de5à6jours.Lapériodedelaten epeutêtreunpeuplus ourtepuisqu'onpeutdevenirinfe tieuxavantdemontrerdessymptmes.On xeladuréemoyenne

1/b

danslaphaselatente

E

à4jours;don

b =

0,25par jour.

Laduréemoyennedansle ompartiment

I

avantisolement,quivaut

1/c

,est plusdi ile àestimer ar elle dépend de nombreux fa teurs. Elle dépend des ara téristiques biologiques du virus, des ara téristiques des individus telles queleur âge,mais ausside lapromptitude ave laquelle les as sont isolés, e quivaried'unpaysàl'autre.L'épidémieenFran ealieualorsqueleshabitants sontdéjàbienau ourantdel'existen edelapandémie;lesmaladesnetardent pastropàêtreisolés.Certainsneserontpasdutoutinfe tieux,d'autreleseront plusieursjoursavantd'être isolés.Supposonsquelamoyennesoitdel'ordrede 1jour,laformedumodèlesous-entendantqueladistributionestexponentielle. Onauraitunemoyennede etordredansunmodèleplusranésiparexemple 80%desinfe tésrestaient0jourinfe tieuxetsi20%restaient5joursinfe tieux avantd'êtreisolés.Enrésumé,ona hoisi

c = 1

parjour.

Ondéduitdelaformule(9)que

a =

(2λ + b + c)

2

_{− (b − c)}

2

4b

= (λ + c)



1 +

λ

b



.

(10)

e qui permettrait de al uler numériquement le taux de onta t ee tif

a

à partirdutauxde roissan eobservé

λ

.

Imaginons que des mesures de santé publique puissent diviser le taux de onta tee tif parunnombre

k

qui soitsupérieurà1.Combiendoitvaloirau minimum

k

pourarrêterl'épidémie?Cettevaleurde

k

,traditionnellementnotée

R

0

àlasuitedeLotkaetappeléeparluireprodu tivité[6,p.102℄,s'obtient simplementenremarquantquelorsque

a

estrempla épar

a

′

= a/R

0

,lenouveau tauxde roissan ede l'épidémie

λ

′

doitêtre nul, e qui d'aprèsl'équation (8) onduità

c − a/R

0

= 0

età

R

0

=

a

c

=



1 +

λ

b

 

1 +

λ

c



≃

2,33

si l'on utilise la valeur numérique

λ ≃

0,225 par jour suggérée par la ourbe épidémique delagure1.Vueslesin ertitudes sur lesparamètres

b

et

c

, e i nepeutêtrequ'unevaleurappro hée

1 .

Revenons aumodèle S-E-I-Rnon linéaire (1)-(6). Rappelons omment dé-terminerlataillenaledel'épidémieenl'absen e omplèted'intervention; 'est une adaptation fa ile et d'ailleurs bien onnue de la méthode utilisée pourle modèleS-I-R(voirparexemple[4,p.76℄).L'équation(1)montreque

d

dt

ln S = −

a

N

I(t).

Don enintégrantde

t = 0

à

t = +∞

,

ln S(∞) − ln S(0) = −

a

N

Z

∞

0

I(t) dt ,

(11)

1. Demanièrepluste hnique(voirparexemple[7℄),onauraitpuremarquerque

R

0

était aussilerayonspe traldelamatri e



0

a

0

0

 

b

0

−b

c



−1

.

où

S(∞)

désignelalimitequand

t → +∞

delafon tion

S(t)

quiestdé roissante etpositive.Comme

R(0) = 0

,l'équation (6)montreque

R(∞) = c

Z

∞

0

I(t) dt.

(12)

Parailleurs,onaàtoutinstant

S(t) + E(t) + I(t) + R(t) = N

.Quand

t → +∞

, l'épidémienitpars'arrêterdesorteque

E(t)

et

I(t)

tendentvers0.Àlalimite, ilnerestedon quelespersonnesquionté happéàl'épidémieet ellesquiont étéinfe téesmaisquisontpasséesdansles ompartiments

R

:

S(∞) + R(∞) = N.

(13)

En ombinant(11),(12)et (13),onvoitque

N − R(∞) = S(0) exp



−

a

c

R(∞)

N



.

Audébutdel'épidémie,iln'yaquequelquespersonnesinfe téesdansla popu-lation,don

S(0) ≃ N

. L'équationimpli ite pour lataille nale de l'épidémie peuts'é rire omme

1 −

R(∞)

N

≃ exp



−R

0

R(∞)

N



,

(14)

quisetrouveavoirlamêmeformequepourlemodèleS-I-R[4℄.Ave

R

0

≃

2,33, ontrouvenumériquement

R(∞)/N ≃ 87%

.Seule unefra tion

f

de es asest re ensée.

2 Deuxième phase ave intervention drastique Imaginons qu'à une ertaine date

T

, des mesures drastiques soient prises de sorte que le nouveau taux de onta t ee tif soit réduit à 0 alors qu'il y a

R

1

(T )

as onrmés umulés. Par exemple, il y avait en Fran e

5 423

as onrmés umulésau15mars,dateàlaquellesontentréesenvigueurlesmesures on ernantlesé olesetleslieuxpubli s.Peut-onalorsprévoirquelleauraitété sous es hypothèsesidéales lanouvelletaille nale del'épidémie

R(∞)

, ou du moins elle onrmée

R

1

(∞)

?

Verslandelaphaseexponentielle où

t ≤ T

et oùle nombretotalde as représenteen oreunepartinmedelapopulationtotale,ona

E(t) ≃ u e

λt

_,

_{I(t) ≃ v e}

λt

_,

_{R(t) ≃ w e}

λt

_,

où

(u, v)

est un ve teur propreasso ié àla plusgrande valeur propre

λ

de la matri e(7).Ainsi,

−b u + a v = λ u

.Ave l'équation (10),ontrouveque

u =

a v

λ + b

=

λ + c

b

v .

Comme

dR/dt ≃ λR

pour

t < T

lorsque

t

n'estpastroppro hede0,ona

I(T ) =

1

c

dR

dt

(T ) ≃

λ

c

R(T ).

Mais

I(T ) ≃ v e

λT

,don

E(T ) ≃ u e

λT

=

λ + c

b

v e

λT

≃

λ + c

b

I(T ) ≃

 λ

2

bc

+

λ

b



R(T ) .

Les onta tsétantsupposésréduitsàzéro,onapour

t > T

dS

dt

= 0,

dE

dt

= −b E,

(15)

tandisque les autres équations(3), (4)et (5) restentidentiques. Sans avoirà résoudre e système, il est lair que lataille nale del'épidémie sera

R(∞) =

R(T ) + E(T ) + I(T )

, puisqu'il ya

E(T ) + I(T )

individus infe tés qui nesont pasen oredansles ompartiments

R

autemps

T

.Ainsi

R(∞) ≃ R(T )



1 +

λ

2

bc

+

λ

b

+

λ

c



= R(T )



1 +

λ

b

 

1 +

λ

c



= R

0

R(T ) .

Puisqueàtout instant

R

1

(t) = f R(t)

,onendéduitaussique

R

1

(∞) ≃ R

0

R

1

(T ).

Ainsi,siles onta tssontréduitsàzéroàpartird'une ertainedatepro hedu débutdel'épidémie(assezpro hepourquel'approximationlinéairesoiten ore valable mais pastroppro he pour que lesystème linéarisé ait eu letemps de onverger vers leve teur propreasso ié àla première valeurpropre), alors la taille nale ( onrmée ou totale) de l'épidémie est pro he de elle que l'on obtientenmultipliantlenombre umulé de as( onrmésouautotal)à ette dateparlareprodu tivité

R

0

del'épidémie.Unrésultatsemblables'obtientde la même manière pour un modèle S-I-R. En annexe, on remarque ependant que e n'est plus

R

0

qui détermine le rapport

R(∞)/R(T )

dans les modèles ave une période infe tieuse qui n'est pas distribuée exponentiellement, mais uneexpressionplus ompliquée.

Ave

R

1

(T ) = 5 423

et

R

0

≃

2,33, ela donne

R

1

(∞) ≃ 12 600

.Soulignons en oreune foisl'in ertitudeautourdesparamètres

b

et

c

,quiseretrouvedans lavaleurde

R

1

(∞)

.

Notonsaupassagel'analogieave le on eptdepotentield'a roissement despopulationsendémographie[8,p.176℄.C'estlerapportentrelapopulation nalestationnaireetlapopulationàun ertaininstantsilafertilitéestdivisée subitementà et instantpar lareprodu tivité

R

0

, de sorte que lapopulation seretrouve ave un tauxasymptotique de roissan e nul. Comme dans notre al ul, 'estensupposantquelapopulationà et instanteststableausens deLotka( 'est-à-diredonnéeparlepremierve teurpropre)queKeytzaobtenu

fait aussi intervenir

R

0

quoique de manière plus ompliquée que pour notre modèleS-E-I-R[8,p. 179℄.

Notonsaussiquel'estimationde

R(T ) + E(T ) + I(T )

àpartirdeladonnée

R(T )

seuleestanalogueauproblèmequis'étaitposéauxdébuts del'épidémie deVIHpourestimerlenombredepersonnesséropositivesàpartirdunombre de asdé larésdeSIDA.

La gure2

a

illustre e modèle àdeux phases.On apris

N = 65 × 10

6

(la populationtotaledelaFran e)etles onditionsinitiales

S(0) = N − 1,

E(0) = 1,

I(0) = 0,

R(0) = 0.

(16)

Leparamètre

a

est donnéparlaformule (10)ave

λ =

0,225 parjour, omme danslagure 1.Ondispose de peu d'informationausujet duparamètre

f

, si en'est rétrospe tivementqu'ungrandnombrededé ès dusauvirus dansles maisonsderetraiten'étaientpas omptabilisésparmiles as onrmésaudébut del'épidémie;xonsparexemple

f =

0,5pourl'illustration.Onapris

T =

43,2 joursdesorteque

R

1

(T ) ≃ 5 438

soitpro hedeladonnée

5 423

du15mars.En poursuivantlasimulationunpeu pluslongtempsquedans lagure,ontrouve biennumériquementque

R

1

(∞)/R

1

(T ) ≃

2,33

≃ R

0

.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0

10 000

2 000

4 000

6 000

8 000

12 000

14 000

16 000

0

20

40

60

80

100

120

10

2

4

6

8

1

3

5

7

9

Figure2 a)Exempledesimulationdumodèleàdeuxphases.b)Lerapport

R

1

(∞)/R

1

(T )

enfon tionde

T

.

Lagure2

b

montre ommentlerapport

R

1

(∞)/R

1

(T )

varieenfon tionde l'instant

T

où le taux de onta t est réduit à zéro. On observe ee tivement unplateau où e rapport est pro he de

R

0

. Quand

T → 0

, ona

R

1

(T ) → 0

et

R

1

(∞) → f (E(0) + I(0)) > 0

, don le rapport

R

1

(∞)/R

1

(T )

tend vers l'inni.Lerapportserappro hede

R

0

lorsque

T

estdel'ordredel'inversedela diéren eentre lesdeuxvaleurspropresde lamatri e (7).Quandau ontraire

T → ∞

, alorsl'interventionintervient troptard;l'épidémieest déjàpassée et

R

1

(∞)/R

1

(T ) → 1

.Ons'attendà equelalargeurduplateauoù

R

1

(∞)/R

1

(T )

estpro hede

R

0

roisse omme

(ln N )/λ

lorsque

N → +∞

,puisque telestpar exemple le omportement du temps jusqu'au pi épidémique dans un modèle S-I-Rà oe ients onstants(voir[2℄ou[5,p. 12℄).

Dans la réalité, le taux de onta t ee tif n'est sûrement pas tout à fait nul pour

t > T

. La valeurobtenue pour

R(∞)

peut néanmoins être onsidé-rée ommeune borne inférieure de la valeurréelle puisqu'il est ertain que la taillenaledel'épidémieserasupérieureave des onta tsnonnulsqu'ave des onta tsnuls pour

t > T

.Rappelons ependantà e sujetquelesmodèles épi-démiquesdetypeS-I-RouS-E-I-Rave untauxde onta tvariablenesontpas monotones, dans lesens qu'unerédu tiondutauxde onta tpeutparfois onduireàunetaillenaledel'épidémieplusgrande[1℄.

Considérons maintenant le as où le taux de onta t n'est pas réduit à 0 maissimplementdivisé parunnombre

q > 1

.La rédu tionà0 orrespondau aslimiteoù

q

tendversl'inni.Onapour

t > T

,

dS

dt

= −

a

q

S

I

N

,

dE

dt

=

a

q

S

I

N

− b E,

(17) tandisqueleséquations(3), (4) et(5) restentidentiques.Parle même raison-nementquedanslase tion1,onapour

t > T

1

S

dS

dt

= −

a

q c N

dR

dt

.

Enintégrantentre

t = T

et

t = +∞

,onendéduit que

ln

S(∞)

S(T )

= −

R

0

q

R(∞) − R(T )

N

,

où

R

0

= a/c > 1

.Comme

S(∞) = N − R(∞)

,onadon

1 −

R(∞)

N

=

S(T )

N

exp



−

R

0

q

R(∞) − R(T )

N



.

(18)

Supposons ommedanslase tion2queletemps

T

nesoitnitroppetitnitrop grand, 'est-à-diredans leplateaude lagure2

b

. Enpremièreapproximation,

S(T ) ≃ N

et

R(T )

esten orepetit devant

N

.Deux asseprésententalors.

Si

1 < q < R

0

,alorsl'argumentgraphique lassique[4℄qui onsisteàtra er lesmembresdegau heet dedroitede l'équation(18)en fon tionde

R(∞)/N

montrequelasolution

R(∞)/N

n'estpasinnitésimalemaispro hedela solu-tionstri tementpositivedel'équation

1 −

R(∞)

N

≃ exp



−

R

0

q

R(∞)

N



.

(19)

Si au ontraire

q > R

0

, alors la solution

R(∞)/N

de l'équation (18) est petite. Comme

S(T ) = N − E(T ) − I(T ) − R(T )

et

E(T ) + I(T ) + R(T ) ≃

R

0

R(T )

,undéveloppementàl'ordre1del'exponentielle dans l'équation (18) onduità

1 −

R(∞)

N

≃



1 −

R

0

R(T )

N

 

1 −

R

0

q

R(∞) − R(T )

N



.

1 −

R(∞)

N

≃ 1 −

R

0

R(T )

N

−

R

0

q

R(∞) − R(T )

N

.

Finalement,

R(∞) ≃ R(T ) R

0

1 − 1/q

1 − R

0

/q

.

(20)

Lorsque

q → +∞

, onretrouvebien que

R(∞) ≃ R(T ) R

0

. Onremarque aussi que

(1 − 1/q)/(1 − R

0

/q) > 1

, ommeil sedoit.Une formuleidentique à(20) lie

R

1

(∞)

et

R

1

(T )

.

La gure 3 montre ave une ligne ontinue, en fon tion du paramètre

q

, lataillenaledel'épidémieené hellelogarithmique,

ln(R(∞)/N )

,obtenuepar simulationnumériquedusystème(1)-(6)pour

t < T

ave les onditionsinitiales (16) et du système (17) pour

t > T

. Comme dans la gure2

a

, la population totale est

N = 65 × 10

6

et le paramètre

a

est donné par laformule (10) ave

λ =

0,225 par jour; on aen ore pris

f =

0,5 et

T =

43,2 jours de sorteque

R

1

(T ) ≃ 5 438

. La gure montre aussi ave des petits ronds e que donne la formule(20)pour

q > R

0

.Ellemontreennave depetits losangeslasolution stri tement positive de l'équation (19) pour

q < R

0

. On voit que les deux approximations essentd'êtrevalablesauvoisinagede

q = R

0

.

10

2

4

6

8

1

3

5

7

9

0

−8

−6

−4

−2

−7

−5

−3

−1

Figure 3 

ln(R(∞)/N )

en fon tion de

q

(ligne ontinue), omparé ave la formule(20)(petitsronds)valablepour

q > R

0

etave lasolutiondel'équation (19)(petitslosanges)valablepour

q < R

0

.

Onnoteraquelataillenaledel'épidémievariedeplusieursordresde gran-deurs lorsque le paramètre

q

est pro he de

R

0

. Comme il est di ile de le quantier, la prédi tion de la taille nale de l'épidémie est également di ile

dans ettezone.Iln'yaquesileparamètre

q

estnettementsupérieurà

R

0

que laprévisionave laformule(20)devientmoinssensibleàlavaleurde

q

.

4 Tentative d'estimation du paramètre

q

Essayons d'estimer le paramètre

q

en ajustant une simulation du modèle auxdonnéespostérieures au15mars,y ompris elles jusqu'au15avril quine guraient pasdans la gure1. [10℄ avertit néanmoins quele nombrede as onrmés en Fran e ne reète plus de manière satisfaisante la dynamique de l'épidémie, étantdonné que lespatientsprésentantdes signesde COVID-19 ne sont plus systématiquement onrmés par un test biologique. Pour ela, on part de la donnée

R

1

(T ) = 5 423

et des relations

R(T ) = R

1

(T )/f

et

R

2

(T ) = (1 − f )R(T )

. Comme les données des 8 jours qui pré èdent sont parti ulièrementbien alignées,ondémarre lasimulationdenotre modèleave

R(T − τ ) = e

−

λτ

_{R(T )}

où

λ =

0,225parjouret

τ = 8

jours,etave les estima-tions orrespondantes

I(T − τ ) ≃

λ

c

R(T − τ )

,

E(T − τ ) ≃ (

λ

2

bc

+

λ

b

)R(T − τ )

et

S(T − τ ) = N − E(T − τ ) − I(T − τ ) − R(T − τ )

.

Pour

t > T

,letauxde onta tee tifest

a/q

et l'onessaied'ajuster

R

1

(t)

auxdonnéesjusqu'au15avril.Lemeilleurajustementsetrouveauxalentoursde

q =

1,7.Comme ettevaleurestinférieureà

R

0

,ilsembleraitquelesmesuresde onnementsoienten oreinsusantes.Maislestousdernierspointsdelagure montrentquel'é artave lemodèlegranditdanslesensd'unralentissementde l'épidémieréelle.Ilsepeutquelavaleurde

f

hoisienesoit pasappropriéeou qu'elleaitvariéau oursdel'épidémie.Oualorslemodèleestpeut-êtreunpeu tropsimpliste; ons'attend notamment à e qu'unedistribution non exponen-tielle des temps passés dans les diérents ompartiments inuen e lemoment oùla ourbe ommen eàs'iné hir.

En on lusion,onaexploréuns énarioàdeuxphasesoùletauxde onta t estréduitàpartird'un ertainedate.Onatrouvéuneformuleappro héesimple pourlataillenaledel'épidémieenfon tiondunombrede asdéte tésau mo-mentde larédu tion.Ilrestenéanmoins àénon eret àdémontrer plus rigou-reusement erésultat,probablementenlefaisantapparaître ommeunrésultat asymptotiquelorsque

N → +∞

.

Remer iements.

On remer ie Hisashi Inaba, Ali Moussaoui et Frédéri Hamelin pourleurs ommentairessurlemanus rit.

Annexe

ConsidéronsunmodèleS-I-Rave une périodeinfe tieusequin'estpas né- essairementdistribuée exponentiellement. Soit

I(t, x)

ladensité depersonnes

20

40

10

15

25

30

35

45

50

10

6

8

12

7

9

11

13

15 mars

15 mars

15 mars

15 mars

Figure4Logarithmenépériendunombrede asre ensésentre le7marset le15avril(petitsronds,donnéesdeSantépubliqueFran e[11℄)et

ln(R

1

(t))

en fon tiondutemps

t

dans4simulationsave dehautenbas

q ∈ {

1,5

;

1,7

; 2;

2,5

}

.

infe téesdepuis

x

unitésdetempsautemps

t

.Soit

a(x)

letauxde onta tee tif et

b(x)

letauxauquellespersonnesinfe tées essentdetransmettrel'infe tion. Onaaudébutdel'épidémie

I(t, 0) ≃

Z

∞

0

a(x) I(t, x) dx

∂I

∂t

+

∂I

∂x

=

−b(x) I(t, x)

dR

dt

=

Z

∞

0

b(x) I(t, x) dx

Onendéduit, ommedanslathéoriedespopulationsstablesdeLotka[6℄que

I(t, x) ≃ k e

λt

_e

−

λx−

R

x

0

b(y) dy

où

k

estune onstanteetletauxde roissan e

λ

estl'uniquesolutionde l'équa-tion

1 =

Z

∞

0

a(x)e

−λx−

R

x

0

b(y) dy

dx.

Sil'onpose

I(t) =

R

∞

0

I(t, x) dx

,leproblèmeestd'estimer

I(T ) + R(T )

àpartir de

R(T )

.Or

λR(T ) ≃

dR

dt

(T ) =

Z

∞

0

b(x) I(T, x) dx ≃

Z

∞

0

b(x) k e

λT

_e

−

λx−

R

x

0

b(y) dy

dx.

k ≃

λR(T )e

−

λT

R

∞

0

b(x) e

−λx−

R

x

0

b(y) dy

dx

.

Finalement,

I(T ) + R(T )

R(T )

≃

λ

R

∞

0

e

−

λx−

R

x

0

b(y) dy

R

∞

0

b(x) e

−λx−

R

x

0

b(y) dy

+ 1.

Onvoitquelemembrededroiten'apasderaisonparti ulièrede oïn iderave

R

0

=

R

∞

0

a(x) e

−

R

x

0

b(y) dy

dx

.Dansle asspé ialoùlestauxsont onstants,ave

a(x) ≡ a

et

b(x) ≡ b

,ona ependant

λ = a − b

etdon

(I(T ) + R(T ))/R(T ) ≃

λ

b

+ 1 =

a

b

= R

0

.

Référen es

[1℄ N. Ba aër et M.G.M. Gomes, Sur la taille nale des épidé-mies ave saisonnalité, Bull. Math. Biol. 71 (2009) 19541966. https://hal.ar hives-ouvertes.fr/hal-01299608

[2℄ N. Ba aër,Sur lepi épidémique dans un modèle S-I-R,Quadrature117 (2020)1-4.https://hal.ar hives-ouvertes.fr/hal-02518993

[3℄ M. Corlosquet-Habart, J. Janssen et R. Man a(2012), Modélisation sto- hastiquedurisquedepandémie:stratégiesde ouvertureetd'assuran e. Lavoisier,Ca han(2012).

[4℄ A.Hillion,LesThéoriesmathématiquesdespopulations.Presses Universi-tairesdeFran e,Paris(1986).

[5℄ H.A. Lauwerier, Mathemati al Models of Epidemi s. Mathematis h Cen-trum,Amsterdam(1984).

[6℄ A.J.Lotka,Théorieanalytiquedesasso iationsbiologiques,2

e

partie. Her-mann,Paris(1939).

[7℄ L. Nkague Nkamba, Robustesse des seuils en épidémiologie et stabi-lité asymptotique d'un modèle à infe tivitéet sus eptibilitédiérentielle. Thèse, UniversitédeLorraineetUniversitéGastonBerger(2012).

[8℄ R. Pressat, Éléments de démographie mathématique. AIDELF, Paris (1995).

[9℄ Ph. Sansonetti, Covid-19oula hroniqued'une émergen eannon ée. Ex-posé,CollègedeFran e,18mars2020.

[10℄ Santé publiqueFran e, Covid-19,pointépidémiologique hebdomadaire du 09avril2020.www.santepubliquefran e.fr