Flowshop hybride avec machines à traitement par batch et compatibilité entre les tâches

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Submitted on 27 Sep 2007

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Flowshop hybride avec machines à traitement par batch et compatibilité entre les tâches

Adrien Bellanger, Ammar Oulamara

To cite this version:

Adrien Bellanger, Ammar Oulamara. Flowshop hybride avec machines à traitement par batch et compatibilité entre les tâches. FRANCORO V / ROADEF 2007 - 5èmes Journées Francophones de Recherche Opérationnelle (FRANCORO) / 8ème Congrès de la société Française de Recherche Opérationnelle et d’Aide à la Décision, Laboratoire G-SCOP, Feb 2007, Grenoble, France. pp.21-35.

�inria-00175224�

ompatibilité entre les tâhes

Bellanger,A.et Oulamara,A.

MACSIProjetLORIA-INRIALorraine,EoledesMinesdeNany,PardeSaurupt,54042,Nany

adrien.bellangerwanadoo.fr;ammar.oulamaraloria.fr

Résumé Dans e papier nousétudions le problème d'ordonnanement dansun owshop

hybrideàdeuxétages.Lesm1 ^{mahinesdupremierétagesontdesmahinesparallèleslas-}

siques,etlesm2^{mahinesduseondétagesontdesmahinesàtraitementparbath.Chaque}

tâhedoitêtreexéutéesurlesdeuxétages,maisilestnéessairequelestâhesd'unmême

bath,s'exéutantsimultanémentsurlamêmemahineduseondétage,soientompatibles

entreelles.Cesrelationsdeompatibilitésontdéniesparungraphed'intervalle.Nousnous

intéressonsiiàlaminimisationdeladuréetotaledel'ordonnanement.Nousproposonsdes

heuristiquesaveperformanesgaranties,ensuitedesrésultatsexpérimentaux,baséssurdes

instanesgénéréesaléatoirement,permettentd'exhiberl'eaitédeesheuristiques,.

Mots-Clefs. Flowshophybride;Bath;Heuristique

1 Introdution

Leproblèmequenousallonsaborderdansepapierestinspirédel'industriedepneumatiques.

Nous allonsommener par présenter laproblématiqueindustrielle, avant dedénir leproblème

simpliéutilisédansdee papier,ennnousabordonsl'étatdel'art.

1.1 Problème industriel

Lafabriation d'unpneunéessiteplusieursétapes,haqueétapeduproessus defabriation

requérantunegrandepréision,et d'importantsontrles.Lapremièreétapeestlafabriationde

la gomme.Elle onsisteàmélanger lesmatièrespremières(aouthousnaturelsousynthétiques

etautresadditifs),etajouterdusoureanderendrelagommevulanisableenndefabriation.

Lorsque la gomme refroidie est déoupée, la deuxième phase onsiste à fabriquer les diérentes

ouhesquiomposentlepneu;enfontiondesas,il estpossibled'ajouterdesls d'aieretdes

toiles. Ensuite, une opérationd'assemblage desdiérentsélémentsdu pneu permet d'obtenir un

pneuvert(avantvulanisation).Finalementlepneuvertestuitdansdespressesdevulanisation.

Ces pressespeuventontenirdeuxpneus,quipeuventêtredetypesdiérents,maisleurtempsde

uissonest identique.En eet,lorsque lemouled'une presseest fermé,et lauissonommenée,

nous ne pouvons pas l'ouvrir avant la n de la uisson. A haque type de pneu est assoié un

intervallededurée de uissonqu'ilfaut impérativement respeter(l'intervalleest donné parune

durée minimale, et une duréemaximale qui n'est autre que la duréeminimale plus 4% de ette

durée).Lagure1représentelesdeuxdernièresétapesdusystèmedeprodution,elles quenous

allonsreprésenterdansleproblèmesimplier.

1.2 Problème simplié

Dansette setionnous allonsprésenter leproblème simpliéque nousétudions parlasuite.

C'est un problème d'ordonnanement de typeowshophybride àdeux étages.Le premier étage

(assemblage) est omposé de

m

1 ^{mahines lassiques} parallèles. Le seond étage (uisson) est omposéde

m

2 ^mahines parallèles,où haque mahine est une mahine àtraitement parbath qui alaapaité detraiterplusieurstâhesàlafois. Nousdevonsexéuter

n

^{tâhessur lesdeux}

étages, haquetâheestexéutée surl'une des

m

1 ^{mahinesdupremier étage,puissurl'une des}

m

2^{mahinesduseondétage. Chaquetâhe,}

j

^{,possèdeune duréed'exéution}

p

1j ^surlepremier

étage,et unintervallededuréeopératoire

[a

j

; b

j

]

^{,surleseondétage.}

Surlepremierétage,unemahinen'exéutequ'unetâheàlafois.Latâhe

j

^{n'estexéutéeque}

suruneseulemahineetsansinterruption.Lorsquesontraitementestterminéeaupremierétage,

elleest exéutée dansun bathsur l'unedesmahines dudeuxième étage.Au seond étage, une

mahineàtraitementparbathexéutejusqu'à

k

^tâhessimultanément,dansunbath.Pournotre problème,latâhe

j

^{peutêtreexéutée,auseondétage,dansunbathdontladuréed'exéution}

estompriseentre

a

j ^et

b

j^{,pointinitialetterminaldesonintervallededuréeopératoireauseond}

étage. Ainsil'intersetiondesintervallesdeduréesopératoiresdestâhesd'unmême bath

B

^,ne

doitpasêtrevide.Laduréed'exéutiond'unbath

B

^estnotée

p

2B^,ave

p

2B

= max

j∈B

a

j^.Nous

herhonsàminimiserladatedendel'ordonnanement(makespan).

Pourunordonnanementdonné,ladatedendelatâhe

j

^,

j = 1, ..., n

^estnotée

C

j^.Silatâhe

j

^{appartientau bath}

B

^{duseond étage, alors}

C

j

= C

2

(B)

^où

C

2

(B)

^{désigneladate àlaquelle}

le bath

B

^{setermine. Notre objetif est de trouver un} ordonnanement telque sa date de n (makespan)

C

max

= max{C

j

|j = 1, ..., n}

^{soitminimale.Dansepapier,nousutilisonslanotation}

standard pourun ordonnanement, introduite par Graham et al. [4℄, 'est àdire

F HB

m₁,m₂

= F 2(m

1

, m

2

)|p

^_

batch(II ), G

p

= IN T, k < n|C

max^,où

p

^_

batch(II)

^{signiequeleseond étageest}

omposé de bathing mahines en parallèle,

G

p

= IN T

^{spéie que le graphe de} ompatibilité entrelestâhesestungraphed'intervallequionernelesduréesd'exéutionsdestâhes,et

k < n

signiequelaapaitédesmahinesàtraitementparbath estunedonnéeduproblème.

1.3 Etat de l'art

Dans la littérature, de nombreuses reherhes traitent des problèmes d'ordonnanement sur

mahines à traitement par bath, sans ompatibilité entre les tâhes et pour diverses fontions

objetifs.Brukeretal.[2℄,PottsetVanWassenhove[11℄, PottsetKovalyov[10℄ontpubliél'état

de l'artdesproblèmesd'ordonnanementdemahines àtraitementparbath. L'artilede Finke

et al.[3℄traite,quantàlui,leproblèmed'ordonnanementd'unemahineàtraitementparbath

aveompatibilitéentre lestâhes,dansleasdegraphesgénérauxetpartiuliers.

Quant aux owshops hybrides lassiques, la thèse d'Anthony Vignier [13℄ établit un état de

l'art, dans lequel sont présentés diérents algorithmes. Lesartiles de Lee et Vairaktarakis [12℄,

Guinet et al. [6℄, Allaoui et Artiba[1℄, Haouari et M'Hallah [7℄, présentent d'autres algorithmes

utilisés pourlarésolutionduproblèmede owshophybride. Leowshophybrideave traitement

parbathesestpeuétudiédanslalittérature,toutefoisquelquesartilestraitentdeaspartiuliers

deeproblème,parexempleeluideShanlingLi[14℄fournitdesheuristiquespourlaminimisation

dumakespandansunowshophybrideàdeuxétages.Dansetartilelepremierétageestomposé

d'unemahine,alorsqueleseondétageestomposédemahinesparallèlesàtraitementparbath,

ave d'importants tempsde setup lorsqueles tâhes nesontpas ompatibles,et unfaible temps

de setuplorsque lestâhes formentunbath.L'artile deNarashiram et Mangiameli[15℄ fournit

qu'unemahine àtraitementparbathesduseondétagen'eetuequ'untypedebathes.

Mêmesilesproblèmesdeowshopshybridesetdemahines parallèlesàtraitementparbath

ontété l'objet dereherhesséparées, laombinaison de es deuxtypes deproblèmes a,ànotre

onnaissane,peuétéétudiée préédemment.

Ce papierest organiséommesuit. Lasetion 2introduit d'autresnotationsutiliséesdans e

papier. La setion 3 aborde le problème général, pour lequel nous fournissons quelques bornes

inférieures, des heuristiques ave garanties de performane. La setion 4 traite quant à elle le

as partiulier ave une seule mahine auseond étage, alorsque la setion 5aborde elui où il

n'y aqu'uneseule mahine au premierétage. La setion 6illustre lesdiérentes heuristiquesen

présentantdesrésultatsexpérimentaux.Lasetion7onluquantàelleepapier.

2 Notations

Pourompléterlesnotationsinlusesdanslasetionpréédentenousallonségalementutiliser:

m = max(m

1

; m

2

)

^.

P

_h^{(l) :lasommedes}

h

^{pluspetites duréesd'exéution del'étage}

l

⁽

l = 1, 2

^{);pourleseond}

étagenousprendronsommeduréed'exéutiond'unetâhe

j

^{,lepointinitialdesonintervalle}

deduréeopératoire,'estàdire

a

j^.

FAM:LarègleFAM(First-Available-Mahine)est utiliséepourplaerunetâhelorsqu'ily

aplusieursmahines,elleonsisteàplaerhaquetâhed'unelistesurlapremièremahine

libre.

FBCLPT :Larègle FBCLPT (Full-Bath-Compatible-Longest-Proessing-Time)onsiste à

trier lestâhespardurées d'exéution (pointinitial de l'intervallededurée opératoire)dé-

roissantes.Ensuite réerunbath videet ajouteràebathlapremièretâhe

j

^delaliste,

puisajouterles

k−1

^{premièrestâhesompatiblesavelatâhe}

j

^{.Retirerdelalistelestâhes}

plaées.Réitéreretteréationdebath tantqu'ilrestedestâhesdanslaliste.Cetterègle

donneunordonnanementoptimalpourleproblèmedeminimisationdumakespannotéeii

C

max

(B)

^{pourleproblèmeaveunemahineàtraitementparbathes,et}ompatibilitéentre lestâhes(

B|G

p

= IN T, k < n|C

max^{)(voirA. Kamgaing}Kuiten[8℄).

3 Plusieurs mahines à haque étage

Dans ettesetion, nousnous intéressonsauas généraloù il y aplusieursmahines aupre-

mier et au seond étage. C'est-à-direle problème

F HB

m₁,m₂

= F2(m

1

, m

2

)| p

^_

batch(II), G

p

= IN T, k < n|C

max^.

3.1 Bornes inférieures

Nousavonsdéveloppétroisbornespourleproblème

F HB

m₁,m₂^{,lapremièreestbaséesurune}

borne inférieure du problème àun seul étage représentantle premier étage, laseonde sur elui

représentantleseond.Ladernièreborneinférieureestbaséesurlefaitquelatâhelapluslongue

doitêtreséquenée.

Borne

LB

1^{. Ladatedendel'exéutiondetouteslestâhessurlepremierétageestsupérieureà}

P

ip₁i

m₁ ^{;aprèsl'exéutiondeladernièretâheilfaut(auminimum)séquenerlebathdanslequel}

elleest,bathdontladuréeestminoréepar

min

j

a

j^{.D'oùlaborne :}

LB

1

= P

i

p

1i

m

1

+ min

j

a

j

Borne

LB

2^{. Unbathestomposéaumoinsd'unetâhe,qu'ilfautavoirséquenée}préalablement sur lepremier étage. C'est-à-dire que le premier bath du seond étage ne peutpas ommener

avantland'exéutiond'aumoinsunetâhe,dontladuréeestsupérieureà

min

i

p

1i^.Ensuitetous

lesbathesdoiventêtreexéutés,etteduréed'exéution est,dans lemeilleurdesas, ladatede

nde larésolutionduproblème représentantleseond étage(

Bm

2

|G

p

= IN T, k < n|C

max^{). Or}

le

C

max ^{fournipar l'exéution de} l'algorithme FBCLPT, noté

C

max

(H

B

)

^{, permet d'obtenir une}

borneinférieurepoureproblème.D'oùlaborne :

LB

2

= min

i

p

1i

+ C

max

(H

B

) m

2

Borne

LB

3^{. Toutetâhedoitêtreréalisée,ainsi,}

LB

3

= max

i

{p

1i

+ a

i

}

3.2 Heuristiquesave performanes

Heuristique

H

^{LP T Dansette}heuristiquenousséquençonslestâhessurlepremierétageindé- pendammentduseondétage.LestâhessontséquenéesaupremierétagesuivantlesrèglesLPT

etFAM.Pourleseondétagenousutilisonslesbathesfournisparl'algorithmeFBCLPT.Lorsque

touteslestâhesd'unbathsontréaliséesaupremierétage,nousplaçonslebathenquestionsur

lapremièremahinelibreduseondétage.

Algorithme

H

LP T

1. Plaerlestâhessurlepremierétage,suivantlesrèglesFAMet LPT.

2. Appliquerl'algorithme FBCLPT,soit

L

^{lalistede bathesobtenue, soit}

B

i ^{le premierbath}

delaliste

L

^,

i = 1

^.

3. Al'itération

i

^,plaerlebath

B

i^{suivantlarègleFAMsurleseondétage.}C'est-à-direlorsque touteslestâhesde

B

i ^{aupremierétage sontterminées.Supprimer lebath}

B

i ^{de laliste}

L

^.

Si

L = ∅

^{,alors,retourner}l'ordonnanementobtenu, sinon

i = i + 1

^,allerà3.

Theorem1. L'heuristique

H

LP T ^fournitunordonnanement

S

HLP T ^duproblème

F HB

m₁,m₂ ^en

O(nlogn)

^{,aveunratio degarantie de performanede 8}₃

−

_3m^{2 ,etetteborne estatteinte.}

Preuve : Soit

S

HLP T l'ordonnanementobtenu par l'heuristique

H

LP T^. L'algorithme FBCLPT, aompagnédeLPBT,fournitunordonnanementduproblème

Bm|G

p

= IN T, k < n|C

max^,noté

(

Bm

^{),ave unegarantiedeperformanede 4}₃

−

_3m^{1 [9℄.De plusLPTappliquéeaupremierétage}

fournitunordonnanementde

P m||C

max^,noté(

P m

^{),aveunegarantiedeperformanede 4}₃

−

_3m¹

[5℄.D'où :

C

max

(S

HLP T

) ≤ C

max

(S

HP m

) + C

max

(S

HBm

)

≤

⁴₃

−

_3m¹

C

max

(S

_{P m}^∗

) +

⁴₃

−

_3m¹

C

max

(S

^∗_Bm

)

Soit

S

^∗ l'ordonnanementoptimal duproblème deowshophybride, et

C

max

(S

^∗

)

^{sa date de}

n,alors

C

max

(S

^∗

) ≥ C

max

(S

^∗_{P m}

) et C

max

(S

^∗

) ≥ C

max

(S

_Bm^∗

)

D'où:

C

max

(S

HLP T

) ≤

⁴₃

−

_3m¹

C

max

(S

_{P m}^∗

) +

⁴₃

−

_3m¹

C

max

(S

^∗_Bm

)

≤

⁸₃

−

_3m²

C

max

(S

^∗

)

Ainsil'heuristique

H

LP T ^{fournitune solutionaveunfateur deperformanede} 8 3

−

_3m^{2 .}

Nousallonsprésenterunaspourlequellaborne estatteinte.Noussupposonsque lenombre

demahine àhaqueétageestpair.

Soit

I

^{uneinstaneduproblème}

F HB

m₁,m₂^{,laapaitédesbathesest}

2m

1

+ 4

^{.Cetteinstane}

Type Nombredetâhes

p

1

p

2

A

1 ²

2m

1

− 1 [ǫ; 2m

2

− 1]

A

2 ²

2m

1

− 2 [ǫ; 2m

2

− 1]

...

A

m₁−1 ²

m

1

+ 1 [ǫ; 2m

2

− 1]

A

m₁ ³

m

1

[ǫ; 2m

2

− 1]

B

1 ²

ǫ [2m

2

− 1; 2m

2

− 1]

et

[2m

2

− 1 − ǫ; 2m

2

− 1 − ǫ]

B

2 ²

ǫ [2m

2

− 2; 2m

2

− 2]

et

[2m

2

− 2 − ǫ; 2m

2

− 2 − ǫ]

...

B

m₂−1 ²

ǫ [m

2

+ 1; m

2

+ 1]

et

[m

2

+ 1 − ǫ; m

2

+ 1 − ǫ]

B

m₂ ³

ǫ [m

2

; m

2

]

^,

[m

2

− ǫ; m

2

− ǫ]

et

[m

2

− 2ǫ; m

2

− 2ǫ]

C nb

C ^{(entierquelonque)}

ǫ [ǫ; ǫ]

Danseasl'algorithmeFBCLPTfournitunbathontenantlapremièretâhedetype

B

1^,et

les

k −1

^{tâhesavelesquelleselleestompatible.}C'est-à-dire,touteslestâhesdetype

A

^(de

A

1^à

A

m₁^{).Ensuitelesautrestâhesdetype}

B

^{n'étantompatiblesqu'avedestâhesdéjàplaéesdans}

un bath, nous n'obtenons quedes bathes unitaires. Quant auxtâhes de typeC elles forment

⌈

^nb_k^C

⌉

^{bathes.AndesimplierlesdiagrammesdeGanttnoussupposons}

nb

C ^nul.

Danseasl'algorithmefournit l'ordonnanementdelagure2,alorsqu'unordonnanement

optimalesteluidelagure3.Eneetladateden

C

max

(S

HLP T

)

^pourl'ordonnanement

S

HLP T

est égaleà

C

max

(S

HLP T

) = 2m

1

− 1 + m

1

+ m

1

+ 2m

2

− 1 + m

2

+ m

2

− 2ǫ = 4m

1

+ 4m

2

− 2 − 2ǫ

(gure 2).

Lavaleuroptimalepouretteinstane

I

^est

C

max

(S

^∗

) = ⌈

^m_m²

1

+ 1⌉ǫ + 3m

^{(gure 3).}

Bm₂m2−2ǫ B12m2−1−ǫ

B22m2−2−ǫ ǫ

ǫ

Bm₂m2−ǫ B12m2−1

B22m2−2 A12m1−1

A12m1−1 A22m1−2 A22m1−2

Am1m1

Am1m1

Am₁−1m1+ 1 Am₁−1m1+ 1

Am1m1

étage1

étage2

ǫ

Bm2/22m2−m2/2 Am₁/2+1m1+m1^/2-1

Am1/2+1m1+m1^/2-1

B_m2/2+1m2⁺m2^/2-1-ǫ Bm₂/22m2−m2/2^-ǫ

B_m

2/2+1m2⁺m2^/2-1

Am₁/22m1−m1/2 Am1/22m1−m1/2

Bm₂m2

Bm2−1m2+1

Bm2−1m2^+1-ǫ

Fig.2.OrdonnanementSHLP T

Si

m

1

≤ m

2 ^alors

C

max

(S

^∗

)

^{est optimal ar la borne inférieure}

LB

1

= P

p₁,i

m₁

+ min

j

a

j ^est

atteintepar

C

max

(S

^∗

)

^.Sinon,à

ǫ

^{près,laborneinférieure:}

LB

2

= min

i

p

1i

+

^Cmax_m^(S∗Bm)

2

estatteinte

par

C

max

(S

^∗

)

^.

D'où:

C

max

(S

HLP T

)

C

max

(S

^∗

) = 4m

1

+ 4m

2

− 2 − 2ǫ

⌈

^m_m²

1

+ 1⌉ǫ + 3m

Et

ǫ→0

lim

4m

1

+ 4m

2

− 2 − 2ǫ

⌈

^m_m²

1

+ 1⌉ǫ + 3m = 4m

1

+ 4m

2

− 2

3m

ǫ ǫ ǫ ǫ

B22m2−2−ǫ B12m2−1−ǫ

Bm₂m2−ǫ A12m1−1 A12m1−1 A22m1−2 A22m1−2

étage2

Am₁m1 Am₁m1 Am₁m1

A_m1/22m1−m1/2 A_m1/22m1−m1/2 Am₁−1m1+ 1 Am₁−1m1+ 1 Am₁−2m1+ 2 Am₁−2m1+ 2

B12m2−1

B22m2−2

Bm₂−2m2⁺²

Bm₂−2m2^+2-ǫ Bm₂−1m2⁺¹

Bm₂m2−2ǫ Bm₂m2

Bm2/22m₂−m₂/2 Bm2/22m₂−m₂/2−ǫ

Bm₂−1m2^+1-ǫ ǫ

étage1

Fig.3. Ordonnanementoptimal

Etdonsi

m

1

= m

2 ^alors

m = max(m

1

; m

2

) = m

1

= m

2^{.D'où :} ǫ

lim

→0

C

max

(S

HLP T

)

C

max

(S

^∗

) = 4m

1

+ 4m

2

− 2

3m = 8

3 − 2 3m

Silenombredemahinesdel'étage

l

^{n'estpaspair,nousobtenonslemêmerésultat.Eneet,}

les tâhesentrales (

p

l

= 2m

l

− (m

l

+ 1)/2

^{) de l'étage en question,sontalors séquenées surla}

dernière mahine de l'étage dans l'ordonnanement optimal, ei ave la même durée que pour

lesautres mahines.Pourl'ordonnanementfourniparl'heuristiquee sontles4tâhesentrales

(

p

l

= 2m

l

− (m

l

− 1)/2

^et

p

l

= 2m

l

− (m

l

+ 1)/2

^{)qui sontplaéessurlesdeuxdernièremahines,}

toujourssansmodiationdeladatedenparrapportauaspair.Si

nb

C

> 0

^{,alorslesbathes}

orrespondantsaux tâhesde type

C

^{sont plaés en n}d'ordonnanement.Ainsi lorsque

ǫ

^tend

vers0,laduréedeestâhesneompte plus.

Heuristique

H

^{LP BT Cette} heuristique est une amélioration de l'heuristique

H

LP T^{, dans la}

mesureoùelledonneenmoyennedemeilleursrésultats(voirlasetionexpérimentations).Ceine

l'empêhepasd'êtremoinsbonnedanslepireas.Eneetdansetteheuristiqueletraitementdu

premier étage nese faitplussuivant LPT surl'ensemble destâhes, maispourhaquebath du

seond étage.C'est àdirequelestâhesquileomposentsontséquenéessuivantFAM-LPTsur

lepremierétage.

Algorithme

H

LP BT

1. Appliquerl'algorithme FBCLPT.

2. Soit

L

^{lalistedesbathes}

B

i ^{obtenuegrâeà}l'algorithmeFBCLPT,

i = 1

^.

3. A l'itération i, soit

L

Bi ^{laliste des tâhesdu bath}

B

i^{. Séquener les tâhesde}

L

Bi ^{sur les}

mahines du premier étage ensuivant les règlesFAM et LPT. Plaer le bath

B

i ^suivantla

règleFAM,'est-à-diresurlapremièremahinelibreduseondétage,lorsquetoutessestâhes

sontexéutéesaupremierétage.Supprimerlebath

B

i^delaliste

L

^.Si

L = ∅

^{,alors,retourner}

l'ordonnanementobtenu,sinon

i = i + 1

^{,aller à3.}

Theorem2. L'heuristique

H

LP BT ^{fournit un}ordonnanement

S

HLP T B ^duproblème

F HB

m₁,m₂

en

O(nlogn)

^{,ave unratiode garantie de performane de 10}₃

−

_3m^{4 .}

Preuve: Soit

S

HLP BT l'ordonnanementobtenuparl'heuristique

H

LP BT^.L'algorithmeFBCLPT, aompagnéde LPT,fournit unordonnanementduproblème

Bm|G

p

= IN T, k < n|C

max^,noté

(

Bm

^{),aveunegarantiedeperformanede 4}₃

−

_3m^{1 [9℄.Enrevanhele}séquenementsurlepremier