Analyse Numérique I Sup’Galilée, Ingénieurs MACS 1ère année & L3 MIM François Cuvelier

Analyse Numérique I

Sup’Galilée, Ingénieurs MACS 1ère année & L3 MIM

François Cuvelier

Laboratoire d’Analyse Géométrie et Applications Institut Galilée

Université Paris XIII.

2020/10/02

2020/10/02 1 / 32

Chapitre III Algèbre linéaire

2020/10/02 2 / 32

Plan

1 Résultats connus

2 Matrices particulières

3 Matrices blocs

4 Autres résultats

5 Normes vectorielles

6 Normes matricielles

7 Suites de vecteurs et de matrices

2020/10/02 3 / 32

Résultats connus

Proposition 1.1

Soit A P M _n pKq. Les propriétés suivantes sont équivalentes

1

A est inversible,

2

rang pAq “ n,

3

xxx P K ⁿ , Axxx “ 0 ñ xxx “ 0, (i.e. ker A “ t 0 u )

4

detpAq ‰ 0,

5

toutes les valeurs propres de A sont non nulles,

6

il existe B P M _n pKq tel que AB “ I,

7

il existe B P M _n pKq tel que BA “ I.

Résultats connus 2020/10/02 4 / 32

Exercice

Soient A P M _m,p pKq et B P M _p,n pKq, montrer que

pABq ^t “ B ^t A ^t , si K “ R , (1) pABq ^˚ “ B ^˚ A ^˚ , si K “ C (2)

Exercice

Soient A P M _n pKq et B P M _n pKq inversibles. Montrer que AB in- versible et

pA ^t q ^-1 “ pA ^-1 q ^t , si K “ R , (3) pA ^˚ q ^-1 “ pA ^-1 q ^˚ , si K “ C . (4)

pABq ^-1 “ B ^-1 A ^-1 (5)

pA ^-1 q ^-1 “ A (6)

Résultats connus 2020/10/02 5 / 32

Matrices particulières

Definition 2.1

Une matrice carrée A est :

˛ symétrique si A est réelle et A “ A ^t ,

˛ hermitienne si A “ A ^˚ ,

˛ normale si AA ^˚ “ A ^˚ A,

˛ orthogonale si A est réelle et AA ^t “ A ^t A “ I,

˛ unitaire si AA ^˚ “ A ^˚ A “ I,

Matrices particulières 2020/10/02 6 / 32

Definition

Une matrice carrée A P M

est :

˛ diagonale si a

“ 0 pour i ‰ j,

˛ triangulaire supérieure si a

“ 0 pour i ą j,

˛ triangulaire inférieure si a

“ 0 pour i ă j,

˛ triangulaire si elle est triangulaire supérieure ou triangulaire inférieure

˛ à diagonale dominante si

|a

| ě ÿ

j‰i

|a

| , @i P v1, nw, (7)

˛ à diagonale strictement dominante si

|a

| ą ÿ

j‰i

|a

| , @i P v1, nw. (8)

Matrices particulières 2020/10/02 7 / 32

Proposition

Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit de ses éléments diagonaux

ñ Exercice!

Proposition

Soient A et B deux matrices de M

p K q triangulaires inférieures (resp. triangulaires supérieures). Alors la matrice AB est aussi triangulaire inférieure (resp. triangulaire supérieure).

De plus on a

pABq

“ A

B

, @i P v1, nw.

ñ Exercice!

Matrices particulières 2020/10/02 8 / 32

Proposition

Soit A P M

pKq une matrice triangulaire inférieure (resp. triangulaire supérieure).

1

A est inversible si et seulement si ses éléments diagonaux sont tous non nuls (i.e.

A

‰ 0, @i P v1, nw).

2

Si A est inversible alors son inverse est triangulaire inférieure (resp. triangulaire supérieure) et

pA

q

“ 1 pAq

Matrices particulières 2020/10/02 9 / 32

Matrices blocs

Definition

On appelle matrice bloc une matrice A P M

écrite sous la forme

A “

¨

˚

˝

A

¨ ¨ ¨ A

.. . .. . A

¨ ¨ ¨ A

˛

‹

‚

où @i P v1, pw, @j P v1, qw, A

est une matrice de M

. On a N “

p

ÿ

i“1

n

et M “

q

ÿ

j“1

m

.

On dit que A et une matrice bloc-carrée si p “ q et si tous les blocs diagonaux sont des matrices carrées.

Matrices blocs 2020/10/02 10 / 32

Exercice

Proposer une écriture matrice bloc-carrée de chacune des matrices suiv- antes:

E “

¨

˝

1 2 3 5 6 7 9 8 7

˛

‚, F “

¨

˚

˚

˝

1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 7 6 5 4 3 1

˛

‹

‹

‚

, G “

¨

˚

˚

˚

˚

˝

1 2 3 4 0 5 6 7 8 9 0 9 8 7 6 5 4 3 1 0 9 1 8 2 7

˛

‹

‹

‹

‹

‚

Matrices blocs 2020/10/02 11 / 32

Proposition: Multiplication de matrices blocs

Soient A P M

et B P M

. Le produit P “ AB P M

peut s’écrire sous forme bloc si les matrices A et B sont compatibles par blocs : il faut que le nombre de blocs colonne de A soit égale au nombre de blocs ligne de B avec correspondance des dimensions, i.e.:

A=

¨

˚

˝

A

¨ ¨ ¨ A

. . .

. . . A

¨ ¨ ¨ A

˛

‹

‚ et B “

¨

˚

˝

B

¨ ¨ ¨ B

. . .

. . . B

¨ ¨ ¨ B

˛

‹

‚

n1

np

m1 mq

m1

mq

s1 sr

avec A

P M

et B

P M

pour tout i P v1, pw, k P v1, qw et j P v1, rw. La matrice produit P s’écrit alors sous la forme bloc

P=

¨

˚

˝

P

¨ ¨ ¨ P

. . .

. . . P

¨ ¨ ¨ P

˛

‹

‚

n1

np

s₁ sr

avec @i P v1, pw, @j P v1, rw P

P M

et

P

“

q

ÿ

k“1

A

B

.

Matrices blocs 2020/10/02 12 / 32

Exercice Soient

A “

¨

˝

1 0 0 3 3 3

1 0 0 3 3 3

1 2 2 0 0 0

˛

‚ et B “

¨

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˝

´1 ´1

0 0

0 0

´1 ´2

´ 1 ´ 2

´1 ´2

˛

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‚

Utiliser la multiplication par blocs pour calculer AB.

Matrices blocs 2020/10/02 13 / 32

Definition

On dit qu’une matrice bloc-carrée A est triangulaire inférieure (resp. supérieure) par blocs si elle peut s’écrire sous la forme d’une matrice bloc avec les sous matrices A

“ 0 pour i ă j (resp. i ą j ). . Elle s’écrit donc sous la forme

A “

¨

˚

˚

˚

˚

˝

A

O ¨ ¨ ¨ O .. . . .. ... .. . .. . . .. ... O A

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ A

˛

‹

‹

‹

‹

‚

(resp. A “

¨

˚

˚

˚

˚

˝

A

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ A

O . .. ... .. . .. . . .. ... .. . O ¨ ¨ ¨ O A

˛

‹

‹

‹

‹

‚ ).

Definition

On dit qu’une matrice bloc-carrée A est diagonale par blocs ou bloc-diagonale si elle peut s’écrire sous la forme d’une matrice bloc avec les sous matrices A

“ 0 pour i ‰ j . Elle s’écrit donc sous la forme

A “

¨

˚

˚

˚

˚

˝

A

O ¨ ¨ ¨ O O . .. ... .. .

.. . . .. ... O O ¨ ¨ ¨ O A

˛

‹

‹

‹

‹

‚

Matrices blocs 2020/10/02 14 / 32

Proposition

Soit A une matrice bloc-carrée décomposée en nˆ n blocs, n ě 2. Si A est bloc-diagonale ou triangulaire par blocs alors son déterminant est le produit des déterminant des blocs diagonaux :

det A “

n

ź

i“1

det A

(9)

Exercice

Soient E P M

pKq et F P M

pKq.

1

Donner les dimensions des blocs pour que le produit suivant soit possible et effectuer le calcul:

A “ ˆ E O

O I

˙ˆ I O O F

˙

2

En déduire le déterminant de A en fonction des déterminants de E et F.

3

Démontrer par récurrence la proposition.

Matrices blocs 2020/10/02 15 / 32

Proposition

Soit A une matrice bloc-carré inversible décomposée en n ˆ n blocs.

‚ Si A est bloc-diagonale alors son inverse (décomposée en n ˆ n blocs) est aussi bloc-diagonale.

‚ Si A est triangulaire inférieure par blocs (resp. supérieure) alors son inverse (décomposée en n ˆ n blocs) est aussi triangulaire inférieure par blocs (resp. supérieure).

Dans ces deux cas les blocs diagonaux de la matrice inverse sont les inverses des blocs diagonaux de A. On a donc

A “

¨

˚

˚

˚

˚

˝

A

O ¨ ¨ ¨ O O . .. ... .. . .. . . .. ... O O ¨ ¨ ¨ ˝ A

˛

‹

‹

‹

‹

‚ et A

“

¨

˚

˚

˚

˚

˚

˝

A

O ¨ ¨ ¨ O O . .. ... .. . .. . . .. ... O O ¨ ¨ ¨ O A

˛

‹

‹

‹

‹

‹

‚

A “

¨

˚

˚

˚

˚

˝

A

O ¨ ¨ ¨ O .. . . .. ... .. . .. . . .. ... O A

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ A

˛

‹

‹

‹

‹

‚ et A

“

¨

˚

˚

˚

˚

˚

˝

A

O ¨ ¨ ¨ O

‚ . .. ... .. . .. . . .. ... O

‚ ¨ ¨ ¨ ‚ A

˛

‹

‹

‹

‹

‹

‚

Matrices blocs 2020/10/02 16 / 32

Autres résultats

Exercice

SoitAPM_n,npCqune matrice etpλ,uuuqun élément propre deAavec}uuu}₂“1.

Q.1 En s’aidant de la base canoniqueteee1, . . . ,eeenu,construire une base orthonorméetxxx1, . . . ,xxxnutelle quexxx1“uuu. NotonsPla matrice de changement de base canoniqueteee1, . . . ,eeenudans la basetxxx1, . . . ,xxxnu:

P“

¨

˝xxx1 . . . xxxn

˛

‚

SoitBla matrice définie parB“P^˚AP.

Q.2

1 Exprimer les coefficients de la matriceBen fonction de la matriceAet des vecteursxxxi,iP v1,nw.

B“P^˚AP.

2 En déduire que la première colonne deBestpλ,0, . . . ,0q^t.

Q.3 Montrer par récurrence sur l’ordre de la matrice que la matriceAs’écrit A“UTU^˚

oùUest une matrice unitaire etTune matrice triangulaire supérieure.

Q.4 En supposantAinversible et la décompositionA“UTU^˚connue, expliquer comment résoudre "simplement" le système linéaireAxxx“bbb.

Autres résultats 2020/10/02 17 / 32

Théorème 5: Décomposition de Schur

Soit A P M _n pCq. Il existe une matrice unitaire U et une matrice trian- gulaire supérieure T telles que

A “ UTU ^˚ (10)

Théorème 6: Réduction de matrices

1

Soit A P M _n p C q. Il existe une matrice unitaire U telle que U ^-1 AU soit triangulaire.

2

Soit A P M _n pCq une matrice normale. Il existe une matrice unitaire U telle que U ^-1 AU soit diagonale.

3

Soit A P M _n pRq une matrice symétrique. Il existe une matrice orthogonale P telle que P ^-1 AP soit diagonale.

Autres résultats 2020/10/02 18 / 32

Proposition 6.1

‚ une matrice symétrique ou hermitienne est nécessairement normale.

‚ une matrice orthogonale (resp. unitaire) est nécessairement normale et inversible d’inverse A ^t (resp. A ^˚ ).

Autres résultats 2020/10/02 19 / 32

Definition 6.2

Soit A P M _n pCq une matrice hermitienne.

˛ Elle est définie positive si

xAu u u, u u uy ą 0, @u u u P C ⁿ zt 0 u (11)

˛ Elle est semi définie positive si

xAu u u, u u uy ě 0, @u u u P C ⁿ zt0u (12) Exercice

Soit A P M _n pCq.

Q.1 Que peut-on dire de la matrice AA ^˚ ? Et si la matrice A est inversible?

Q.2 Proposer une technique permettant de générer une matrice hermitienne semi-définie positive à partir d’une matrice aléatoire quel- conque.

Q.3 Proposer une technique permettant de générer une matrice her- mitienne définie positive à partir d’une matrice triangulaire inférieure inversible aléatoire.

Autres résultats 2020/10/02 20 / 32

Normes vectorielles

Definition

L’application x‚, ‚y : K

ˆ K

Ñ K définie pour tout pu u u,vvvq P K

ˆ K

par

x u u u,vvv y “ u u u

.vvv “ vvv

.u u u “

n

ÿ

i“1

u

v

, si K “ R (13)

x u u u,vvv y “ u u u

.vvv “ vvv

.u u u “ x vvv,u u u y “

n

ÿ

i“1

u

v

, si K “ C (14)

est appelée produit scalaire euclidien si K “ R , hermitien

si K “ C . Pour rappeler la dimension de l’espace, on écrit

xu u u,vvvy “ xu u u, vvvy

.

a

La convention choisie pour le produit scalaire hermitien étant ici : linéarité à droite et semi-linéarité à gauche. Il est aussi possible de définir le produit scalaire hermitien par le complexe conjugué de (14) :

xu u u, v v vy “ v v v

.u u u “

n

ÿ

i“1

u

v

.

Dans ce cas le produit scalaire est une forme sesquilinéaire à droite.

Definition

Une norme sur un espace vectoriel V est une application }‚} : V Ñ R ^` qui vérifie les propriétés suivantes

˛ }vvv } “ 0 ðñ vvv “ 0,

˛ }αvvv } “ |α| }vvv } , @α P K , @vvv P V ,

˛ }u u u ` ` ` v v v} ď }u u u} ` }vvv } , @ pu, u, u, v v vq P V ² (inégalité triangulaire).

Une norme sur V est également appelée norme vectorielle . On ap- pelle espace vectoriel normé un espace vectoriel muni d’une norme.

Normes vectorielles 2020/10/02 22 / 32

Proposition

Soit vvv P K ⁿ . Pour tout nombre réel p ě 1, l’application }‚} _p définie par

}vvv } _p “

˜ _n ÿ

i “1

|v _i | ^p

¸ 1{p

est une norme sur K ⁿ . Normes usitées :

}vvv } ₁ “

n

ÿ

i“1

|v _i | , }vvv } ₂ “

˜ _n ÿ

i“1

|v _i | ²

¸ 1{2

, }vvv } ₈ “ max

iPv1,nw |v _i | .

Normes vectorielles 2020/10/02 23 / 32

Lemme 7.1: Inégalité de Cauchy-Schwarz

@xxx ,yyy P K ⁿ

| xxxx ,yyy y | ď }xxx } ₂ }yyy } ₂ . (15) Cette inégalité s’appelle l’inégalité de Cauchy-Schwarz. On a égalité si et seulement si xxx et yyy sont colinéaires.

Normes vectorielles 2020/10/02 24 / 32

Lemme 7.2: Inégalité de Hölder

Pour p ą 1 et _p ¹ ` ¹ _q “ 1, on a @xxx , yyy P K ⁿ

n

ÿ

i “1

|x i y i | ď

˜ _n ÿ

i“1

|x i | ^p

¸ 1{p ˜ _n ÿ

i“1

|y i | ^q

¸ 1{q

“ }xxx } _p }yyy } _q . (16)

Cette inégalité s’appelle l’inégalité de Hölder.

Normes vectorielles 2020/10/02 25 / 32

Definition 7.3

Deux normes }‚} et }‚} ¹ , définies sur un même espace vectoriel V , sont équivalentes s’il exite deux constantes C et C ¹ telles que

}xxx } ¹ ď C }xxx } et }xxx } ď C ¹ }xxx } ¹ pour tout xxx P V . (17)

Proposition

Sur un espace vectoriel de dimension finie toutes les normes sont équiv- alentes.

Normes vectorielles 2020/10/02 26 / 32

Normes matricielles

Definition 8.1

Une norme matricielle sur M _n pKq est une application }‚} : M _n pKq Ñ R ^` vérifiant

1

}A} “ 0 ðñ A “ 0,

2

}αA} “ |α| }A}, @α P K , @A P M _n pKq,

3

}A ` B} ď }A} ` }B} , @ pA, Bq P M _n pKq ² (inégalité triangulaire)

4

}AB} ď }A} }B} , @ pA, Bq P M _n pKq ² Peut-on étendre cette définition sur M _m,n pKq?

Normes matricielles 2020/10/02 27 / 32

Proposition:

Etant donné une norme vectorielle }‚} sur K

, l’application }‚}

: M

pKq Ñ R

définie par

}A}

“ sup

v vvPKⁿ

v vv‰0

}Avvv}

}vvv} (18)

est une norme matricielle, appelée norme matricielle subordonnée (à la norme vectorielle donnée).

Elle vérifie

}A}

“ sup

v vvPKⁿ }vvv}ď1

}Avvv} “ sup

v vvPKⁿ }vvv}“1

}Avvv } “ inf tα P R : }Avvv} ď α }vvv }, @vvv P K

u . (19)

De plus, pour tout vvv P K

on a

}Avvv} ď }A}

}vvv} (20)

et il existe au moins un vecteur u u u P K

zt0u tel que

}Au u u} “ }A}

}u u u}. (21)

Soit I la matrice identité d’ordre n, on a

} I }

“ 1. (22)

Normes matricielles 2020/10/02 28 / 32

Théorème 9:

Soit A P M _n pKq. On a }A} ₁

“ sup

v v vPK

v v v‰0

}Avvv } ₁

}vvv } ₁ “ max

jPv1,nw n

ÿ

i“1

|a _ij | (23)

}A} ₂

“ sup

v v vPK

v v v‰0

}Avvv } ₂ }vvv } ₂ “ a

ρ pA ^˚ Aq “ a

ρ pAA ^˚ q “ }A ^˚ } ₂ (24)

}A} ₈

“ sup

v v vPK

v v v‰0

}Avvv } ₈

}vvv } ₈ “ max

iPv1,nw n

ÿ

j “1

|a _ij | (25)

La norme }‚} ₂ est invariante par transformation unitaire :

UU ^˚ “ I ùñ }A} ₂ “ }AU} ₂ “ }UA} ₂ “ }U ^˚ AU} ₂ . (26)

Normes matricielles 2020/10/02 29 / 32

Corollaire 9.1

1

Si une matrice A est hermitienne,on a }A} ₂ “ ρ pAq.

2

Si une matrice A est unitaire, on a }A} ₂ “ 1.

Normes matricielles 2020/10/02 30 / 32

Suites de vecteurs et de matrices

Definition 10.1

Soit V un espace vectoriel muni d’une norme }‚} , on dit qu’une suite pvvv _k q d’éléments de V converge vers un élément vvv P V , si

kÑ8 lim }vvv _k ´ vvv } “ 0 et on écrit

vvv “ lim

kÑ8 vvv _k .

Suites de vecteurs et de matrices 2020/10/02 31 / 32

Théorème 11: admis

Soit B une matrice carrée. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1

lim kÑ8 B ^k “ 0,

2

lim _kÑ8 B ^k vvv “ 0 pour tout vecteur vvv ,

3

ρ pBq ă 1,

4

}B} ă 1 pour au moins une norme matricielle subordonnée }‚} .

Théorème 12: admis

Soit B une matrice carrée, et }‚} une norme matricielle quelconque.

Alors

k lim Ñ8

›

›

› B ^k

›

›

›

1{k

“ ρ pBq.

Suites de vecteurs et de matrices 2020/10/02 32 / 32