C.N.S. d'indépendance de X et S

C.N.S. d'indépendance de X et S

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Cottrell-Genon-Catalot-Duhamel-Meyre, Exercices de probabilités, page 211 Théorème : SoientX1, . . . , Xn des V.A.R. indépendantes de même loi, d'espérance et de variance nies. On dénit

X = 1 n

Xn

i=1

Xi et S²= 1 n

Xn

i=1

(Xi−X)²

Alors : X etS² sont indépendantes ⇐⇒ X1, . . . , Xn sont gaussiennes.

Soit^tX = (X₁, . . . , X_n)un vecteur aléatoire deRⁿ, avec X₁, . . . , X_n indépendantes et de même loi, d'espérance m, de varianceσ² nie. On pose

X = 1 n

Xn

i=1

X_i ; Σ²= 1 n

Xn

i=1

(X_i−m)² , S²= 1 n

Xn

i=1

(X_i−X)²

=⇒ On suppose que la loi des V.A.R. Xi est gaussienne, c'est-à-dire que Xi à N(m, σ²) pour i = 1, . . . , n.

Alors, la vecteurX ÃNn(m1n, σ²In)puisque ses composantes sont des gaussiennes indépendantes.

1. Déterminons la loi deX.

X est une combinaison linéaires des composantes de X, donc X est gaussienne. On a E(X) = 1

n Xn

i=1

E(Xi) =m et V ar(X) = 1 n²

Xn

i=1

V ar(Xi) = σ²

n. DoncX ÃN µ

m,σ² n

¶ .

2. Déterminons la loi denΣ² σ². On a nΣ²

σ² = Xn

i=1

µXi−m σ

¶₂

, avec Xi−m

σ ÃN(0,1), donc nΣ²

σ² est la somme des carrés de n V.A.R. gaussiennes centrées réduites indépendantes, doncnΣ²

σ² Ãχ²(n).

3. Montrons queX etS² sont indépendantes.

Pour montrer que X et S² sont indépendantes, il sut de montrer que X est indépendante du vecteurZ= (X1−X, . . . , Xn−X), puisqueS²estZ-mesurable. Or le vecteur(X, X1−X, . . . , Xn− X) ∈ Rⁿ⁺¹ est gaussien (car toute combinaison linéaire de ses composantes est une combinai- son linéaire des Xi), et pour démontrer l'indépendance deX et de Z, il sut de démontrer que Cov(X, X_i−X) = 0pour touti. Pour cela, on calcule

Cov(X, Xi) =Cov



1 n

Xn

j=1

Xj, Xi



= 1

nCov(Xi, Xi) =σ² n commeV ar(X) =σ²

n, le résultat vient immédiatement.

4. Montrons quenS²

σ² suit une loi du χ²(n−1). nS²=

Xn

i=1

(Xi−X)²= Xn

i=1

X_i²−2X Xn

i=1

Xi+nX²= Xn

i=1

X_i²−nX²

On voit apparaître la diérence d'une somme dencarrés et d'un terme carré.

• Supposons d'abordm= 0.

Comme^tX ÃNn(0, σ²In), siAest une matrice orthogonale, le vecteur ^tY = (Y1, . . . , Yn) = AX est aussi gaussien, avec E(Y) = AE(X) = 0, V ar(Y) = AV ar(X)^tA = σ²In. Les composantes Y1, . . . , Yn sont donc indépendantes, et de plus Pⁿ

i=1

X_i² = Pⁿ

i=1

Y_i², (la norme est conservée parA).

1

Il s'agit donc de choisirApour queY_i²=nX², ce qui est possible en prenant comme première ligne deA:

µ 1

√n . . . 1

√n

¶

. AlorsnS²= Xn

i=1

X_i²−nX²= Xn

i=1

Y_i²−Y₁²=Y₂²+. . .+Y_n². On retrouve ainsi le fait queS² et X sont indépendantes puisque fonctions de (Y2, . . . , Yn)etY1. Enn, puisque les V.A.R.Yi sont indépendantes de loiN(0, σ²), on anS²

σ² Ãχ²(n−1).

• Supposonsm6= 0.

On se ramène au cas précédent, en posant X_i^∗ = Xi −m et en remarquant que nS² = Pn

i=1

(X_i^∗−X^∗)².

En comparant2.et4., on voit qu'en remplaçantmpar une valeur "estimée"X, on "perd" un degré de liberté dans la loi duχ².

⇐= On ne suppose plus connue la loi desXi, mais on suppose queX et S²sont indépendantes.

1. Supposonsm= 0. Calculons E(nS²)et montrons que E(nS²e^itnX) = (n−1)σ²ϕⁿ(t)pour tout t réel. En déduire ϕet ainsi la loi des Xi.

On suppose seulement que lesXi sont indépendantes, de même loi, centrées et de variance nie, de fonction caractéristiqueϕ. On aϕ⁰(0) = 0 etϕ⁰⁰(0) =−σ². Comme

nS²= Xn

i=1

X_i²−nX²= Xn

i

X_i²−1 n

à _n X

i=1

Xi

!₂

= µ

1− 1 n

¶Xn

i=1

X_i²−2 n

X

i<j

XiXj

et queE(X_i²) =σ², E(XiXj) = 0(i6=j), on aE(nS²)(n−1)σ². D'autre part, puisqueS² etX sont indépendantes,

E(nS²e^itnX) =E(nS²)E(e^itnX) =E(nS²)E(e^it

P

j

Xj

) = (n−1)σ²ϕⁿ(t) Mais, en développant, on obtient

E(nS²e^itnX =E







 µ

1− 1 n

¶ X

j

X_j²−2 n

X

j<k

XjXk



e^it

P

j

Xj





= µ

1−1 n

¶ X

j

E µ

X_j²e^itXje^it

P

k6=j

Xk¶

−2 n

X

j<k

E

³

Xje^itXjXke^itXke^itPh6=j,kXh

´

et en vertu de l'indépendance desXiet du fait queE(X_j²e^itXj) =−ϕ⁰⁰(t)etE(Xje^itXj) =−itϕ⁰(t), on a donc

E(nS²e^itnX) =− µ

1− 1 n

¶

nϕ⁰⁰(t)ϕⁿ⁻¹(t) + 2 n

n(n−1)

2 ϕ⁰²(t)ϕⁿ⁻²(t) d'où

(n−1)σ²ϕⁿ(t) =−(n−1)ϕ⁰⁰(t)ϕⁿ⁻¹(t) + (n−1)ϕ⁰(t)ϕⁿ⁻²(t) d'où la relation

ϕ⁰⁰(t) ϕ(t) −

µϕ⁰(t) ϕ(t)

¶₂

=−σ²

En posantψ(t) = log(ϕ(t)), la relation s'écrit ψ⁰⁰(t) = −σ², d'où ψ⁰(t) = −σ²t et ψ(t) = −σ² 2 t² puisqueψ(0) =ψ⁰(0) = 0.

Doncϕ(t) =e^−σ22t2 et la loi desXi est gaussienne : XiÃN(0, σ²). 2. Montrons que l'on peut se passer de l'hypothèsem= 0.

Supposonsm6= 0. Alors on peurt poserX_i^∗=Xi−m,X^∗=X−m. AlorsS²= 1 n

Xn

i=1

(X_i^∗−X^∗)², et l'indépendance deS²et X équivaut à l'indépendance deS² etX^∗, d'où le résultat.

2