1 – Outils pour le RSF

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Partie III – Signal et rayonnement III.2. Régime sinusoïdal forcé

1 – Outils pour le RSF

1 – Description d’un signal sinusoïdal

1.1. Expression mathématique

• Rappeler la fonction mathématique associée à un signal sinusoïdal.

• Illustrer, nommer et indiquer la dimension des termes qui y apparaissent.

1.2. Déphasage de deux signaux

• Comment définit-on le déphasage entre deux signaux « 1 » et « 2 » ?

• Dans quel cas le signal « 1 » est-il en avance (ou en retard) de phase sur « 2 » ?

• Illustrer les expressions :

o Signaux en quadrature de phase o Signaux en phase

o Signaux en opposition de phase

• Evaluer le déphasage entre les deux signaux dans les deux situations décrites au document 1.

Doc 1 – Représentation de deux signaux sinusoïdaux

Exemple 1 Exemple 2

1.3. Notation complexe

• Rappeler l’expression de la grandeur complexe s associée au signal sinusoïdal s(t) = Sm.cos(wt + j).

• Comment obtenir l’amplitude et la phase de s(t) à partir de s ?

• Quels sont les intérêts de la notation complexe ?

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-2- Doc 2 – Rappels sur les nombres complexes Expressions d’un nombre complexe :

• Forme algébrique : 𝑧 = a + 𝑗. 𝑏 o a = Re(z) : partie réelle o b = Im(z) : partie imaginaire

• Forme géométrique :

𝑧 = 𝑧 𝑒^)q = 𝑧 cosq + 𝑗. 𝑠𝑖𝑛(q) o 𝑧: module positif

o q : argument

• Equivalence des représentations : o 𝑧 = 𝑎⁴+ 𝑏⁴

o cos (q) = ⁵

5⁶78⁶ et sin (q) = ⁸

5⁶78⁶ o tan (q) = ⁸

5

§ q= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ⁸

5 si Re(z) > 0

§ q= 𝜋 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ⁸₅ si Re(z) < 0 Opérations sur les nombres complexes :

• Conjugué : 𝑧^∗= a − 𝑗. 𝑏

• Produit par le conjugué : 𝑧. 𝑧^∗= 𝑎⁴+ 𝑏⁴

• Produit : 𝑧 = 𝑧B. 𝑧₄

o Module : 𝑧 = 𝑧_B . 𝑧₄

o Argument : 𝐴𝑟𝑔(𝑧) = 𝐴𝑟𝑔 𝑧B + 𝐴𝑟𝑔 𝑧₄

• Rapport : 𝑧 =^E_E^F

6

o Module : 𝑧 = ^E^F

E₆

o Argument : 𝐴𝑟𝑔(𝑧) = 𝐴𝑟𝑔 𝑧B − 𝐴𝑟𝑔 𝑧₄

2 – Régime sinusoïdal forcé

2.1. Exemple du circuit RC

• L’association série RC est alimentée par un générateur délivrant une tension sinusoïdale e(t) = Em.cos(wt). Justifier qu’après un régime transitoire court, la tension aux bornes du condensateur est sinusoïdale.

2.2. Généralisation

• Que signifie l’expression « régime sinusoïdal forcé » ?

• Si le générateur d’alimentation délivre une tension sinusoïdale e(t) = Em.cos(wt) à un circuit linéaire, que peut-on en déduire concernant l’expression de toutes les grandeurs électriques dans le circuit ?

2.3. Résolution de l’équation différentielle

• Quelles grandeurs faut-il exprimer pour déterminer totalement la tension uC(t) aux bornes du condensateur ?

• Résoudre l’équation différentielle au moyen de la notation complexe.

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3 – Impédance complexe d’un dipôle en RSF

3.1. Dipôles passifs classiques

• Rappeler l’impédance complexe des dipôles passifs : o Conducteur ohmique

o Condensateur o Bobine

• Démontrer ces résultats.

• Quel est l’intérêt de l’impédance complexe pour l’étude de circuits en RSF ?

• Comportement asymptotique des dipôles passifs : en RSF, à quels dipôles sont équivalents à haute fréquence les dipôles précédents ? Idem à basse fréquence ?

3.2. Théorèmes utiles

• Illustrer au moyen d’exemples précis :

o Loi d’association de dipôles passifs en RSF o Pont diviseur de tension

o Pont diviseur de courant (a priori moins utile) 3.3. Exercice d’application

Exercice d’application – Circuit à étudier en RSF

Dans le montage représenté ci-dessous, alimenté par une source idéale de tension délivrant une tension sinusoïdale 𝑒 𝑡 = 𝐸_H𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 , déterminer l’expression de l’intensité du courant 𝑖 𝑡 = 𝐼H𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜑 .