Caractérisation transitoire d'un échangeur de chaleur à tubes et calandre par identification de ses fonctions de transfert

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transfert

Waseem Al Hadad, Vincent Schick, Denis Maillet

To cite this version:

Waseem Al Hadad, Vincent Schick, Denis Maillet. Caractérisation transitoire d’un échangeur de

chaleur à tubes et calandre par identification de ses fonctions de transfert. Congrès de la société

française de thermique 2018, May 2018, Pau, France. �hal-02441071�

Caract´erisation transitoire d’un ´echangeur de

chaleur `a tubes et calandre par identification de ses fonctions de transfert

Waseem AL HADAD

, Vincent SCHICK

, Denis MAILLET

1

LEMTA, Universit´e de Lorraine

CNRS

2 avenue de la Forˆet de Haye -BP 90161 -54505 Vandoeuvre cedex

∗

(auteur correspondant : waseem.al-hadad@univ-lorraine.fr)

R´esum´e -

Nous montrons ici qu’une perturbation transitoire de la temp´erature `a l’entr´ee d’un fluide dans un ´echangeur peut ˆetre utilis´ee pour identifier le mod`ele (appel´e ici fonction de transfert) qui d´ecrit le comportement de cet ´echangeur. Une fois que ce mod`ele est identifi´e correctement, il peut ˆetre utilis´e pour caract´eriser le comportement d’un ´echangeur de chaleur, en termes de performance ou de d´etecter la pr´esence d’encrassement. Ceci n´ecessite que le syst`eme d’´equations mod´elisant l’´echangeur reste lin´eaire avec des coefficients invariants dans le temps. Dans ces conditions, la r´eponse en temp´erature en tout point du syst`eme (fluide ou mˆeme dans les parois) est un produit de convolution entre cette perturbation thermique et la r´eponse impulsionnelle correspondante (fonction de transfert temporelle appel´ee ici ”transmittance”). Cette transmittance est ici identifi´ee en utilisant des simulations de la perturbation et de sa r´eponse pour un ´echangeur `a tubes et calandre.

Nomenclature

D

diam`etre,

´epaisseur,

h

coefficient de transfert thermique,

longueur,

p

pression,

temp´erature,

vitesse moyenne,

transmittance,

α

diffusivit´e thermique,

θ

´ecart de temp´erature,

ou

conductivit´e thermique,

masse volumique,

c

froid ”cold”

h

chaud ’hot”

in

entr´ee

sortie

fluide

solid

1. Introduction

Pour contrˆoler le fonctionnement d’un ´echangeur (maximiser les ´echanges, maˆıtriser les temp´eratures des sorties, d´etecter l’encrassement, . . . etc.), on souhaite disposer d’un mod`ele fiable qui reproduit son comportement de fac¸on la plus proche possible de la r´ealit´e. La mod´elisation classique d’un tel syst`eme consiste `a poser les ´equations qui d´ecrivent chaque ph´enom`ene et faire ensuite des hypoth`eses simplificatrices. De nombreuses hypoth`eses sont classiques dans la litt´erature : ´echangeur en r´egime permanent et parfaitement isol´e de l’ext´erieur, coefficient de transfert solide/fluide h uniforme sur la longueur de l’´echangeur, propri´et´es thermo-physiques parfaitement connues, absence de d´efauts dans les parois, etc. Dans certaines applications, ces hypoth`eses ne sont pas adapt´ees et sont `a l’origine de biais de mod`ele (´ecart entre la sortie du mod`ele et la r´ealit´e).

Dans ce travail, on propose d’aller dans le sens inverse, c’est-`a-dire, en se basant sur le

caract`ere convolutif du syst`eme, on identifie le mod`ele `a partir de mesures, ici simul´ees, de

temp´eratures. A l’inverse de la mod´elisation classique, cette d´emarche, nous permet nous seule- ment de construire le mod`ele mais aussi les param`etres structuraux correspondants qui rendent les sorties du mod`ele les plus proches possible de la r´ealit´e. Dans cette identification ou r´eduction de mod`ele, nous d´esirons insister sur le fait que l’inconnue de ce probl`eme d’estimation de fonc- tion est une grandeur intrins`eque. Nous rappelons ici que si le syst`eme est lin´eaire et invariant en temps, la variation de temp´erature en tout point du syst`eme physique est un produit de convo- lution en temps, entre l’intensit´e de la source transitoire et une fonction temporelle sp´ecifique (la r´eponse impulsionnelle dont la transform´ee de Laplace est une fonction de transfert). Cette fonction peut ˆetre appel´ee soit une ”imp´edance” si l’intensit´e de la source est une puissance thermique (en Watts), soit une ”transmittance” s’il s’agit d’une variation de temp´erature (en Kelvin) [1].

Al Hadad et al. [2] ont explicit´e ce concept et ´etudi´e semi-analytiquement et num´eriquement son application dans une g´eom´etrie simple (un fluide circulant en r´egime laminaire dans un mini-canal plat). Les mˆemes auteurs [3] ont valid´e exp´erimentalement ce type de mod´elisation pour un seul mini-canal plat o`u les imp´edances entre l’intensit´e d’une source volum´etrique en amont et ses r´eponses en temp´erature dans le fluide `a l’entr´ee et `a la sortie du canal ont ´et´e iden- tifi´ees ainsi que la transmittance entre ces deux temp´eratures. Ces identifications exp´erimentales ont ´et´e faites pour un d´ebit donn´e et pour deux formes temporelle diff´erentes de la source, pour montrer leur caract`ere intrins`eque.

Dans ce travail, nous allons utiliser cette mod´elisation r´eduite `a base de fonctions de trans- fert pour une g´eom´etrie complexe cette fois, un ´echangeur thermique `a tubes et calandre. Le document est organis´e comme suit : dans la section 2, on pr´esente le syst`eme ´etudi´e et les

´equations de base correspondantes. Dans la section 3, on introduit le mod`ele convolutif ainsi que la proc´edure d’identification. Dans la section 4, on pr´esente quelques r´esultats d’identifica- tion. Finalement, des conclusions sont tir´ees pour cette technique de caract´erisation transitoire d’un ´echangeur de chaleur et des perspectives sont donn´ees.

2. Syst`eme ´etudi´e et ses ´equations

On consid`ere ici un ´echangeur de chaleur `a tubes et calandre, voir figure 1. On consid`ere qu’un fluide incompressible chaud circule dans les tubes et un fluide incompressible froid cir- cule dans le calandre. On suppose que les deux d´ebits (d´ebit du fluide chaud et celui du fluide

entrée chaud

sortie chaud entrée froid

Sortie froid h

q

h

q

q

c

q

calandre

chicane

Figure 1: ´ Echangeur thermiques `a tubes et calandre.

froid) restent constants en temps. On suppose ´egalement que les deux fluides et les parois so- lides ont des propri´et´es thermophysiques ind´ependantes de la temp´erature (les ´equations du mouvement et de la chaleur sont alors d´ecoupl´ees). Le mouvement des fluides peut ˆetre d´ecrit par mod`ele k − ǫ [4] :

∇ .u = 0 (1)

ρ (u. ∇ ) u =

− ρI + (µ + µ

) ∇u + ( ∇u)

+ F (2)

ρ (u. ∇ ) k = ∇ .

(µ + µ

σ

) ∇ k

+ P

− ρǫ (3)

ρ (u. ∇ ) ǫ = ∇ .

(µ + µ

σ

) ∇ ǫ

+ C

ǫ

k P

− C

ρ ǫ

k (4)

avec µ

= ρC

ǫ

, P

= µ

∇u : ∇u + ( ∇u )

, C

= 1.44, C

= 1.92, C

= 0.09,σ

= 1 et σ

= 1.3. u est ici le vecteur vitesse, ρ la masse volumique, µ la viscosit´e dynamique mol´eculaire, µ

la viscosit´e turbulente, F la densit´e volumique de force ext´erieure, k l’´energie cin´etique turbulente, ǫ le taux de dissipation de l’´energie cin´etique turbulente, σ

, σ

, C

et C

des constantes empiriques.

Apr`es avoir effectu´e le changement de variable θ(x, y, z, t) = T (x, y, z, t) − T (x, y, z, t = 0), o`u θ est la variation de la temp´erature dˆu `a la perturbation, les ´equations de la chaleur en r´egime transitoire, s’´ecrivent :

• Dans les fluides :

∇

θ

− 1 a

u. ∇ θ

= 1 a

∂θ

∂t (5)

• Dans les parois : pour des raisons de coˆuts de temps de calcul et m´emoire, les parois (tubes, calandre et chicane) sont consid´er´ees comme thermiquement minces (les parois sont relativement minces et de conductivit´e thermique ´elev´ee). Physiquement, cela veut dire que la contribution de ces parois au transfert de chaleur est principalement tangen- tielle et la diff´erence de temp´erature dans la direction perpendiculaire est n´egligeable.

L’´equation de la chaleur simplifi´ee correspondante (hypoth`ese d’ailette) s’´ecrit :

∇

θ

= 1 a

∂θ

∂t − 1 e

λ

n.q (6)

o`u l’indice T est la direction transverse ou tangentielle, e

l’´epaisseur de la parois et λ

sa conductivit´e thermique. Les conditions initiales et les conditions aux limites s’´ecrivent :

• Conditions initiales : la perturbation thermique qui permet d’identifier la fonction de transfert, est appliqu´ee `a partir d’un ´etat stationnaire, on a donc :

θ (x, y, z, t ≤ 0) = 0 (7)

• Conditions d’entr´ees : temp´erature et vitesse impos´ees.

− Temp´erature :

entr´ee fluide chaud θ (t) = θ

(t) (8a)

entr´ee fluide froid θ (t) = θ

(t) (8b)

− Vitesse :

entr´ee fluide chaud U = U

(9a)

entr´ee fluide froid U = U

(9b)

• Conditions de sortie : flux de chaleur et pression impos´ees.

− Densit´e de flux de chaleur q. Comme le nombre de P´eclet P e calcul´e sur le diam`etre

`a la sortie du fluide chaud et froid est sup´erieur `a 10

, on peut donc n´egliger la diffusion devant l’advection :

−n.q = 0 (10)

− Pression P : sortie des fluides chaud et froid

P = 0 (11)

• Conditions d’interfaces solide/fluide : continuit´e de la temp´erature, du flux et de la vitesse.

3. Identification de la fonction de transfert

Le champ de temp´erature initial `a l’int´erieur du syst`eme, ainsi que les temp´eratures d’entr´ee des deux fluides, sont suppos´es stationnaires. A un instant donn´e, on perturbe l’une des deux temp´eratures d’entr´ee. A partir du profil de la source (la temp´erature perturb´ee) et de sa r´eponse en n’importe quel point P dans le syst`eme, on identifie le mod`ele (fonction de transfert ou transmittance) qui relie ces deux grandeurs.

Pendant la perturbation thermique, nous supposons que les deux fluides et les parois so- lides ont des propri´et´es thermophysiques ind´ependantes de la temp´erature et que les champs de vitesse de chaque fluide restent stationnaires. Cela nous permet de d´ecoupler le syst`eme d’´equations qui d´ecrit le mouvement de fluide (1-4) de celui qui d´ecrit le transfert thermique dans le fluide et les parois (5-6). Dans ce cas, le syst`eme d’´equations (5-6) pr´esent´e dans la section 2 devient linaire et invariant en temps. Cela implique que l’excitation ou la cause (ici la temp´erature d’entr´ee de fluide chaud θ

) et la r´eponse ou la cons´equence (ici la temp´erature de sortie de fluide chaud θ

ou de fluide froid θ

) peuvent ˆetre reli´ees par une fonction de transfert. Cette derni`ere peut alors ˆetre identifi´ee `a partir des variations temporelles de la source et de sa r´eponse. Le terme identification correspond ici au remplacement du mod`ele d´etaill´e du syst`eme par un mod`ele de type boite grise de type ici convolutif en utilisant des mesures ponctuelles.

Nous ne consid´erons ici que le cas o`u nous avons qu’une seule source θ

, (donc θ

= 0).

Le mod`ele qui relie l’entr´ee `a sa r´eponse pour un syst`eme lin´eaire et invariant dans le temps (SLIT), peut ˆetre ´ecrit dans l’espace temporel :

θ

(t) = W

(t) ∗ θ

(t) = θ

(t) ∗ W

(t) avec P ≡ h ou c (12) Ici W

(t) est la r´eponse impulsionnelle au temps t `a une impulsion de temp´erature en entr´ee (in) du fluide chaud (h). Il s’agit ici d’une ”transmittance” temporelle. Le produit de convolution peut ˆetre ici d´efini de deux fac¸ons diff´erentes sous forme int´egrale, en utilisant sa propri´et´e de commutativit´e :

θ

(t) = Z

0

W

(t − t

) θ

(t

) dt

= Z

0

θ

(t − t

) W

(t

) dt

(13)

Comme les grandeurs θ

(t) et θ

(t) sont des variables discr`etes en temps, elles peuvent ˆetre arrang´ees dans des vecteurs colonnes θ

et θ

, de tailles N

× 1 o`u N

est le nombre d’instants d’observation ou de mesure. L’int´egrale de convolution (13) peut ˆetre ´ecrite sous deux formes discr`etes (matricielles) [2] :

• Mod`ele d’estimation de fonction de transfert (calibration) :

θ

= M (θ

) W

(14)

• Mod`ele d’estimation de source :

θ

= M (W

) θ

(15) o`u M ( ψ ) est une matrice carr´ee de taille N

× N

(matrice de Toeplitz triangulaire inf´erieure `a coefficients non n´egatifs), avec ψ ≡ θ

ou W

construite `a partir d’une fonction ψ(t) nulle `a l’instant t

:

M (ψ) = △ t

















ψ

0 0 · · · 0

ψ

ψ

0 . .. ...

ψ

ψ

ψ

. .. ...

.. . .. . .. . . .. ...

ψ

ψ

ψ

· · · ψ

















avec ψ =













 ψ

ψ

ψ

.. . ψ















(16)

avec

ψ

= 1

△ t Z

tk−1

ψ(t) dt ≃ 1

2 (ψ(t

) + ψ(t

)) (17) o`u △ t est le pas du temps tels que △ t = t

/N

et t

correspond `a l’instant final de mesure et o`u t

= k △ t pour k = 1 `a N

. Pour que les deux quadratures (14) et (15) convergent vers les int´egrales continues (13), il faut que le pas de temps △ t choisi soit suffisamment petit devant la constante de temps du syst`eme.

Le probl`eme direct consiste donc `a calculer le vecteur de r´eponse θ

`a partir du vecteur d’entr´ee θ

et de la fonction de transfert correspondante W

, mod`ele (15) ou (14). Dans un probl`eme inverse de calibration, on cherche `a estimer la fonction de transfert `a partir d’un vecteur d’entr´ee et du vecteur de sa r´eponse :

W

=

M (θ

)

θ

(18)

Dans un probl`eme inverse d’estimation de source, le vecteur de la r´eponse et la fonction de transfert sont connus et on cherche `a estimer la cause correspondante :

θ

= [M (W

) ]

θ

(19)

4. R´esultats d’identification de la fonction de transfert

Le syst`eme repr´esent´e en section 2, a ´et´e mod´elis´e et simul´e (apr`es avoir fait une ´etude

de sensibilit´e au maillage) par COMSOL, pour deux formes diff´erentes de perturbations, θ

.

Dans ces deux exp´eriences num´eriques, on suppose que le fluide circulant dans les tubes ”fluide chaud” est de l’eau de vitesse U

calcul´ee `a l’entr´ee (diam`etre d’entr´ee, D

). Ce dernier est refroidi par l’air ”fluide froid” qui circule dans la calandre avec une vitesse U

calcul´ee `a l’entr´ee (diam`etre d’entr´ee, D

), voir la figure 1. Les parois solides sont suppos´es en acier (1C) (conductivit´e λ

= 43 W.m

.K

) d’´epaisseur e

. On suppose ´egalement que la longueur to- tale de l’´echangeur (de l’entr´ee au sortie du fluide chaud, voir la figure 1) est ℓ

et que la longueur de la calandre de diam`etre constant D

, est ℓ

. N

(nombre de tubes) de diam`etres, D

, sont consid´er´es ici. Les param`etres de ces simulations sont donn´es dans le tableau (1).

Toutes les propri´et´es thermo-physique sont suppos´ees ind´ependantes de la temp´erature et elles sont calcul´ees `a 30

C. Les r´eponses en temp´erature correspondant `a chaque forme de pertur- bation θ

, `a savoir la temp´erature moyenne θ

`a la sortie de fluide chaud et la temp´erature moyenne θ

`a la sortie de fluide froid, ont ´et´e calcul´ees `a chaque instant t

et sont trac´ees dans la figure 2 pour la premi`ere exp´erience et dans la figure 3 pour la deuxi`eme exp´erience.

U

U

D

D

e

ℓ

ℓ

D

N

D

△ t

(m.s

) (m.s

) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) ( −− ) (mm) (s)

0.1 10 100 90 5 750 500 200 37 15 0.1

Tableau 1: Param`etres de simulation.

0 50 100 150 200

0 20 40 60

T emps(s)

θ(◦C)

θ

θ

in

θ

out

Figure 2: Exp´erience num´erique 1.

0 50 100 150 200

0 10 20 30 40

T emps(s)

θ(◦C)

θ

in

θ

out

θ

out

Figure 3: Exp´erience num´erique 2.

Les fonctions de transfert (transmittances) reliant la perturbation (la source) `a la temp´erature moyenne `a la sortie du fluide chaud W

et `a la temp´erature moyenne `a la sortie du fluide froid W

, ont ´et´e alors estim´ees en r´esolvant le syst`eme lin´eaire (14) (voir section 3). Les profils identifi´es de ces deux fonctions `a partir des profils synth´etiques (exp´erience num´erique 1 et 2) sont trac´es sur la figure 4. Cette figure montre qu’il y a un tr`es bon accord entre les transmit- tances identifi´ees `a partir de deux excitations diff´erentes (les transmittances sont ind´ependantes de la forme temporelle de la source). Comme ces deux transmittances temporelles sont aussi des r´eponses impulsionnelles, on remarque que la r´eponse en sortie du fluide froid, proche de l’entr´ee du fluide chaud dans cette configuration `a contre courant, pr´ec`ede celle en sortie du fluide chaud.

Une fois que les fonctions de transfert reliant la source aux temp´eratures de sorties, ont ´et´e

identifi´ees de fac¸on pr´ecise, les temp´eratures moyennes de sortie de deux fluides θ

et θ

0 20 40 60 80 0

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

T emps(s) W(s−1 )

W

∗ 2 W

Figure 4: Transmittances identifi´ees `a la sortie de fluide chaud W

et celle `a la sortie de fluide froid W

pour deux exp´eriences diff´erentes.

peuvent ˆetre calcul´ees et contrˆol´ees en imposant la source appropri´ee. Pour tester (valider) ce principe, une troisi`eme exp´erience num´erique a ´et´e r´ealis´ee mais cette fois-ci la temp´erature d’entr´ee du fluide chaud (la source) a la forme d’une fonction escalier avec marches reli´ees par des rampes. Nous supposons qu’on ne connait que cette source qui est obtenue dans cette troisi`eme exp´erience num´erique ainsi que les fonctions de transfert identifi´ees dans la premi`ere ou la deuxi`eme exp´erience. Les ´evolutions des temp´eratures de sortie sont estim´ees et com- par´ees avec celles qui sont obtenues par la troisi`eme exp´erience num´erique. On pr´esente en figure 5 les ´evolutions de temp´erature exacte (issue de la troisi`eme simulation) et estim´ee `a la sortie θ

et θ

. On constate la superposition des profils de temp´erature simul´es par COMSOL et les profils estim´es par le capteur virtuel.

0 50 100 150 200

0 30 60 90 120

T emps(s) θ(◦ C)

θ

θ

θ

Figure 5: Temp´erature exacte (ligne continue) et estim´ee (ligne pointill´ee) de la sortie du fluide chaud θ

et du fluide froid θ

et la source correspondante ”troisi`eme exp´erience”.

Il existe ´egalement une transmittance en r´egime permanent ou steady state, not´e ici W

. Cette derni`ere peut ˆetre calcul´ee soit par l’int´egrale de sa distribution temporelle ou par les valeurs asymptotique de la source et de la r´eponse [2] :

W

= Z

0

W

(t) dt = θ

θ

avec P ≡ h ou c (20)

L’efficacit´e d’un ´echangeur de chaleur peut ˆetre alors exprim´e en fonction de transmittance

comme :

η = Q

Q

= C

(θ

− θ

)

C

(θ

− θ

) (21a)

ou η = Q

Q

= C

(θ

− θ

)

C

(θ

− θ

) (21b) avec C

et C

le d´ebit calorifique du fluide chaud et froid respectivement et C

le d´ebit calorifique minimum. Dans ce travail, C

≡ C

et θ

= 0, les ´equations (21a et 21b) deviennent :

η = C

C

(1 − W

) (22a)

ou η = W

(22b)

L’efficacit´e de cet ´echangeur a ´et´e calcul´ee par sa d´efinition classique (`a partir des temp´eratures et de(s) d´ebite(s) calorifique(s)) ou par les transmittances (`a partir de W

et W

), on obtient : η = 93.5%.

5. Conclusion et perspective

Ce travail a montr´e que les fonctions de transfert reliant une r´eponse thermique forc´ee `a une source thermique unique, peuvent ˆetre identifi´ees dans un syst`eme h´et´erog`ene dans lequel on a

`a la fois de la conduction et de la convection thermique, ici un ´echangeur de chaleur sensible.

Cette fonction de transfert peut ˆetre utilis´ee soit pour mettre en place des capteurs virtuels visant `a reconstruire les temp´eratures locales ou moyennes de m´elange, soit pour d´etecter un

´eventuel encrassement. Une autre application est la d´ebitm`etre. Nos travaux actuels sont centr´es sur l’´etude de sensibilit´e de la fonction de transfert par rapport `a l’encrassement.

R´ef´erences

[1] W. Al Hadad,Heat transfer in mini-channels : unsteady behaviour and convolutive approach, (in French : Thermique des mini-canaux : comportement instationnaire et approche convolutive). PhD thesis, Universit´e de Lorraine, Sept.22, 2016.

[2] W. Al Hadad, D. Maillet, and Y. Jannot, “Modeling unsteady diffusive and advective heat transfer for linear dynamical systems : A transfer function approach,”International Journal of Heat and Mass Transfer, vol. 115, pp. 304–313, 2017.

[3] W. Al Hadad, D. Maillet, and Y. Jannot, “Experimental transfer functions identification : Thermal impedance and transmittance in a channel heated by an upstream unsteady volumetric heat source,”International Journal of Heat and Mass Transfer, vol. 116, pp. 931–939, 2018.

[4] W. Jones and B. Launder, “The prediction of laminarization with a two-equation model of turbulence,”Inter- national Journal of Heat and Mass Transfer, vol. 15, no. 2, pp. 301–314, 1972.

6. Remerciements

Les auteurs souhaitent remercier le Fond Europ´een FEDER ainsi que la R´egion Grand Est qui

ont financ´e ce travail dans le cadre du projet EPHAISTOS.