Sur l'espace des configurations d'une araignee

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Submitted on 13 May 2009

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Sur l’espace des configurations d’une araignee

Pierre Mounoud

To cite this version:

Pierre Mounoud. Sur l’espace des configurations d’une araignee. Osaka Journal of Mathematics, Osaka University, 2011, 48 (1), pp.149-178. �hal-00383765�

Sur l'espae des ongurations d'une araignée

∗

Pierre Mounoud

Abstrat

We study theongurationspae of thelinkagesalled spiders. Let g ^{beanon negative}

integerand r ^{be the greatestintegersuh that} 2^{r divide} g−1^{. Weshow that there exists a}

spiderwhoseongurationspaeisdieomorphitoanorientable ompatsurfaeofgenderg

ifandonlyif

1

2^r(g−1)≤6r+ 12^{. Afterwardwegiveamethodthat allowsto desribealarge}

familyofsingularongurationspaes.

Résumé

On étudie les espaesdes ongurations dessystèmes artiulés appelés araignées. Soit

g ^{unentierpositif et} r^{leplusgrandentier telque}2^{r divise} g−1^{.On montrequ'ilexiste une}

araignée dont une omposante onnexe de l'espae des ongurations est diéomorphe à une

surfaeompateorientabledegenreg^{sietseulementsi} ₂^1r(g−1)≤6r+ 12^{.Ondonneensuite}

unméthodepermettantdedérire omplétementune largefamilled'espaesde ongurations

singuliers.

1 Introdution

Onappelle araignéeàn^{pattes lesystèmeartiulé réaliséde lafaçonsuivante.Ononsidère} 2n^{barresrigidesdelongueursquelonques(non nulles). Onlesattaheensembleparpairede façon}

àobtenir n^{pattes. Onhoisit uneextrémité dehaunedees pattesquel'on appellepied.}

Onsedonne n^{points(xes)etonattaheunpiedenhaundeespoints.Enn, onidentieentre}

ellesles n^{extrémitéslibresdespattes de façon àformer leorpsde l'araignée(il fautdon que}

les pattessoient susamment longues). Le systèmeartiuléobtenu ressembleàune araignée ayant

n^{pieds ollésau sol.Onsupposebien sûrqueles pattes peuvent seroiser librement.}

Nousallonsnousintéresser àl'espaedesongurations deesystèmeméanique quel'onvanoter

CA^.Cetespaeestnaturellement unferméde Cⁿ⁺¹.Pourlevoir,nousallonspréiserleshoses.On identie le planau orpsdes nombres omplexes C. Ondésigne par ω1, . . . , ωn ^{les pointsdu plan}

où sont ollés les pieds. On désigne par l_i ^{la longueur de la barre attahée à} ω_i^{, par} z_i l'extrémité libre delabarre(legenouen quelquesorte),par L_i ^{lalongueur delabarreattahée en}z_i ^etpar z₀ ^{leorps.On alairement :}

CA={(z0, z₁, . . . , z_n)∈Cⁿ⁺¹;∀i∈ {1, . . . , n},|zi−ω_i|=l_i et|z0−z_i|=L_i}

Le but de e papier etde déterminerquellessontles araignées dont l'espae desongurations est

lisse etsurtout dedéterminer quelleest alorsla topologie deet espae.

Lesaraignées ont déjàdonné lieuàdestravaux, itonsii l'artilede Shvalb, ShohametBlan

[4℄ (qui ontient un analogue de la proposition 3.1) et l'artile de J. O'Hara [3℄ (qui répond aux

∗

2000MathematisSubjetClassiation:57M20,70B15

points libres articules points fixes

Fig. 1 Une araignée à4 ^pattes.

questionsposéesplushautpourunearaignéetrèssymétrique).Lesaraignéessontdesaspartiuliers

d'espaesdesongurationsdesystèmesartiulés,espaesétudiésdansdenombreuxtravauxitons

notamment[2℄.DansetartileKapovihetMillsonmontrentquetoutevariétéompateorientable

peutêtrevueommeuneomposanteonnexe del'espae desongurations d'unsystèmeartiulé,

donnantmême unalgorithmepermettant d'assoier,àuneéquationalgébrique,unsytèmeartiulé.

Malgréela,ilseraitinteressant deonnaîtreexpliitementunefamille simpledesystèmesartiulés

réalisant toutesles surfaesompates orientables.

Les araignées forment une famille de systèmes artiulés simple mais rihe dont les espaes de

ongurations sont de dimension (réelle)2^{.Le prinipalrésultat de e papierest :}

Théoreme 1.1 Soitg^{unnombreentieret}r ^{leplusgrandentiertelque} 2^{r divise}g−1^.Unesurfae

ompate orientable lisse de genre g ^{est diéomorphe à (une omposante onnexe de) l'espae des}

ongurations d'unearaignée si et seulement si

1

2^r(g−1)≤6r+ 12^.

Ainsi toutes les surfaes ompates etorientables ne sont pas réalisables en tant queomposantes

onnexes de l'espae des ongurations d'une araignée. On voit que la surfae la plus simple qui

n'est pasréalisableest lasphère à14 ^anses.

Lasuitedupapierestonsaréeàl'étudedesespaesdeongurationssinguliers.Lessingularités

deCA^{sevoientsurleprojetéde}CA ^surCobtenuparl'appliationpremièreoordonnée,'est-à- dire surl'ensembledespositions quepeutprendre leorps de l'araignée.Nousnous sommeslimité

au asoùlessingularités seprojettent surun ensemble disretde C.En partiuliernousdetaillons une méthode permettant de dérire omplètement CA ^{lorsque son lieu singulier se projette sur un}

pointde C.

Je remerie Charles Boubelpoursonidéed'utiliser lasphère S² lorsde lapreuvede laproposition 4.4. Il m'apermisde raourir onsidérablement lapreuve.

2 Premières propriétés.

On désigne par Π ^{la projetion de} Cⁿ⁺¹ dans C qui à (z₀, z₁, . . . , z_n) ^assoie z₀^, Π(CA) ^est

l'ensemble des points du plan où le orps de l'araignée peut se rendre. On va étudier CA ^{via son}

image par Π^.

Soient r_i = |L_i −l_i|^, R_i = l_i +L_i ^et A_i ^{la ouronne fermée entrée en} ω_i ^{de petit rayon} r_i

(éventuellement nul) et de grandrayon R_i ('est-à-dire A_i =D(ω_i, R_i)\D(ω_i, r_i)^{). Il est faile de}

voir queΠ(CA) =Tn

i=1A_i^{.On désignerapar} Γ_i ^{le grand erlebordant} A_i ^{et par} γ_i ^{le petit erle}

bordant A_i^.

Fig. 2 Π(CA) ^lorsqu'onA ^{estl'araignée de lagure1.}

Dénition 2.1 Soit U ^{une omposante onnexe de} Π(CA) = Tn

i=1A_i^{. On dénit} ∂U^{, le bord de} U^{, par} ∂U =S_n

i=1(U ∩∂A_i)^{.On appelle tés de} ∂U ^{les ars deerles (de longueur} possiblement nulle) formant le bord de U ^{(ie les omposantes onnexes des} U ∩Γ_i ^{et des} U ∩γ_i^{). On appelle}

sommets de∂U ^{les points}appartenant à l'intersetion de deux tés de ∂U^.

Ondiraqu'unsommets^de∂U ^{estunpointdetangene (resp. unpointtriple,resp.unpointspéial)}

si tous les tés se oupant en s ^{sont tangents deux à deux en}s ^{(resp. si} s ^{appartient à au moins}

trois tés nontous tangents, resp. si s^{appartient à au moins deux tés dont l'un est réduit à un}

point).

Ondira qu'unsommet s^{est unpointsingulier s'ilest unpointdetangene ou unpointtriple ouun}

point spéial.

Leserles onsidérés pouvant être de rayon nul, les tés peuvent êtreréduit à un point, e point

pouvant aussi être onsidéré ommeun sommet (on a alors un point spéial). Lorsqu'il existe une

omposante onnexe dubord deU ^réduiteàun erle-point, ∂U ^{n'est paslebord} topologique.

Dénition 2.2 On dira que la patte i^{, 'est-à-dire le triplet} (ωi, zi, z0)^{, est tendue,} (totalement) repliée, tournée vers la gauhe ou tournée vers la droite selon que l'argument de

z0−zi

zi−ωi

appartienne

à {π},{0},]0, π[ ou ]−π,0[^.

L'araignée A ^{en position}x ∈ CA ^{a une patte tendueou repliée si etseulement si} Π(x)∈∂U^.Plus

préisement sa i^{`eme patte esttendue (resp. repliée) si etseulement si} Π(x) ^{appartient au erle} Γ_i

(resp.γi^).

Remarque 2.3 Si l'on se donne Π(x) ('est-à-dire la position du orps) et si Π(x) ∈/ ∂A_i^{, on}

voit, par unargument de géométrieélémentaire, que z_i ^{peut prendre exatement deux valeurs, l'une}

orrespondant à une patte tournée vers la gauhe, l'autre à une patte tournée vers la droite. Si

Π(x) ∈ γ_i ^{et si} r_i 6= 0 ^{ou si} Π(x) ∈ Γ_i ^{alors il n'y a plus qu'une valeur de} z_i ^{possible. Enn si} Π(x) =ω_i ^(donr_i = 0^)alorsz_i ^{peut être n'importequelpointdu erle deentre} ω_i ^etderayonl_i^.

Si y∈Π(CA)\ {ω1, . . . , ω_n} ^{et si}y ^{appartient à} l≥0 ^{tés de} ∂CA ^alors Π⁻¹(y) ^ontient 2^n−l

éléments.

Nota Bene. Dans la suite on indexera souvent par des veteurs de Zⁿ

2 ^{ou d'espaes vetoriels}

quotients de et espae. On désigne par e₁, . . . , e_n ^{les veteurs de la base anonique de} Zⁿ

2^{. Si}

x∈ CA ^{orrespond àune positionoù} A ^{n'aauunejambe tenduenirepliée on peut assoier à}x ^le

veteur (u₁, . . . , u_n) ∈ Zⁿ

2^{, déterminé par} u_i = 1 ^{si et seulement si la} i^{`eme patte de} A ^{est tournée}

versla gauhe.Delamême façon on indexelesparties onnexesde CA ^{surlesquellesl'araignéen'a}

auunejambe tenduenirepliée. Onranee proédé:siL^{est unepartie de}CA ^{surlaquelleseules}

les pattes i₁, . . . , i_m ^{se retournent} ('est-à-dire sont parfois tournées vers la gauhe et parfois vers ladroite) alors onattribuera à L ^unveteurde Zⁿ

2/Vect(ei1, . . . , eim)^{.Dans e quisuit toutindie}

appartenant àZⁿ₂ ou àun quotient serapportera à laposition despattes.

On peut aussi remarquerque si l'on se donne deux points prohes dansΠ(CA) ^{alors on peut tou-}

jours trouver deux points prohes dans CA ^{se projetant sur eux. On en déduit que l'image d'une}

omposante onnexe deCA ^par Π ^{estégale àune omposanteonnexe de} Π(CA)^.

Proposition 2.4 Soit A ^{une araignée à} n ^{pattes et soient} A₁, . . . A_n ^les n ^{ouronnes lui étant}

assoiées. Ondésigne par U₁, . . . , U_l ^{les omposantes onnexes de} Π(CA) =Tn

i=1A_i^{. Soit}O_j ={i∈ {1, . . . , n} |∂A_i∩U_j =∅}^.

Pour tout j ∈ {1, . . . , l}^, Π⁻¹(U_j) ^a 2^{oj omposantes onnexes deux à deux} homéomorphes, où

o_j = cardO_j^{. Ainsi}CA ^a Pl

j=12^{oj omposantes onnexes.}

De plus si o_j > 0 ^{et si} i ∈ O_j^{, on désigne par} A^{′ l'araignée obtenue en enlevant la patte} (ω_i, z_i, z₀)^àA^{.Alorshaque omposante onnexe de}CA ^{seprojetantsur} U_j ^est homéomorpheà une omposante onnexe de CA^′.

Preuve. À haune des 2^{n omposantes onnexes de} Π⁻¹(U_j \∂U_j) ^{on assoie} v ∈ Zⁿ

2 ^omme

indiqué i-dessus. La omposante d'indie v ^{etelled'indie} v^{′ peuvent être reliées si etseulement}

pourtout i∈O_j ^lesi^{`emes oordonnées de} v ^etv^{′ sont égales.Ce quidonne lepremier résultat.}

Si o_j > 0^{, il existe deux omposantes onnexes distintes} K ^et K^{′ se projetant sur} U_j^{. Cela}

signie qu'il existe un ertain nombre e_j ≤o_j ^{de pattes de} A ^{qui pour tout} x ∈ K ^{sont toujours}

tournées vers la gauhe (resp. vers la droite) et pour tout x ∈ K^{′ sont toujours tournées vers la}

droite (resp. vers lagauhe). À une onguration x ∈K^{,on peutassoier laonguration} y ∈K^′

obtenue en retournant es ej ^{pattes et en ne touhant pas aux autres pattes. On dénit ainsi un}

diéomorphisme d'unvoisinagede K ^{dansunvoisinage de} K^{′ envoyant} K ^surK^′.

Soit i ∈ O_j 6= ∅^{. Soit} A^{′ l'araignée obtenue en enlevant la} i^{eme patte de} A^. L'appliation de

Cⁿ⁺¹ dans Cⁿ qui à (z0, z1, . . . , zn) ^assoie (z0, . . . ,zbi, . . . , zn) ^{envoie une omposante onnexe se}

projetant sur U_j ^{dans une omposante onnexe de} CA^{′. Comme} i ∈ O_j^{, la remarque 2.3 nous dit}

quel'on peutaluler z_i ^{en fontion de} z₀ ^{ettrouverune appliation réiproque lisse.}

Lapropositionnousditdonque,sil'ons'intéresseà latopologiedesomposantesonnexesdeCA^,

on peut supposer (enreprenant les notations dela proposition) que pour pour tout j∈ {1, . . . , l}^,

on ao_j = 0^{.Cequi nousamèneà ladénitionsuivante :}

Dénition 2.5 Soit A ^{une araignée et} K ^{une omposante onnexe de} CA^{. On dira que la patte} i

est utileà K ^si γ_i ^ou Γ_i ^renontre ∂Π(K)^.

Ainsilaproposition 2.4ditnotamment quetoutesles pattesde A^sontutilesàK ^{sietseulementsi} Π⁻¹(Π(K)) =K^.

La premièrequestiononernant lesomposantesonnexesde CA ^{estdesavoirs'ils'agitounon}

de sous-variétéslisses.

Proposition 2.6 Soit K ^{une omposante onnexe de} CA ^{non réduite à un point.} K ^{est lisse au}

voisinage de x ^{si et seulement si} Π(x) ^{n'est pas un point singulier (e qui justie a posteriori la}

terminologie).

Fig. 3 Une briqueB_v ^{etsamodiation simplement onnexe.}

Preuve.Dans [4℄ les auteurs montrent que si Π(x) ^{n'est pas un point singulier alors} l'appliation dénissantCA^estunesubmersion,equimontreuneimpliation(onpeutaussionstruireàlamain desoordonnéesau voisinagedex^).L'impliationréiproqueest uneonséquenede lasetion6.

3 Topologie des omposantes lisses.

Proposition 3.1 SoitK ^{une omposante onnexe lissede}CA^{. Onnote} p^{lenombre desommetsde}

∂Π(K)^,k ^{son nombre deomposantes onnexes et}n ^{lenombre depattes de}A ^{utiles à} K^{. Alors} K

est diéomorphe à une surfae ompate onnexe orientable de genre g= 1 + 2ⁿ⁻³(p+ 4k−8)^.

Preuve. Il est évident que K ^{est ompate et orientable (ar} K ^est globalement dénie par une submersion). Pour simplier lesnotations onsupposeque n^{orrespondau nombrede pattes de}A^.

L'appliationΠ ^{étantune submersion(auvoisinage de}K^{) àbresompates,unepetiteperturba-}

tiondeslongueursdespattesdel'araignéenehangepaslatopologiede K^{.Onpeut donsupposer}

que ∂Π(K) ^{ne ontient pas de} erles-points. Onpose U = Π(K)^{.On a vuque} Π⁻¹(U \∂U) ^a2ⁿ

omposantes onnexes. Onles noteB_v ^ave v ∈Zⁿ

2^, v ^{indiquant dansquel sens est tourné haque}

patte. Onnote Bv ^{l'adhérene de} Bv^{. La restition de} Π ^à Bv ^estun homéomorphisme sur U ^(on

utilise laremarque2.3pourdénirlaréiproque).Ondénit lessommetsetlestésdeB_v ^omme

étant les sous-ensembles deB_v ^{qui seprojettent surles sommetsetlestés du bord de} U^.

On onstateaussique

S

v∈Zⁿ

2 B_v =K ^etquesi B_v∩B_w 6=∅ ^{alors ette}intersetion estégale à une réunionde tés ou desommetsde ∂B_v^{.Autrement ditona aaireà unpavage de}K^.

La proposition2.6nousdit quelelongd'untéde B_v ^{uneseule patteesttendue ourepliéeet}

qu'en unsommet de B_v ^{exatement deux pattes sont tenduesou repliées. Ainsideuxpavésont un}

té(respetivementunsommet) enommunsietseulementsileurs indiesont n−1^(resp.n−2⁾

oordonnées identiques.On voit don queles sommets des pavés sont reollés 4 ^à 4 ^{an d'obtenir}

les sommetsdupavage (ilpart donquatre arêtesdehaquesommet du pavage).

Les2^{npavéssontdeuxàdeux}diéomorphesmaisnesontpas,apriori,simplementonnexes(i.e.

n'ont pasqu'une seule omposante debord).Aussi, lorsque k^{,lenombrede omposantes onnexes}

de bord, est supérieur à 1^{, on oupe haque} B_v ^{de façon à relier ses omposantes onnexes de}

bord entre elles(voirgure 3).Le pavé obtenu adon 4(k−1) ^{nouveaux sommetset qu'une seule}

omposante de bord. Ainsi, lenouveau pavé a autant de sommets que de tés (p+ 4(k−1)^{). De}

plus, es nouveaux sommets sont aussi reollés 4 ^à 4^{. On peut don exprimer le nombre d'arêtes}

du pavage etle nombre de sommets du pavage en fontion du nombre de pavés et du nombre de

sommetsd'unpavé.Le alulde laaratéristique d'Euler de K ^{est don faile:}