Modéle unifié pour les phénomènes de photodésintégration nucléaire vers 20 MeV

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Modéle unifié pour les phénomènes de photodésintégration nucléaire vers 20 MeV

Georges Monsonego

To cite this version:

Georges Monsonego. Modéle unifié pour les phénomènes de photodésintégration nucléaire vers 20 MeV.

J. Phys. Radium, 1960, 21 (11), pp.765-770. �10.1051/jphysrad:019600021011076500�. �jpa-00236373�

MODÉLE UNIFIÉ

POUR LES PHÉNOMÈNES DE PHOTODÉSINTÉGRATION NUCLÉAIRE VERS 20 MeV Par GEORGES MONSONEGO,

Laboratoire de Physique Nucléaire, ^{Faculté des} Sciences, Orsay (Seine-et-Oise).

Résumé.

Nous étudions la résonance géante ^{à l’aide d’une} formulation unifiée qui ^rend compte du caractère individuel et collectif du phénomène. Nous ^{faisons deux} transformations unitaires

l’hamiltonien du _noyau,

introduisant deux

opérateurs conjugués

^{et 03C0,}

avec une

condition subsidiaire

les vecteurs d’état puisque

^{étendu le nombre de} degrés de liberté. Le nouvel hamiltonien comporte

partie collective

termes de

et 03C0,

partie intrinséque, et des termes d’interaction. Cete formulation, ^fondée

le succès du modèle

phénoménologique de Bohr et Mottelson, semble être satisfaisante ; les calculs théoriques ^de l’énergie ^de résonance, ^{de la} largeur ^de raie, ^de la section efficace, sont

accord

l’expérience.

La condition supplémctaire joue

^rôle important ^dans le calcul de la largeur ^{de raie. Nous}

étudions aussi l’effet des forces d’échange neutron-proton ainsi que la distribution angulaire ^des particules ^émises.

Abstract.

We formulate

unified model for the study ^{of the} giant resonance, which takes into account the individual and collective character of this phenomenon. ^We perform ^two unitary transformations

the Hamiltonian of the nucleus, introducing ^two

conjugate opera- tors

and _03C0, with

subsidiary ^condition

^the eigenfunctions ^since

have increased the number of degrees of freedom. In the

Hamiltonian, ^there

collective part in terms of 03B1 and 03C0

an

intrinsic part and interaction terms. This treatment based

the

of the Bohr and Mottelson phenomenological ^model

^{to be} successful : the theoretical calculations of the energy, width and

section of the giant resonance, agree with the experimental ^{data. The} subsidiary ^condition plays

important ^{rôle in the} calculation of the width. We study

also the effect of neutron-proton exchange forces and the angular distribution of the emitted

particles.

LE JOURNAL DE

PHYSIQUE

21, 1960,

1. Introduction.

Les différents modeles nu-

el6aires qui ^{ont ete} proposes pour l’ absorption ^de photons d’energie ^{de l’ordre de 20 MeV} par ^les noyaux ^se présentent ^en general ^{sous deux formes}

en apparence antagonistes : modeles collectifs [1]

et modeles a particules ind6pendantes [2]. ^Aucun

de ces deux types de modeles ne donne une des-

cription totale satisfaisante de la resonance g6ante.

Les premiers ^ne peuvent ^rendre compte ^des pheno-

menes d’emission directe, tandis que ^les seconds donnent ^en general ^des energies ^{de resonance} trop petites. ^{Peu de} tentatives [3] ^ont jusqu’à présent

ete faites pour unifier ^le modele collectif et le modele des couches. ^{Nous nous} proposons d’étu- dier ici d’un point ^{de vue} purement ^methodo- logique (*) ^{un modele unifi6 en} partant ^{d’une for-}

mulation g6n6rale ^{due a Jean et Touchard} [4].

II. Formulation. Nous supposerons ^comme dans Ie modele phenomenologique ^{de Goldhaber-}

Teller _que l’absorption dipolaire ^{est due a l’oscil-}

lation collective de 1’ensemble des protons par (*) ^Les calculs d6taill6s concernant cette 6tude seront

publiés ^{dans la these de} 1’auteur actuellement

pr6pa-

ration.

rapport a 1’ensemble des neutrons. Les variables collectives seront :

avec

tk = ^{! 1/ IZ pour les} neutrons : If

1, ^{2 ... Z}

.

( 2013 I/TV pour les neutrons k

Z + 1, ... ^:1 ou Z + N

^{A nombre de masse et r est la dis-}

tance entre Ie centre de gravite ^des protons ^{et le}

centre de gravite ^{des neutrons.}

I’hamiltonien du noyau, V est Ie potentiel ^nuel6aire suppose independant ^des vitesses ; ^alors

Introduisons a priori ^{deux variabes Rubsi-}

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:019600021011076500

766

diaires a et 7c canoniquement conjugu6es (qui ^vont jouer ^{Ie r6le des variables r et} p) ^{avec la condition}

de contrainte a0

0 sur un vecteur d’6tat (D de H. En eff ectuant sur H les deux transfor- mations unitaires

I’hamiltonien du probl6me ^devient (5) :

Ho ^est 1’hamiltonien d’ordre zero ou les mouve- ments sont d6coupl6s. ^Le coefficients de cc2 est la

partie diagonale ^{du double} commutateur dont on

calculera la valeur moyenne ^sur 1’etat de base

intrins6que. L’influence du terme de recul p2/2M

sur H est n6gligeable. ^{Un calcul} simple ^montre que cela revient a remplacer ^{la masse m du nuel6on}

par ^{une masse} réduite telle que

AH est un terme d’interaction couplant ^{Ie mode}

collectif au mode intrins6que. ^{Les termes non 6crits}

sont la partie ^non diagonale ^{du double commu-}

tateur et la s6ric des autres commutateurs triple, quadruple, ^etc.

La condition de contrainte devient : ou F est un vecteur d’6tat de X.

En prenant pour V une somme d’oscillateurs

harmoniques :

je prend ^{la forme} simple.

La frequence collective est alors 6gale ^{a la fr6-}

quence in-Irins6que ^de chacun des nuel6ons ; ^nous

retrouvons le resultat de Brink. A cause de (5) ^Ie

terme de couplage Mm2 cx.r est inoperant ; ^la

condition de contrainte assure donc ici le decou-

plage ^des mouvements. Ceci montre I’importance

de cette condition sur les termes de couplage. ^En general ^{les fonctions} d’essai que ^nous choisirons pour T ^ne satisferont _pas (5) ^mais le resultat pr6-

c6dent montre que ^tant que ^nous travaillerons sur

rhamiltonien d’ordre zero Jeo ^{ou les mouvements}

sont decouples, ^nous pourrons ^ne pas ^en tenir

compte.

III. Energle ^de rdsonance.

10 POTENTIEL

SANS FORCE D’ECHANGE.

Nous supposerons le

potentiel ^{nucl6aire purement central V} = E ^{ab V(rb)}

ou r-b

(rea

rbl ^et pour simplifier les calculs nous

supposerons ^un noyau a symetrie sph6rique. ^De plus ^dans 1’etat fondamental intrinsèque, ^{on consi-}

déîera la densite nucléaire p == 3/4.1tR3 ^constante

dans le noyau, nulle a l’ extérieur et les effets de surface seront negliges. ^Le coefficient C de I oc 2 ²

devient en d6veloppant ^{le double} commutateur et

en passant ^a 1’espace ^{des moments :}

v(k) ^{est la} transform6e de Fourier de V(r;j). ^{C n’est}

different de zero que S1 ti =A ti c’est-à-dire si i est un

proton et j ^{un neutron.} La seule contribution a C est donc la partie neutron-proton ^{des forces nu-}

el6aires ce qui ^traduit 1’hypothèse ^de depart.

eik(Ti-Tj) > est la valeur moyenne de eik(T,-’r) calculee sur Fetal fondamental intrins6que. ^Les

calculs ont ete faits _pour un puits ^{carr6, un} puits gaussien ^{et un} puits de Yukawa avec R

r(jA113

et ro

1,2 ^{X 10-13 cm.}

Les parametres ^de profondeur ^et port6e ^sont

ceux qui ^{resultent des} experiences de diffusion nu.

cléon-nucléon (6). ^{Le coeur dur a ete} neglige puisque

selon les id6es actuelles sur la matiere nuel6aire seul 1’effet des forces a longue port6e intervient dans les phenomenes collectifs. Enfin nous avons pris

Z

lV

A /2 ^{et nous trouvons} que pour ^ces trois puits 1’6nergie ^de vibration collective est

qui ^{donne un} bon accord avec 1’experience.

20 POTENTIEL AVEC FORCE D’ECHANGE.

NOUS

nous limiterons a une interaction de la forme :

x 6tant la fraction de force d’échange ^{et Pab} l’opé...

rateur qui 6change ^les positions ^des particules a

et b. L’hamiltonien du noyau

se transforme _par Ui ^en

0f

en n’écrivant que ^la composante z pour simplifier

la notation, ^nous n6gligeons ^{Ie deuxieme terme}

de h, qui ^{est nul en} moyenne - h, ^{est une s6rie de}

terme general proportionnel ^a (A /ZN it)" ^donc rapidement convergente ^{et nous} pouvons ^nous limiter a une approximation quadratique. ^{Avec ces} approximations, ^la deuxi6me transformation uni- taire U2 ^sur H1 ^{donne un} hamiltonien JC ou variables collectives et intrinseques ^{ne sont} plus s6par6es. Pour 6tudier l’influence des forces d’e-

change ^{sur les} param6tres collectifs il est suffisant d’avoir l’hamiltonien collectif d’ordre zero Jeg qui

est obtenu ^en prenant R ^en moyenne ^sur le vecteur de base intrins6que ; ^{nous obtenons alors :}

Dans ces expressions i ^{est un} proton, j ^{un neu-}

tron. Comme nous n6gligeons ^le spin ^des particules,

il n’est pas n6cessaire d’antisymetriser la fonction d’onde iDtrins6que ^{et nous} choisissons un produit

d’ondes planes. Les calculs ont ete faits avec un

puits ^{carr6 et nous trouvons :}

et pour la frequence ^de vibration :

Les parametres ^{de la} dynamique collective sont donc directement rattach6s aux grandeurs ^carac- t6ristiques des nuel6ons et des interactions nu-

cl6aires. En particulier ^la frequence des oscillations collectives est parf aitement ^{corr6l6e aux} para- metres des forces collectives deduits des exp6-

riences de diffusion. De plus ^{les forces} d’echange n’apportent pas de modification sensible a 1’energie

de resonance. Leur effet revient a remplacer ^la

masse M de 1’oscillateur collectif par ^{une masse} reduite M* donn6e _par (10), ^effet qui ^est compense

par ^une variation sensiblement 6quivalente ^du

coefficient de la forme de rappel.

IV. Section effleace totale int6grde

L’opéra..

rateur de transition dipolaire 6lectrique ^normalise

a un flux incident de un photon par cm2 par ^sec est :

en prenant Oz pour direction incidente des pho-

A

transforme par U 1 ^et U2 ^en tenant compte ^de (5)

L’absorption ^du photon correspond a 1’excitation

dipolaire ^du mode collectif 1’6tat de base intrin-

s6que ^ne changeant pas dans I’absorption ^{en se}

limitant 6 I’hamiltonien d’ordre zero. L’absorption

fait donc passer de Fetal ,(r,

^rA) 9,(a) ^à

1’6tat O(rl

rA) 9i(x) ^{et en} n6gligeant ^{les forces} d’echange la section efficace totale int6gr6e ^{est :}

Si l’on tient compte des forces d’échange ^{a cause} de (10) :

Cette augmentation ^{due aux forces} d’échange ^est

la meme que celle donn6e _par Levinger ^{et Bethe à} partir ^de calculs fond6s sur l’utilisation de regles

de somme [7].

V. Largeur de raie des _noyaux magiques. ^Les

mouvements collectifs 6tant couples ^{aux mouve-}

ments intrins6ques par l’interaction AH apr6s absorption ^du photon ^{il se} produit des transferts

d’énergie ^{de la structure} collective a la structure

iDtrins6que. ^{Ce sont ces} interactions r6siduelles qui

sont responsables ^{de la} largeur de raie. Le mode collectif excite est donc un etat quasi stationnaire dont 1’energie ^{est absorb6e} par le mode intrin-

s6que. Nous devons donc considerer l’hamiltonien total (3) ^{et nous} d6signerons par In’ > 1’6tat ou le mode collectif est excite le mode intrins6que ^restant

dans son 6tat de base ; En’ ^{eat la valeur} propre

correspondante ; n > est un etat intrinseque excit6, En la valeur propre correspondante lp > et 1m ^>

d6signeront ^{des etats} quelconques ^de Ro. Nous sup- poserons ^{en outre} que l’interaction 4YH est 6tablie

adiabatiquement depuis ^le temps t

^{ou elle}

est nulle jusqu’au temps t

^{0 ou elle vaut AH et}

768

que de meme elle d6crolt adiabatiquement jusqu’au temps t

+

^ou elle s’annule. Dans la theorie des perturbations d6pendantes du temps que ^nous utilisons [8] cela revient a remplacer ^{les distri-}

butions qui figureront dans les résultats par les fonctions dont elles sont les limites. Nous cher-chons

une solution de la forme : a

avec

Les solutions verifient :

avec les conditions initiales :

En passant ^aux transf ormées de Fovrier _:.

les equations ⁽¹¹⁾ deviennent alors :

et en posant :

nous trouvons en calculant n’lFfln’ > par (11’)

et en utilisant (12)

Nous trouvons aussi que

ou P,.", ^{est un} opérateur ^de projection (Pn:ln’ >

0)

Le facteur periodique ^de (14) ^montre que A’E/2

est une modification du niveau collectif excite. Le facteur exponentiel décroissant indique que h j2 ^est

une mesure de la largeur de raie. On peut ^alors

calculer r/2 ^{et A’E en} s6parant ^les parties ^r6elles

et imaginaires ^de (15) ^{et si on se limite a} 1’approxi-

mation DH _pour UE

La theorie des perturbations ind6pendante ^du temps ^{au deuxieme ordre} permet d’ailleurs de retrouver ces résultats a condition de rendre compte

de la dissipation ^de Fexcitation collective dans les modes intrins6ques ^en reTnplaqant ^le propagateur

que le deuxieme moment nucleaire

est une limite sup6rieure ^de r2/4. ^{Nous sommes} obliges ^{de tenir} compte ^{ici de} la condition (5).

Pour cela limitons-nous au premier ^{terme de} AH, la ^et prenons pour fixer ^les id6es :

Le premier ^{terme est} inop6rant ^{a cause de} (5) ^et

il en r6sulte que ^nous pouvons travailler avec les mauvaises fonctions d’ondes (ne satisfaisant pas ^a la condition de contrainte) ^{a condition de rem-} placer ^AH par

les valeurs numeriques ^{de C et D sont tir6es des}

schemas de Nilsson [9] ; ^{les calculs ont ete faits à} partir ^de lVl2 ^sur 160, 40Ca, ^{9°Zr et on} trouve les

largeurs 2,8 MeV, ³ MeV, 4,8 MeV, ^ordres de gran- deur tout a fait comparables ^{aux donn6es} empi- riques qui ^sont objectivement 4 ; 4,2 ^{et 5 MeV à}

1 MeV pr6s. ^En rep6rant ^les energies par rapport ^a

1’6tat de base intrins6que, Fenergie perturbee ^de

1’6tat excite est :

AE 6tant donne par (18).

Les valeurs calcul6es de AE pour les trois noyaux

precedents sont toutes inf erieures ^au MeV. 11 ^est

possible

^{partant de} (18) ^{de mettre en moyenne}

AE sous une f orme différente. En supposant que les

energies ^en d6nominateur varient peu ^avec les va-

riables angulaires, ^nous obtenons la forme

en moyenne ^sur Fetal fondamental intrins6que,

G etant une constante. Tout se passe donc ^comme si 1’energie ^de perturbation ^{AE était due a une}

interaction dipolaire additionnelle. Cette conclu- sion est tout a fait analogue ^{au resultat}

d’Elliott [10] qui ^{construit des} mouvements collec- tifs de rotation en supposant chaque ^{nuel6on dans}

un puits d’oscillateur harmonique ^{et en} ajoutant

une interaction quadripolaire ^{de la forme}

Cette formulation unifi6e permet ^{done de rendre} compte ^{de la} largeur ^{de raie et il faut} souligner ^le

role particulierement important jou6 par la condi- tion suppl£rnentaire ^sans laquelle ^{on est conduit à}

des valeurs trop grandes ^{sans sens} physique. ^C’est

IA probablement la raison de 1’echec de tentatives effectuées pour rattacher la largeur de raie a un

couplage entre mouvements coop6ratifs ^{et intrin-} s6ques (Fujita [3]).

VI. Largeur de raie des _noyaux d6formds.

Soit r. ^la largeur ^des noyaux magiques que ^nous supposons aussi ^celle des _noyaux sph6riques. ^En

effet dans ces noyaux les nucleons en plus ^des

couches magiques contribuent a la largeur ^{mais en}

meme temps ^ils interdisent certaines transitions

aux nuel6ons situ6s dans la couche immediatement inférieure. Pour un noyau def orme nous pouvons done [crire :

Ar 6tant la constribution due a la deformation.

En consid6rant une deformation statique 1’equa-

tion de la surface ^{est :}

et les surfaces équipotentielJes v6rifient :

en supposant la deformation a volume constant.

Aux coordonn6es _x, y, ^z du _noyau, spherique ^vont correspondre les coordonn6es pl/2 X, 1/2 y, (I /P) Z

du _noyau def orme et :

d’ où deux fréquences longitudinales et transver- sales 6)c.1 et 6)c,t

et Ar

h( mc,i

(ùc.z). ^{Il y aura} dédoublement

quand ^ôr > §° ce 2 ^{qui est Ie cas de 181Ta; quand}

ilr T’a/2 ^on n’observera qu’un élargissement ^de

la raie de resonance. En exprimant ^{X à} partir ^du

moment quadripolaire Qo ^{calcule en} supposant ^la

densite de la matière nucléaire constante dans Ie noyau :

Les résultats numeriques ^{que nous obtenons sont}

en bon accord avec 1’exp6rience. Notre formalisme est ici analogue ^a celui d’Okamoto [11].

VII. Emission de particules par effet direct.

Dans notre formalisme cette emission se fait en

deux stades : Absorption ^du photon par le mode

collectif ; decomposition ^{dans le mode} intrins6que

avec excitation d’un nucleon 6mis dans le conti-

nuum. On peut ^{encore utiliser la} theorie des pertur-

bations d6pendantes ^du temps 10 > sera 1’etat initial de valeur propre .Ey (EY ^est 1’energie ^du photon ^{incident si on mesure les} energies ^a partir

de 1’etat de base du noyau) ; in’ > est 1’etat collee- tif excite ; In > 1’6tat du nuel6on excite. L’hamil- tonien du probleme ^{est :}

ou HY ^est l’interaction du photon ^avec le noyau.

en normalisant a un flux incident de un photon

par cm2 par ^sec. Le calcul de bo(t) amplitude ^de probabilite ^{de 1’etat} )0 > permet ^en particulier ^de

calculer ]a section efficace totale d’absorption ^du photon.

et nous retrouvons la section efficace totale int6gr6e

en integrant ^{sur toutes les} energies EY.

Nous appellerons no 1, mo les ^nombres quan-

tiques ^{du nuel6on dans son 6tat} f ondamental, n, l, m

les nombres quantiques qui correspondent ^{au nu-}

cleon excite. N, R, ^{A sont} les nombres quantiques

collectifs et

est une fonction propre d 9 Jeo. tf;nZ(r) ^est la fonction

d’onde radiale du nucleon. Nous considerons le

770

phenomene pour t

c’est-à-dire physiquement

pour des temps t ^tels que rtl2h ^{» 1 ou on est}

certain _{que le} mode collectif excité s’est decompose

dans le mode intrins6que. ^{A ce moment R 6tant}

le rayon ^{de la} voie de sortie pour ^r > R on peut 6crire la fonction d’onde

8, ^est l’amplitude pour l’absorption ^du photon

avec emission du nucl6on dans ]a voie « l _», k est le nombre d’onde du nucIéon 6mis. Pour ^r R

A partir ^{de (19) et} (19’)

of K est le nombre d’onde interne du nucleon.

11 n’y ^a que deux transitions possibles 10 - lo ^{+ I}

ou 1,0

10 ^{- s la} distribution angulaire ^totale

calcul6e a partir ^de (20) contient des termes d’inter- férences entre ces deux types ^de transition et est de la forme a + b sin2 0. Ces ^termes d’interference permettent ^au rapport b ja ^d’etre n6gatif ^ce qui ^va

dans le sens des expériences ^de Spicer ^{sur 160.}

Par ailleurs les sections efficaces calcul6es au voisi- nage de la ^{resonance sont :}

ou t

1 IZ ^ou -1IN ^suivant que la particule

6mise est un proton ^{ou un neutron.}

a ete tabul6 _par Wilkinson [2]

est la largeur d’ emission de la particule, ul ^{le facteur}

de penetration. ^{Dans tous nos calculs nous avons}

idealise les mouvements du nuel6on dans le noyau

en 1’assimilant a celui d’une particule plong6e ^dans

un puits ^de potentiel. ^Une confrontation avec 1’ex-

p6rience ^{a ete faite sur 27Al} (y, n (12). ^Nous

trouvons un bon accord qualitatfi

Conclusion.

Ce type de formulation unifi6e

presente ^{donc un intérêt} méthodologique ^certain.

Ce mod6le n’introduit plus empiriquement les para- m6tres de la dynamique collective mais les exprime

a I’aide de grandeurs caraet6risant les mouvements des nuel6ons et leurs interactions. L’emploi ^simul-

tane du modele des couches considere comme

« structure modele intrins6que)) ^et du modele collec- tif pur permet l’interpr6tation ^{et le calcul} simple

de la largeur ^{de raie. 11} permet ^aussi de retrouver des résultats equivalents ^{a ceux de Wilkinson dans}

le phénomènç d’6mission directe. Enfin il convient de souligner ^{le role tres} important joue par la condition supplementaire.

Cette 6tude m’a 6t6 sugg6r6e par M. le Pr Maurice Jean. Les discussions _que nous avons eues tout au

long ^{de son} elaboration m’ont grandement ^{aide. Je}

tiens a 1’en remercier vivement. Je remercie 6gale-

ment Ie Centre National de la Recherche Scienti-

fique ^{dont les} allocations m’ont permis ^{de mener}

ce travail a bonne fin.

Manuscrit regu le ³⁰ juin ^1960.

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