Relation entre les propriétés dynamiques et structurales des conducteurs superioniques

HAL Id: jpa-00210889

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00210889

Submitted on 1 Jan 1988

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Relation entre les propriétés dynamiques et structurales des conducteurs superioniques

Y. Boughaleb

To cite this version:

Y. Boughaleb. Relation entre les propriétés dynamiques et structurales des conducteurs superion-

iques. Journal de Physique, 1988, 49 (12), pp.2077-2088. �10.1051/jphys:0198800490120207700�. �jpa-

00210889�

Relation entre les propriétés dynamiques ^et structurales des conducteurs superioniques

Y. Boughaleb

Laboratoire de Physique de la Matière Condensée École Polytechnique, Palaiseau Cedex 91128, ^France Département ^de Physique, Université Hassan II, Faculté des Sciences II Ben M’Sick, Casablanca, ^Maroc

(Requ ^{le 15} septembre 1987, révisé le 22 août 1988, accepté le 25 août 1988)

Résumé.

Nous nous proposons d’étudier les propriétés dynamiques ^d’un système unidimensionnel de

particules browniennes interagissantes ^et soumises à un potentiel périodique, ^{en relation avec} les conducteurs

superioniques. ^Nous analysons ^le comportement de la conductivité dynamique 03C3 (03C9) ^avec l’intensité des interactions de paire ^et la densité des ions mobiles. Nous partons ^de l’équation de Fokker-Planck généralisée ^à

N corps ^{et nous} utilisons le développement de 03C3 (03C9) ^en fractions continues au quatrième ordre. En calculant les fonctions de corrélations statiques ^{à l’aide de} l’approximation homogène, ^{nous dérivons une} expression ^de

03C3 (03C9) qui n’introduit aucune restriction sur le régime ^de température ^ou l’intensité des interactions de paire ^et qui reflète clairement la relation entre le comportement dynamique du réseau désordonné et ses propriétés

structurales.

Abstract.

We investigate ^the dynamical conductivity 03C3 (03C9) ^{of a} one-dimensional system ^of interacting

Brownian particles subject ^{to a} periodic potential in relation to superionic conductors. By varying ^the density

of the mobile particules ^{and the} strength ^{of the} pair interaction, ^{we discuss} commensurability effects and determine how the dynamical responses ^are effected by the correlated motion of the ions. We start from the Fokker-Planck equation generalized ^to N-particles ^{and we use} continued fractions development up ^to fourth order of the velocity-velocity correlation function. Using ^the homogeneous approximation ^to perform ^the

many body averages in the static correlation functions, ^{we derive an} expression of 03C3 (03C9) which does not introduce any restriction ^on the temperature régime ^{or the} strength ^{of the} pair interaction and which shows

clearly ^the relationship between the dynamical behavior of the disordered sublattice and its structural

properties.

Classification

Physics ^Abstracts

05.40

66.30D

1. Introduction.

Les conducteurs superioniques [1] reprdsentent ^une

classe spdciale des solides ioniques : ^{ils se caractdri-}

sent par ^une conductivitd ionique ^{du meme ordre de} grandeur que celle observ6e dans les electrolytes liquides ^{tout en} dtant dans la phase ^solide. L’image

la plus simple que ^l’on peut ^{faire de ces mat6riaux}

est celle d’un solide ou l’une des esp6ces ioniques

constitue une structure rigide ^{a travers} laquelle

1’autre esp6ce ionique ^de charge oppos6e ^{diffuse de} fagon quasi liquide. ^{Du au} fait que ^ces matdriaux

poss6dent ^un potentiel technologique considerable,

des efforts importants aussi bien expdrimentaux que

thdoriques ^{ont ete} deployes ^{ces dix derni6res} ann£es ,

pour ^une bonne comprehension ^{de leurs} propriétés

de transport ^{et surtout} pour examiner les facteurs

qui ^sont responsables de la bonne conduction ioni- que. Dans un certain nombre de ^ces composds, ^le

processus de conduction ^est restreint a de basse dimensionnalit6. Citons _par exemple, l’alumine-13 (d

2), k-hollandite (d = 1), eucryptite-p (d = 1)

etc. Dans les conducteurs unidimensionnels, ^{les ions}

sont confines dans des canaux ou il se bloquent

mutuellement.

Ces derni6res anndes, ^un nombre considerable de rdsultats expdrimentaux [2] ^a ete accumuld et leur

interpretation ^{necessite une} description ^{bas6e sur le}

mouvement continu des ions mobiles. Les techniques

de diffusion des neutrons et de diffraction des rayons X ^ont ete utilises tr6s frdquemment pour la determination du d6sordre dans plusieurs ^conduc-

teurs superioniques. ^Dans AgI [3], ^la distribution

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:0198800490120207700

spatiale ^{des ions} Ag+ pr6sente ^une faible modulation le long ^des chemins de conduction : a 160 °C, ^la probabilit6 ^{de trouver un ion dans une} position d’6quilibre ^{est seulement} 2,5 ^fois plus ^dlevde que celle de le trouver dans une position interm6diaire

entre 2 sites voisins. Une etude par la dynamique

mol6culaire [4] ^{de ce meme} compose, ^{a confirm6 ces}

r6sultats exp6rimentaux ^et indique ^d’autre part, que la correlation entre les oscillations locales des ions et leur mouvement de diffusion doit etre prise ^en compte dans 1’6tude thdorique ^{de ce} materiau. Le facteur de structure statique S (q) ^{informe en} prin- cipe, ^sur l’importance ^des correlations statiques

entre les particules ^{mobiles dans ces} composes. ^En

effectuant des experiences ^de diffraction des rayons X ^sur la hollandite potassique, Beyeler [5] ^a

obtenu un facteur de structure qui prouve ^sans

6quivoque que ^les interactions entre les ions mobiles

sont du meme ordre de grandeur que ^la barri6re

d’6nergie ^{du reseau} rigide ^et que l’arrangement ^des

ions pr6sente ^{un caract6re} unidimensionnel avec

certains ions d6centr6s des sites cristallographiques.

Cette situation affectera clairement les propridt6s ^de transport ^dont l’analyse requiert ^une approche compl6tement dynamique. R6cemment des mesures

de la diffusion in6lastique ^{des neutrons} [6] ^{ont ete}

effectudes sur le conducteur superionique /3-Ag2 S-

La demi-largeur de la raie quasi-61astique ^du spectre de S (q, w ) ^{montre une} dependance en q similaire à celle correspondant ^{a un} liquide ^{fortement corr6ld.}

Toutes ces observations exp6rimentales ^confirment

le role important ^des correlations entre les ions mobiles dans la phase ^de supraconductivite ionique

de ces compos6s. ^D’autre part, ^dans plusieurs

conducteurs superioniques, ^{la taille et} la densite des ions mobiles peut ^{varier sur une} large gamme, ^sans pour ^autant modifier la structure du reseau rigide.

Par exemple, ^{dans le} syst6me Pyrochlore Mi + xTal +.,,Wl -.06 ^{avec M =} Na, K, Tl, ^x peut varier de 0 a 1 et dans le Nasicon [7]

Na1 +xZr2SixP3 -x012, X peut prendre ^{toutes les}

valeurs de 0 a 3. Cette stoechiomdtrie variable

sugg6re que certains mat6riaux peuvent etre fabri-

qu6s ^de fagon ^{a obtenir les} propri6tds ^de transport d6sir6es.

La compréhension ^de l’influence pr6cise ^des fac-

teurs associés aux différents constituants, repr6sente

donc un apport ^crucial pour l’optimisation ^des

conducteurs superioniques.

Dans la section 2 de cet article, ^nous ddfinissons le mod6le et nous donnons les expressions ^{des diffd-}

rents coefficients intervenant dans le d6veloppement

de o- (w ) ^{en fractions} continues. Dans la troisi6me

partie, ^nous d6terminons le coefficient de troncature du d6veloppement Rn ^{en utilisant le} concept ^du potentiel ^{effectif et nous} discutons les effets de commensurabilitd. Et finalement, dans la section 4,

nous 6valuons les diffdrentes fonctions de corr6la-

tions statiques ^d’ordre supérieur, à ^{1’aide de} 1’approximation homog6ne ^{et nous} analysons ^la

conductivite dynamique ^{dans toute} la gamme de

frequence ^{avec la} densite des ions mobiles et l’inten- sit6 des interactions de paire. ^Et enfin, ^nous _compa-

rons nos r6sultats avec ceux de Thomas et Diete- rich [9b].

2. Modèle et formalisme.

2.1 MODELE. - La densite des ions mobiles dans les bons conducteurs ioniques prdsente ^{une faible}

modulation spatiale ^le long ^{des chemins de conduc-}

tion : ceci sugg6re ^{un mod6le dans} lequel le ^mouve-

ment des ions ne peut ^{etre decrit} que ^{comme un} processus continu. Nous ^sommes donc conduit à 6tudier un syst6me ^de particules browniennes en

interaction, ^{soumises a un} potentiel pdriodique.

Dans le cadre de ce mod6le, ^{nous nous} int6ressons

au calcul des propri6tds dynamiques ^{de ce} syst6me,

et plus particuli6rement ^la conductivite a(w) qui

nous informe sur les effets de correlation des ions dans le temps ^durant leur processus de migration. ^Ce

genre de problemes, qui ^est frequemment ^rencontr6

dans des situations physiques de la mati6re conden-

see, ^{a ete abord6 de} fagon analytique ^seulement

dans certains cas de faible interaction de paire [9a],

d’interaction de courte portde [9b] ^{ou dans la limite}

de haute temperature [10]. ^{Dans notre etude nous}

nous plagons ^{dans un cas tr6s} general. ^Le potentiel

d’interaction entre les ions mobiles, V2 ^{est choisi de}

telle fagon qu’il ^soit r6aliste pour les conducteurs

superioniques ^{et assez} souple pour ^nous permettre de faire des calculs analytiques ^des differentes fonc- tions de correlation statiques. L’utilisation des inte- ractions harmoniques ^{entre les ions} plus proches

voisins parait ^{donc tr6s} appropri6e. ^{En utilisant le}

formalisme de projection ^de l’op6rateur d’evolution du syst6me introduit par Mori [8], ^nous d6veloppons

la fonction de correlation courant-courant, ^{en terme} de fonctions de corr6lation statiques ^{de diffdrents} ordres, que ^nous 6valuons a partir ^de 1’approxima-

tion homog6ne [20, 24]. ^{L’int6r6t de cette etude est}

de mettre clairement en evidence la relation entre le comportement dynamique du sous-r6seau mobile et les propri6t6s statiques ^{de ce demier.}

En vertu des fameuses formules de Kubo [11] ^les quantit6s physiques qui caract6risent la r6ponse ^du systeme ^{a une} faible excitation ext6rieure, peuvent etre exprim6es ^{en terme de} fonctions de correlation.

La conductivit6 d6pendante ^{de la} frequence que

nous voulons calculer est donn6e par la fonction de correlation des vitesses :

ou Q reprdsente ^la charge ^effective transport6e, D

est le volume du syst6me ^et /3 = 1/ kB T. ^Pour

calculer la fonction de correlation des vitesses, ^{il est}

utile d’introduire la densitd de probabilite ^{de transi-}

tion W (x’, ^v’, t/x, v ) ^ou (x, v ) reprdsente ^{le vecteur}

A 2 N dimensions dans 1’espace ^des phases ^{des N} particules du rdseau mobile. L’6volution dans le temps ^{de cette fonction W est ddcrite} par 1’equation

de Fokker-Planck g6n6ralisde ^{a N} corps :

avec l’opdrateur diffdrentiel de Fokker-Planck,

donne par:

La force Ki agissant ^{sur la} particule i ^{est d6rivde du} potentiel ^{total :}

avec :

l’intensit6 des interactions de paire ^est mesur6e par

K -1 repr6sentant ^la longueur ^de corr6lation en

unit6s de b :

Au lieu d’utiliser l’opdrateur ^de Fokker-Planck (3),

il est plus convdnient de considerer sa forme renver-

see dans le temps ^backward form ^{connue sous le}

nom de l’opdrateur ^de Kolmogorov :

L’opdrateur ^L agit ^{sur le vecteur initial de} 1’espace

de phase (x, v ) ^en conservant fixde la configuration

finale (x’, v’ ). ^{Il decrit} 1’evolution dans le temps ^du syst6me ^{a N} corps. Les deux premiers ^{termes de L}

sont identiques ^au Liouvillien de la m6canique classique. Les deux demiers sont de nature dissipa-

tive et tiennent en compte ^le couplage ^des particules

mobiles avec les fluctuations thermiques ^{du reseau} rigide.

L’6volution de la densitd de probabilitd ^{de transi-}

tion W (x’, v’, t/x, v ) peut donc 8tre obtenue en

rdsolvant l’équation (2) ^{oil l’on a} remplace l’opdra-

teur de Fokker-Planck par celui de Kolmogorov, ^en

tenant compte ^des conditions aux limites :

et quand t ^-+ oo, la distribution rejoint ^la distribution

d’6quflibre ^{de Boltzmann.}

D’une fagon gdndrale, le calcul des fonctions de corrdlation necessite la connaissance explicite ^de W (x’, ^v’, t /x, v ). Cependant ^{en utilisant les} dqua-

tions (2) ^et (3) ^W peut ^{etre mise} formellement sous

la forme :

Introduisons la solution (9) ^dans 1’expression ^{de la}

fonction de coffdlation des vitesses et int6grons ^sur

les variables finales (x’, v’) ^{nous obtenons :}

La moyenne ^{est tout} simplement ^{faite sur la distribu-}

tion d’6quihbre Peq(x, ^{v ) donn6e par} 1’6.quation (8).

Plusieurs m6thodes ont dtd utilis6es pour le calcul des fonctions de coff6lation dans le cas ou l’opdra-

teur L decrit un syst6me ^de particules indépendantes.

Mais l’une d’entre elles, qui ^{est d’un} grand ^intdr6t gdn6ral ^{et dont nous} donnons le principe, ^{consiste à} d6velopper ^{en fractions} continues la transform6e de Fourier temporelle ^de (10).

2.2 DfVELOPPEMENT EN FRACTIONS CONTINUES DE a (w ).

^Pour le calcul des fonctions de coffdla- tion, ^Mori [8] ^{a introduit le} concept ^de ddveloppe-

ment en fractions continues qui ^{est base sur la} technique ^de projection ^de l’opérateur ^devolution

du syst6me hamiltonien. La g6n6ralisation ^{de la}

mdthode de Mori aux syst6mes non-hamiltoniens, ^ce qui ^{est le cas} pour ^notre probleme puisqu’il ^contient

des termes dissipatifs, ^a dt6 faite par Schneider [12].

L’int6r6t de cette mdthode rdside dans le fait que la fonction de correlation des vitesses est une fonction convergente pour laquelle ^nous pouvons dcrire un

développement ^de Taylor ^au voisinage ^{de t}

^0.

avec

La conductivit6 d6pendante ^{de la} frequence ^s’obtient

en prenant la transform6e de Fourier de (11)

Le ddveloppement ^{de o-} (w ) ^en fractions continues permet d’expliciter ^la divergence ^{A to}

^{0 de} 1’expression (12) :

Les coefficients ai ^et bi consistent en des fonctions de correlations statiques ^et peuvent etre obtenus en

utilisant la technique de Mori. Par exemple, ^si Ao ^{est la variable dont nous} voulons calculer 1’auto- correlation (dans ^{notre cas} Ao reprdsente ^{le courant}

des vitesses), ^les coefficients ai ^et bi ^{sont donnds}

comme suit :

out les An ^{sont derives de la fonction} Ao :

ou L est l’opdrateur ^de Kolmogorov ^et Q,, l’opdrateur

de projection defini par :

En suivant cette hidrarchie d’6quation ^{nous obtenons}

les premiers coefficients ai ^et bI:

L’expression de a3 ^est tr6s compliqude. ^{Nous la} prdsentons ^en appendice ^A. K, ^{est la force} provenant du potentiel ^extdrieur Kl(xi) = - aV,(xi)laxi ^et

Kí (Xi) ^{est sa} derivee. Notons que le potentiel

d’interaction V2 n’intervient pas explicitement ^dans

les expressions de al ^et a2. Ceci ddcoule particuliere-

ment de son caract6re harmonique.

L’etude de la dynamique ^des syst6mes sous-amorti

( y _ w0 ) par ^cette mdthode necessite un ddveloppe-

ment tr6s poussd ^de 1’expression (13) ^{et pose le} probl6me ^{de sa} convergence. Mais dans plusieurs

cas, quelques poles suffisent pour ddcrire qualitative-

ment la forme du spectre ^des propridtds dynamiques.

Dans le cas de frottement fort, ^on pourra limiter le

d6veloppement ^a un certain ordre (ici, ^{nous nous}

limitons A l’ordre 4) ^et instaurer le reste du develop- pement ^{dans un} coefficient Rn(w). Malheureuse- ment, ^la determination de Rn ( w ) reprdsente ^un probl6me majeur ^mais qui ^est crucial pour l’efficacité de la mdthode. Pour calculer la conductivite o, (w ),

on est donc confronte a deux probl6mes : ^le premier

consiste a trouver une approximation valable pour le coefficient Rn (w ) ^{et le} deuxième revient à calculer les differentes fonctions de correlation statiques qui

constituent 1’expression (13).

3. Approximation pour Rn(w ) discussion de or (o ) ^à partir ^du potentiel ^effectff.

La proc6dure ^la plus plausible pour 1’evaluation du coefficient Rn consiste A le remplacer par ^une constante (Rn(w) = R (0)) qu’on d6terminera _{a par-} tir de la conductivite a frequence ^{nulle u} (0) ^connue

par d’autres considerations qui, n6cessitent _cepen- dant toute la connaissance du potentiel effectif dont

nous avons largement discute la structure et le

comportement ^en fonction des diff6rents param6tres caract6ristiques ^{du mod6le} [13]. ^D’une fagon g6nd- rale, ^la conductivité u (0) depend ^du potentiel

effectif dont la barri6re d’6nergie ^est assimil6e à

1’£nergie d’activation du processus de migration

Le potentiel ^effectif peut, ^en principe, etre mesure à

partir ^{de la} distribution des ions mobiles p (x ). ^En effet, ^en analysant ^les intensitds de Bragg ^observers

par plusieurs matdriaux conducteurs superioniques,

Schultz et al. [14] ^et Cava et al. [15] ^{ont deduit la}

forme du potentiel effectif le long des chemins de conduction. Pour les composés a - AgI, ^{a -} Ag2S

et K-hollandite, ^{ils ont} obtenu des barri6res d’dner-

gie effectives de 0,05 eV, 0,03 ^{eV et} 0,07 eV, respec-

tivement, ^{en tr6s bon accord avec les} energies

d’activation d6riv6es de mesures de conductivite

of (0). Meme pour ^un syst6me ^de particules inddpen- dantes, 1’expression analytique ^de o-(0) ^{n’est connue}

que dans certains ^cas limite. A tr6s basse temp6ra-

ture la description ^{du mouvement de} conduction par

un mod6le de saut devient appropri6e ^{et on} pourra facilement repr6senter o"(O) ^{en fonction de la bar-}

ri6re d’dnergie ^du potentiel ^effectif Veff :

ou p o ^est la densitd des ions mobiles, Q ^leur charge,

a la distance moyenne de saut et v est une frequence

dont la valeur ddpend essentiellement des courbures du potentiel effectif A ses extrdmums et du rdgime ^de

frottement consid6r6 [16]. ^{Pour un} syst6me ^unidi- mensionnel, ^{dont la} dynamique ^hors d’dquilibre ^est

fortement r6duite _{par le} couplage des ions mobiles

avec les fluctuations thermiques du rdseau rigide (rdgime de fort frottement y > w o), ^la dépendance

fonctionnelle de la conductivité u (0) ^{avec le} poten- tiel A une particule ^{est connue} explicitement [17-18] :

L’expression (22) qui est exacte dans le cas de

particules ^non interagissantes, ^refl6te clairement le lien entre la conduction du sous-rdseau mobile et sa

structure microscopique. ^{Dans un travail} prdcddent [23], ^{nous avons discutd le} domaine de validite de

1’expression (22) ^{et nous avons trouvé} qu’elle repro- duisait tr6s correctement la valeur de a (0) ^ddduite

de la dynamique ^de Langevin, dans la limtie de fort frottement (r

(2 7T’Y /lJJo):> 5 ), ^ce qui ^{n’est dvi-}

demment pas toujours ^{le cas} pour les conducteurs

superioniques. L’analyse des effets de commensura-

bilit6 a partir ^de 1’expression (22) ^ndcessite ddja ^la

connaissance du potentiel ^{effectif. Pour} cela, l’appro-

che standard se base sur la premiere equation ^de

Yvon-Bom-Green avec 1’aide de la version non

homog6ne ^de 1’approximation ^de Percus-Yevick.

Cette m6thode conduit directement aux deux fonc- tions de distribution de plus ^{bas ordre, A savoir la}

density de probabilite ^p (x ) ^et la fonction de corr6la- tion de paires 9 (x, x’), ^{dans le cas} d’interaction de

c0153ur dur ou d’interaction V2 ^{faible et de courte} port6e [19]. Mais pour des syst6mes ^fortement

coff6l6s auxquels ^{nous nous} interessons, ^cette appro- che se heurte A des probl6mes ^de convergence. Nous

avons dtd amend a utiliser l’approximation ^homo- g6ne qui consiste A remplacer g (x, x ’ ) par go (x - x’ )

associ6 au syst6me liquide correspondant. ^En repor- tant go (x - x’ ) ^{dans la} premi6re dquation ^{de Y-B-G}

que ^{nous avons} modifi6e de faron ^{a tenir} compte ^du caract6re particulier des interactions de Frenkel- Kontorova (interactions harmoniques ^entre plus proches ^voisins seulement), ^{nous avons derive} l’équation auto-coh6rente pour le potentiel ^effectif (Boughaleb ^et Ratner) [20] :

Dans 1’equation (23) ^{la somme} porte ^{sur tous les}

vecteurs d’onde positifs du rdseau r6ciproque (k=n(21T/a);n=1,2,...); f3 =l/kBT; Pk

repr6sente ^le k-i6me coefficient de Fourier de la densite de probabilite p (x ) ^oc exp (- P Veff (X))- ^Le potentiel V1 (x ) simule l’interaction d’un ion mobile

avec les ions du reseau rigide ^{dans leur} position d’dquilibre ^{et nous le} choisissons sous la forme suivante :

En r6solvant de fagon auto-coh6rente 1’6quation (23) ^{et en} reportant le rdsultat obtenu dans 1’expres-

sion (22) ^nous d6terminons 1’effet des interactions

V2 ^{sur les} propri6t6s ^de transport ^{dans toute la} gamme de densitd des ions mobiles. Sur la figure 1,

nous avons reporte la variation de la conductivite

normalisde o, (O)loo ou Uo

po Q21my, ^{avec la}

density C

a/b (ions par site).

La conductivite prdsente ^des oscillations en fonc- tion de la concentration avec des minima et des maxima plus ^{ou moins} prononcds. ^{Les minima} apparaissent pour des concentrations C ⁼ a/b ^tel

que C-1 = entier. Dans ces cas, les ions sont essentiellement distribuds au fond des puits ^de potentiel V1(x ) ^et sdpar,6s par des lacunes de telle sorte que dans I’£tat fondamental, ^{les deux} potentiels Vi et V2 atteignent ^leur minimum. A chaque ^fois qu’un ^{ion se} deplace, ^ses interactions avec les autres ions et le potentiel pdriodique coop6rent pour le relocaliser dans sa position d’dquilibre. Donc, ^les

correlations qui ^{en resultent sont} essentiellement des

correlations en arri6re r6duisant ainsi le processus de

conduction. Cette situation se prete parfaitement ^à

Fig. ^1.

Dependance de la conductivitd a (0) ^{avec la}

concentration des ions mobiles pour deux valeurs de la force d’interaction de paire : ^{la courbe} (...) ^{est associée à} K-1 = 2. L’autre courbe (- -) rdsulte d’interaction plus

forte K-1 = 5 : I’dquation (23) ^ne converge pas pour la gamme de densitd que ^{nous avons} repr6sent6e par des hachures. La conductivit6 a- (0) ^est normalis6e par 0’ 0

P o Q2/my. La barri6re d’energie ^du potentiel V1(x ) ^est 6gale A 0,1 ^{eV et T}

^{600 K.}

[Dependence ^{of the} conductivity 0’ (0) ^{with the} density ^of

the mobile ions for two values of the strength ^{of the} pair

interaction : the curve (...) is associated with K -’ = 2. The other curve (- -) results from stronger pair interaction

( K-1 = 5 ) : Equation (23) ^{does not} converge in the range of density ^{that we} represented by dashes. The conductivity 0’(0) is normalized by 0’0

p o Q2/m-y. ^The barrier energy of the framework potential V1(x) ^is equal ^{to 0.1 eV and} T=600K.] ]

une 6tude par ^un mod6le de gaz ^sur r6seau, ^{mais ne} peut correspondre qu’A ^{des mat6riaux} poss6dant ^une

conductivit6 ionique ^bien en-dessous de celle des bons conducteurs ioniques.

D’autre part, bien que ^la conductivit6 prdsente plusieurs ^{maxima relatifs, le} plus important apparait toujours pour des concentrations comprises ^entre 0,7 ^et 0,8 : ^{ce rdsultat} peut representer ^{un crit6re}

pour optimiser ^certains conducteurs superioniques

unidimensionnels _pour lesquels ^on peut ^{varier la} densite des ions mobiles sur une large gamme de valeurs sans pour ^autant modifier de fagon significa-

tive la structure du sous-r6seau rigide ni par consd- quent ^le potentiel p6riodique V1(x) - La K-hollan- dite en fournit une tr6s bonne illustration. Elle

pr6sente, ^{dans ses} 6tats de conduction optimale, ^une

concentration C = 0,77. ^{Nous sommes donc amenes}

A avancer qu’un bon conducteur ionique (unidimen- sionnel) ^se caractdrise notamment par 1’existence

d’un 6tat d’incommensurabilitd entre les deux sous-

r6seaux qui ^le composent. ^{En effet} pour des ^concen- trations C -1 non enti6res , ^{les deux} potentiels Vi et V2 ^{entrent en} competition, ^chacun essayant

d’imposer ^sa propre pdriodicit6 ^au syst6me ^{des ions}

mobiles. Dependant ^{de la} force relative des deux

potentiels, ^un compromis ^{est atteint} donnant lieu à

un 6tat fondamental ou certains ions sont d6centrds par rapport ^{aux sites} cristallographiques. ^{Il en r6sulte}

une faible modulation de la densite le long ^du

chemin de conduction et par consdquent ^{un accrois-}

sement de la conductivitd cr (0) par rapport A ^celle

d’un syst6me ^de particules ^sans interactions V2. ^Un comportement ^{similaire de la} conductivite o, (0) ^avec

la densite des ions mobiles a 6td observ6 exp6rimen-

talement par Boilot et al. [7] ^dans le Nasicon

Nal +xZr2SixP3 -x012 : ^le maximum de la conductivite est obtenu pour x

2, ^ce qui correspond ^{a la}

situation ou 3/4 des sites disponibles ^sont occupds.

Le m6canisme de diffusion associ6 A une situation

d’incommensurabilité ^peut etre tr6s complexe ^et peut englober plusieurs m6canismes de diffusion

simples d6jA ^{bien connus comme le m6canisme} lacunaire, caterpillaire, ^etc. Son detail requiert ^une

connaissance assez correcte des diff6rentes forces

qui gouvement ^{le mouvement des ions et se caract6-} rise mieux _par le comportement de la demi largeur

de la raie quasi6lastique du facteur de structure

dynamique ^coherent que nous avons calcul6 [21] par la simulation num6rique ^de Langevin. ^{Mais A ce}

niveau et A partir ^de la conductivit6 o’(0), ^on peut

d6jA imaginer qu’en plus ^des corr6lations en arri6re

qui refl6tent l’obstruction du chemin de diffusion d’une particule qui ^{tente de se} d6pi6ger par ^ses

voisines, ^des corr6lations de type oppose s’installent

et deviennent le facteur principal dans le processus de diffusion pour ^un syst6me ^{dense avec des interac-}

tions de paires dominant le potentiel p6riodique V1(x ). ^Ces correlations en avant s’analysent ^{de la} fagon suivante : quand ^{un ion traverse la barri6re de} potentiel, il entraine avec lui ses voisins en distri- buant 1’energie qu’il ^lib6re pour ^se relocaliser dans

une nouvelle position d’6quilibre. ^Ce ph6nom6ne s’op6re ^d’autant plus que certains ions dans leur 6tat fondamental se situent tout pr6s ^{des maxima de} V1(x) n6cessitant ainsi qu’une ^faible 6nergie compa- r6e a Vo pour survoler ^la barri6re de potentiel. ^Le deplacement ^{a travers le solide de ce} groupe d’ions dont la taille d6pend ^{de la} longueur ^de corr6lation dans le syst6me, pendant ^{le temps de diffusion d’une} particule, ^{contribue donc de} fagon significative ^à o-(O).

4. Evaluation des fonctions de corrklation statiques.

Etude de la dynamique ^haute frequence ^du système.

La question qu’on peut ^se poser ^est de connaitre le

role de correlation des ions dans le spectre ^{de haute}

frequence ^{de la} conductivit6 dynamique a (w ) ^et

aussi d’établir le lien entre le comportement dynami-

que des ions ^et les propridt6s structurales qui ^r6sul-

tent de leurs interactions. Dans le paragraphe pr6c6- dent, ^{nous avons 6tabli} l’importance ^du potentiel

effectif a elucider les effets de commensurabilit6 et à

permettre ^{de d6duire des} conclusions sur les mdca- nismes de conduction. Néanmoins, pour inclure ^tous les d6tails de la dynamique ^du syst6me, ^{il convient}

d’évaluer en outre les fonctions de corr6lations

statiques ^d’ordre sup6rieur repr6sent6es par les coefficients _a,, a2, ..., dans 1’expression (13) ^de

U (w ). ^A partir ^de 1’expression (24) ^du potentiel pdriodique V1(x), ^nous d6duisons la forme suivante pour ^les coefficients _al et a2 :

ou qo reprdsente ^{le vecteur} d’onde relie a la pdriode spatiale ^{du reseau} rigide : qo ^{= 2} ir Ia. Les moyennes

... > 0 ^{doivent etre} effectu6es sur la distribution

d’dquilibre donnde par l’équation (8). ^Geisel [10a] ^a considdrd, ^en premier, I’dtude de la conductivitd

dynamique, ^en utilisant la procddure ^de d6veloppe-

ment en fractions continues au troisi6me ordre. Pour le calcul des coefficients ai et bi ^du developpement, ^il

a introduit deux simplifications qui ^faussent l’analyse

de la dependance ^du spectre ^{de haute} frdquence

avec le param6tre ^de frottement et avec l’intensitd des interactions de paire : ^en effet, ^{il a} n6gligd ^le

coefficient Rn(w ) ^{et dvalud} les moyennes intervenant dans les expressions de al ^et a2 A l’aide de la

technique ^des intdgrales ^de transfert, ^{dans la limite}

de haute tempdrature, ^ce qui ^{revient A} ignorer compl6tement ^la contribution du potentiel p6riodi-

que V1 ^{1 dans la} distribution d’équilibre. ^{Ici, nous} calculons u (Cd) ^{dans le cas} gdn6ral ^{en utilisant} 1’approximation homog6ne [24] (g(Xi’ Xj):=

g0(Xi - Xj)). Cependant, ^nous limiterons nos conclu- sions au domaine de validity de cette approximation

que nous avons discutd dans un travail prece-

dent [20]. Apr6s ^un long ^calcul fastidieux, ^nous

obtenons les expressions ^de al ^et a2 en fonction ^des coefficients de Fourier de la densit6 de probabilitd

Pk ^et du facteur de structure du liquide correspon- dant S0(q) :

La somme est effectude sur tous les vecteurs d’onde k

_{nqo, n}

0, ±1, ± 2, ^{...- De} meme,

Les coefficients de Fourier de la densite sont donnds par :

ou le potentiel ^effectif V eff( ) ^{est obtenu en rdsolvant}

de fagon auto-coh£rente liquation (23). ^En

l’absence d’interaction V2, ^les coefficients de Fourier sont simplement ^donn6s par les fonctions de Bessel modifies : (p k/ Po) = In ({3 V 0/2)/10 ({3 V 0/2) ^ou

n

k/qo. ^{Le facteur de structure} S0(q) pour ^un

liquide unidimensionnel avec des interactions de

paire harmoniques ^a 6t6 calcul6 par Emery ^et

Axe [22] ^et prend ^{la forme :}

ou on rappelle que ^{a est la force} d’interaction et b la distance moyenne ^entre deux particules proches

voisines.

En tenant compte ^du coefficient Rn, ^{la conducti-}

vitd dependante ^{de la} froquence ^{est maintenant} compl6tement ddtermin6e par ^les dquations (27), (28), (29) ^et (30). Nous n’avons fait aucune restric- tion sur le regime ^de tempdrature ^{ou sur} l’importance

relative des potentiels V1 ^et V2. ^{Nous serons donc} capables ^de décrire, à partir ^de 1’expression ^obtenue

pour cr (w ), ^{les cas de} figures ^{suivants :}

a) syst6me ^de particules ^sans interaction

(V2 ⁼ 0 ) : So (q ) =1 pour ^toute valeur de q ; ^nous remplacerons ^les coefficients de Fourier _{Pk par les} fonctions de Bessel modifiees ;

b) syst6me homog6ne V1 = ⁰ (p k/ Po ^{= 0 si} k I > 0) ;

c) syst6me inhomog6ne (V 1 #= ^0, V 2 #= 0 ).

Il est intdressant aussi de determiner les conditions dans lesquelles ^la description ^des particules inddpen-

dantes soumises au potentiel effectif, peut reproduire

la dynamique (surtout ^le spectre ^{de haute} frequence)

du syst6me i ^N corps. Pour cela, ^on remplace ^dans

les equations (18) ^et (19) ^{la force} Kl par la force

effective Keff = - aveff/ax. ^Les coefficients ai ^et

bi s’expriment ^{seulement en termes de} coefficients de Fourier de la densite de probabilite p (x ). ^{Sur la} figure 2, ^nous reprdsentons ^la dependance ^{de la}

conductivitd avec la frequence. ^Nous la comparons

avec les rdsultats de la technique ^des integrales ^de transfert [10a] ^{et avec u} (w ) ^{obtenue à} partir ^du developpement (13) ^dans lequel les coefficients . ai ^et bi ^{sont 6valu6s} par simulation numerique. ^Cette figure correspond ^{a une} situation de non-competi-

tion C

0,5. ^{Les autres} param6tres ^{sont :} Vo=0,leV, T = 400 K, K-1 = 3 et r=lO. On voit _que 1’approximation homog6ne ^{conduit a un}

tr6s bon accord avec la simulation num6rique ^dans

toute la gamme de fr6quence, contrairement aux

r6sultats de Geisel [10a] qui surestiment la valeur de

o- (0 ) (le potentiel p6riodique qui dresse des barri6res

au mouvement des ions et par consequent ^{r6duit la} conduction, n’y ^est introduit que de fagon perturba- tive) ^et qui conduisent a un deplacement ^{vers les}

hautes frequences (Cù R ::> Cù 0) ^{de la structure de}

Fig. ^2.

Conductivit6 dynamique ^{6valude A} partir ^de

diff6rentes methodes : ( ) Approximation homog6ne ; (. - - ) Technique ^des int6grales de transfert « T.I.T. ^»

[Ref. 10a] ; (---) Equation (13) ou les coefficients ai ^et bi ^sont calculds par la simulation numdrique.

Les param6tres microscopiques pour ^cette figure ^{sont :} Vo = 0,1 eV, T=400K, K-1=3 ^{et C} = 0,5.

[Dynamical conductivity ^{evaluated from different}

methods : (-) Homogeneous Approximation ; (. - - )

Transfert Integrale Technique ^{«T.I.T. »} [Ref. 10a] ; (--- ) Equation (13) ^{where the} coefficients ai and bi ^are computed by numerical simulation.

The microscopic parameters associated with this figure

are : Vo ^{= 0.1 eV,} T = 400 K, K -1 = 3 ^{and C}

0.5.] ]

resonance du reseau mobile (ce déplacement. ^se

manifeste d’autant plus que les interactions de paires

sont renforcdes, inddpendamment ^{de la commensu-}

rabilit6 des pdriodes spatiales ^{des deux sous-} reseaux).

Pour cette situation commensurable, ^{la barri6re}

du potentiel ^{effectif se trouve} augmentee par les interactions entre les ions, entrainant un accroisse- ment de sa courbure au voisinage des minima et par voie de consequence, ^un deplacement ^{de la} position

du pic ^{du mouvement} oscillatoire, ^{vers une frd-}

quence supdrieure a w o, dans la description ^du syst6me ^{a N} corps par le potentiel ^{effectif. Ceci est}

illustr6 sur la figure ^{3 ou} nous avons aussi reporte ^la

conductivite associde au syst6me ^sans interaction de

Fig. ^3.

Conductivite dynamique u (w ) ^{avec les memes} param6tres que ^ceux de la figure 2. (---) : V2 = 0, (. - - - - ) : particules inddpendantes ^{soumises au} potentiel effectif, (-) : Approximation homog6ne ^et (. -. ) :

« T.LT. ».

[Dynamical conductivity ^u ( w ) ^{for the same} parameters ^as in figure ^2. (---) : V2

^0, (. - . - . ) ; independent particles

in the effective potential, (-) : Homogeneous Approxi-

mation and finally (. -. ) : ^{« T. 1. T.} ».]

paire. ^Les param6tres ^utilises ici, ^sont les memes que

ceux de la figure precedente. Les effets des corrdla- tions sont davantage ^{mis en evidence sur les} figu-

res 4a et 4b correspondant repectivement ^{a K-1 = 3}

et K -1= 6. L’accroissement des interactions de

paires V2, s’accompagne ^d’une intensification du

spectre ^{de haute} frequence ^{dont la} position ^du

maximum se stabilise autour de wo, ^et d’une r6duc-

tion du spectre ^{de basse} frequence ^{et donc de la}

conductivité u (0).

Fig. ^4a.

De meme que la figure 3 mais pour T

600 K. La courbe (..-..) correspond ^au système ^sans

interaction de paire.

[Same ^{as in} figure ³ except ^{for the} temperature : T

600 K. The curve (..-..) corresponds ^{to a} system without pair interaction.] ]

Fig. ^4b.

^De meme que la figure ^{4 mais avec des}

interactions de paire plus importantes ^{K - 1 = 6.}

[Same ^{as in} figure 4 but here we consider stronger pair interaction: K - 1 = 6.] ]

Pour des situations incommensurables ou

commensurables d’ordre supdrieur a l’unit6 ou les deux potentiels ^sont constamment en competition

pour imposer ^une distribution spatiale ^{des ions} qui

minimiserait leur valeur dans 1’etat fondamental,

nous devons nous attendre A ce que le comportement du spectre ^de o- (w ) ^avec l’intensitd des interactions de paires differe fortement de celui du cas commen-

surable. En effet (voir Fig. 5) l’augmentation ^de l’importance relative de V2 par rapport ^a Vl,

entraine un accroissement du spectre de basse frd-

Fig. ^5.

Conductivitd dynamique o- (w ) pour ^une situa- tion de competition ^C

2/3, ^T

⁶⁰⁰ K, Vo

0,1 ^{eV et}

pour 2 valeurs de K - 1. (-) : Approximation homog6ne

et (’2013’): technique ^des intégrales de transfert.

[Dynamical conductivity a (w ) describing ^a situation of

competition ^C

^{2/3, T}

^{600 K,} Vo

0.1 eV and for 2 values of K -1. (20132013): Homogeneous Approximation ^and

(. -. ) : ^Transfert Integral Technique.]

quence ^au depend ^{de celui} des hautes frequences

dont la position du maximum se deplace ^{en dessous}

de _wo, traduisant ainsi une forte contribution des

parties anharmoniques ^de V 1 (x) par les ions dont la

position d’dquilibre ^se situe au-dela des minima du

potentiel p6riodique. Pour de tr6s fortes interactions

V2, la plupart ^{des ions se} placent ^tout pr6s ^des

maxima de V 1 (x) conduisant a une domination totale des modes locaux par le mode de diffusion,

comme le montre la figure ^{6. Dans ce cas} IA, ^la description ^{bas6e sur le} potentiel ^effectif reproduit

sur toute son integrite ^le spectre ^de a (w ) ^du syst6me A ^N corps.

Toutefois, ^nous devons faire remarquer que pour les tr6s basses temperatures, I’approximation ^homo- g6ne ^sur laquelle ^{notre etude} théorique ^{est basee}

devient incorrecte. En dehors des limites de basses

temperatures ^{et de faible} frottement (r 1 ) ^{ou la}

simulation numerique ^reste jusqu’A présent ^{le seul}

moyen d’etude des effets de correlation dans les

syst6mes incommensurables, 1’expression analytique

Fig. ^6.

u(w) pour C

0,75, ^T

⁴⁰⁰ K, Vo

0,1 ^eV

et K-1 = 3. Les courbes sont obtenues A partir ^{des memes}

mdthodes que celles ddcrites dans la figure ^3.

[a (w ) ^{for a 3-order} commensurate system (C

0.75 )

and with T = 400 K, Vo = 0.1 eV ^{and K-1=3. The}

different curves are obtained from the same methods describes in the legende ^of figure 3.]

de o, (w ) que nous avons obtenue ddcrit assez bien

qualitativement ^et parfois ^meme quantitativement

les propriétés ^de transport dynamique ^du syst6me ^à

N corps. Elle g6ndralise aussi les rdsultats analyti-

ques de o- (0) ^{obtenus dans la limite de tr6s fort}

frottement et de faible potentiel p6riodique ^{ou de}

haute temp6rature. ^{En effet, dans le cas d’un} systeme ^{dont la} dynamique ^{est fortement} amortie,

nous pourrons limiter le d6veloppement ^{au troisi6me}

ordre. Le terme a3lb4 ^est donn6 par :

A frequence nulle, ^{ce terme} qui ^{decroit en} 1/y

devient ndgligeable ^devant b3

^{y. Ainsi nous abou-}

tissons a une expression de a (0) qui ^{ne contient}

aucune restriction sur l’importance ^du potentiel p6riodique ^{ou sur le} regime ^de temperature

Les expressions de at ^et a2 ^sont donndes respective-

ment par (27) ^et (28). ^{Dans la mesure ou} kBT > V o

ou plus exactement kB T > Veff (cette ^{derni6re condi-}

tion peut ^etre satisfaite _pour des syst6mes ^incommen-

surables (0,7 ^C 0,8 ) ^{avec de fortes} interactions de paire), ^{nous ne} retiendrons dans a, ^et a2 que ^les

termes associés au coefficient de Fourier de la densité de plus bas ordre : (p k/ Po) == ^{0 si k =1= 0.}

et qui ^{s’dcrit au} deuxi6me ordre en Vo

Nous retrouvons ainsi 1’expression de cr(0) ^obtenue

par Geisel [10a] ^et Dietrich et al. [9a] qui ^{se sont}

bases sur une definition de la conductivite o- (w )

similaire a celle d’un mod6le de saut et ont effectu6 la moyenne de correlation des forces en n’employant

que ^la distribution d’dquilibre ^{associ6e au} syst6me homog6ne.

Dans 1’equation (34) les interactions de paire

n’interviennent que par le facteur de structure

statique ^du syst6me liquide. ^La conductivite (34) exprime ^de flagon qualitative les effets de commensu-

rabilit6 dans le sens que ^sa valeur depend ^des

maxima et des minima de SO(q) relativement au

vecteur d’onde qo

² w la reprdsentant ^la frequence spatiale ^du potentiel p6riodique V 1 (x). ^Effective-

ment si qo coincide ^{avec un} minimum de So(q), la

conductivite devient plus grande que ^{dans le cas d’un}

syst6me ^sans interaction de paire ^et qui correspond A So (q ) = 1. D’autre part si qo coincide ^{avec un} maximum de S0(q ), ^la conductivité est abaissée.

Cependant ^{nous notons} que les expressions (33) ^et (34) ^{de a} (0 ) ^ont ete 6valudes a partir d’approxima-

tions s6v6res et sous des conditions physiques qui ^ne correspondent pas toujours ^{a celles} des conducteurs

superioniques. Pour d6crire des situations proches

de la r6alitd, ^{nous devons} plut6t ^utiliser 1’expres-

sion (13).

Revenons bri6vement aux r6sultats de Thomas and Dieterich [9b] concernant la conductivite dyna- mique ^d’un syst6me ^{a N} particules browniennes en

interaction. Ces auteurs se sont appuy6s ^sur l’approximation ^de champ moyen dependant ^du

temps pour d6river une 6quation de Fokker-Planck pour la distribution de densite a une particule. ^Pour

le calcul de a (lù ), ^{ils ont utilisé des} interactions de

paire ^{de courte} port6e ^de type V2 (X)

B (bl I x )n

où n > 2. Leur analyse ^{les a conduit a} conclure que le spectre ^{de basse} frequence ^{de o-} (w ) (particuli6re-

ment a (0)) ^du syst6me ^a N-corps ^est reproduit

exactement par la description ^{bas6e sur le} potentiel

effectif quelque ^{soit le regime} de frottement. Or,

cette conclusion n’est valable que dans ^{le cas de fort} frottement [23].

En ce qui ^{conceme le spectre de haute} frdquence,

leur etude montre que ^la frequence de r6sonance

depend seulement du potentiel p6riodique V1(x )

pour ^toute densitd des ions mobiles. Dans notre

travail, ^nous ddmontrons, contrairement aux rdsul- tats de [9b], que ^la frequence ^{de rdsonance} ddpend

aussi bien de V1(x) que de l’interaction de paire V2(x). ^{En effet,} pour des densitds incommensurables

ou commensurables d’ordre supdrieur ^a 1, ^le pic ^de

rdsonance se d6place ^vers les basses frequences (w - 0) ^d’autant plus que ^les interactions de paire

s’intensifient.

5. Conclusions.

En conclusion, ^{nous avons derive a 1’aide de la}

m6thode du d6veloppement ^en fractions continues et de 1’approximation homog6ne, ^une expression

pour la conductivitd dynamique a(w) qui ^couvre

toute la gamme de concentration des ions mobiles,

et qui refl6te les effets de commensurabilit6 en tr6s bon accord avec les simulations num6riques. ^Le comportement ^des spectres ^{de basse et de haute}

fr6quence ^{a ete} analys6 ^en fonction de la concentra- tion et de l’intensitd des interactions de paire. ^Les

r6sultats obtenus rejoignent ^{ceux de la simulation} num6rique [23] ^a 1’exception ^des r6gimes ^{de tr6s}

basses tempdratures ^et de faible frottement (T 1).

Nous avons aussi clairement mis en evidence la relation entre les propridtds dynamiques ^{et les} caract6ristiques structurales, ^a savoir le potentiel

effectif et le facteur de structure statique S (q ), ^d’un syst6me ^a N corps. Nos r6sultats montrent tr6s nettement que les interactions ^entre les particules

diffusantes jouent ^un r6le ddterminant dans l’origine

de la supraconductivit6 ionique.

Remerciements.

Je suis très reconnaissant au Professeur Mark A. Ratner (Northwestern university) pour ^{nos nom-} breuses discussions et a J. F. Gouyet pour la lecture tr6s critique du manuscrit.

Annexe.

Dans cette annexe, ^nous donnons 1’expression ^du

coefficient _a3 et nous dvaluons les differentes fonc- tions de correlation statiques qui ^le composent ^à 1’aide de 1’approximation homog6ne. En utilisant la

technique ^de projection ^de l’opdrateur d’evolution de Mori [voir Eqs. (14) ^a (16)], ^le coefficient a3 ^du d6veloppement (13), s’écrit donc :

avec

K’ ^et Kl reprdsentent respectivement ^{la d6,rivde} premiere ^{et seconde de} Kl

L’expression de al ^est donnde par I’dquation (25).

En utilisant 1’approximation homog6ne (g (x, x’) = go (x - x’ ) ), ^{nous ddrivons} 1’expression

suivante _pour QT :

où

et

Le coefficient a3 ^est constitue de six termes dont la

plupart s’expriment facilement en fonction de al ^et a2 calcul6s dans le ^texte. N6anmoins, ^{il fait}

intervenir la fonction de corrdlation suivante :

et qui s’obtient, ^dans 1’approximation homogene,

comme :

Rappelons que qo reprdsente ^{le vecteur d’onde} rdciproque, relid a la pdriode spatiale ^du potentiel V1 par 2 iT Ia. Toutes les sommes sont effectu6es sur tous vecteurs d’ondes k

_nqo (n ⁼ 0, ^± 1, ± 2, ... ).

So (q) ^est le facteur de structure statique ^du syst6me

homog6ne correspondant. p k reprdsente ^{le k-i6me}

coefficient de Fourier de la densite _p (x). ^Pour plus

de details concernant la definition de toutes les

quantit6s apparaissant ^{dans cette} annexe, ^nous refe-

rons le lecteur au texte.

Bibliographie

[1] a) ^{SALAMON, M. B.,} Physics ^of Superionic ^Conduc-

tors (Berlin : Springer 1979) ;

b) VASHISHTA, P., MUNDY, J. N. and SHENOY, G. K., ^{Fast Ion} Transport in Solids (Amster-

dam : North-Holland, 1979) ;

c) ^BATES, J. B. and FARRINGTON, ^G. C., ^{Fast lonic} Transport in Solids (Amsterdam : ^North-Hol- land, 1981) ;

d) KLEITZ, M., SAPOVAL, ^{B. and} RAVAINE, D., Solid State Ionics-83, Part I and II (Amsterdam : North-Hollande, 1983) ;

e) BOYCE, J. B., DEJONGHE, ^{L. C. and} HUGGINS, R. A., Solid State Ionics-85, Part I and II (Ams-

terdam : North-Hollande, 1985) ;

f) PERRAM, J. W., ^The Physics ^Of Superionic

Conductors and Electrode Materials (Plenum Press, 1983).

[2] ^COLLIN, G., BOILOT, ^J. P., COLOMBAN, Ph., COMÈS, R., Phys. Rev. B 34 (1986) 5838 ;

COLLIN, G., BOILOT, ^J. P., COMÈS, R., Phys. ^Rev.

B 34 (1986) ^5850.

[3] CAVA, ^R. J., REIDINGER, F., WUENSCH, ^B. J., ^Solid State Commun. 24 (1977) ^411.

[4] VASHISHTA, P. and RAHMAN, A., Phys. Rev. Lett. 40

(1978) ^1337.

[5] ^{BEYELER, H. U.,} Phys. ^{Rev. 37} (1976) ^1557.

[6] ^{GRIER, B. H., SHAPIRO,} S. M. and CAVA, R. J., Phys. ^{Rev. B 29} (1984) ^3810.

[7] ^{BOILOT, J. P.,} COLLIN, ^{G. and} COLOMBAN, Ph., accepté dans J. Solid State Chem.

[8] ^{MORI, H.,} Progr. ^Theor. Phys. ³⁴ (1965) ^339.

[9] a) BISHOP, ^A. R., DIETERICH, W. and PESCHEL, I., Z. Phys. ^{B 33} (1979) ^187.

b) THOMAS, ^{U. and} DIETERICH, W., ^Z. Phys. ^{B 62} (1986) ^287.

[10] a) GEISEL, T., Phys. ^{Rev. B 20} (1979) ^4294.

b) GEISEL, T., ^dans [la] p. 201.

[11] ^{KUBO, R.,} Rep. Progr. Phys. ²⁹ (1966) ^255.

[12] SCHNEIDER, ^W. R., ^Z. Phys. ^{B 24} (1976) ^135.

[13] BOUGHALEB, Y., ROSENBERG, R., RATNER, ^{M. A.}

and NITZAN, A., ^à paraître ^{dans J. Chem.} Phys.

BOUGHALEB, Y., ^Thèse d’État, Orsay, France 1987.

[14] SCHULTZ, ^{H. and} ZUCKER, ^U. H., Solid State Ionics, 5 (1981) ^67.

[15] ^{CAVA, R.} J., REIDINGER, F., WUENSCH, ^B. J., ^Solid State Commun. 24 (1977) 411;

Solid State Chem. 31 (1980) ^69.

[16] KRAMERS, ^H. A., Physica ⁷ (1940) ^284.

BOUGHALEB, ^{Y. and} GOUYET, J. F., Solid State Ionics 9/10 (1983) ^1401.

[17] DIETERICH, W., FULDE, P., PESCHEL, I., ^Adv. Phys.

29 (1980) ^527.

[18] AMBEGAOKER, ^{V. and} HALPERIN, ^H. I., Phys. ^Rev.

Lett. 22 (1969) ^1364.

[19] BUNDE, A., ^Z. Phys. ^{B 44} (1981) ^225.

[20] BOUGHALEB, ^{Y. and} RATNER, ^M. A., J. Phys.

Chem. 91 (1987) ^4941.

[21] BOUGHALEB, ^Y. and RATNER, ^M. A., dans Superio-

nic Solids and Solid Electrolytes : ^Recent Trends, ed. by Laskar A. L. and Chandra S.

(Academic Press, 1988).

[22] ^EMERY, V. J. and AXE, J. D., Phys. Rev. Lett. 23

(1978) ^1507.

[23] BOUGHALEB, Y., ROSENBERG, ^R. O., RATNER, M. A. and NITZAN, A., Sol. St. Ionics 18/19

(1986) ^160.

ROSENBERG R. O., BOUGHALEB, Y., NITZAN, ^A.

and RATNER, ^M. A., Sol. St. Ionics 18/19 (1986)

127.

[24] ^HANSEN, J. P. and MACDONALD, ^I. R., Theory ^of

Simple Liquid (London, Academic press, 1976).