MATHEMATIQUES FINANCIERES
CAPITALISATION
On place au départ 8 000 € qu’on laisse fructifier sur un compte rémunéré à 6 % pendant 7 ans.
La valeur acquise (ou Valeur Capitalisée) est : VC = 8 000 × 1,06 7 ≈ 12 029,04 ACTUALISATION
Quel capital placer sur un compte rémunéré à 5 % pour obtenir 20 000 € au bout de 10 ans ? Le capital de départ (ou Valeur Actuelle) est : VA = 20 000 ÷ 1,05 10 ≈ 12 278,27
CAPITALISATION D’UNE SUITE D’ANNUITES = placement pour financer un projet
On place chaque année 7 500 € ( annuité a ) sur un compte rémunéré à 4 % ( taux t ) pendant 3 ans ( durée n ).
7 500 7 500 × 1,04 7 500 × 1,04² Le 1er versement fructifie pendant les 2 années suivantes 7 500 7 500 × 1,04 Le 2ème versement fructifie pendant l’année suivante
7 500 Le 3ème versement n’a pas le temps de rapporter des intérêts La valeur acquise ( = montant total maximal du projet ) est : VC = 7500 + 7500 × 1,04 + 7500 × 1,04² VC est la somme des 3 premiers termes d’une suite géométrique : VC = 7500×1−1,043
1− 1,04 = 7500×1,043−1 0,04 On obtient : VC = 23 412 € : on pourra financer un projet de 23 412 € dans 3 ans
d’où les formules générales : VC = a ×(1+t)n−1
t ou, pour déterminer l’annuité : a = VC × t (1+t)n−1
ACTUALISATION D’UNE SUITE D’ANNUITES = remboursement du financement d’un projet
On verse chaque année 5 252,48 € ( annuité a ) pour rembourser un emprunt au taux de 2 % ( taux t ) pendant 4 ans.
valeurs actuelles ( durée n )
5 252,48 ÷ 1,02 5 252,48 1er remboursement
5 252,48 ÷ 1,022 5 252,48 2ème remboursement
5 252,48 ÷ 1,023 5 252,48 3ème remboursement
5 252,48 ÷ 1,024 5 252,48 4ème remboursement
La valeur actuelle ( = somme empruntée ) est : VA = 5252,48
1,02 + 5252,48
1,022 + 5252,48
1,023 + 5252,48 1,024 VA = 5252,48
1,024 ×
(
1,023 + 1,022 + 1,02 + 1)
On reconnaît la somme des 4 premiers termes d’une suite géométrique de 1er terme 1 et de raison 1,02 : VA = 5252,48
1,024 ×
(
1×1−1,021−1,024)
= 5252,481,024 ×1,020,024−1 = 5252,480,02 ×1,021,024−14 = 5252,480,02 ×(
1−1,02−4)
On obtient : VA ≈ 20 000 € ( et le coût du crédit est : 4 × 5252,48 – 20 000 ≈ 1009,92 ) d’où les formules générales : VA = a× 1−(1+t)−n
t ou, pour déterminer l’annuité : a = VA× t 1−(1+t)−n
REMARQUES
Une bonne maîtrise des taux d’évolution permet de ne pas avoir à apprendre les formules de CAPITALISATION et d’ACTUALISATION.
Une bonne maîtrise des suites géométriques, en particulier de la somme des termes d’une suite géométrique, permet de ne pas avoir à apprendre les formules de CAPITALISATIOND’UNESUITED’ANNUITÉS.
Les formules d’ACTUALISATIOND’UNESUITED’ANNUITÉS sont plus difficiles à retrouver, il vaut mieux les apprendre (elles sont assez « symétriques » de celles de la CAPITALISATIOND’UNESUITED’ANNUITÉS).
UTILISATION DU MENU TVM DE LA CALCULATRICE CASIO
