Universit´e de Paris XI Math 111 - ´Equations diff´erentielles
Math´ematiques 1er semestre 2008-09
Contrˆ ole des connaissances 2
Equations diff´´ erentielles
Le test aura lieu le vendredi 5 d´ecembre
Pour chacune des affirmations, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier votre r´eponse.
1.— Si la fonctionf :R→Rest solution de l’´equation diff´erentielle y0+(x3cos(x2))y= 0, et si f(0) = 1, alorsf ne s’annule pas.
2.— Si la fonction f :R→R est solution de l’´equation diff´erentielle y00+ 3y = 0, et si f(0) = 1, alorsf ne s’annule pas.
3.— Si la fonctionf :R→Rest solution de l’´equation diff´erentielle y0sin(y) = 1, alors f ne s’annule pas.
4.— Si la fonctionf :R→Rest solution de l’´equation diff´erentielle y0 =x2y3+y, et si f(1)>0, alorsf est strictement positive et strictement croissante.
5.— Soit f : R → R une solution de l’´equation diff´erentielle y0 +ex.sin(x)y = 0, et λ un r´eel. Alors la fonction x 7→ λ.f(x) est aussi solution de l’´equation diff´erentielle y0+ex.sin(x)y= 0.
6.— Soit f : R → R une solution de l’´equation diff´erentielle y0 +ex.sin(x)y = 0, et λ un r´eel. Alors la fonction x 7→ λ+f(x) est aussi solution de l’´equation diff´erentielle y0+ex.sin(x)y= 0.
7.— Siaetbsont deux fonctions de classeC1, sif :R→Rest une solution de l’´equation diff´erentielle y0 +a(x)y = b(x), et si λ est un r´eel, alors la fonction g :x 7→ λ.f(x) est aussi solution de l’´equation diff´erentielle y0+a(x)y=b(x).
8.— Si f : R→ R est une solution de l’´equation diff´erentielle y0+ cos(x).y2 = 0, et λ est un r´eel, alors la fonction g :x 7→ λ.f(x) est aussi solution de l’´equation diff´erentielle y0+ cos(x).y2 = 0.
9.— On observe une population de bact´eries. Au d´ebut de l’exp´erience, on d´enombre 1000 bact´eries. Une heure apr`es, on en d´enombre 2000. Trois heures apr`es le d´ebut de l’exp´erience, on en d´enombre 3000. Alors la vitesse de prolif´eration des bact´eries est pro- portionnelle au nombre de bact´eries.
10.— On observe une population de bact´eries. Au d´ebut de l’exp´erience, on d´enombre 1000 bact´eries. Une heure apr`es, on en d´enombre 2000. On suppose que la vitesse de prolif´eration des bact´eries est proportionnelle au nombre de bact´eries. Alors il faudra plus de 24 heures pour que le nombre de bact´eries d´epasse 1 million.
11.— On observe une population de bact´eries. On notep(t) la population au tempst. On suppose que la vitesse de prolif´eration p0(t) des bact´eries est de la formep0(t) =K.p2(t) o`u K est une constante positive. Au d´ebut de l’exp´erience, on d´enombre 1000 bact´eries.
Une heure apr`es, on en d´enombre 2000. AlorsK = 0,2.
12.— Si la fonctionf :R→R est solution de l’´equation diff´erentielle y0 =−sin(y), et si −π2 < f(0)< π2, alors −π2 < f(x)< π2 pour toutx∈R.
13.— Si la fonctionf :R→Rest solution de l’´equation diff´erentielle y0= sin(y2−x2)+12, et si f(0) =−1, alorsf(x)< xpour toutx≥0.
14.— On consid`ere l’´equation diff´erentielle y0 = (y−1)2cos(x2−y2) +y dont le champs de tangentes est repr´esent´e ci-dessous (`a gauche). Soit f la solution maximale de cette
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equation diff´erentielle qui satisfait la condition initiale f(0) = 3. Alors f(x) > 0 pour tout x≥0.
15.— On consid`ere l’´equation diff´erentielle y0 = cos(ey2) dont le champs de tangentes est repr´esent´e ci-dessous (`a droite). Soitf la solution maximale de cette ´equation diff´erentielle qui satisfait la condition initiale f(0) = 0. Alors f est born´ee, et d´efinie sur Rtout entier.
16.— Soita:R→[0,+∞[ une fonctionC1 qui ne prend que des valeurs positives. Soitf une solution maximale de l’´equation diff´erentielle y0 =y2+a(x). Alorsf n’est pas d´efinie sur Rtout entier.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-2 -1 0 1 2
-2 -1 1 2
