December edition. Vol.2. N2. (2014) ISSN : 2335-1020
86
Etude de la flexion des plaques épaisses FGM en utilisant une nouvelle théorie à ordre élevé
B. Bouderba
Université Ibn Khaldoun, BP 78 Zaaroura, 14000 Tiaret, Algérie.
Université de Sidi Bel Abbes, Laboratoire des Matériaux et Hydrologie, Algérie.
Résumé
— L’objectif de ce papier est de présenter une théorie raffinée qui prend en considération l’effet de cisaillement transverse afin d’analyser le comportement thermo mécanique en flexion des plaques épaisses fonctionnellement graduées (FGM) reposant sur une fondation élastique de type Winkler-Pasternak. Cette théorie contient seulement quatre variables contrairement aux autres théories de déformation de cisaillement (cinq variables). Ce nouveau modèle satisfait la nullité des contraintes de cisaillement transverse aux surfaces supérieure et inferieure de la plaque. Les propriétés matérielles de la plaque FGM varient selon une distribution de loi de puissance en termes de fraction volumique des constituants. On peut conclure que cette théorie est efficace et simple pour l’analyse de la réponse thermo mécanique en flexion des plaques fonctionnellement graduées.Mots-Clés: Plaques fonctionnellement graduées, théories de déformation de cisaillement, théorie raffinée, fondation élastique.
I. Introduction
Les demandes sur les matériaux composites et leurs applications dans des éléments structuraux ont exigé la prévision précise des caractéristiques de la réponse des plaques fonctionnellement graduées (FGM) utilisées dans des situations où des gradients importants de température sont rencontrés. Les matériaux fonctionnellement graduées (FGM) sont conçus de telle sorte que les propriétés matérielles varient de façon progressive et continue à travers l'épaisseur selon une distribution en loi de puissance de la fraction volumique des constituants. Puisque les principales applications des matériaux fonctionnellement graduées (FGM) sont dans des milieux à haute température, la plupart des recherches sur ces matériaux ont été limitées à l'analyse des contraintes thermo mécaniques, le flambement thermique, mécanique de la rupture et l'optimisation.
Corresponding author: B. Bouderba Université Ibn khaldoun BP 78 Zaaroura 1400 Tiaret, Algérie.
E-mail: bouderbabachir38@yahoo.fr
Les plaques reposant sur des fondations élastiques ont été largement adoptées par nombreuses études pour modéliser divers problèmes d’ingénierie au cours des dernières décennies. Ces structures de plaques peuvent être trouvées dans différents types d’applications industrielles telles que les radiers, les réservoirs de stockage et les piscines. La théorie classique des plaques (CPT) qui néglige l’effet de cisaillement transverse est valable pour l’étude des plaques minces. Cependant, la CPT sous-estime les flèches et surestime les fréquences pour les plaques modérément épaisses. Plusieurs théories de déformation de cisaillement ont été développées pour surmonter les insuffisances du CPT. Les théories de déformation de cisaillement du premier ordre (FSDTs) proposées par [1] et [2]
ont été intensivement utilisées dans l’analyse de la flexion des plaques et des coques [3- 4].Mais l’application de la théorie du premier ordre (FSDT) sur les plaques composites et FGM présente une difficulté pour évaluer exactement le facteur de correction présentant l’imperfection des théories du premier ordre (FSDTs). Pour franchir les limites de la CPT
.
87 etde la FSDT, de nombreuses théories de déformation de cisaillement d’ordre élevé (HSDTs) ont été proposées pour l’analyse des plaques. Dans ce papier, une théorie raffinée de déformation de cisaillement trigonométrique (RTSDT) impliquant seulement quatre variables, contrairement aux théories du premier ordre ou d’ordre élevé de cinq variables est présentée pour l'analyse des plaques FGM épaisses reposant sur une fondation élastique de type Winkler-Pasternak [5]. La nouveauté de cette théorie est qu'elle n'exige pas de facteur de correction de cisaillement, et elle satisfait la nullité des contraintes de cisaillement aux surfaces supérieure et inférieure de la plaque.
II. Formulations théoriques
Considérerons une plaque rectangulaire en FGM d’une longueur a, largeur b, et d'épaisseur h (figure 1.). On suppose qu’elle est posée sur une base élastique de type Winkler-Pasternak avec une rigidité de Winkler de k0 et une rigidité de cisaillement de J0. On suppose que la plaque a un comportement élastique linéaire.
Figure 1. Plaque FGM reposant sur une fondation élastique La plaque est soumise à une charge sinusoïdalement distribuée q(x,y) et un champ de températureT(x,y,z). Les propriétés matérielles Pde la plaque en FGM telles que le module d'YoungE, coefficient de Poisson, et
coefficient de dilatation thermique sont donnés par:
C M
kM h
P z P P z
P
2
) 1
( (1)
II.1. Théories de déformation de cisaillement à ordre élevé
Le champ de déplacement d’un point matériel situé aux coordonnées (x, y, z) dans la plaque s’écrit comme suit :
), , ( ) ( )
, ( ) , ,
( 0 0 f z 0 x y
x z w y x u z y x
U xz
(2a)
), , ( ) ( )
, ( ) , ,
( 0 0 f z 0 x y
y z w y x v z y x
V yz
(2b)
).
, ( ) , ,
(x y z w0 x y
W (2c)
Avec, u, v, w sont les déplacements dans les directions x, y, z respectivement, u0, v0 et w0 sont les déplacements du plan médian,
0xzet0
yz sont les rotations des plans xz et yz dus à la flexion, respectivement. f (z) représente la fonction de forme déterminant la distribution descontraintes etdes déformations transversales suivant l’épaisseur. Le champ de déplacement de la théorie classique des plaques (CPT) est obtenu en posant f(z)=0. La théorie du premier ordre (first-order shear déformation theory ou FSDT) est obtenue en posant f(z)=z.En plus, la théorie des déformations du troisième ordre (the third-order shear deformation theory ou TSDT) [6] est obtenue par:
22
3 1 4
h z z z
f (3a)
La théorie de déformation de cisaillement sinusoïdal (The sinusoidal shear deformation theory ou SSDT) de Touratier [7] est obtenue en posant :
h z z h
f
sin (3b)
II.2.Théorie raffinée de déformation de cisaillement trigonométrique (RTSDT) Le nombre de variables inconnus de la théorie raffinée de déformation de cisaillement trigonométrique (RTSDT) est seulement quatre, contrairementau cinq variables dans le cas des autres théories de déformation de cisaillement.
x
y z
a
b
h FGM
plate Shear layer Winkle r layer
(1)
.
88 II.2.1.Hypothèses de la théorie raffinée
Les hypothèses de la présente théorie sont les suivantes:
(i) Les déplacements sont petits par rapport à l’épaisseur de la plaque, et par conséquent, les déformations engendrées sont infinitésimales.
(ii) Le déplacement transversal (w) comprend deux composantes de flexion (wb) et de cisaillement (ws). Ces composantes sont en fonction des coordonnées x et y et s’écrivent :
) , ( ) , ( ) , ,
(x y z w x y w x y
w b s (4)
(iii) La contrainte normale transversale (z ) est négligeable par rapport aux contraintes planes (x) et (y).
(iv) Le déplacement (
U
) suivant la direction x et le déplacement (V
) suivant la direction y sont définis par superposition des déplacements dus aux effets d’extension, de flexion et de cisaillement.s
b u
u u
U 0 , V v0vbvs (5) Les composantes de la flexion ub et vb sont supposées similaires aux déplacements donnés par:
x z w
ub b
,
y z w
vb b
(6) Les composantes de cisaillement uset vs donnent à l’aide du déplacement ws une variation trigonométrique des déformation de cisaillementxz, yz et par conséquent les contraintes de cisaillementxz, yzà travers l'épaisseur de la plaque de telle sorte que les contraintes de cisaillementxz, yz seront nulles aux surfaces supérieures et inférieures de la plaque.
En conséquence, l'expression pour uset vsest donnée par [8] :
x z w f us s
( ) ;
y z w f
vs s
( )
Avec:
h
z z h
z
f( ) sin
(7)
II.2.2.Cinématique et équations constitutives
En se basant sur les hypothèses précédentes, le champ de déplacement est obtenu par :
x z w x f z w y x u z y x
u b s
( , ) ( )
) , ,
( 0
y z w y f z w y x v z y x
v b s
( , ) ( )
) , ,
( 0 (9)
) , ( ) , ( ) , ,
( x y z w x y w x y
w
b
sLes relations cinématiques peuvent être obtenues comme suit :
s xy
s y s x
b xy
b y b x
xy y x
xy y x
k k k z f k
k k
z ( )
0 0 0
,
s xz s yz xz
yz g z
( ) (10)
Où:
x v y u
x vx u
xy y x
0 0
0 0
0 0 0
,
y x
w y
w x
w
k k k
b b b
b xy b y b x
2 2 2
2 2
2
,
y x
w y
w x
w
k k k
s s s
s xy
s y s x
2 2 2
2 2
2
,
x w y w
s s
s xz s yz
(10)
Avec:
h
z dz
z z df
g ( ) cos
1 )
( (11)
Les relations constitutives linéaires sont :
xy y x
xy y x
T T
Q Q Q
Q Q
0 0
0 0
66 22 12
12
11
, et
zx yz zx
yz
Q Q
55 44
0 0
(12)
Où : (x, y, xy, yz, yx) et (x, y,
xy, yz, yx) sont les termes des contraintes et des déformations, respectivement.
.
89 Les coefficients de rigidité Qij peut être exprimée par :
1 , ) (
22 2
11 Ez
Q
Q ,
1 ) (
12 2
E z Q
1 ,
2 ) (
66 55
44 Ez
Q Q Q
(13) Où: TTT0 dans lequel T0 est la température de référence.
La distribution de la température appliquée )
, , (x y z
T à travers l'épaisseur donnée par : ), , ( 1sin
) , ( ) , ( ) , ,
( 1 2 T3 x y
h y z
x hT y z x T z y x
T
(14)
II.2.3. Equations d’équilibres
Les équations d’équilibre sont obtenues à partir du principe des déplacements virtuels.
Le principe des travaux virtuels dans ce cas exprimée par l’équation (15):
0 )
(
2 /
2 /
wd f q
dz d
e h
h
xz xz yz yz xy xy y y x x
Où Ω est la surface supérieure de la plaque, et feest la densité de la force de réaction de la fondation. Pour le modèle de Pasternak :
2 2 2 2 2
1 y
J w x J w w K fe W
(16)
Où KW est le module de réaction du sol- fondation (coefficient d'élasticité de la fondation) etJ1 et J2 sont les modules de cisaillement du sol (résistance au cisaillement de la couche de fondation). Si la fondation est homogène et isotrope, nous obtiendrons
0 2
1 J J
J .
Les équations d'équilibre associées à la présente théorie de déformation de cisaillement sont donné par les équations (17) suivant :
0 2
:
0 2
:
0
:
0
:
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 0 0
q y f S x S y M y x M x
w M
q y f
M y x
M x
w M
y N x v N
y N x u N
e s yz s xz s y s
xy s
x s
e b y b xy b
x b
y xy x xy
II.2.4. La solution exacte pour les plaques FGM Pour résoudre ce problème, « Navier » suppose que les charges transversales mécaniques et thermiques q et Ti sont données sous la forme d'une double série de Fourier comme suit :
) sin(
)
0 sin(
y t x
q T
q
i i
, (i1,2,3)(18) Avec : /a, /b, q0 et ti sont constants.
Suite à la procédure de solution Navier, nous supposons que la forme d'une solution suivante pouru0,v0,wb et ws satisfait les conditions aux limites :
, ) sin(
) sin(
) sin(
) sin(
) cos(
) sin(
) sin(
) cos(
0 0
y x
W
y x
W
y x
V
y x
U
w w v u
s b s
b
(19)
Où :U,V,Wb, et Ws sont des paramètres arbitraires à déterminer sous condition que la solution de l'équation (19) satisfait les équations d’équilibre (17). On obtient l'équation opérateur suivante :
K
P,Avec U,V,Wb,Wst et P P1,P2,P3,P4t(20)
44 34 24 14
34 33 23 13
24 23 22 12
14 13 12 11
k k k k
k k k k
k k k k
k k k k K
.
90 Dans la quelle:
66 2
2 11
11 A A
k
12 66
12 A A
k
] ) 2 (
[ 12 66 2
2 11
13 B B B
k
] ) 2 (
[ 11 2 12 66 2
14 Bs Bs Bs
k
22 2
2 66
22 A A
k (22) ]
) 2
[( 12 66 2 22 2
23 B B B
k
] )
2
[( 12 66 2 22 2
24 Bs Bs Bs
k
2 2
2 1 4 22 2 2 66 12 4 11
33 D 2(D 2D ) D K J J
k W
2 2
2 1 4 22 2 2 66 12 4 11
34 D 2(D 2D ) D K J J
k W
s s
s
s
K44=
− H115 λ4+ 2 H115 + 2H665 λ2μ2+ H225 μ4+ A555λ2+ A544μ2+ KW+ J1λ2+ J2μ2
III. Tables et illustrations
Les propriétés matérielles utilisées sont :
Métal (Titanium, Ti-6Al-4V):
GPa
66.2
EM ; 1/3;
C
M
10 6
3 .
10 .
Céramique (Zirconia, ZrO2):
GPa 117.0
C
E ; 1/3;
C
C
10 6
11 .
7 .
La température de référence est T0 25C (la température ambiante). Des résultats
numériques sont présentés en termes des contraintes et la flèche (déflexion) non- dimensionnels.
Les différents paramètres non-dimensionnels utilisés sont :
,2 2 10
0 4
2 a b
q w a
w D ,
,2 ,2 2 10
1
0 2
h b a q x
x
,
00 3
10 1
0
h q xy
xy , ,
,
,0
,2 10 0
1
0
b q xz
xz
D K
K a W
4
0 ;
D J b D
J
J a 2
2 1 2
0 ,
2
3
1 12
h EC D
Les figures 2.a et 2.b ci-dessous illustrent les distributions à travers l’épaisseur de la contrainte de cisaillement (xz) d’une plaque FGM carrée sous des charges thermiques (
0100
q , t10ett2 t3 10). L'indice de la fraction volumique de la plaque en FGM est pris (k2). Les distributions à travers l’épaisseur de la contrainte de cisaillement (xz) ne sont pas paraboliques dans la plaque en FGM et les contraintes augmentent avec l'augmentation des paramètres de la fondation élastique (K0ouJ0).
Les valeurs maximales de (xz) se produisent à (z0.1) de la plaque en FGM, pas au centre de la plaque comme dans le cas homogène.
Dans le tableau 1, les flèches et les contraintes non dimensionnelles d’une plaque FGM carrée (a/h=10) pour différentes valeurs de « k » sont comparées avec celles données par la théorie de déformation de cisaillement du troisième ordre (TSDT). On constate que les résultats obtenus par la présente théorie de déformation de cisaillement trigonométrique (RTSDT) sontproches de ceux obtenus par la TSDT.Il est important d'observer que les contraintes pour une plaque entièrement en céramique nesont pas les mêmes que pour une plaque entièrement en métal avec des fondations élastiques. Ceci est parce que la plaque est soumise à un champ de température.
Tableau 1: L’effet de l’indice de la fraction volumique k et les paramètres de la fondation élastique sur la flèche (adimensionnelle) et les contraintes pour une plaque FGM rectangulaire.
10
, 0 , 100 , 2 , 10
/h b a q0 T1 T2T3 a
.
91
k K0 J0 Théorie w x xy xz
Céramique
0 0 Présente 2.1762 0.36232 2.8301 -0.38826
TSDT 2.1762 0.36232 2.8301 -0.38826
100 0 Présente 1.2943 -0.18687 1.7137 0.12172
TSDT 1.2943 -0.18687 1.7137 0.12172
0 100 Présente 0.26722 -0.82640 0.41361 0.71573
TSDT 0.26722 -0.82640 0.41361 0.71573 100 100 Présente 0.24658 -0.83925 0.38749 0.72767 TSDT 0.24658 -0.83925 0.38749 0.72767
0.5 100 100 Présente 0.24403 -0.83097 0.27656 0.72198
TSDT 0.24403 -0.83097 0.27656 0.72198
1 100 100 Présente 0.23987 -0.81888 0.21276 0.69830
TSDT 0.23987 -0.81888 0.21276 0.69830
2 100 100 Présente 0.23656 -0.80694 0.17576 0.66812
TSDT 0.23656 -0.80694 0.17576 0.66812
5 100 100 Présente 0.23434 -0.80533 0.17862 0.64769
TSDT 0.23434 -0.80533 0.17862 0.64769
Metal 100 100 Présente 0.22721 -0.83863 0.22451 0.63900
TSDT 0.22721 -0.83863 0.22451 0.63900
Figure.2: Variation de la contrainte de cisaillement non dimensionnelle (xz) à travers l’épaisseur d’une plaque FGM carrée (k2) reposant sur fondation élastique avecq0 100, t10 et t2 t310 et
10 /h
a ..(a) J0 10,(b) K010
92 IV. Conclusion:
Dans le cadre de cette étude, nous avons présenté une théorie raffinée (quatre variables) qui détermine les contraintes et les déplacements d’une plaque fonctionnellement graduée (FGM) simplement appuyée reposant sur une fondation élastique de type Winkler- Pasternak. Toutes les études comparatives effectuées dans ce papier ont montrées que les flèches et les contraintes obtenues par la théorie raffinée (quatre variables), et TSDT (cinq variables) sont presque identiques. Donc cette théorie est efficace et simple pour l’analyse de la flexion des plaques FGM sous l’effet d’un chargement thermo mécanique. On a constaté que la flèche d’une plaque entièrement en céramique est plus importante que celle d’une plaque entièrement en métal, ainsi les flèches diminuent quand l’indice matériel p augmente, ceci est parce que la plaque est soumise à un champ de température. En outre, Il est montré que les flèches des plaques FGM diminuent progressivement avec l’augmentation de K0 ou J0. En plus, les contraintes augmentent avec l’augmentation des paramètres de fondation élastique. Les résultats numériques présentés dans ce papier peuvent être utilisés comme référence pour l’étude et l’analyse de la réponse thermo mécanique en flexion des plaques FGM épaisses reposant sur des fondations élastiques.
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