M´ethodes de d´ecomposition de domaines : partie II

M´ ethodes de d´ ecomposition de domaines : partie II

par

Christophe Besse

Institut Math´ematique de Toulouse, Universit´e Toulouse 3, CNRS

DDM - Partie II

INSTITUT

de MATHEMATIQUES

de TOULOUSE

Plan de la partie II

1 Rappels

2 Historique de la m´ethode de relaxation d’ondes

3 La m´ethode SWR

4 Propri´et´es

5 D´eveloppements

6 Mise en œuvre

Plan de la partie II

1 Rappels

2 Historique de la m´ethode de relaxation d’ondes

3 La m´ethode SWR

4 Propri´et´es

5 D´eveloppements

6 Mise en œuvre

Rappels

M´ethode de Schwarz classique altern´ee

Solution de l’´equation de Laplace sur un domaine g´en´eralΩ = Ω1∪Ω2

Ω

Γ

Γ

Ω

∂Ω

∆u¹₁ = 0 dansΩ1

u¹1 = g sur∂Ω∪∂Ω¯1

u¹₁ = u⁰₂ surΓ1

r´esolu sur le disque avecu⁰2= 0

∆u¹₂ = 0 dansΩ2

u¹2 = g sur∂Ω∪∂Ω¯2

u¹₂ = u¹₁ surΓ2

r´esolu sur le rectangle

Rappels

M´ethode de Schwarz classique altern´ee

Solution de l’´equation de Laplace sur un domaine g´en´eralΩ = Ω1∪Ω2

Ω

Γ

Ω

∂Ω

∆u¹₁ = 0 dansΩ1

u¹1 = g sur∂Ω∪∂Ω¯1

u¹₁ = u⁰₂ surΓ1

r´esolu sur le disque avecu⁰2= 0

∆u¹₂ = 0 dansΩ2

u¹2 = g sur∂Ω∪∂Ω¯2

u¹₂ = u¹₁ surΓ2

r´esolu sur le rectangle

Rappels

M´ethode de Schwarz classique altern´ee

Solution de l’´equation de Laplace sur un domaine g´en´eralΩ = Ω1∪Ω2

Ω

Γ

Ω

∂Ω

∆u¹1 = 0 dansΩ1

u¹₁ = g sur∂Ω∪∂Ω¯1

u¹1 = u⁰2 surΓ1

r´esolu sur le disque avecu⁰₂= 0

∆u¹2 = 0 dansΩ2

u¹₂ = g sur∂Ω∪∂Ω¯2

u¹2 = u¹1 surΓ2

r´esolu sur le rectangle

Rappels

M´ethode de Schwarz classique altern´ee

Solution de l’´equation de Laplace sur un domaine g´en´eralΩ = Ω1∪Ω2

Ω

Γ

Ω

∂Ω

∆u²₁ = 0 dansΩ1

u²1 = g sur∂Ω∪∂Ω¯1

u²1 = u¹2 surΓ1

r´esolu sur le disque

∆u²₂ = 0 dansΩ2

u²2 = g sur∂Ω∪∂Ω¯2

u²2 = u²1 surΓ2

r´esolu sur le rectangle

Rappels

M´ethode de Schwarz classique altern´ee

Solution de l’´equation de Laplace sur un domaine g´en´eralΩ = Ω1∪Ω2

Ω

Γ

Ω

∂Ω

∆u²1 = 0 dansΩ1

u²₁ = g sur∂Ω∪∂Ω¯1

u²₁ = u¹₂ surΓ1

r´esolu sur le disque

∆u²2 = 0 dansΩ2

u²₂ = g sur∂Ω∪∂Ω¯2

u²₂ = u²₁ surΓ2

r´esolu sur le rectangle

Rappels

M´ethode de Schwarz classique altern´ee

Solution de l’´equation de Laplace sur un domaine g´en´eralΩ = Ω1∪Ω2

Ω

Γ

Γ

Ω

∂Ω

∆u^k1 = 0 dansΩ1

u^k1 = g sur∂Ω∪∂Ω¯1

u^k1 = u^k−1₂ surΓ1

r´esolu sur le disque

∆u^k₂ = 0 dansΩ2

u^k2 = g sur∂Ω∪∂Ω¯2

u^k2 = u^k1 surΓ2

r´esolu sur le rectangle

Rappels

M´ethode de Schwarz parall`elle (P-L. Lions 1988)

Solution de l’´equation de Laplace sur un domaine g´en´eralΩ = Ω1∪Ω2

Ω

Γ

Γ

Ω

∂Ω

∆u^k1 = 0 dansΩ1

u^k1 = g sur∂Ω∪∂Ω¯1

u^k1 = u^k−1₂ surΓ1

r´esolu sur le disque

∆u^k2 = 0 dansΩ2

u^k2 = g sur∂Ω∪∂Ω¯2

u^k2 = u^k−1₁ surΓ2

r´esolu sur le rectangle

Rappels

Plusieurs types de conditions de transmission.

M´ethodes avec ou sans recouvrement.

Bien adapt´e aux probl`emes stationnaires.

Quid des probl`emes instationnaires?

Id´ee simple : discr´etiser la partie temporelle uniform´emement et appliquer les techniques de Schwarz pour les probl`emes stationnaires.

Ex : Dolean, Nataf, Lanteri (2002) pour Euler.

D´efaut : les pas de temps doivent ˆetre les mˆemes dans chaque sous domaines.

Autre approche : Schwarz Relaxation Method (SWR).

Plan de la partie II

1 Rappels

2 Historique de la m´ethode de relaxation d’ondes

3 La m´ethode SWR

4 Propri´et´es

5 D´eveloppements

6 Mise en œuvre

M´ ethode de relaxation d’ondes

´Emile Picart (1893) : Sur l’application des m´ethodes d’approximations successives `a l’´etude de certaines ´equations diff´erentielles ordinaires

Les m´ethodes d’approximation dont nous faisons usage sont th´eoriquement susceptibles de s’appliquer `a toute ´equation, mais elles ne deviennent vraiment int´eressantes pour l’´etude des propri´et´es des fonctions d´efinies par les

´

equations diff´erentielles que si l’on ne reste pas dans les g´en´eralit´es et si l’on envisage certaines classes d’´equations.

La m´ ethode des ...

... approximations successives

Analyse de convergence

Ernest Lindel¨of (1894) :Sur l’application des m´ethodes d’approximations successives `a l’´etude des int´egrales r´eelles des ´equations diff´erentielles ordinaires Extrait

“... La pr´esente ´etude a pour but de donner une exposition succincte de la m´ethode d’approximations successives de M. Picard en tant qu’elle s’applique aux ´equations

diff´erentielles ordinaires.”

Convergence superlin´eaire (Lindel¨of 1894)

Sur des intervalles de temps born´est∈[0, T], les it´er´es satisfont la borne d’erreur superlin´eaire

kv−v^mk ≤(CT)^m

m! kv−v⁰k o`uC est une constante positive.

La m´ ethode de relaxation d’ondes classique

Lelarasmee, Ruehli and Sangiovanni-Vincentelli (1982): The Waveform Relaxation Method for Time-Domain Analysis of Large Scale Integrated Circuits.

”The spectacular growth in the scale of integrated circuits being designed in the VLSI era has generated the need for new methods of circuit simulation. “Standard”

circuit simulators, such as SPICE and ASTAP, simply take too much CPU time and too much storage to analyze a VLSI circuit”.

Nevanlinna and Odeh (1987): Remarks on the Convergence of Waveform Relaxation Methods.

”Recently an approach called waveform relaxation methods (WR) has captured considerable attention in solving certain classes of large scale digital circuit equations.”

Un exemple historique

Example : un oscillateur en anneau MOS (Lelarasmee et al 1982)

Les ´equations pour un tel circuit peuvent ˆetre ´ecrites sous la forme d’un syst`eme d’EDO

˙

v=f(v), 0< t < T v(0) =g

D´ ecomposition par relaxation d’ondes

Iteration en utilisant les solutions des sous-circuits seulement :

∂tv1^k = f1(v1^k, v^k−1₂ , v^k−1₃ )

∂tv2^k = f2(v1^k, v^k2, v^k−1₃ )

∂tv₃^k = f3(v₁^k, v^k₂, v^k₃)

Les signaux le long des cables sont appel´es ’waveforms’, ce qui donna `a l’algo. son nom (anglais)Waveform Relaxation.

Historique de la convergence num´ erique

”Note that since the oscillator is highly nonunidirectional due to the feedback from v3 to the NOR gate, the convergence of the iterated solutions is achieved with the number of iterations being proportional to the number of oscillating cycles of interest”

Plan de la partie II

1 Rappels

2 Historique de la m´ethode de relaxation d’ondes

3 La m´ethode SWR

4 Propri´et´es

5 D´eveloppements

6 Mise en œuvre

M´ ethode SWR

SWR = Schwarz Waveform Relaxationmethod But: r´esoudre une ´equation du type

(S)











∂tu+Lu=f (x, t)∈Ω×(0;T) CL sur∂Ω(ex : u=g), t∈(0;T)

u(x,0) =u0(x), x∈Ω

SubdivisionΩ =

N

[

j=1

Ωj

Ω = [a, b] = [a0, b0]

x t

T

0 a b

Ω

M´ ethode SWR

SWR = Schwarz Waveform Relaxationmethod But: r´esoudre une ´equation du type

(S)











∂tu+Lu=f (x, t)∈Ω×(0;T) CL sur∂Ω(ex : u=g), t∈(0;T)

u(x,0) =u0(x), x∈Ω

SubdivisionΩ =

N

[

j=1

Ωj

Ω = [a, b] = [a0, b0]

x t

T

0

a b

Ω

b

a

Ω

Ω

b

a

a

b

M´ ethode SWR

SWR = Schwarz Waveform Relaxationmethod But: r´esoudre une ´equation du type

(S)











∂tu+Lu=f (x, t)∈Ω×(0;T) CL sur∂Ω(ex : u=g), t∈(0;T)

u(x,0) =u0(x), x∈Ω

SubdivisionΩ =

N

[

j=1

Ωj

Ω = [a, b] = [a0, b0]

x t

T

0

a b

Ω

b

a

Ω

Ω

b

a

a

= b

=

M´ ethode SWR

En 1D :Ωj= [aj, bj],Γj,j−1={aj}etΓj,j+1={bj}.

M´ethode SWR,k≥0

(S)











∂tu^k_i +Lu^k_i =f, (x, t)∈Ωi×(0;T)

Biu^k_i =Biu^k−1_j , (x, t)∈Γi,j×(0;T), j=i±1 u(x,0) =u0(x), x∈Ωi

Sii= 1oui=N,Γ1,0={a0}etΓN,N+1={b0}, alors, la CL est u^k0 =g, (x, t)∈ {a0} ×(0;T), u^kN=g, (x, t)∈ {b0} ×(0;T).

Sik= 0,u⁰_i = 0 (ou al´eatoire) surΓi,j,j=i±1.

Conditions de transmission

Comme en stationnaire, plusieurs choix Biu^k_i =u^k_i : Dirichlet

Biu^k_i =∂n_iju^k_i : Neumann

Biu^k_i =∂n_iju^k_i+p u^k_i,p∈C: Robin Biu^k_i =∂n_iju^k_i +Siu^k_i

x t

T

0

Ω_i

a_i b_i

Γ_i,i+1

n_i,i+1 n_i+1,i

Γ_i+1,i Ω_i+1

b_i+1 a_i

Conditions de transmission

Comme en stationnaire, plusieurs choix

Biu^k_i =u^k_i : Dirichlet Biu^k_i =∂n_iju^k_i : Neumann Biu^k_i =∂n_iju^k_i +p u^k_i, p∈C: Robin

Biu^k_i =∂n_iju^k_i +Siu^k_i

t=0 t=T t=T_f

i t

Ω1 y

x Γ12= Γ21

n12

n21

Ω2

Principe de la m´ ethode

a1 Ω1 b1

• a2 • Ω2 b2

• •

On d´efinit sur chaque sous domaine

Domaine 1

∂tu^k₁+Lu^k₁ =f dansΩ1×(0, T) u^k₁(·,0) =u0dansΩ1

u^k₁(b1,·) =u^k−1₂ (b1,·)surΓ12×(0, T)

Domaine 2

∂tu^k₂+Lu^k₂=fdansΩ2×(0, T) u^k₂(·,0) =u0 dansΩ2

u^k₂(a2,·) =u^k−1₁ (a2,·)surΓ21×(0, T)

Algorithme classique

u⁰1(b1, t) = 0,u⁰2(a2, t) = 0,t∈(0, T) k= 1

Tant que k(u^k1−u^k−1₁ )(b1, T)k²_L2+k(u^k2−u^k−1₂ )(a2, T)k²_L2

> εfaire R´esoudre les syst`emes dansΩ1 etΩ2,t∈(0, T)

Echanger les informations par Cond. Transmission´ k=k+ 1

Principe de la m´ ethode

k= 1

a1 Ω1 b1

• a2 • Ω2 b2

• •

On r´esoud en parall`ele.

Domaine 1

R´esoudre pourt= 0→T

∂tu¹₁+Lu¹₁=f dansΩ1×(0, T) u¹₁(·,0) =u0 dansΩ1

u¹₁(b1,·) = 0surΓ12×(0, T) Conserver∀t∈(0, T)u¹₁(a2, t)

Domaine 2

R´esoudre pourt= 0→T

∂tu¹₂+Lu¹₂=f dansΩ2×(0, T) u¹₂(·,0) =u0dansΩ2

u¹₂(a2,·) = 0surΓ21×(0, T) Conserver∀t∈(0, T)u¹₂(b1, t)

Principe de la m´ ethode

k= 2

a1 Ω1 b1

• a2 • Ω2 b2

• •

On r´esoud en parall`ele.

Transmettreu¹₁(a2, t)`aΩ2 etu<sup>1</sup><sub>2</sub>(b1, t)`aΩ1,t∈(0, T)

Domaine 1

R´esoudre pourt= 0→T

∂tu²₁+Lu²₁=f dansΩ1×(0, T) u²₁(·,0) =u0 dansΩ1

u²₁(b1,·)=u¹₂(b1,·)surΓ12×(0, T) Conserver∀t∈(0, T)u²₁(a2, t)

Domaine 2

R´esoudre pourt= 0→T

∂tu²₂+Lu²₂=f dansΩ2×(0, T) u²₂(·,0) =u0dansΩ2

u²₂(a2,·)=u¹₁(a2,·)surΓ21×(0, T) Conserver∀t∈(0, T)u²₂(b1, t)

Principe de la m´ ethode

k=K

a1 Ω1 b1

• a2 • Ω2 b2

• •

On r´esoud en parall`ele.

Transmettreu^K−1₁ (a2, t)`aΩ2 etu<sup>K−1</sup><sub>2</sub> (b1, t)`aΩ1,t∈(0, T)

Domaine 1

R´esoudre pourt= 0→T

∂tu^K₁ +Lu^K₁ =f dansΩ1×(0, T) u^L₁(·,0) =u0dansΩ1

u^K₁(b1,·)=u^K−1₂ (b1,·)surΓ12×(0, T) Conserver∀t∈(0, T)u^K₁(a2, t)

Domaine 2

R´esoudre pourt= 0→T

∂tu^K₂ +Lu^K₂ =f dansΩ2×(0, T) u^K₂(·,0) =u0 dansΩ2

u^K₂(a2,·)=u^K−1₁ (a2,·)surΓ21×(0, T) Conserver∀t∈(0, T)u^K₂(b1, t)

On transmet donc `a chaque it´eration de la m´ethode SWR u^ki(x, t), (x, t)∈Γi,j×(0, T), j=i±1.

Principe de la m´ ethode

k=K

a1 Ω1 b1

• a2 • Ω2 b2

• •

On r´esoud en parall`ele.

Transmettreu^K−1₁ (a2, t)`aΩ2 etu<sup>K−1</sup><sub>2</sub> (b1, t)`aΩ1,t∈(0, T)

Domaine 1

R´esoudre pourt= 0→T

∂tu^K₁ +Lu^K₁ =f dansΩ1×(0, T) u^L₁(·,0) =u0dansΩ1

u^K₁(b1,·)=u^K−1₂ (b1,·)surΓ12×(0, T) Conserver∀t∈(0, T)u^K₁(a2, t)

Domaine 2

R´esoudre pourt= 0→T

∂tu^K₂ +Lu^K₂ =f dansΩ2×(0, T) u^K₂(·,0) =u0 dansΩ2

u^K₂(a2,·)=u^K−1₁ (a2,·)surΓ21×(0, T) Conserver∀t∈(0, T)u^K₂(b1, t)

On transmet donc `a chaque it´eration de la m´ethode SWR u^ki(x, t), (x, t)∈Γi,j×(0, T), j=i±1.

M´ ethode de d´ ecomposition en espace

La partie

R´esoudre pourt= 0→T fait appel `a un int´egrateur temporel num´erique.

Les donn´ees

u^ki(x, t), (x, t)∈Γi,j×(0, T), j=i±1.

sont donc discr`etes.

Le sch´ema suivi pour les m´ethodes SWR Discr´etiser en espace puis en temps

M´ethode de d´ecomposition en espace Discr´etiser en temps puis en espace

Apr`es discr´etisation en temps, on apour chaque pas de tempsun probl`eme stationnaire

Utiliser les m´ethodes de DDM de la partie I `a chaque pas de temps

M´ ethode de d´ ecomposition en espace

Pour simplifier, on prendf= 0.

Int´egrateur temporel num´erique

∂tu^ki +Lu^ki = 0−→F(u^ki,n+1) =G(u^ki,n)

o`uu^ki,n(x)est une approximation deu^ki(x, tn),tn=n∆t,∆t=T /Niter. Algorithme

Pourn= 1`aNiter,

u⁰_1,n(b1) =u^K_n−1^f (b1),u⁰_2,n(a2) =u^K_n−1^f (a2), k= 1

Tant que k(u^k_1,n−u^k−1_1,n)(b1,∆t)k²_L2+k(u^k_2,n−u^k−1_2,n )(a2,∆t)k²_L2

> εfaire Faire une ´etape de l’int´egrateur en temps dansΩ1 etΩ2,

´Echanger les informations par Cond. Transmission k=k+ 1

Kf =k

u^Kn^f(b1) =u^K_2,n^f(b1)etu^Kn^f(a2) =u^K_1,n^f(a2)

M´ ethode de d´ ecomposition en espace

On transmet donc `a chaque it´eration de la m´ethode et `a chaque pas de temps u^k_i,n(x), x∈Γi,j, j=i±1.

SWR

Pourk= 1`aKf

Echange´ u^k_i,n(x), x∈Γi,j, j=i±1, n∈ {1,· · ·, Niter}

D´ecomposition en espace Pourn= 1`aNiter

Pourk= 1`aKf

Echange´ u^k_i,n(x), x∈Γi,j, j=i±1.

Beaucoup plus d’´echanges d’informations... surcoˆut ´eventuel.

Plan de la partie II

1 Rappels

2 Historique de la m´ethode de relaxation d’ondes

3 La m´ethode SWR

4 Propri´et´es

5 D´eveloppements

6 Mise en œuvre

Temps longs vs Temps courts

Deux comportements diff´erents

temps longs=⇒convergence lin´eaire temps courts=⇒convergence superlin´eaire

Equation de la chaleur 1D avec´ L= 0.1

La m´ethode de d´ecomposition en espace regagne en int´erˆet ou encorem´ethode SWR `a fenˆetres.

Temps longs vs Temps courts

Gander, Zhao,Overlapping Schwarz Waveform Relaxation for the Heat Equation in n-Dimensions, BIT, 2002











∂tu^k+1_j = ∆u^k+1_j +f(x, t), x∈Ωj, 0< t <∞, u^k+1_j (x, t) = u^k_l(x, t), x∈Γjl, 0< t <∞, u^k+1_j (x, t) = g(x, t), x∈Γj0, 0< t <∞,

u(x,0) = u0(x), x∈Ωj.

Temps longs vs Temps courts

Soitmj le plus petit nombre de domaines `a traverser depuisΩj pour rejoindre

∂Ω.

m= maxjmj.

δ distance minimale d’overlap entre sous domaines.

ula solution de l’´equation de la chaleur surΩ×(0,∞).

e^k_j =u−u^k_j l’erreur sur le domainej`a l’it´erationk.

Temps infini, convergence lin´eaire maxj sup

x∈Ω_j,t>0

|e^k(m+2)_j | ≤(γ(m, δ))^k max

j sup

x∈Ω_j,t>0

|e⁰j|, o`uγ(m, δ)<1

Temps fini, convergence superlin´eaire maxj sup

x∈Ω_j,t<T

|e^kj| ≤(2d)^kerfc kδ

2√ πT

maxj sup

x∈Ω_j,t<T

|e⁰j|.

o`udest la dimension.

Comparaison avec Lindel¨ of

Le taux de convergence trouv´e pour les algorithmes de relaxation d’onde classique pour les EDOs est

CT^k k! =

1

√2π+O(k⁻¹)

e^−klogk+(1+log(CT))k−¹₂logk

≈e^−klogk Le taux de convergence superlin´eaire pour une EDP diffusive est

C₁^kerfc C2k

√T

= √

T C2

√π +O(k⁻²)

e⁻

C2 2

T k²+log(C₁)k−logk

≈e^−k2 L’am´elioration est due `a la diffusion issue du noyau de la chaleur.

R´ esultats de convergence

Probl`emes diffusifs

Lu= (a· ∇)u−ν∆u+bu Conditions de transmission de Dirichlet

Convergence sioverlap.

Pas de convergence sinon.

Daoud & Gander (2003), Daoud & Caltinoglu (2007) Temps infini, convergence lin´eaire

maxj sup

x∈Ω_j,t>0

|e^k(m+2)_j | ≤(γ(m, δ))^k max

j sup

x∈Ω_j,t>0

|e⁰j|, o`uγ(m, δ)<1

Temps fini, convergence superlin´eaire maxj sup

x∈Ω_j,t<T

|e^kj| ≤(C(ν,a, δ))^kerfc kδ

2√ dνT

maxj sup

x∈Ω_j,t<T

|e⁰j|.

o`udest la dimension.

R´ esultats de convergence

Exemple de Daoud & Caltinoglu (2007)

∂tu=∂²xu−0.25φ²u, 0< x <1, 0< t < T, u(0, t) =e^−0.5πt2, 0< t < T,

u(1, t) = 0, 0< t < T, u(x,0) = cos(0.5φ²x), 0< x <1.

Ωest subdivis´e en 5 sous domaines avec overlap de0.2et0.4. Les temps finaux sont respectivementT = 10(gauche) etT = 1(droite)

Am´ elioration de la convergence

Gander, Halpern, Nataf,Optimal Convergence for Overlapping and Non-Overlapping Schwarz Waveform Relaxation, Proc. DD11, (1999)

Remplacer les conditions de transmission de Dirichlet par les conditions aux limites transparentes sous-jacentes aux ´equations

Eq. des ondes´ ∂²_tu−c²∂_x²u=f(x, t),c >0.

Eq. de r´´ eaction-convection-diffusion∂tu−ν∂²_xu+a∂xu+bu=f(x, t),ν >0, a, b∈R.

Conditions aux limites =op´erateur Dirichlet-Neumann

CLT pour ´ Eq. des ondes

(P)







∂²_tψ−c²∂_x²ψ= 0, (x, t)∈Rx×[0;T], ψ(x,0) =ψ0(x), x∈R^x,

∂tψ(x,0) =ψ1(x), x∈R^x. Hypoth`eses: supp(ψ0,1)⊂B(0, R).

Solution

ψ(x, t) = 1

2(ψ0(x+ct) +ψ0(x−ct)) +1 2

Z x+ct x−ct

ψ1(y)dy.

Simplement,

ψ(x, t) =ϕ1(x+ct) +ϕ2(x−ct), avec

2ϕ1(x) =ψ0(x) + Z x

−∞

ψ1(y)dy , 2ϕ2(x) =ψ0(x)−

Z x

−∞

ψ1(y)dy .

CLT pour ´ Eq. des ondes

−R R t

x

−L L

supp(ϕ1(x+t)) supp(ϕ2(x−t))

∀t >0et∀|x|> R, les supports sont disjoints.

x=−L x=L

ψ(x, t) =ϕ1(x+ct) ψ(x, t) =ϕ2(x−ct)

∂xψ=c∂tψ ∂xψ=−c∂tψ

Alors, surx=±L, la donn´ee deNeumanns’exprime en fonction de celle de Dirichlet

c∂nψ+∂tψ= 0 o`und´esigne le vecteur unitaire sortant `aΩ = (−L, L).

Remarque :

∂_t²−c²∂²_x= (∂t−c∂x)(∂t+c∂x).

CLT pour ´ Eq. des ondes

Autre m´ethode : transform´ee de Laplace La(u)(x, ω) = ˆu(x, ω) =

Z ∞ 0

u(x, t)e^−ωtdt avec la fr´equenceω=σ+iτ,σ >0

La(∂tu)(x, ω) = ωˆu(x, ω)−u(x,0),

La(∂²_tu)(x, ω) = ω²u(x, ω)ˆ −ωu(x,0)−∂tu(x,0).

1 Probl`eme de transmission

Probl`eme int´erieur







(∂_t²−c²∂²_x)v= 0, x∈Ω, t >0,

∂xv=∂xw, x∈Γ, t >0, v(x,0) =ψ0(x), x∈Ω,

∂tv(x,0) =ψ1(x), x∈Ω,

Probl`eme ext´erieur











(∂t−c²∂²_x)w= 0, x∈Ω, t >0, w(x, t) =v(x, t), x=±L, t >0,

w(x,0) =0, x∈Ω,

∂tw(x,0) =0, x∈Ω.

CLT pour ´ Eq. des ondes

2 Transform´ee de Laplace w.r.t temps pourx > L: ω²wˆ−c²∂²xwˆ= 0.

Solution : w(x, ω) =ˆ A⁺(ω)e^ωcx+A⁻(ω)e^−ωcx

3 S´election de l’onde sortante : solution d’´energie finie−→A⁺= 0.

ˆ

w(x, ω) =e^{−ωc(x−L)}La(w(L,·))(ω).

En prenant la d´eriv´ee

∂xw(x, ω)|ˆ x=L=−ω

cw(x, ω)|ˆ x=L 4 Transform´ee de Laplace inverse

c∂xw(x, t)|x=L=−∂tw(x, t)|x=L.

5 Ainsi, on obtient laCLTpourv

∂nv+∂tv c = 0

SWR pour les ondes

M´ethode SWR,k≥0

(S)























∂_t²u^k₁−c²∂_x²u^k₁ = 0, (x, t)∈(−∞, L)×(0;T) B¹u^k1 =B¹u^k−1₂ , (x, t)∈ {L} ×(0;T),

∂_t²u^k₂−c²∂_x²u^k₂ = 0, (x, t)∈(0,∞)×(0;T) B2u^k2 =B2u^k−1₁ , (x, t)∈ {0} ×(0;T), u(x,0) =u⁰I(x), ∂tu(x,0) =u¹I(x) x∈R

Bⁱ=∂n_ij+∂t

c =∂n_ij+ Λ, Λ =La⁻¹

ω c

.

Thm. Gander, Halpern, Nataf, 99

L’algorithme SWR avecBi=Idconverge d`es quek≥T c/δ,δtaille d’overlap.

L’algorithme SWR avecBi=∂n_ij+∂t/cconverge endeuxit´erations, ind´ependamment de la taille de l’overlap.

CLT pour ´ Eq. R´ eac/Diff/Advec.

∂tu+Lu=∂tu−ν∂_x²u+a∂xu+cu= 0

CLT

∂nu∓Λ^±u= 0.

Mise en jeu d’un op´erateur pseudo-diff´erentiel (i.e non local).

Signe - pour cˆot´e droit, + pour gauche.

Cˆot´e droit :∂xu−Λ⁻u= 0.

Cˆot´e gauche :∂xu−Λ⁺u= 0.

On a

Λ^±u=La⁻¹

a±δ^1/2 2ν

∗u,avecδ=a²+ 4ν(c+ω).

CLT pour ´ Eq. R´ eac/Diff/Advec.

Pour la chaleur (a=c= 0) CLT

∂nu+La⁻¹

√

√ω ν

∗u= 0 ⇐⇒ ∂nu+ 1

√ν∂_t^1/2u= 0, avec

∂_t^1/2f(x, t) = 1

√π∂t

Z t 0

f(x, s)|x=x_r

√t−s ds

op´erateur de d´erivation fractionnaire d’ordre 1/2

SWR pour ´ Eq. R´ eac/Diff/Advec.

M´ethode SWR,k≥0

(S)























∂tu^k₁−ν∂_x²u^k₁+a∂xu^k₁+bu^k₁ = 0, (x, t)∈(−∞, L)×(0;T) B¹u^k1 =B¹u^k−1₂ , (x, t)∈ {L} ×(0;T),

∂tu^k₂−ν∂_x²u^k₂+a∂xu^k₂+bu^k₂ = 0, (x, t)∈(0,∞)×(0;T) B²u^k2 =B²u^k−1₁ , (x, t)∈ {0} ×(0;T), u(x,0) =u⁰_I(x), x∈R

B1=∂x−Λ⁻etB2=∂x−Λ⁺

Thm. Gander, Halpern, Nataf, 99

L’algorithme SWR converge endeuxit´erations, ind´ependamment de la taille de l’overlap.

Quelques preuves de convergence

Transmission = Dirichlet

Algorithmen≥1 Ω⁻= (−∞, L)

(∂t+L)u^k1 =f, x∈Ω⁻, t >0, u^k1(x,0) =u0, x∈Ω⁻ u^k1(L, t) =uⁿ⁻¹₂ (L, t), t >0

Ω⁺= (0,+∞)

(∂t+L)u^k2 =f, x∈Ω⁺, t >0, u^k2(x,0) =u0, x∈Ω⁺ u^k2(0, t) =uⁿ⁻¹₁ (0, t), t >0

´Etape 1

Ω⁻= (−∞, L)

(∂t+L)u¹₁=f, x∈Ω⁻, t >0, u¹₁(x,0) =u0, x∈Ω⁻ u¹1(L, t) =gL(t), t >0

Ω⁺= (0,+∞)

(∂t+L)u¹₂=f, x∈Ω⁺, t >0, u¹₂(x,0) =u0, x∈Ω⁺ u¹2(0, t) =g0(t), t >0 avecgL(0) =u0(L)etg0(0) =u0(0).

Quelques preuves de convergence

Transmission = Dirichlet

Erreurs :

e^k₁ =u|

Ω−−u^k₁ et e^k₂ =u|

Ω+−u^k₂. Ω⁻= (−∞, L)

(∂t+L)e^k₁= 0, e^k₁(x,0) = 0,

e^k₁(L, t) =eⁿ⁻¹₂ (L, t),

Ω⁺= (0,+∞) (∂t+L)e^k₂ = 0, e^k₂(x,0) = 0, e^k₂(0, t) =eⁿ⁻¹₁ (0, t), Commee^k_i(x,0) = 0, on a en passant par Laplace les EDOs enx

(ω+L)ˆe^ki = 0 et les solutions s’´ecrivent

ˆ

e^k1(x, ω) =αk(ω)e^λ+x, x≤L ˆ

e^k₂(x, ω) =βk(ω)e^λ−x, x≥0, avec

λ^±=a±δ^1/2 2ν .

Quelques preuves de convergence

Transmission = Dirichlet

En utilisant les CL enx=Letx= 0, on obtient ˆ

e^k₁(x, ω) =e^L(λ−λ+)eˆ^k−2₁ , x≤L ˆ

e^k2(x, ω) =e^L(λ−λ+)ˆe^k−2₂ , x≥0.

Taux de convergence ρ(ω) =

ˆ e^k+1_i ˆ e^k−1_i

=e^{Re(λ−−λ+)L}.

Or,λ⁻−λ⁺=−δ^1/2 ν et donc

Re(λ⁻−λ⁺)≤ −α, avecα=√

a²+ 4νc/ν.

Ainsi,ρ≤e^−αLet on a

|ˆe^k_i| ≤e^−dk/2eαL|ˆe⁰_i|.

Quelques preuves de convergence

Transmission = Dirichlet

|ˆe^ki| ≤e^−dk/2eαL|ˆe⁰i|.

L’erreur tend vers0dans chaque sous domaine PlusLest grand, plus la convergence est rapide SiL= 0, pas de convergence : eˆ^k+1_i = ˆe^k−1_i ,∀k >1.

Quelques preuves de convergence

Transmission = DtN

Ω⁻= (−∞, L) (∂t+L)e^k1= 0, e^k₁(x,0) = 0,

B⁺e^k₁(L, t) =B⁺eⁿ⁻¹₂ (L, t),

Ω⁺= (0,+∞) (∂t+L)e^k2 = 0, e^k₂(x,0) = 0,

B⁻e^k₂(0, t) =B⁻eⁿ⁻¹₁ (0, t), B⁺=∂x−Λ⁻etB⁻=∂x−Λ⁺

On a pourk≥1

ˆ

e^k1(x, ω) =αk(ω)e^λ+x, x≤L ˆ

e^k₂(x, ω) =βk(ω)e^λ−x, x≥0, et donc

∂xˆe^k1(x, ω)−λ⁺ˆe^k1(x, ω) = 0, x≤L

∂xˆe^k2(x, ω)−λ⁻eˆ^k2(x, ω) = 0, x≥0.

0 1

Quelques preuves de convergence

Transmission = DtN

Par les conditions de transmission, on a

∂xˆe²1(L, ω)−λ⁻eˆ²1(L, ω) =∂xeˆ¹2(L, ω)−λ⁻eˆ¹2(L, ω) =0,

∂xeˆ²2(0, ω)−λ⁺ˆe²2(0, ω) =∂xeˆ¹1(0, ω)−λ⁺ˆe¹1(0, ω) =0.

et donc

α2=β2= 0 soit encore

ˆ

e²₁= ˆe²₂= 0.

On a donc

u²1=u|

Ω− et u²2=u| Ω+. Convergence en 2 ´etape∀L.

SWR pour ´ Eq. R´ eac/Diff/Advec.

Remarques

Pour la chaleur, on peut approcherΛ^±=∂_t^1/2

√ν par une quadrature.

Ex : Antoine, CB, 03,

∂_t^1/2f(tⁿ)≈ r 2

∆t

n

X

k=0

βn−kf^k

(

(α0, α1, α2, ...) = (1,1,1 2,1

2,3 8,3

8, ...) βk= (−1)^kαk, ∀k≥0.

Pour l’´equation g´en´erale, c’est trop compliqu´e : on doit proc`eder `a des approximations du symbole de l’op´erateurΨDO.

SWR pour ´ Eq. R´ eac/Diff/Advec.

Transmission = Taylor 0 et 1

Taylor deδ^1/2pour|ω| 1.

δ^1/2≈p

a²+ 4νc+ 2ν

√a²+ 4νcω.

D’o`u

λ^±₀ =a±p

2ν etλ^±₁ =a±p 2ν ±qω , avecp >0etq >0.

Conditions de transmission

∂xu^k+1₁ −S⁻_ju^k+1₁ =∂xu^k₂−S_j⁻u^k₂, j= 0,1,

∂xu^k+1₂ −S_j⁺u^k+1₂ =∂xu^k1−S_j⁺u^k1, j= 0,1.

Quelques preuves de convergence

Transmission = Taylor 0 et 1

On aˆe^k1 =αke^λ+x,x≤Leteˆ^k2=βke^λ−x,x≥0et

∂xˆe^k+1₁ −S_j⁻eˆ^k+1₁ =∂xeˆ^k₂−S_j⁻eˆ^k₂, j= 0,1,

∂xˆe^k+1₂ −S_j⁺eˆ^k+1₂ =∂xeˆ^k₁−S_j⁺ˆe^k₁, j= 0,1.

On trouve

αk+1(λ⁺−λ⁻₀)e^λ+L=βk(λ⁻−λ⁻₀)e^λ−L, βk+1(λ⁻−λ⁺₀) =αk(λ⁺−λ⁺₀).

Ainsi

αk+1= λ⁻−λ⁻₀

λ⁺−λ⁻₀ ·λ⁺−λ⁺₀

λ⁻−λ⁺₀ e^{(λ−−λ+)L}αk−1.

Or,λ⁺+λ⁻=λ⁺₀ +λ⁻₀ =a/ν et donc

αk+1=

λ⁺−λ⁺₀ λ⁻−λ⁺₀

²

e^{(λ−−λ+)L}αk−1.

Quelques preuves de convergence

Transmission = Taylor 0 et 1

Taux de convergence

ρ0(ω, p) =

λ⁺(ω)−λ⁺₀ λ⁻(ω)−λ⁺₀

2

e^{Re(λ−−λ+)L}

=

δ^1/2−p δ^1/2+p

2

e^{−LνRe(δ1/2)}

Puisquep >0,∃C1<1tel que

δ^1/2−p δ^1/2+p

< C1 et donc

|ˆe^k+1₁ | ≤C1e^−αL|ˆe^k−1₁ |.

On a convergence mˆeme si L= 0et elle est plus rapide que Dirichlet.

Idem pour l’ordre 1.

Quelques preuves de convergence

Transmission = optimisation depetq

Taylor est bas´e sur une approximation basse fr´equence.

Pour obtenir une meilleure approximation,optimisation du taux de convergence sur toutes les fr´equences.

V. Martin, 2003, th`ese + articles.

Lorsque l’on discr`etise en temps, les fr´equences disponibles sont|ω| ∈hπ T, π

∆t i

.

p

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

maxω |ρ0|

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

ν= 0.01,a= 1,c= 0,

∆t= 10⁻²,L= 0et T = 1.