REGRESSION NON PARAMETRIQUE DANS UN MODELE GAUSSIEN

ﺺﺨﻠﻣ

ﺔﻴﻄﻴﺳﻭ ﲑﻏ ﺮﻘﻬﻘﺗ ﺕﺍﺭﺪﻘﻣ ﺀﺎﺸﻧﺇ ﱃﺇ ﻞﻤﻌﻟﺍ ﺍﺬﻫ ﻑﺪﻬﻳ

ﺔﻴﺻﻮﻗ ﺓﺭﻭﺎﺠﺘﳌﺍ ﲔﻧﺍﻮﻘﻟﺍ ﻥﻮﻛ ﺽﺮﻔﺑ ﻚﻟﺫﻭ ،ﻯﻮﺼﻗ ﺔﺑﺭﺎﻘﻣ .

ﻞﻴﻠﺤﺘﻟﺍ ﰲ ﺓﺮﺷﺎﺒﻣ ﺔﻘﺒﻄﻣ ﺎﻮﻛ ﺔﻴﳘﺃ ﺎﻬﻴﻠﻋ ﻞﺼﺤﺘﳌﺍ ﺞﺋﺎﺘﻨﻟﺍ ﻞﺜﲤ ﺕﺎﻴﻄﻌﻤﻠﻟ ﰲﺎﺸﻜﺘﺳﻻﺍ .

تﺎﻤﻠﻜﻟا ﺔﻴﺣﺎﺘﻔﻤﻟا ،ﺔﻓﺎﺜﻜﻟﺍ ﺮﻳﺪﻘﺗ :

ﺮﻳﺪﻘﺗ ،ﺮﻘﻬﻘﺘﻟﺍ ﺮﻳﺪﻘﺗ

ﺔﻘﺜﻟﺍ ﻂﻳﺮﺷ ،ﺓﺍﻮﻨﻟﺎﺑ

REGRESSION NON PARAMETRIQUE DANS UN MODELE GAUSSIEN

Reçu le 14/11/04 – Accepté le 12/09/2005

Résumé

L'objet de ce travail est de construire des estimateurs de régression non paramétrique asymptotiquement optimaux, sous l'hypothèse que les lois sous-jacentes sont gaussiennes. Les résultats que nous obtenons présentent l'intérêt d'être directement applicables en analyse exploratoire des données.

Mots clés: Estimation de la densité, estimation de la régression, estimation à noyau, bandes de confiance.

Abstract

In this work, a method of constructing nonparametric asymptotically optimal estimators is presented. Assuming Gaussian underlying distributions, straightforward applications in exploratory data analysis may be deduced from our results.

Keywords: Density estimation, regression estimation, kernel estimation, confidence bounds.

Classification AMS : 62G20,62G35,62505

oient

(

X1 ,Y1

)

,

(

X2 ,Y2

)

,_K des couples aléatoires à valeurs dans R² et de même loi que

(

^{X ,Y}

)

. On supposeXetY sont de loi jointe normale centrée d'écarts types respectifs σ_X >0 et σ_Y >0 et de coefficient de corrélation ^ρ∈

(

^{−1 ,1}

)

inconnus.

Nous adoptons les notations et hypothèses suivantes :

• ^I=

[ ]

^{a,b et J=}

[ ]

^a',b' dénotent deux intervalles fixés de R tels que +∞

<

<

<

<

<

∞

− a^' a b b^' .

• On note par I =b−a la mesure de Lebesgue deI .

• K une fonction noyau mesurable vérifiant:

( )

^{K.1 K} est une fonction à variation bornée sur

R

;

( )

K.2 K

( )

t dt 1;

R

∫

=

( )

^K.3

[ ]

^{t K t K}

^{( )}

^{t dt ;}

R 2

2 =

∫

<∞

( )

^K.4

[ ]

K K

( )

t dt ;

R 2

2 =

∫

<∞

( )

K.5 K

( )

u =0 pour ∉_⎢⎣⎡− _⎥⎦^⎤ ,2

u α2 α

pour un certain ^α∈

]

^0,∞

[

^.

Nous poserons,

( )

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

⎭⎬

⎫

⎩⎨

∨ ⎧

∈

∀

∫

R 2 K

, u K t dt

log , R

u _θ θ , où θ >1 est une

constante qui sera précisée plus loin.

Dans ce modèle, pour tout x∈J, la fonction de régression de

(

^{Y X x}

)

E = et la variance conditionnelle de Y sachant X =x sont bien définies et données par :

( ) ( ) ^{( )} _{( )}

dy x,

x f

y , x y f x X Y E x r

Y X

R X

Y , X

σ ρσ

=

=

=

=

∫

( ) [ ( ) ] ^{( )} _{( )}

^dy

(

¹

)

^.

x f

y , x x f

X Y E y x X Y Var ) x (

v ² _Y²

X Y , 2 X R

2 = = =

∫

− = = −ρ σ

S

N. NEMOUCHI Z. MOHDEB

Département de Mathématique, Université Mentouri Constantine, Algérie

Dans ces expressions,

• f_X

( )

x désigne la densité marginale de loi

N ( ^{0 ,} σ

X²

)

associée à la variable aléatoire X,

• f_X,Y

( )

x,y désigne la densité jointe de

(

X,Y

)

.

Les estimateurs non paramétriques à noyaux de f_X

( )

x ,

( )

x

r et

ν

²

( ) x

dus à Akaike (1954), Rosenblatt (1956), Parzen (1962), Nadaraya (1964) et Watson (1964) sont définis comme suit. Soit

{

h_n:n≥1

}

une suite de nombres positifs.

1) L'estimateur à noyau de la densité f_X

( )

x est donné par :

( )

^K

( )

^.

nh h 1

; x f

n 1

i hn

Xi x n n

X ∑

=

= −

2) L'estimateur à noyau de la régression r(x) est donné par : 3) L'estimateur à noyau de la variance conditionnelle

( )

x

ν2 est donné par :

Pour l'étude asymptotique de ces estimateurs, nous introduisons les facteurs de centrage suivants :

( )

^EK

( )

^,

h h 1

; x f

E hn

X x n n X

= −

Remarque Si limh_n 0,

n =

∞

→ alors :

( ) ( )

{

^{Eˆ r x;h Er x;h}

}

⁰

lim _{n n n n}

n

=

∞ −

→ .

Au cours des dernières décennies, la théorie de l'estimation non paramétrique de la densité et de la régression a fait l'objet de nombreux travaux, (voir Prakasa Rao (1983), Devroye et Györfi (1985), Silverman (1986),

Devroye (1978), Nadaraya (1989), Roussas (1990), Härdle (1990), Scott (1992), Bosq et Lecoutre (1987), Wand et Jones (1985) et les références citées dans ces publications).

La convergence de ces estimateurs dépend crucialement du comportement asymptotique de h_n quand n→∞. Sous des conditions appropriées portant sur la loi de Y et satisfaites dans le cas gaussien considéré ici, Nadaraya (1989) a établi que les hypothèses h_n →0 et nh_n →∞ sont nécessaires et suffisantes pour que toutx∈I, fixé:

( )

⎯⎯→P r

( )

x quandn→∞ h

; x

rn n ,

où⎯⎯→P

désigne la convergence en probabilité,

( ) ( )

quandn ,

nh O 1 h

; x r E h

; x r Eˆ

n n

n n

n ⎟⎟ →∞

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

−

(

x;h

) ( )

r x 0 quandn . r

Eˆ

n

n − → →∞

Ces mêmes conditions sur h_n sont aussi nécessaires et suffisantes pour que tout x∈I, fixé

( )

P f

( )

x quandn , h

; x

f_{X,n n} ⎯⎯→ _X →∞

( )

[

^{f x;h}

]

^f

^{( )}

^{x quand n .}

E _{X,n n} → _X →∞

On se référera aux travaux de Parzen (1962), Devroye et Györfi (1985), Silverman (1986), Izenman (1991), Scott (1992), Devroye et Lugosi (2001) pour un exposé de ces résultats.

Deheuvels et Mason (2004) ont obtenu une évaluation de la vitesse de convergence en probabilité de l'estimateur à noyau de la densité sur l'intervalle compact I =

[ ]

a,b , en montrant que:

si h_n→0 et , n log

nh_n →∞ alors :

( )

(

( )

)

[ ]

( ) ¹

P x

f K 2

h

; x f E h

; x sup f h ) log( 1 2 nh

X 2 2

n n , X n

n , X I x n

n − ⎯⎯→

∈

quand n→∞.

La vitesse exacte de la convergence en probabilité de

(

n

)

n x;h

r est due à Deheuvels et Mason (2004) (voir également Einmahl et Mason (2000), Härdle, Jansen et Serfling (1988)). Deheuvels et Mason (2004) ont établi des bandes de confiance simultanées asymptotiques uniformes et non uniformes pour les fonctionnelles de la distribution, basées sur les estimateurs à noyau, de type Nadaraya- Watson pour la fonction de régression et le noyau de type Akaike-Parsen-Rosenblatt pour la densité.

Remarque 1.2

Dans les travaux que nous avons cités les variables aléatoires X, Y suivent des lois quelconques, ayant une densité jointe satisfaisant des conditions de régularité minimales (cf. Deheuvels et Mason (2004)). Dans ce travail, nous supposons que le paramètre de lissage est une fonction dex, on le note par hn

( )

x . A partir du calcul de

h

_n

( ) x

, x∈I, optimisant les critères d'erreurs,

( )

( )

[ ]

( )

( ) ( )

( )

⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

≠

−

=

∑

∑ ∑

∑ ∑

∑

=

−

= =

−

=

=

−

=

−

. 0 K

si n Y

Y 1 n 1

, 0 K

si K

K h

; x r Y

h

; x

n 1

i hn

Xi n x

1 i

n 2 1 i

i i

hn Xi n x

1 i n

1

i hn

Xi x n

1

i hn

Xi x 2 n n i

n 2

νn

( )

( )

( ) ( )

( )

⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

=

≠

=

∑

∑

∑ ∑

∑

=

−

=

−

=

=

−

=

−

. 0 K

si n Y

1

, 0 K

si K

K Y

h

; x r

n 1

i hn

Xi n x

1 i

i

hn Xi n x

1 i n

1

i hn

Xi x n

1

i hn

Xi x i

n n

( )

( )

{ }

( )

{ } { ( ) }

( ) { ( ) }

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

= ≠

−

−

. 0 K

E si Y E

, 0 K

E si K

E Y K E h

; x r Eˆ

hn x-X

hn X x hn

X x

hn x-X

n n

le but de notre travail consiste à construire leur estimateur ^hˆn

( )

^x en fonction des estimateurs empiriquesσˆ_X >0, σˆ_Y >0, ρˆ , tels que

( ) ( )

^{x P 1}

h x hˆ

n

n ⎯⎯→ quand n→∞,

( )

^x

hˆ_n ainsi choisi, est tel que les conditions imposées par Deheuvels et Mason (2004) soient vérifiées, nous déduisons des bandes de confiance asymptotiques pour f_X

( )

x (respectivement de ^r

( )

^x en fonction de ^fX,n

(

^x;hˆn

( )

^x

)

(respectivement en fonction de ^rn

(

^x;hˆn

( )

^x

)

.

Dans la Section 2, nous présentons nos résultats. Les démonstrations sont données dans la Section 3.

1. RESULTATS

1.1. Evaluation de l'erreur quadratique moyenne de fX,n

(

x;hn

)

D'après Wand et Jones (1995), l'erreur quadratique moyenne de fX,n

(

x;hn

)

est donnée par :

( ) ( )

[ ]

(

^x;h

) [

^{E f}

(

^x;h

)

^f

( )

^x

]

^.

f Var

x f h

; x f E

2 X n n , X n

n , X

2 X n n , X

− +

=

−

Cette quantité atteint son minimum en :

Comme

σ

_X² est inconnu, nous le remplaçons par son estimateur empirique

. n X

X 1 n

ˆ 1 ⁿ

1 i

n 2

1 j

j i

2

X ∑ ∑

= = ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

σ =

Nous obtenons alors

( )

[ ]

[ ]

^{1 . (2.1)}

ˆ K x t

ˆ x 2 exp 1 K 2 n ˆ

x hˆ

5 1

2

2 X 2 2 2

2

X 2

X 5 1 1

, n

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= ⁻

σ π σ σ

Posons

Nous constatons que ^hˆn,1

( )

^{x ,}Θn,1

( )

^x

vérifient les conditions

( )

B1

,

( )

B2

,

( )

Θ1

de Deheuvels et Mason (2004), c'est-à-dire:

( )

B₁

quand n→∞,

∀ ε > 0 ;

( )

B2

( ) ( )

h 0 x h h

x sup hˆ P

n 1 , n n 1 , n I x

⎟→

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ − ≥

∈ ε

quand n→∞,

∀ ε > 0 ;

( )

Θ1

( )( )x ^{1 0} sup x

P

1 1 , n I x

⎟→

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ − >

∈ ε

Θ Θ

quand n→∞,

∀ ε > 0 ,

où

( )

[ ]

( )

[ ]

[

^{t K}

]

^{x 1 .}

x 2 exp 3 K 2 K

x

5 1

2 X 2 2

2

X 2

1 3 2

2 X 1

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

=

σ π σ

Θ σ

1.2. Evaluation de l'erreur quadratique moyenne intégrée de f_X,n

(

x;h_n

)

D'après Wand et Jones (1995), l'erreur quadratique moyenne intégrée de f_X,n

(

x;h_n

)

est donnée par :

( ) ( )

[ ]

[ ]

^{t K}

{

^f

^{( )}

^x

[ ]

^{t K}

}

^{dx o}

( )

^{h .}

n 1

dx x f h

; x f E

R

2 n 2

2 ' ' X 2

R

2 X n n , X

∫

∫

+ +

=

−

Cette quantité atteint son minimum en

[ ]

t K

[ ] [

f ( )x

]

dx ^. n K

h

5 1

R ' 2 ' X 2 2

2 5

1 2 , n

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

= ∫

−

Posons

[ ]

[ ]

^{t K (2.3)}

3 K ˆ 8

n hˆ

5 1

2 2

2 X

5 1 2 ,

n ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

= ⁻ σ ⎛ π

et

Nous remarquons que ^hˆn,2

( )

^x vérifie la condition du Corollaire 2.2 de Deheuvels et Mason (2004) c'est-à-dire:

1 n h hˆ n h

P ⁵

1 2 , n 2 , n 5 1 2 ,

n ⎟⎟→

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −ε ⁻ ≤ ≤ +ε ⁻ ,

quandn→∞, ∀ε >0. De plus, nous avons :

( ) ( )

x ^{1 0} sup x

P

2 2 , n I x

⎟→

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ − >

∈

Θ ε

Θ ,

( )[ ]

( )[ ]

( )

[ ]

[ ] x 1 ^.

K t

x 2 exp 1 K 2 n

K t ' x f'

K x n f

h

5 1

2

2 X 2 2 2

2

X 2

X 5 1

5 1

2 2 X

2 5 X

1 1 , n

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

= ⎛

−

−

σ π σ σ

( )

[ ]

) 4 . 2 ( ˆ .

x 2 exp 1 2 ˆ

x K

2 1 2

X X 2 2

, n

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

= πσ σ

Θ

( ) ( ) ( ) ( )

P 1

n x h sup x hˆ sup x hˆ inf n x h inf

P ⁵

1 1

, n I x 1

; n I x 1 , n I x 5 1 1

, n I x

⎯→

⎟⎯

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ − ≤ ≤ ≤ + ⁻

∈

∈

∈

−

∈ ε ε

( )

[ ]

( )

[ ]

[ ]

^{1 . (2.2)}

ˆ x K t

ˆ x 2 exp 3 K 2 K

x ˆ

5 1

2 X 2 2

2

X 2

1 2 3

2 X 1

, n

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

=

σ π σ

Θ σ

quand n→∞, ∀ε >0, avec

( )

^{x f}X

( )

^x1

[ ]

^{K2 .}

2 =

Θ

1.3. Evaluation de l'erreur quadratique moyenne de

(

n

)

n

x h

r ;

D’une manière analogue, d'après Wand et Jones (1995), l'erreur quadratique moyenne de

r

n

( x ; h

n

)

est donnée par :

( ) ( )

[ ] (

n

(

n

) ) [

n

(

n

) ( ) ]

²

2 n

n x;h r x Var r x;h Er x;h r x

r

E − = + −

Cette quantité atteint son minimum en

Comme σ_X² et ρ sont inconnus, nous les remplaçons par leurs estimateurs empiriques σ^ˆ_X² et

ˆ , ˆ

n Y Y 1 n X

X 1 n 1 ˆ

Y X n

1 i

n 1 j

j i

n 1 j

j i

σ

ρ

∑ ∑

σ

∑

= = = ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

= où

. n Y

Y 1 n

ˆ 1 ⁿ

1 i

n 2

1 j

j i

2

Y

∑ ∑

= = ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − σ =

Nous obtenons alors

( ) [ ] ( )

[ ]

^{t K ˆ x (2.5)}

4

ˆ x 2 exp1 ˆ 1 ˆ K 2 n x hˆ

5 1

2 2 2 2

2

X 7

X 2 2 5

1 3

, n

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

= ⁻

ρ σ σ ρ π

Posons

De manière analogue, nous montrons que ^hˆn,3

( )

^x, Θn,3

( )

^x

vérifient les conditions

( )

B1 ,

( )

B2 ,

( )

Θ1 de Deheuvels et Mason (2004) avec :

( ) ( )

[ ] [ ]

^{K t K .}

4

exp x x 1

x

5 1

2 2 2 2 3 X 5 Y

2

X 2 1

3

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

−⎛

−

=

−

σ πσ

ρ σ ρ Θ

Remarque 1

Notons que, pour h n ⁵,

1 n

= − les conditions H1, H2, H3 de Deheuvels et Mason (2004) sont vérifiées, c'est-à-dire : (H1) h_n →0, quand n→∞;

(H2) ,

n log

nh_n

∞

→ quand n→∞;

(H3) il existe 2

p≥ 5 tel que n ^−ph_nlogn→∞

1 2

quand

∞ n→ . Théorème 1

Soient ^hˆn,1

( )

^x, Θn,1

( )

^x donnés par les formules (2.1) et (2.2), alors nous avons :

( )^x

[

^f

(

^x;hˆ ( )^x

)

^f ( )^x

]

^{P 1}

sup

n ˆ log I 2

n ˆ

X 1 , n n

; X 1 , n I x 2 1

X 5 K 1 ,

X 5 4

⎯→

⎯

−

±

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ ^∈

−

Θ

σ σ

θ

quand n→∞.

Remarquons que, pour tout 0<ε <1, d’après le Théorème 1, nous avons :

et

( ) [ ( ( ) ) ^{( ) ( )} ]

( ^{; ˆ 1 ,} )

lim P f

_X

x f

_X,n

x h

_n,1

x

_n,1

x

n

∈ − − ∆

∞

→

ε

où

[ ] ( )

[ ]

^{t K x .}

4

x 2 exp 1 1

K 2 n

5 1

2 2 2 2

2

X 7

X 2 2

5 1

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

= ⁻

ρ σ σ ρ π

( )( )

[ ]

( ) ( ) ( ) ( )

[ ]

5 1

2 2 X X 2 X 2

5 1 3 , n

K x t f

' x x f r' 2 '' x r

x K f

x n

h

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

= ⁻

ν

( ( ) ) ^{( ) ( )}

[ ]

( ^f

^X,n

^{x ; h ˆ}

^n,1

^{x + 1 − ε ∆}

^n,1

^x ) ^{= 0 , (2.8)}

( )

( )

[ ] [ ]

^{. (2.6)}

ˆ ˆ 4

exp ˆ ˆ 1 ˆ

5 1

2 2 2 2

3 5

2 2 1

3 ,

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

−

= Θ

−

K t K x x x

X Y

X n

σ σ π

ρ σ ρ

( ) [ ( ( ) ) ^{( ) ( )} ]

( ^{; ˆ 1 ,} )

lim ,

1 , 1

,

,

x h x x

f x f P

I x

n n

n X

n X

∈ − + ∆

∈

∀

∞

→

ε

( ( ) ) ^{( ) ( )}

[ ]

( ^f

^X,n

^{x ; h ˆ}

^n,1

^{x + 1 + ε ∆}

^n,1

^x ) ^{= 1 (2.7)}

( ) ( )x ^. 1 n ˆ

n ˆ I log

2 x

1 , n 2 1

X 5 4

X 5 K 1 ,

1 ,

n Θ

σ

∆ σ

θ

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

−

Les relations (2.7) et (2.8) sont vérifiées pour tout ,

>0

ε nous pouvons alors dire que les intervalles :

( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( )

[

^fX,n ^x;hˆn,1 ^x −∆n,1 ^{x, f}X,n ^x;hˆn,1 ^x +∆n,1 ^x

]

constituent des bandes de confiance optimales simultanées asymptotiques, pour ^fX

( )

^x,∀^x∈^I.

Théorème 2

Soient ^hˆn,2

( )

^x, Θn,2

( )

^x donnés par les formules (2.3) et (2.4), alors nous avons :

( ) ( )

( )

^x

[

^f

(

^x;hˆ

( )

^x

)

^f

( )

^x

]

^{P 1}

sup x

hˆ log I 2

x hˆ n

X 2 , n n , X 2 , n I x 2 1

2 , n K ,

2 ,

n ± − ⎯⎯→

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ^∈ Θ

θ

quand n→∞. Remarque 2

Ce résultat ne changera pas même si la loi jointe de X et Y n’est pas centrée, car h_n optimal minimisant l’erreur quadratique moyenne intégrée de f_X,n

(

x;h_n

)

est toujours égal à h_n,2 .

Théorème 3

Soient ^hˆn,3

( )

^x, Θn,3

( )

^x donnés par les formules (2.5) et (2.6), alors nous avons

( )

^x

[

^r

(

^x;hˆ

( )

^x

)

^r

( )

^x

]

^{P 1}

sup

n ˆ log I 2

n ˆ

3 , n n 3 , n I x 2 1

X 5 K 1 ,

X 5 4

⎯→

⎯

−

±

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ ^∈

−

Θ

σ σ

θ

quand n→∞.

Notons que, pour tout 0<ε<1 quand n→∞, d’après le Théorème 3, nous avons :

et

( ( ) ) ( ) ( )

[ ]

( r

_n

x ^; h ^ˆ

_n,3

x + ¹ − ε ∆

_n,2

x ) = ^{0 , (2.10)}

où

( ) ( )x ^.

1 n ˆ

n ˆ log I 2 x

3 , n 2 1

X 5 4

X 5 K 1 ,

2 ,

n Θ

σ

∆ σ

θ

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

−

Les relations (2.9) et (2.10) sont vérifiées pour tout ,

>0

ε nous pouvons alors dire que les intervalles :

( ( ) ) ^{( )} ( ^{( )} ) ^{( )}

[

^rn ^x;hˆn,3 ^x −∆n,2 ^{x, r}n ^x;hˆn,3 ^x +∆n,2 ^x

]

constituent des bandes de confiance optimales simultanées asymptotiques, pour ^r

( )

^{x ,∀x∈I.}

2. DEMONSTRATIONS

2.1. Démonstration du Théorème 1

D’après le Théorème 1.2 de Deheuvels et Mason (2004), nous avons :

( )

^x

[

^Ef

(

^x;hˆ

( )

^x

)

^f

(

^x;hˆ

^{( )}

^x

) ]

^{P 1}

sup h log I 2

nh

1 , n n , X 1 , n n , X 1 , n I x 2 1

n K ,

n ± − ⎯⎯→

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ∈ Θ

θ

quand n→∞, où ⁵

1

n n

h = ⁻ .

Par ailleurs, pour ce choix deh_n, nous avons :

( ) ( ) ( )

P 0

x f h

; x Ef x sup h

log I 2

nh

X n n , X 1 , n I x 2 1

n K ,

n − ⎯⎯→

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ^∈ Θ

θ

(voir, Nadaraya (1989)).

De plus, nous avons σ^ˆX ⎯⎯→^P σX∈

]

^0, ∞

[

^.

Donc ^hˆn,1

( )

^x défini par :

( ) [ ]

[ ]

5 1

2 2 X 2 2 2

2

X 2

X n 1 , n

ˆ 1 K x t

ˆ x 2 exp1 K 2 h ˆ

x hˆ

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

=

σ π σ σ

( ) [ ( ( ) ) ^{( ) ( )} ]

( ^{; ˆ 1 ,} )

lim ,

2 , 3

,

x x

h x r x r P

I x

n n

n

∈

n

− + ∆

∈

∀

∞

→

ε

( ) [ ( ( ) ) ^{( ) ( )} ]

( ^{; ˆ 1 ,} )

lim P r x r

_n

x h

_n,3

x

_n,2

x

n

∈ − − ∆

∞

→

ε

( ( ) ) ^{( ) ( )}

[ ]

( r

_n

x ^; h ^ˆ

_n,3

x + ¹ + ε ∆

_n,2

x ) = ^{1 (2.9)}