Travail et puissance d’une force
Introduction
-- La notion de travail dans la vie courante est lié à l’effort fournie pour se déplacer ou déformer un corp, mais en physique ont dit qu’une force travail si son point d’application se déplace, mais parfois même si le point d’application se déplace le travail est nul si la direction de la force est perpendiculaire a la trajectoire ou si le point de départ est confondue avec le point d’arrivé
(trajectoire cyclique).
-- Pour comparer les travaux fournies par plusieurs forces ont doit faire intervenir le temps nécessaire pour accomplir ce travail.
c’est pourquoi on introduit la notion de puissance.
1) Le travail d’une force 1.1) Définition
On dit qu’une force F travail, si son point d’application se déplace d’un point à un autre dans un repère donné.
1.2) Expression du travail
Une force F est constante sur un trajet rectiligne, alors l’expression du travail est :
A B
W(F) F.AB (J)
F : vecteur force en (N), AB : vecteur déplacement en (m)
AW (F)B F . AB .cos( ); (F , AB)
Remarque.
-- Si 0 ; cos( ) 0 2
, alors
A B
W(F) 0
, on dit que le travail est moteur.
-- Si 2
; cos( ) 0, alors
A B
W(F) 0
, on dit que le travail est résistant.
-- Si
A B
; cos( ) 0; est W(F) 0
2
, le travail est nul.
1.3 Exercice d’application)
Soit un corps (S) de masse m=200g se déplaçant sur un plan incliné d’n angle
- 2 -
30 par rapport à l’horizontal, avec ne vitesse V= 0.2 m/s.
On donne g=10 n/kg.
1) Calculer l’intensité du poids P du corps (S).
2) Calculer l’intensité de la force exercée par le plan incliné sr le corps (S), est-ce que le contact entre le corps (S) et le plan incliné se fait avec frottement.
3) Le corps se déplace sur le plan incliné d’une distance de 2 m, calculer les travaux des forces P et R .Conclure.
Réponse
1) le poids du corps (S), P 0.2 10 2 N.
2) Puisque le corps se déplace avec une vitesse constante en mouvement rectiligne uniforme.
Alors selon le principe d’inertie ; P R 0 ; donc P et R ont : -- même direction
-- deux sens opposés.
-- même intensité ; donc R=P=2 N.
-- Puisque R est incliné par rapport à la normale, alors le contact se fait avec frottement.-- la force de frottement : T x
T
R R m.g.sin( ) P.sin(30 )
R 1N
3)
1 2 1 2
1 2
1 2
N T 1 2
1 2
N 1 2 T 1 2
T 1 2
1 2
W(P) P .G G
W(P) m.g.cos( ) 2
2 2 cos(60 ) W(P) 2 J
W(R) (R R ) . G G
R .G G R .G G 0 R . G G 2J
W(R) 2 J ; travailrésis tan t
On constate que :
n
te i
i 1
W(F ) 0 V C
2) Le travail d’une force constante en translation curviligne 2.1) Travail élémentaire
Puisque la trajectoire n’est pas une droite, alors on va le diviser en petits morceaux qu’on peut considérer comme des segments de droites .
Puisqu la force F est constante, alors on ne peut mesurer que des travaux élémentaires pour chacun des morceaux de droites entre A et B.
-- Pour le premier morceau, le travail élémentaire : W1 F . AA1.
-- Pour le deuxième morceau, le travail élémentaire W2 F . A A1 2.
-- Pour le troisième morceau, le travail élémentaire W3 F . A A2 3
. . . .
-- Pour le nième morceau, le travail élémentaire Wn F . A Bn
2.2) Le travail total
Por calculer le travail total entre A et B, il suffit de faire la somme algébrique de tous les travaux élémentaire entre A et B.
n
i A B
i 1
1 1 2 2 3 n
A B
1 1 2 2 3 n
A B
A B
W(F) W
W(F) F.AA F.A A F.A A ....F.A B W(F) F.(AA A A A A ...A B) D'où W(F) F . AB (J)
Avec AB : le vecteur déplacement.
- 4 -
Remarque
Le travail de la force F ne dépend que de la position du point initial A et du point final B, il ne dépend pas du chemin suivi pour aller de A à B, on dit que la force F est conservative.
2.3) Application_1 :le travail du poids.
Jetons n corps (C)d’une façon quelconque dans l’espace entre un point A et un point B.
Trouvons l’expression du travail du poids P entre les points A et B.
Réponse
Puisque le poids P est une force constante et que la trajectoire est curviligne, alors son travail est :
A B
B A B A
B A
A B
A B
A B
W(P) P.AB
Avec P P.k ; AB (x x ).i (z z ).k et i.k 0 et k.k 1 , des vecteurs unitaires D'où W(P) P.(z z )
W(P) m.g.(z z )
Conclusion :
Le travail d poids ne dépend que de la position initiale et de la position finale, donc le poids P est une force conservative.
2.4) Application_2 : travail de la force de frottement Por aller d’un point A à un point B, n corps se déplace avec frottement sr deux chemins différents.
On donne : le rayon R= 1 m.
L’intensité de la force de frottement f= 5 N.
1) Le corps se déplace directement selon le diamètre AB.
Calculer le travail de la force de frottement sr le chemin (1).
2) Le corps se déplace sur la circonférence AB.
Calculer le travail de la force de frottement sur le chemin (2), conclure.
Réponse
1) Puisque la force de frottement est tangente à la trajectoire.
A B
A B
W(f ) f .AB f . AB
A.N W(f ) 5 2 10 J 0 ; travail résis tan t
2) Pour le travail sur le chemin (2) et puisque la trajectoire n’est pas une droite.
1 2 3 n
A B
1 1 2 2 3 n
A B
1 1 2 2 3 n
A B
1 1 2 2 3 n
W(f ) W W W .... W
W(f ) f .AA f .A A f .A A .... f .A B W(f ) f .(AA A A A A .... A B) Onremarqeqe :
AB AA A A A A .... A B
C’est la longueur de la trajectoire D’où
A B
.R 3.14 m
W(f ) 5 3.14 15.7 J
Conclusion : le travail de la force de frottement dépend du chemin suivi, donc la force de frottement n’est pas conservative.
3) La puissance d’uune force.
3.1) Définitions
a) Définition de la puissance : la puissance c’est la grandeur physique qui relie le travail et la drée nécessaire pour réaliser ce travail.
b) Définition du watt : le watt c’est la puissance d’une force réalisant un travail de 1 J pendant 1 s.
D’autres unités :
3 6 9
3
1kW 10 W , kilowatt 1MW 10 W , mégawatt 1GW 10 W , gigawatt 1chW 735 W , cheval 1mW 10 W , milliwatt
- 6 -
3.2) La puissance moyenne
La puissance moyenne d’une force F qui réalise un travail
A B
W(F)
pendant une durée t est le quotient : m A B
W(F)
P (W)
t
.
3.3) La puissance instantanée
La puissance instantanée d’une force F qui réalise un travail élémentaire pendant une petite durée t est le quotient : W
P (W)
t
.
Conséquence
On sait que
W F . , est un déplacement élémentaire P W F . , onpose V (m / s)
t t t
D'où P F.V
4) travail et puissance d’un moment d’une force appliquée à un corps en rotation autour d’un axe fixe.
4.1) Puissance.
Faisons la section d’un corps indéformable pouvant tourner autour d’un axe ( ) fixe sous l’action d’une force F.
Exploitons la relation précédente P F .V
On a, OH
M (F) F.OH et V R. , cos( )
OM
P F.OM.cos( ). F.OH. M (F).
D’pù P M (F). , la puissance du moment de la force F. 4.2) Le travail
Le travail d’une force faisant tourner un corps autour d’n axe ( ) .
On a W
P M (F).
t
le travail élémentaire : W M (F). . t On divise l’angle total en plusieurs angles élémentaire.
1 2 3 n
n i i 1
...
La vitesse angulaire t . t
D’où W M (F). . t M (F).
Le travail total entre A et b.
n n
i i
A B
i 1 i 1
W(F) W M (F).
Si le moment de la force est constant, alors.
n i A B
i 1
W(F) M (F).
D’où :
A B
W(F) M (F).
Remarque
On peut généraliser cette dernière résultat pour quelle puisse être appliquer à un couple de moment constant :
A B
W(couple) M. (N.m)
4) Exercice_1
un skieur de masse m=80 kg monte une pente rectiligne incliner d’un angle 20 à l’aide d’un câble ascenseur.
La force de frottement f appliqué sur le skieur à la même direction que le vecteur vitesse mais de sens opposé, et son intensité f= 30 N.
Le cable de l’ascenseur tire le skieur avec une vitesse constante sur une distance L=AB=1500 m.
1) faire l’inventaire des forces appliquées sur le skieur, et lés représenter sans échelle.
2) Calculer les travaux de ces forces sur ce déplacement.
est l’angle que fait le câble avec la pente. On prend : g= 9.8 N/kg.
Réponse
Le skieur subit 4 actions -- P : le poids du skieur.
-- R : La réaction du plan incliné -- f : la force de frottement.
-- F : La force exercée par le câble.
- 8 -
2) Le travail de la force R est : --
AW (R)B 0
, car R est perpendiculaire à la trajectoire ( le plan incliné).
-- Le travail de la force de frottement est :
AW (f )B f .AB || f || . || AB || .cos(f , AB)
avec cos(f , AB)cos( ) 1.
Alors,
A B
W (f ) f .AB
Application numérique
6 AW (f )B 30 1500 45MJ ; 1MJ 10 J
-- Le travail du poids est :
A B
W (P) P.AB P.AB.cos( ) m.g.AB.sin( )
2
Application numérique
A B
A B
W (P) 80 9.8 1500 sin(20 ) W (P) 402.2 MJ
-- Le travail de la force F est :
AW (F)B F.AB F.AB.cos( )
Cherchons l’intensité de la force F par une méthode analytique.
Puisque le skieur se déplace à vitesse constante, alors appliquons le principe d’inertie.
Puisque le corps est pseudo-isolé, alors la somme vectorielle de toutes les forces est égale au vecteur nul, P R F f 0
Projetons sur l’axe (Ox) :
x x x x
P R F f 0
-m.g.sin()+0+F.cos()-f=0 D’où: F.cos( ) f m.g.sin( ) Donc
AW (F)B AB.(f m.g.sin( ))
Application numérique
AW (F)B 1500 (30 80 9.8 sin(20 )) 447.21 MJ 0
,travail moteur
Remarque
On constate que la somme arithmétique de tous les travaux est presque nulle.
5) Exercice_2
Une automobile de masse 1300 kg tire une caravane de masse 550 kg.
Sur chaque véhicule l’ensemble des forces de résistance est équivalent à
une force uunique, parallèle au déplacement et s’opposant au mouvement.
A 75 km/h l’intensité de ces forces est de 600 N pour la voiture et 1200 N pour la caravane.
1) Cet équipage se déplace à vitesse constante sur une voie horizontale.
Calculer la puissance fournie par le moteur.
2) L’ensemble aborde une côte à 4% (l’élévation de 4 m pour un parcours de 1100 m) et garde la même vitesse.
Répondre auu même question que précédemment.
Donnée ; g=9.8 N/kg.
Solution
1) Puisque la vitesse est constante, alors le système {voiture+
caravane} est pseudo-isolé.
Puisque les travaux des poids et du plan incliné sont nuls, car ces forces sont perpendiculaires au plan horizontal.
Alors, le moteur doit crée une force motrice Fm qui doit
s’opposer aux forces de frottement.
m 1 2
F f f 600 1200 1800N
Puisque le système est en mouvement de translation rectiligne, alors : P F .Vm
Application numérique
3
4
75 .10
V 75km / h 20.83m / s
3600
P 1800 20.83 3.75 .10 W 37.5kW
2) Puisque le corps se déplace à une vitesse constante, alors il est toujours pseudo-isolé.
Les travaux de la réaction R et de la composante
P du poids sont nuls, car ces forces sont perpendiculaires à la trajectoire. y
- 10 -
La force motrice F'm doit s’opposer à f , f et à la composante 1 2 Px du poids du système.
'
m 1 2 x 1 2 T
' m
' 3
m
F f f P f f m .g.sin( ) F 600 1200 1850 9.8 0.4
F 9.052 .10 N
La puissance à fournir par le moteur est :
' 3 5
P' F .Vm 9.052 .10 20.83 1.885 .10 W P' 188.55kW
Remarque
Sur une pente le moteur doit fournir plus de puissance que sur une route horizontale.
6) Exercice_3
Un système quelconque exerce sur un équipage en translation rectiligne
parallèlement à la direction du déplacement, une force dont l’intensité en fonction de la distance parcourue est représentée sur la figure à côté.
calculer le travail fourni.
Solution
Puisque la trajectoire est rectiligne et l’intensité de la force est variable, alors calculons les travaux élémentaires.
A C A B B C
1 2
A C
6 A C
A C
W (F) W (F) W (F) W (F) F .AB F .BC
W (F) 1000 900 400 300 1.02 .10 J W (F) 1.02 MJ
7) Exercice_4
Un treuil est actionné par un ouvrier qui exerce un effort constant de 200 N et dont la droite d’action
est toujours tangente au déplacement (voir figure à côté).
Calculer le travail accompli par le manœuvre au bot de 25 tours sachant que le rayon de la manivelle est OA=0.35 m.
Solution
1) Repère terrestre (O, i, j) Système étudié { la charge M}.
Inventaire des forces extérieures : P' : poids de la charge.
T' : la tension du fil.
Puisque la charge se déplace à vitesse constante : P' T' 0 T' P' m.g
2) Le système étudié {tambour+manivelle}.
Bilan des forces extérieures : P : Poids d système.
T : La tension du fil
R : La réaction de l’axe (Δ).
F : La force exercée par l’ouvrier sur la manivelle.
Le travail de la force F est :
i f
i f
W (F) M (F). F.OA.2 .n Avec 2 .n ; n : nombre de t ours
W (F) 200 0.35 6.28 25 10.99 MJ
Exercice_5
Pour déplacer un corps (C) ponctuel d’une masse m = 200 g d’uun point A à un point C en passant par un point B.
On applique une force : F 2i5j.
1) calculer le travail de la force F en allant directement de A en C.
2) Calculer le travail de la force F en allant de A en C en passant par B, conclure ?
Solution
1) Puisque la force F est constante, car ne dépend pas du temps, alors :
- 12 -
x y C A C A
A C
A C
A C
W (F) F.AC (F i F j).((x x )i (y y )j) W (F) (2i 5j).(4i j) 8 5
W (F) 13 J
Car : i.i j.j1 et i.j0
Car se sont des vecteurs unitaires orthogonaux.
2) Puisque la trajectoire entre A et C n’est pas une droite, alors calculons les travaux élémentaires.
A C A B B C
x y B A B A
A B
A B
x y C B C B
B C
B C
W (F) W (F) W (F)
W (F) F.AB (F i F j).((x x )i (y y )j) W (F) (2i 5j).(2i 3j) 4 15 19 J
W (F) F.BC (F i F j).((x x )i (y y )j) W (F) (2
A C
i 5j).(2i j) 4 10 6 J W (F) 19 6 13 J
Conclusion : La force F est une force conservative.
![c) Le cercle de diamètre [AB] 2°) Soit f la fonction définie par : f(x](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)