Cours OP5 : Concepts fondamentaux de Mécanique de la Rupture

(1)

Ma M as st t er e r M M

ATATEERRIIAAUUXX

, , M M

ECECAANNIIQQUUEE

, , S S

TRTRUUCCTTUURREESS

, , P P

ROROCCEEDDEESS

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CCIIEENNCCEESS

P P

OUOURR LL

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NGNGEENNIIEEUURR

Cours OP5 : Concepts fondamentaux de Mécanique de la Rupture

Annexe A : Equations fondamentales de Mécanique de la Rupture

(2)

Annexe A EQUATIONS FONDAMENTALES DE LA MECANIQUE LINEAIRE DE LA RUPTURE

La mécanique linéaire de la rupture (MLR), utilisable dans le cas de rupture fragile, est basée sur la théorie de l’élasticité linéaire. Son développement est dû à Irwin qui, s'appuyant sur les fonctions de contraintes introduites par Westergaard en 1939, donna en 1957 la répartition des contraintes, en régime élastique, au voisinage immédiat de la pointe d'une fissure. Parallèlement, Muskhelishvili publia en 1953 son ouvrage intitulé

"Some basic problems of the mathematical theory of Elasticity", dans lequel il donne le champ des contraintes élastique au voisinage d'une entaille ou d'une fissure.

Les équations fondamentales de la MLR sont introduites dans la présente annexe.

A.1 RAPPELS D’ELASTICITE PLANE

A.1.1 Loi de Hooke

Les équations de comportement (ou loi de Hooke) peuvent être exprimées soit en utilisant le couple des constantes élastiques (E, ν) (E = module d'Young, ν = coefficient de Poisson) soit

(

^{µ λ}^,

)

( µ = module de cisaillement et

λ

= coefficient de Lamé). Ces constantes sont reliées entre elles par les formules :

µ λ

==== ++++

==== ++++ −−−−

R S ||

T ||

E v

Ev

v v

2 1

1 1 2

b g

b gb g

et

v E

==== ++++

++++

R S ||

T ||

^⇒^⇒^⇒^⇒ ⁼⁼⁼⁼ ⁺⁺⁺⁺

λ λ µ

µ λ µ

λ µ

λ

µ λ µ

2

3 2 2 3 2

b g

Les deux expressions de la loi de Hooke utilisant ces deux couples de constantes sont : ε ==== ++++1 υ σ υ−−−− σ

E E(trace ) ou I

σ

====2

µε λ

++++ (trace

ε

)I A.1 a) Etat de contraintes planes (σxz ====σyz ====σz ====0 )

εx υ σ υ σ σx x y

E E

==== ++++1 −−−−

d

++++

i _ε

µ σ λ

λ µ σ σ

x ==== x −−−− x y

++++ ++++

L NM O

1

QP

2 3 2

d i

( )

1

y y x y

E E

υ υ

ε

= ⁺

σ

−

σ σ

+

ε

µ σ λ

λ µ σ σ

y ==== y −−−− x y

++++ ++++

L NM O

1

QP

2 3 2

d i

ε

xy

υ σ

xy

==== ++++1E

ε

xy ==== 1

µ σ

xy

2

(3)

b) Etat de déformations planes (

ε

xz ====

ε

yz ====

ε

z ====0

)

εx υ σ υ σ σx x y

==== ++++1E −−−−

d

++++

i _ε

µ σ λ

λ µ σ σ

x ==== x −−−− x y

++++ ++++

L NM O

1

QP

2 2( )

d i

ε

y

υ σ υ σ σ

y x y

==== ++++1E −−−−

d

++++

i _ε

µ σ λ

λ µ σ σ

y ==== y −−−− x y

++++ ++++

L NM O

1

QP

2 2( )

d i

ε

xy

υ σ

xy

==== ++++1E

ε

xy ==== 1

µ σ

xy

2 A.3

Remarques

1-

On passe des relations A.2 à A.3, en remplaçant λ^par λ λ µ

λ µ

*====

++++

2

2 et µ inchangé, en effet : λ

λ µ

λ

λ µ

*

2 *++++ ==== 3 2

c h

++++

On peut donc écrire la loi de Hooke pour les 2 états sous la forme :

ε µ σ λ

λ µ σ σ

ε µ σ λ

λ µ σ σ

ε µσ

x x x y

y y x y

xy xy

==== −−−−

++++ ++++

L

N MM O

Q PP

==== −−−−

++++ ++++

L

N MM O

Q PP

====

R S

|| |||

T

|| ||

|

1

2 2

1

2 2

1 2

*

c h d i

^A.4

avec

λ λ

λ λ µ

λ µ

*

* int

====

==== ++++

en déformations planes en contra es planes 2

2

2-

Le passage de A.2 à A.3 peut aussi se faire, avec les variables E et v, en remplaçant

v par v^*

*

==== *

++++ ====

++++

λ

λ µ

λ

λ µ

2

c h

3 2 soit v v v

* ====

++++

1

(4)

E’ par

*

3 2 2

4 3 2

E

µ λ µ µ λ µ

λ µ λ µ

+ +

= =

+ +

soit

E E v

v

*==== ++++

++++

1 2

1 ²

b g

êt¹⁺⁺⁺⁺Ê^v ^{==== ++++}¹Ê^v

*

3- Dans toute la suite, on ne traitera que l'état de déformations planes, sachant que pour l'état de contraintes planes il suffira de remplacer λ ^par λ^* [ou (v, E) par

v E^*, ^*

c h

^.

A.1.2 Méthodes de résolution utilisant la fonction d’Airy

En notant X,Y les composantes de la densité des forces de volume ^→^→^→^→f pour un état plan, les équations d’équilibre s'écrivent en coordonnées cartésiennes :

σ σ

x x xy y

xy x y y

X Y

, ,

++++ ++++ ====

RS T|

0

0 soit

σ σ

x xy y

xy s y

V x

V y

−−−− ++++ ====

++++ −−−− ====

b g

d i

,

0

0 A.5

avec

f grad V

→→

→→ →→→→

==== −−−− ^où ^V ====^{V x y}

b g

, Remarque

En élasticité plane, les composantes σxz et

σ

yz sont nécessairement nulles. La troisième équation d'équilibre donne donc :

σ

z z_, ++++ ====Z 0

soit :

b σ

z −−−−V

g

,z ====0 , comme

σ

z z, =0 puisque

σ σ

=

( )

x y, , on a alors :

( )

^x ^y

V V

V_,_z =0 ⇒ = , et Z =−V_,z =0

Les équations A.5 seront toujours vérifiées si on pose :

σ

σ σ

x yy

y xx

xy xy

V A

A

−−−− ====

==== −−−−

R S|

T|

, , ,

A.6

(5)

A est une fonction de contraintes appelée fonction d'Airy.

Les équations de compatibilité pour un état plan s'écrivent :

ε

x yy, ++++

ε

y xx, ====2

ε

xy xy,

soit en utilisant les contraintes :

1 1 2

1 2

1 2 2

−−−− −−−− ++++ −−−− −−−− ====

−−−− ++++ −−−− −−−− ==== ==== ++++

−−−− ++++ −−−− ++++ −−−− ++++ ==== −−−−

v v yy v v xx

v avec

v V A V V

x y y x xy xy

x y x xx y yy xy xy xx yy

yy xx xx yy xxyy

b g b g

b g d i

b g b g d i c h

σ σ σ σ σ

,

. ., .,

,

, , ,

, , , , ,

∆ ∆

∆ ∆ Α Α Α

d’où

∆ ∆ Α ∆

b g b g

++++ −−−−

−−−− ====

++++ ++++ ====

R S ||

T ||

1 2

1 0

2

2 0

v v V

V ou

µ

λ µ

A.7

En contraintes planes, les équations A.7 deviennent, en remplaçant v par ν ν ν

* ====

++++

1 et

λ

^par^λ^*⁼²^{λ µ λ}

(

⁺²^µ

)

^:

∆ ∆ Α ∆

b g b g b g b g

++++ −−−− ====

++++ ++++

++++ ====

R S|

T|

1 0

2

2 0

v V

λ µ V λ µ

A.8

Remarque

Les forces de volume, quand elles ne sont pas négligées, correspondent en général aux forces de la pesanteur. Dans ces conditions, si on désigne par y la verticale ascendante, on a :

f g g y

→

→ →→→→ →→→→

====

ρ

==== −−−−

ρ

d'où

V x y( , )=V y( )= ρ gy V+ 0 et ∆V =0.

Autrement dit, les relations A.7 et A.8 se réduisent à une seule et unique équation :

( )

∆ ∆ Α = 0 A.9

Dans toute la suite, on ne considérera plus que l'équation A.9 et sauf indications contraires, on négligera les forces de volume. Les équations A.6 deviennent alors :

σx =Α_,xx σy =Α_,xx et σxy = −Α_,xy A.10

(6)

La recherche de la solution pour un problème d'élasticité plane revient donc à trouver une fonction biharmonique A qui vérifie les conditions aux limites.

A.2 EXPRESSIONS DE LA FONCTION D’AIRY A PARTIR DES VARIABLES COMPLEXES

A.2.1 Fonctions holomorphes ou fonctions analytiques

A tout point M(x,y) du plan, on associe le complexe z = x+iy dont le conjugué est z= −x iy^.

De ces deux dernières relations, on tire :

x z z

= +

2 et y z z

= −i 2

Toute fonction g(x,y) peut-être considérée comme fonction de z et z , que l'on notera par abus de notation ^{g ,}

( )

^z ^z ^.

) , ( )

,

(x y ∈Plan→^g g x y ) , ( )

, ( ) ,

(x y → z z →^g g z z

Pour ce changement de variable on a :

( )







+

=

−

=

y x z

ig g g

, , ,

2 12 1

A.11a





−

= +

=

)

( _, _,

,

, , ,

z z y

z z x

g g i g

g g

g A.11b

Soient P(x,y) et Q(x,y), deux fonctions définies sur un domaine S du plan. La fonction g définie par g = P + iQ est holomorphe dans S si :

,_z =0

g

Autrement dit g est fonction de la seule variable complexe z ⇒g =g(z)

(7)

0

0 _, _,

,_z = ⇒g_x +ig_y =

g

Soit en reportant dans la première formule de A.11a :

g g g g g z g

x

g ig ig ig g z i g

y

z x x x

z y y y

' , , ,

' ( ) ' ( )

==== ++++ ==== ⇒⇒⇒⇒ ==== ∂∂∂∂

∂∂∂∂

==== −−−− −−−− ==== −−−− ⇒⇒⇒⇒ ==== −−−− ∂∂∂∂

∂∂∂∂

1 2 1 2

c h

d i

^A.12

Les relations A.12 impliquent donc, compte tenu de l'expression de g :

∂

P

x i Q

y i P

y Q

y

P x

Q y P

y

Q x

+ = − + ⇒

=

= −









A.13

Les relations A.13 correspondent aux conditions de Cauchy-Riemann. Ces relations impliquent ∆P=∆Q=0 ⇒ Les parties, réelle et imaginaire d'une fonction holomorphe, sont harmoniques.

Inversement, si P(x,y) et Q(x,y) vérifient les conditions de Cauchy-Riemann, alors la fonction f(y) = P + iQ est holomorphe.

(Par la suite, on utilisera indistinctement le terme holomorphe ou analytique).

A.2.2 Expressions de la fonction d’Airy

Si on pose ∆ =A P, l’équation A.9 conduit à ∆ =P 0.

P= ∆ Α est donc harmonique ; on peut donc considérer P comme partie réelle d'une fonction analytique f telle que :

( )

f z = +P iQ avec

∂

P x

Q y P y

Q x

=

= −









Remarque : Connaissant P= ∆ Α , on peut facilement calculer Q à partir de l'équation

dQ Q

x dx Q

y dy

= ∂ +

∂

∂ soit par intégration

(8)

Q dQ P

y dx P

x dy cte

= = − +

 

+

∫ ∫ ^∂

∂

La fonction f(z) étant analytique, son intégrale

z

f z dz( ) l'est aussi.

Posons

( )

¹

( )

⁴ ⁴

4

p q

z f z dz p iq P

x y

∂ ∂

ϕ ⁼

∫

^{= +} ^⇒ ⁼ ∂ ⁼ ∂

Il est aisé ensuite de montrer que ^{∆ Α −}

(

^px⁻^qy

)

⁼0 autrement dit que Α − px−qy est harmonique.

On associe à (Α − px−qy) une fonction analytique χ(z) définie par :

χ ( )

z = p1+iq1

où p₁ = −Α px−qy soit Α = px+qy+p₁ ou encore

( ) ( )

[

^z ^z ^z

]

Re ϕ +χ

=

Α A.14

L'équation A.14 exprimant la fonction d’Airy peut également s'écrire :

( ) ( ) ( ) ( )

[

^z^ϕ ^z ⁺^χ ^z ⁺^z^ϕ ^z ⁺^χ ^z

]

=

Α 2

1 A.15

Remarque

La fonction d'Airy dépend de z ; ce n'est donc pas une fonction holomorphe.

ϕ

( )

^{z et}χ

( )

^z sont les conjugués de ϕ

( )

^{z et}χ(z) ; on les notera ^ϕ

( )

^{z et}^χ

( )

^z . A ne pas confondre avec

ϕ ( )

^z ^ou^ϕ

( )

^{z et}^χ

( )

^z ^ou^χ

( )

^z ^.

⇒

⇒ Si on applique les règles de dérivation A.11 à ^Α

( )

^{z z}^, donnée par A.15, on obtient :

( )

^z ^z

( ) ( )

^z ^z

y z

x i 2

ϕ ϕ

'

χ

'

∂

Α+ Α = Α ₌ ₊ ₊

…..

Soit encore en notant ^{f x y}

( )

, =2∂ z

∂ Α :

( )

^x ^y _x ⁱ _y

( )

^z ^z

( ) ( )

^z ^z

f ∂∂ ϕ ϕ ψ

∂

∂Α+ Α₌ ₊ ₊

= '

, A.16

où

( ) ( )

z d z d

z χ χ

ψ = ' = A.17

(9)

Le Laplacien de A peut être calculé à partir de A.15 avec les règles de dérivation A.11 :

∆ Α Α Α Α Α Α

= 

 

+ 

 

= +

 

 −

 

=

∂

∂ ∂

x x y y x i

y x i

y 4 z z

2

soit

( ) ( )

[

^z ^'^z

]

⁴^Re

^{[ ]}

^'

^{( )}

^z

2ϕ +ϕ = ϕ

= Α

∆ A.18

L'équation A.18 déduite de A.15, montre que ∆A correspond à la partie réelle d'une fonction analytique, elle est donc harmonique i.e. ∆(∆Α)= 0.

Inversement toute fonction biharmonique est de la forme A.15 où ϕ

( )

^{z et}χ^(z⁾^sont des fonctions holomorphes.

Les fonctions ϕ

( )

^{z ,}χ^(z⁾^et

ψ ( )

^z sont appelées fonctions de Kolosov et Muskhelishvili.

A.3 REPRESENTATION COMPLEXE DES DEPLACEMENTS ET DES CONTRAINTES

A.3.1 Expressions des déplacements

Considérons les relations A.2, qui s'écrivent :

( ) (

^x ^y

) ₍ ₎ (

^x ^y

)

^y

x

x σ σ σ

µ

λ µ

σ λ µ σ

λλ σ

ε

µ + −

+

= + + +

−

= 2

2 2 2

et

( ) (

^x ^y

) ₍ ₎ (

^x ^y

)

^x

y

y σ σ σ

µ λ µ σ λ

µ σ λλ σ

ε

µ + −

+

= + + +

−

= 2

2 2 2

En utilisant la fonction d'Airy (équation A.10), les relations précédentes deviennent :

( )











Α

− Α + ∆

= +

Α

− Α + ∆

= +

yy y

xx x

, ,

2 2 2

µ λ µ ε λ

µ

µ λ µ ε λ

µ

A.19

Comme

y q x

P p

∂

4

4 =

=

∆Α , l'intégration de A.19 conduit à :

( ) ( )











+ Α + −

= +

+ Α + −

= +

x q

U

y p

U

y y

x x

µ β λ µ µ λ

µ α λ µ µ λ

, ,

2 2 2

A.20

( )

α

^{y et}

β ( )

x sont des constantes d'intégration.

(10)

Remarque : Le calcul de ε_xy à partir des relations A.20 donne :

(

^x^y ^y^x

)

^xy

^{( )} ^{( )}

^xy

xy y x

x q y U p

U _, _, 2 2 _, ' ' 2 _,

2 2

4 − Α + + =− Α



 



 +



 



 +

= + +

=

α β

∂

∂ µ λ µ µ λ

ε µ

or

( ) ^{( )}

∂

∂ α β

p y

q

x y x

+ =0 ⇒ ' + ' =0

soit

( )

y =− '

( )

x =cte=C^⇒

'

β

α ^α ( )

^y ⁼^cy⁺^d1 et β ( )x = − +cx d2

Les constantes d'intégration

α ( )

^y ^et

β ( )

^x qui n'interviennent pas dans le calcul des déformations, correspondent à un déplacement rigide d'ensemble. Par la suite, sauf indications contraires, on n'en tiendra pas compte.

⇒⇒

⇒⇒ A partir des relations A.20, on peut écrire :

( ) ⁽ )( ) ( ) ⁽ ) ( )

z z i

iq p iU

U_x _y _x _y

∂ ϕ ∂

µ

λ µ

µ λ − ^Α

+

= + Α + Α

− + +

= +

+ 2 2

2 2 2

2 _, _,

soit en utilisant A.16 :

(

^U^x ^iU^y

)

^λ_λ _µ^µ^ϕ

( ) ( )

^z ^ϕ ^z ^z^ϕ

( ) ( )

^z ^ψ ^z

µ − − −

+

= +

+ 2 '

2

d'où finalement :

(

^U^x ^iU^y

)

^κ^ϕ

( )

^z ^z^ϕ

( ) ( )

^z ^ψ ^z

µ + = − ' −

2 A.21

avec 3 =3−4v

+

= + µ

λ µ

κ λ ^A.22

Remarque : Pour un état de contraintes planes, prédominant dans les plaques minces chargées dans leur plan, on obtient les mêmes relations que A.21 en changeant

λ

^en

λ λ µ

λ µ

*= + 2

2 et v en v v v

*=1+ , ce qui donne :

v v +

= − +

= +

1 3 2 3

6 5

µ

λ µ

κ λ ^A.23

A.3.2 Expressions des contraintes

A partir de A.10 et de l'expression de la fonction d'Airy A donnée par A.15, on établit

(11)

(

x y

)

y

( )

z y

(

zz zz

)

xy yy xy

x i i i i i _, _,

, , ,

, ,

, − Α =− Α + Α =− 2Α =2Α −Α

Α

=

+

σ

d'où

( )

^z

( )

^z ^z

( ) ( )

^z ^z

i _xy

x

σ ϕ

'

ϕ

'

ϕ

''

ψ

'

σ

+ = + − − A.24

(

x y

)

x

( )

z x

(

^z^z ^z^z

)

xy xx xy

y−i

σ

=Α_, +iΑ_, = Α_, +iΑ_, _, =2Α_, _, =2Α_, +Α_,

σ

d'où

( )

^z

( )

^z ^z

( ) ( )

^z ^z

i _xy

y

σ ϕ

'

ϕ

'

ϕ

''

ψ

'

σ

− = + − + A.25

Des relations A.24 et A.25, on déduit aisément les relations suivantes :

( ) ( )

(

^z ^z

)

^Re

⁽ ^{( )}

^z

⁾

x

y

σ

2

ϕ

'

ϕ

' 4

ϕ

'

σ

+ = + = A.26

( ) ( )

(

^z ^z ^z

)

i _xy

x

y

σ

2

σ

2

ϕ

''

ψ

'

σ

− + = + A.27

Remarque : Pour voir comment se transforment les équations A.21, A.26 et A.27 lorsqu’on utilise des coordonnées cylindriques par exemple, on effectue une rotation d’angle θ autour d’un axe perpendiculaire au plan ( , )x y .

Le champ des déplacements dans le nouveau système d’axes est donné par : u

u P u

u

r x

θ y

F HG I KJ

⁼⁼⁼⁼

F

HG I

KJ

^avec^{P :}

^F ^HG

⁻⁻⁻⁻^cos^sin

^θ ^θ

^cos^sin

^θ ^θ ^I ^KJ

^{, soit :}

RS T

ûû^r^{==== −−−−}⁼⁼⁼⁼ûû^x^x ⁺⁺⁺⁺⁺⁺⁺⁺ûû^y^y

cos sin

sin cos

θ θ

θ

d’où u_r ++++iuθ ====⁽u_x ++++iu_y^)(cos

θ

−−−−i^{sin )}

θ

====e⁻⁻⁻⁻ⁱθ⁽u_x ++++iu_y⁾ La formule A.21 donnant le champ des déplacements devient donc :

2

µ

ûr îu_θ ê ^θ

κ ϕ

^z ^z

ϕ

^z

ψ

^z ++++ ==== ⁻⁻⁻⁻i −−−− −−−−

b g e b g

^'

d i d i j

^A.28

x y

e

_r

e

_θ

θ

(12)

Le tenseur des contraintes

σ

h

_{e e}θ

r, dans le nouveau repère est tel que

σ σ

h

_{e e}θ

h

_{x y}^t

r

P P

, ==== ,

soit en développant les calculs :

σ σ θ σ θ σ θ θ

σ σ θ σ σ

θ

σ σ σ σ σ σ

θ

θ θ θ

r x y xy

x y xy

r xy

y x

r r

i

y x xy

i e i

==== ++++ ++++

==== ++++ −−−−

R S ||

T |

|

⇒

⇒⇒

⇒ −−−− ++++ ==== −−−− ++++

cos sin sin cos

sin cos sin cos

cos sin

2 2

2

2 2

2 2 2

2

d

2

i

La relation A.26 reste inchangée, alors que A.27 devient :

σ

_θ −−−−

σ

r ++++

σ

r_θ ==== ^θ

ϕ

++++

ψ

i e i z z z

2 2 ²

d

' '

b g

'

b g i

^A.29

A.4 EXPRESSION DU TORSEUR DES EFFORTS

Considérons un arc BC orienté de B vers C dans une plaque (figure ci-dessous où (x,y) est le plan de la plaque).

• Le vecteur contrainte au point P, centré sur l'élément d'arc ds de normale

( )

n

→

: cos , sin

α α

sera noté T P n

→ →

 



, . Ses composantes

(

^Xⁿ ^,^Yⁿ

)

sont définies par :

( )

T P n n X_n Y_n

→ → →

 

= =

, σ ,

soit

α α

α σ α σ

σ

α α

α σ α σ σ

sin , cos , sin

cos .

.

sin , cos , sin

cos .

.

xx xy

y xy

t n

xy yy

y x

t n

n y Y

n x X

Α + Α

−

= +

=

Α

− Α

= +

=

n

B C α

x y

P dy ds

dx α α

n

P

(13)

Comme cos

α

= dy

ds^etsin

α

= −dx

ds, les expressions de X_n et Y_n deviennent :

X d

ds y

n = 

 



∂

Α et Y d

ds x

n = − 

 



∂

Α A.30

• La résultante par unité d'épaisseur ^F^→^:

(

^{X Y}^,

)

sur l'arc BC, est donnée par :

∫

^_^ ^_^

= ^→ ^→

→ C

BT P n ds

F ,

soit

C B n

X =

∫

X ds^et^Y ⁼

∫

_B^C ^{Y ds}ⁿ

d'où

( )

^C

B C

B n n

i z i y

i x i x

d y ds iY X iY

X 



 



 Α

−

 =



 



 Α+ Α

−

=







 Α− Α

= +

=

+

∫ ∫ ^∂ _∂ ^∂ _∂ ^∂ _∂ ^∂ _∂

²

^∂ _∂

soit finalement, compte tenu de l'expression de Α :

( ) ( ) ( )

[

^z ^z ^z ^z

]

^C^B

i iY

X + =− ϕ + ϕ' +ψ A.31

• Le moment résultant par unité d'épaisseur en un point O, des efforts s’exerçant sur l'arc BC, s'écrit :

) , 0 , 0 (

,n ds M

P T OP

M ^C

B  =



 



∧ 

=

∫

^→ ^→ ^→

→

avec

( ) ∫

∫

^



 











 Α

−







 Α

−

=

−

= ^C

B C

B n n

yd y xd x

ds yX xY

M ∂∂

∂

soit en intégrant par partie :

[ ]

M x

x y

B y

C

B C

= − +

 



Α ∂ Α Α

∂

Le second terme de M peut aussi s'écrire :

( )

( ) ( ) ( )

[ ]

{

^z ^z ^z ^z ^z

}

Re z z Re

i y iy x

x y Re

x y x

ϕ ψ ϕ

∂

+ +

=



 



 Α

=



 











 Α− Α +

Α = Α+

'

2

(14)

et l'expression de M devient alors, compte tenu de la relation A.14 :

( ) ( ) ( )

[

^z ^z ^z ^z^z ^z

]

^C^B

Re

M = χ − ψ − ϕ' A.32

A.5 DEGRE D’ARBITRAIRE DES FONCTIONS ϕ( )z ^ETψ^{( )}^z

Considérons un état de contrainte d'un corps élastique, défini par σ σx, y et σxy les composantes du tenseur σ. Il existe donc des fonctions Φ et Ψ telles que :

[ ( )

^z

]

x Re

y +σ =4 Φ

σ ^A.33

( ) ( )

[

^z ^z ^z

]

xy x

y −

σ

+2

σ

=2 Φ' +Ψ

σ

^A.34

Les fonctions

ϕ

^et

ψ

introduites précédemment sont reliées à Φ et Ψ respectivement par les relations :

( ) ( )

ϕ

^z =

∫

_Φ ^{z dz} et

^ψ ( )

^z ⁼

∫

^Ψ

( )

^z ^dz ^A.35

La relation A.33 montre que si Φ(z) est solution, Φ₁

( )

z =Φ

( )

z +Ci avec C réel, l'est aussi.

Et donc si

ϕ

est solution,

ϕ

1 l’est aussi avec

ϕ

1 de la forme :

( ) ( ) ϕ γ

ϕ

₁ z = z +Ciz+ A.36

où

γ

=

α

+ⁱ

β

est une constante complexe et

ϕ

1

( )

z une primitive de Φ1

( )

z .

De même la deuxième relation A.35 montre que deux primitives

ψ ( )

^{z et}

ψ

1

( )

z de Ψseront telles que :

( ) ( )

^'

1

ψ γ

ψ

z = z + A.37

où γ ^'=α β^'+i ^' est une constante arbitraire du corps des complexes.

• Ainsi pour un état de contrainte donné, la fonction Ψ

( )

^z est complètement définie alors que les fonctions Φ

( )

z ,

ϕ ( )

^{z et}

ψ ( )

^z sont définies respectivement aux termes suivants près:

' , ^Ciz

γ

^et

γ

Ci + .

(15)

L'ajout de ces termes ne modifient pas l'état de contrainte. Cela signifie que l'on peut choisir arbitrairement les valeurs de ^Ι^m

(

^ϕ^'

( )

^z

)

^,^ϕ

^{( )}

^z ^et ^ψ

^{( )}

^z en un point quelconque.

• Si le domaine D sur lequel sont définies les fonctions

ϕ

^et

ψ

, contient l'origine, on peut alors choisir arbitrairement les valeurs

ϕ ( ) ( )

⁰^,

ψ

⁰ ^et Ι^m

( ϕ

^'⁽⁰⁾

)

^.

• Supposons maintenant que le champ des déplacements soit donné dans D. On a donc, d'après la relation A.21 :

(

^U^x ^iU^y

) ^κϕ ( )

^z ^z

^ϕ ( ) ( )

^z

^ψ

^z

µ

+ = − ' −

2

Appelons U₁_x et U₁_y les composantes du déplacement associées au choix :

( ) ( )

ϕ

1 z =

ϕ

z +Ciz+

γ

et

ψ

1

( )

z =

ψ ( )

z +

γ

'

( )

²

( ) (

¹

)

^'^⋯

2

µ

₁ + ₁ =

µ

+ +

κ

+ +

κγ

−

γ

⇒ U x iU y U_x iU_y Ciz A.38

L'unicité du champ des déplacements entraîne :

C = 0 et

κγ

−

γ

'=0 ^A.39

Soit :

0 '=

−α

κα ^etκβ −β^'=⁰

On peut donc choisir arbitrairement γ^ouγ', c'est-à-dire si D contient l'origine, ϕ^{(0) ou} ψ(0) par exemple.

Remarque : Si on pose U₁_x =U_x+U₀_x et U₁_y =U_y +U₀_y, la relation A.38 conduit à :

( ) ⁽

¹

⁾

^'

2µU₀_x +iU₀_y = K + Ciz+Kγ−γ soit

( )

(

¹

)

^'

2

' 1

2

0 0

β β µ

α α µ

+ + +

=

− + +

−

=

K Cx K U

K Cy K U

y

x A.40

Les composantes U₀_x et U₀_y définies par les relations A.40 correspondent à celles d'un déplacement rigide d'ensemble.

• Supposons que la résultante des efforts sur un contour donné soit connue, c'est-à- dire d'après la relation A.31 :

( ) ( ) ( )

ϕ ^z +^zϕ' ^z +ψ ^z imposée.

(16)

En considérons les solutions

^ϕ

¹

( ) ( )

^z ⁼

^ϕ

^z ⁺^Ciz⁺

^γ

^et

^ψ

¹

( )

^z ⁼

^ψ ( )

^z ⁺

^γ

^', l'unicité de la résultante entraîne :

γ γ

+ '=0 ⋯ A.41

On peut alors choisir arbitrairement C et

γ

^ou

γ

' c'est-à-dire dans l'hypothèse où D contient l'origine :

( ( ) )

Imϕ' ^{0 et}_ϕ

( )

0 ou _ψ

( )

0

Résumé (avec l’hypothèse que le domaine D contient l’origine)

*

Si le champ des contraintes est imposé, on peut choisir arbitrairement les constantes C, γ^etγ ' et poser par exemple :

( ( ) )

Imϕ' 0 = 0 et _ϕ

( )

0 = _ψ

( )

0 = 0 A.42

*

Si le champ des déplacements est imposé, on peut choisir γ^ouγ ' et poser arbitrairement :

ϕ

( )

^{0 ou}_ψ

( )

0 = 0 A.43

*

Si la résultante des efforts sur un contour est donnée, on peut choisir C, et γ^ouγ', et donc poser arbitrairement :

( ( ) )

Imϕ' 0 = 0 et _ϕ

( )

0 = 0 ou _ψ

( )

0 = 0 . A.44

A.6 EXPRESSIONS DES FONCTIONS ϕ( )z ^ETψ^{( )}^z DANS UN DOMAINE BORNE ET MULTIPLEMENT CONNEXE

• Un domaine D borné du plan est simplement connexe, s'il est limité par un seul contour fermé et simple C.

Exemples

D

C

D

C

(17)

• Un domaine D est multiplement connexe s'il est limité par plusieurs contours Cj fermés simples (qui ne se recoupent pas entre eux).

Exemples

Remarque

Jusqu'à présent, on a toujours supposé que le milieu D, dans lequel on a établi les relations, était simplement connexe.

• Considérons la relation A.26 qui s'exprime :

[ ( )

^z

]

x Re

y +σ =4 Φ

σ ^avec Φ

( ) ( )

^z =

ϕ

^' ^z

Soit C une courbe fermée dans D, la condition d'uniformité impose :

[

Re^Φ

( )

z

]

C ⁼⁰ A.45

En prenant ^Φ

( )

^z de la forme :

( )

^z ^m

(

^z ^z

) ( )

^z

k

k k

* 1

log − +Φ

Α

=

Φ

∑

=

A.46

avec A_k ∈R^,z des complexes associés à des points situés à l’intérieur des _k contours C_k, et ^Φ^*

( )

^z une fonction uniforme dans D (donc holomorphe dans D),

la condition A.45 est vérifiée.

D

C₁

C2

Domaine doublement connexe

C1

C2

Cm

Cm+1

C_j Lj

Domaine multiplement connexe n

(18)

Vérification

Prenons une courbe fermée L_j, autour du contour C_j, orientée dans le sens positif (voir figure précédente) et posons z−z_j =reⁱ^θ^.

[

Φ

( )

z

]

Lj = iΑj

⇒ ²π , donc on a bien

[

Re^Φ

( )

z

]

Lj ⁼⁰. Par intégration de

φ ( )

z , on obtient

ϕ ( )

z , soit :

( )

^z

( )

^z ^dz ^cste ^m

[ (

^z ^z

) (

^z ^z

) (

^z ^z

) ] ( )

^z ^dz ^cste

k

k k

k

k − − − − + Φ +

Α

= + Φ

=

∫ ∑ ∫

=

* 1

ϕ log

or

∫

^Φ^*

( )

^z ^dz se met aussi sous la forme :

( ) ∑ ( )

∫

=

−

=

Φ ^m

k

k z z

C dz

z

1

* log + fonction uniforme dans D.

ϕ ^z ^z k ^z ^zk ^C ^{A z} ^z ^zk ^z ^zk

k m

k k k

k

b g

====

b

−−−−

g

++++

b

−−−−

g b

−−−−

g

−−−− m

b

−−−−

g

==== ====

∑

^Α ^log

∑ ∑ ∑ ∑

^log

∑ ∑ ∑ ∑

1 1

+ fonction uniforme dans D Finalement _ϕ

( )

z s'écrit :

ϕ ^z k^z γ k ^z ^zk ϕ ^z

k

b g

⁼⁼⁼⁼ m

b

⁺⁺⁺⁺

g b

⁻⁻⁻⁻

g

⁺⁺⁺⁺

b g

∑

====

∑

^Α ^log ^*

1

A.47 avec

A_k ∈∈∈∈R, γ k ====

b

Ck −−−− A zk k

g

un nombre complexe et ϕ^* ^z ^z ^zk k

b g

==== −−−− m

b

−−−−

g

====

∑

1

+ fonction uniforme dans D ; ϕ^*

b g

^z est également uniforme dans D.

• De même, si on considère la relation A.27 :

σy −−−−σx ++++2iσxy ====2 zΦ'

b g b g

z ++++Ψ z

La condition d'uniformité impose ^Ψ

( )

^z uniforme. Comme ^ψ

( )

^z ⁼

∫

^Ψ

( )

^z ^dz^{, on a}

comme précédemment :

( ) ∑ ( ) ( )

=

+

−

= ^m

k

k z zk z

z

1

*

'log ψ

γ

ψ ^A.48

avec

(19)

k∈C

γ ' ^et_ψ ^*

( )

z uniforme dans D.

Examinons à présent les conséquences de ces choix sur le champ des déplacements.

• Le champ des déplacements

(

^U^x ^,^U^y

)

est donné par :

(

^U^x ^iU^y

) ^κϕ ( )

^z ^z

^ϕ ( ) ( )

^z

^ψ

^z

µ

+ = − ' −

2

soit en utilisant les relations A.47 et A.48 :

2µµµµ ^Ux +^iUy Lj =2ππππ κκκκⁱ

b

+1

g

^Αj^z+κγκγκγκγ j +γγγγ ^'j ^A.49

La condition d'uniformité

[

^U^x +^iU^y

]

Lj =0 sur toute courbe fermée L conduit à : _j

(

κ+ Α +¹

)

^jz κγ^j+γ ^'j =⁰ A.50

soit







= +

≡ Α

0 0

' j j j

γ

κγ

^{∀ ∈}^j

[ ]

^1,^m ^A.51

• Considérons maintenant la résultante du torseur des efforts extérieurs (par unité d'épaisseur) sur L et désignons par _j

(

^X^j ^,^Y^j

)

ses composantes. On a d'après A.31 :

( ) ( ) ( )

[ ]

X_j iY_j i z z z z

+ = − ϕ + ϕ^' +ψ Lj

Remarque

*

Compte tenu de l'orientation de n^→=n^→_ext (orienté vers l’intérieur de L - voir figure _j précédente), il faut changer de signe d'où :

[

² ^j ² ^'^j

]

j

j iY i i i

X + =

π γ

−

π γ

soit

(

^'

)

2 _j _j

j

j iY

X + =−

π γ

−

γ

^A.52

A.51 et A.52 entraînent

( )

'

2 1

j j

j

j j

J

X iY

γ π κ

γ κ

π κ

+

 = −

 +



 = −

 +



A.53

(20)

Les expressions de

ϕ

^et

ψ

vont donc s'écrire :

( ) ( ) ( ∑ ) ( ) ( )

=

+

− + +

−

= ^m

k

k k

k iY z z z

X z

1

log *

1 2

1

ϕ

κ

ϕ π

^A.54

ψ ψψ

ψ κκκκ

ππππ κκκκ ψ ψψ ψ

z X_k iY_k z z_k z

k

b g

⁼

b

₊

g b

m ⁻

g b

⁻

g

⁺

b g

=

2 1

∑

1

log ^* A.55

A.7 EXPRESSIONS DES FONCTIONS ϕ( )z ^ETψ^{( )}^z DANS DES DOMAINES INFINIS ET MULTIPLEMENT CONNEXES

Les formules établies précédemment restent valables dans toute portion bornée du domaine D.

Que deviennent les expressions des fonctions ϕ^{(z) et}ψ(z), si on se place par exemple à l'extérieur d'un cercle C_k de rayon R très grand, de sorte que tous les contours C_j soient à l'intérieur du cercle i.e. z_j < <R z .

Dans ces conditions, on a :

log z z log z log z log ...

z z z

z

k z

k k k

−−−− ==== ++++

F

−−−−

HG I

KJ

⁼⁼⁼⁼ ⁻⁻⁻⁻ ⁻⁻⁻⁻

F HG I

KJ

⁺⁺⁺⁺

b g

¹ ¹

2

log

b

z−−−−z_k

g

====log z + fonction uniforme dans (D-CR).

Les relations A.54 et A.55 deviennent donc :

( ) ( )

^log ^**

( )

2 1

X iY

z z z

ϕ ϕ

π κ

= − + +

+ ^A.56

( ) ( )

( )

^log ^**

( )

2 1

X iY

z

κ

z z

ψ ψ

π κ

= − +

+ A.57

où

ϕ

^**

( )

^{z et}

ψ

^**

( )

z sont des fonctions uniformes dans (D−C_R^{) et :}

X X_k

=

∑

m 1

Y Y_k

=

∑

m 1

X et Y sont les composantes de la résultante des efforts s’exerçant sur tous les contours C_k.