DS final Durée :2h PES Il sera tenu compte de la présentation, la rédaction et l’orthographe. La calculatrice est autorisée. Aucun
document n’est autorisé.
Exercice n° 1 :(4pts)
Pour chacune des questions, quatre affirmations sont proposées, une seule réponse est exacte. Pour chaque question, le candidat notera sur sa copie le numéro de la question suivi de la proposition qui lui semble correct. Chaque réponse sera justifiée. Une réponse fausse ,non justifiée ou mal justifiée ne rapporte pas de points. Une réponse juste et correctement justifiée rapporte 1point.
1. La suite ( ) définie pour tout entier n par et a) est positive b) est négative c) est croissante d) est décroissante 2. La suite ( ) définie pour tout entier n par
a) est négative b) est croissante c) est décroissante d) On ne peut pas répondre
3. L’équation de la tangente au point d’abscisse 1 de la courbe représentative de la fonction f définie sur R par f(x)= 5x²-2x+4 est :
a) y=7x+1 b)y=8x-1 c)y=7x+15 d)y=8x+15 4.
Exercice 2(5points)
On organise un jeu avec un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6 selon les modalités suivantes : si l’on obtient un 1 ou un 6, on gagne 5€. Si l’on obtient un 2, on gagne 1€. Dans les autres cas, on perd 3€.
Partie A :
1) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire qui compte le gain algébrique du joueur.
2)Calculer E(X) et interpréter le résultat.
Partie B :
On considère le fait d’obtenir un 1 ou un 6 comme un succès, les autres résultats étant un échec. On joue 2 parties de suites.
1) Faire un arbre de probabilité représentant la situation . 2) Calculer la probabilité de gagner 1 seule partie sur les 2.
Partie C :
On considère toujours le fait d’obtenir un 1 ou un 6 comme un succès, les autres résultats étant un échec. On joue désormais 200 parties de suites. Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de parties où l’on obtient un succès. Les différentes parties sont indépendantes.
1) Quelle est la loi suivie par X ? 2) Déterminer P(X=150).
3) Déterminer P(X 150).
4) Calculer E(X) et interpréter le résultat.
Exercice n° 3 : (5pts)
Partie A :Soit ( ) la suite définie pour tout entier n par et 1) Calculer
2) Quelle est la nature de cette suite ? 3) Déterminer en fonction de n.
4) Calculer
Partie B :
Anaïs organise un voyage en Grèce. Elle possède 2500€ au 25/12/16. A compter du 1/1/17 , elle récolte tous les mois 150€ à ajouter au budget.
1) Combien aura-t-elle le 1/1/17 ? le 1/2/17 ? le 1/3/17 ? 2) Combien aura-t-elle au bout de 5 ans ?
3) Quand est ce que la somme économisée dépassera les 20 000€ ?
Exercice 4 (6points)
Partie A :
Soit la fonction B définie sur [2,6 ;9,4] par 1. Calculer B’ la dérivée de B sur [2,6 ;9,4]
2. Vérifier que
3.a. Déterminer le signe de ainsi que celui de sur [2,6 ;9,4]
b. En déduire le signe de B’ puis les variations de B sur [2,6 ;9,4]
c. En déduire le maximum de B sur [2,6 ;9,4]
d. On admet que B(x)=0 admet deux solutions sur [2,6 ;9,4] . Donner une valeur approchée à 0,01 près de chacune des solutions.
e. Déterminer le signe de B.
Partie B :
Le restaurant « le clos jouve » sert entre 26 et 94 couverts par jour. Son bénéfice en dizaine d’euros est définie par où x est le nombre de dizaines de couverts servis.
1. Quel bénéfice maximum peut espérer ce restaurant ? Combien de couverts doit-il servir ? 2. Pour combien de couverts le bénéfice est il négatifs ? positifs ?
