Phylogénies. phylogénie ou arbre évolutif. IFT 3290, H2004, Miklós Csűrös Université de Montréal Phylogénies 2

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Phylog ´enies

(2)

Phylog ´enies

phylog ´enie ou arbre ´evolutif

Humain Chimpanzé Gorille Orang-outan Babouin

vers la reste de l'arbre

temps ancêtre

commun

(3)

Arbre racin ´e

H C G O B

racine

branche

feuille noeud interne

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Arbre non-racin ´e

H

C

G

O B

feuille noeud interne

(5)

D’o ` u vient l’arbre ?

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Evolution de caract `eres/s ´equences ´

S équence assosi ée à chaque noeud : peut être des s équences mol éculaires ou d’autres «caract ères» (poss ède des ailes, pr ésence de colonne vert ébrale) Evolution comme transmission d’une s équence ancestrale à partir de la´ racine vers les feuilles

Mutations introduites sur les branches

⇒ arbre sur les s équences (pas n écessairement le m ême que la phylog énie des esp èces)

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Mutations

Substitutions : O(10⁻⁹) par site par an dans ADN de mammif `eres, cca.

10 fois plus grand en ADN mitochondrial)

- transitions : A ↔ G ou T ↔ C et transversions - peut changer le codon ou non

Recombinations

Insertions et suppressions Inversions

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Maximum de parcimonie (MP)

minimiser le nombre total de changements de caract `eres sur les branches (valeur de parcimonie)

Probl ème 1 : calculer la valuer de parcimonie pour un arbre donn é — PD Probl ème 2 : trouver l’arbre qui minimise la parcimonie — NP-difficile

Nombre d’arbres non-racin ´es avec n feuilles : 1 · 3 · 5· · ·(2n − 5)

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Parcimonie 2

Probl `eme 1 (la petite parcimonie)

S ´equences [align ´ees] : s₁, . . . , s_n, de longueur `

Arbre : chaque s_i assign ée à une feuille ; d éterminer les s équences ances- trales s_j: j > n assign ées aux noeuds internes

Valeur de parcimonie sur une branche ij :

VP(ij) = ^P^`_k=1 I{s_i[k] 6= s_j[k]} o ù I{A} est l’indicateur de A ( égal à 1 ssi A est vrai)

On veut minimiser ^P_ij VP(ij).

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Parcimonie 3

Observation : ^P_ij VP(ij) = ^P^`_k=1^P_ij I{s_i[k] 6= s_j[k] donc il suffit de trouver un algorithme pour des s ´equences de longueur 1 est l’utiliser ` fois.

Programmation dynamique : calculer pour chaque noeud u - V (u) : VP pour le sous-arbre racin ´e `a u

- V (u, a) : VP pour le sous-arbre si u est assign ´e caract `ere a

Feuilles : V (u) = 0; V (u, a) = 0 si u est assign é a, V (u, a) = ∞ sinon R écurrences pour noeud interne : V (u, a) = ^P_v est un d ésc éndantmin{V (v)+

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Distances

Mod èle d’ évolution de s équences sur un arbre : relai d’un message de la racine vers les feuilles transmission avec du «bruit» sur chaque branche bruit = mutations

mod `ele probabiliste pour les mutations

les s équences correspond à un «échantillon» al éatoire

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Cavender-Farris

mod `ele de Cavender-Farris : s ´equences binaires, mutations symmetriques Exemple : noeud x est le parent de y, transmission d’un bit X → Y .

Probabilit ´e de mutation sur la branche : p_xy. Alors P^{X ⁶⁼ ^Y ^} ⁼ ^p^xy^.

Similarit ´e de deux noeuds : S(x, y) = P^{X ⁼ ^Y ^{} −} P^{X ⁶⁼ ^Y ^}.

Thm. S(x, y) se multiplie sur chaque chemin.

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Distances - 2

Algorithme pour la construction d’un arbre `a partir des distances : triples

u v

w o

u

v w

o

D(u, o) =

D(u, v) + D(u, w) − D(v, w)

/2.

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Algorithme pour construire l’arbre

[Esquiss ´e. . . ]

Feuilles : 1, . . . , n ; matrice de distances entre feuilles de taille n × n 1. Commencer avec le triple 1,2,3 et son centre

2. Pour i = 4, . . . , n :

2.1 choisir* un triple j₁, j₂, i avec j₁, j₂ < i;

2.2 ins ´erer son centre c sur le chemin entre j₁ et j₂ dans l’arbre ; 2.3 joindre i `a c et calculer les nouvelles longueurs de branches

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Jukes-Cantor

Jukes-Cantor-Neyman : ´evolution de s ´equences sur un alphabet Σ = {a₁, . . . , a_m}

mutations de caract ères ind épendantes en chaque position des s équences mutation sur une branche XY : sym étrique, sp écifi ée par la probabilit é de mutation p

P

Y = a⁰

X = a

=







1 − p si a = a⁰ ; p/(m − 1) si a 6= a⁰. Distance : D(X, Y ) = −log(1 − _m−1^m P^{X ⁶⁼ ^Y ^})

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Mod `ele Markovien

Mutations ind épendantes ; probabilit és de substitutions sp écifi ées par une matrice de transition

M_X_→Y [a, a⁰] = P

Y = a⁰

X = a

On a que M_X_→Z ⁼ M_X→Y M_Y _→Z.

Donc D(X, Y ) = −log



detM_X_→Y ^detM_Y _→X

est une distance sur

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Neighbor joining

1 2

3,4,...,n X

voisins 1: (1,2)

1 2

5,6,...,n X

voisins 2: (3,4)

3 4 Y

1 2

6,7,...,n X

voisins 3: (5,X)

3 4 Y

Z 5

(18)

Neighbor joining - 2

1 2

3,4,...,n X

calcul de longueurs de branches : prenons la moyenne L_1X = 1

n − 2

n X i=3

(d_1i + d₁₂ − d_2i)/2.

L_2X m ˆeme chose

L_iX = (d_1i + d_2i − d₁₂)/2.

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Neighbor joining - 3

choix des voisins : minimiser le somme total de longueurs de branches

1

2

X Y

3 4

n ...

S₁₂ = L_1X + L_2X + L_XY +

n X i=3

L_{Y i}. o `u L_XY = (^P_i≥3 L_Xi − ^P_i≥3 L_{Y i})/(n − 2).

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Neighbor joining - 4

On a ^Pⁿ_i=3 L_{Y i} = _n−3¹ ^P_3≤i<j≤n d_ij. Apr `es un peu d’arithm ´etique :

S₁₂ = 1

2d₁₂ + 1 n − 2

X i<j

d_ij − 1 n − 2

Pn

i=1 d_1i + ^Pⁿ_i=1 d_2i 2

Calculer en avance : R_k = ^Pⁿ_i=1 d_ki pour chaque feuille k,

choisir la paire qui minimise (n − 2)d_kk0 − R_k − R_k0 : elle minimise S_kk0

aussi

(21)

Neighbor joining - 5

algorithme en O(n³) (pas it ´eratif) :

(1) trouver 1,2 en minimisant S₁₂ (temps O(n²)) ;

(2) calculer L_1X, L_2X, et d_iX pour i ≥ 3 (temps O(n)) ; (3) remplacer 1,2 par X dans la matrice de distances.

Thm. C¸ a donne l’arbre correct pour des distances additives.

Preuve. Id ´ee seulement : le calcul des longueurs de branches est correct si 12 sont les voisins. Il faut prouver que 12 sont les voisins quand on minimise S₁₂.