Chapitre n°0 Analyse dimensionnelle
Introduction au cours de physique
Plan du cours
I Dimensions et unités fondamentales 1
II Équation aux dimensions 4
III Homogénéité d’une expression 5
IV Analyse dimensionnelle 6
V Réalisation d’un calcul 6
V.1 Rédaction d’un calcul . . . 6 V.2 Chiffres significatifs . . . 7 V.3 Regard critique . . . 7
I Dimensions et unités fondamentales
Ladimensiond’une grandeur renseigne sur sa nature physique.
Par exemple une distance, une altitude, ont pour dimension une longueur.
Ladimension d’une grandeur physique est plus générale que l’unité: la même grandeur peut s’exprimer avec des unités très différentes.
L’unité est indispensable pour renseigner sur la valeur de la grandeur physique. Elle est inutile sinon.
Définitions : Dimension et unité
On peut montrer que la dimension de n’importe quelle grandeur physique peut toujours s’exprimer en fonction de sept dimensions
« fondamentales », auxquelles on associe 7 unités de base, celles du système international définies par le BIPMhttps://www.bipm.
org/fr/measurement-units/
Grandeur Symbole dimensionnel Unité (SI)
Longueur L mètre (m)
Masse M kilogramme (kg)
Temps T seconde (s)
Intensité du courant I Ampère (A)
Température Θ Kelvin (K)
Quantité de matière N mole (mol)
Intensité lumineuse J Candela (Cd)
À retenir : Dimensions et unités du système international
L a s e c o n d e
La seconde, symbole s, est l'unité de temps du SI.
Elle est définie en prenant la valeur numérique fixée de la fréquence du césium, , la fréquence de la transition hyperfine de l'état fondamental de l'atome de césium 133 non perturbé, égale à 9 192 631 770 lorsqu'elle est exprimée en Hz, unité égale à s .-1
L ' a m p È r e
L'ampère, symbole A, est l'unité de courant électrique du SI. Il est défini en prenant la valeur numérique fixée de la charge élémentaire, e, égale à 1,602 176 634 10 lorsqu'elle est exprimée en C, unité égale à A s, la seconde étant définie en fonction de .
L e k i l o g r a m m e
Le kilogramme, symbole kg, est l'unité de masse du SI. Il est défini en prenant la valeur numérique fixée de la constante de Planck, h, égale à 6,626 070 15 10 lorsqu'elle est exprimée en J s, unité égale à kg m s , le mètre et la seconde étant définis en fonction
de c et .
L a c a n d e l a
La candela, symbole cd, est l'unité du SI d'intensité lumineuse, dans une direction donnée. Elle est définie en prenant la valeur numérique fixée de l'efficacité lumineuse d'un
rayonnement monochromatique de fréquence 540 10 Hz, K , égale à 683 lorsqu'elle est
exprimée en lm W , unité égale à cd sr W , ou cd sr kg m s , le kilogramme, le mètre et la seconde étant définis en fonction de h, c et
-34
2 -1
-19
12 cd
-1 -1
-1 -2 3
.
unitÉs de base
Le mètre, symbole m, est l'unité de longueur du SI. Il est défini en prenant la valeur numérique fixée de la vitesse de la lumière dans le vide, c, égale à 299 792 458
lorsqu'elle est exprimée en m s , la seconde étant définie en fonction de .
L e m È t r e
-1
L e k e l v i n
Le kelvin, symbole K, est l'unité de température thermodynamique du SI. Il est défini en prenant la valeur numérique fixée de la constante de Boltzmann, k, égale à 1,380 649 10 lorsqu'elle est exprimée en J K , unité égale à
kg m s K , le kilogramme, le mètre et la
seconde étant définis en fonction de h, c et .
-23
-1 2 -2 -1
L a m o l e
La mole, symbole mol, est l'unité de quantité de matière du SI. Une mole contient
exactement 6,022 140 76 10 entités élémentaires. Ce nombre, appelé « nombre d'Avogadro », correspond à la valeur
numérique fixée de la constante d'Avogadro, N , lorsqu'elle est exprimée en mol .
La quantité de matière, symbole n, d'un système est une représentation du nombre d'entités élémentaires spécifiées. Une entité élémentaire peut être un atome, une
molécule, un ion, un électron, ou toute autre particule ou groupement spécifié de
particules.
23
A -1
10−18 10−15 10−12 10−9 10−6 10−3 10−2 10−1 101 102 103 106 109 1012 atto femto pico nano micro milli centi déci déca hecto kilo mega giga tera
a f p n µ m c d da h k M G T
Exercice de cours A Conversions
Les résultats devront être donnés en notation scientifique, c’est-à-dire sous la forme a×10n, aveca∈[1,10[ etn∈Z.
Q1. 3 nm =. . . . m Q2. 5 m =. . . . nm Q3. 0,3µm =. . . . m Q4. 0,006 m =. . . . µm Q5. 120 pm =. . . . nm
Q6. 0,015µm =. . . . nm Q7. 3 m =. . . . km Q8. 34 cm =. . . . m Q9. 41 km =. . . . m Q10. 320 mm =. . . . m
Q11. 0,45 mm =. . . . µm Q12. 400 000 J =. . . . MJ Q13. 50 GJ =. . . . J Q14. 150 fm =. . . . m Q15. 3 heures =. . . . s Pour la conversion des surfaces, on peut remarquer que, par exemple :
3 cm2= 3 cm×cm = 3 10−2m×10−2m = 3.(10−2)2m2= 3.10−4m2 Q16. 50 mm2=. . . . m2
Q17. 0,0056 m2=. . . . mm2
Q18. 50 cm2=. . . . m2 Q19. 50 mm2=. . . . cm2
Q20. 45 nm2=. . . . m2 Q21. 5.10−6m2=. . . . µm2 Pour la conversion des volumes, cela fonctionne comme pour les surfaces, par exemple :
3 cm3= 3 cm×cm×cm = 3.10−2m×10−2m×10−2m = 3.(10−2)3m3= 3.10−6m3
Et il faut également connaître le passage du Litre à l’unité SI : 1 L = 10−3m3 , soit 1 m3= 103L , soit 1 L = 1 dm3. Q22. 500 mm3=. . . . m3
Q23. 0,0056 m3=. . . . cm3
Q24. 50 dm3=. . . . L Q25. 50 L =. . . . m3
Q26. 45 m3=. . . . L Q27. 5.10−6m3=. . . . µm3
II Équation aux dimensions
On appelleéquation aux dimensionsl’écriture de la dimension d’une grandeur physique en fonction des sept dimensions de base définies précédemment. La dimension de la grandeurGest notée [G].
Définition : Équation aux dimensions
Exemple 1.
— SiGa la dimension d’une longueur, on notera : [G] =L
— Si la grandeurGest sans dimension (on dit qu’elle estadimensionnée), on notera [G] = 1.
Exemple : Un angle est défini comme le rapport de la longueur de la corde (une longueur) divisée par le rayon du cercle (une longueur) : [θ] =
` R
=L
L = 1
1. Exprimer la grandeur dont on cherche la dimension à l’aide d’une formule simple, de la définition, . . . ;
2. Exprimer les dimensions des grandeurs intervenants dans la formule précédente à l’aide des 7 dimensions de base ; 3. Conclure sur la dimension de la grandeur recherchée.
Méthode : Comment établir une équation aux dimensions ?
Exercice de cours B
Q1. Établir la dimension de l’énergie cinétique.
Q2. Établir la dimension du poids.
Q3. Établir la dimension, puis l’unité dans le système international du champ de pesanteur terrestreg.
Q4. Établir la dimension, puis l’unité en fonction des 7 unités de base du SI, d’une puissance. Quelle est l’unité usuelle de la puissance ?
Q5. Établir la dimension, puis l’unité en fonction des 7 unités de base du SI, d’une pression. Quelle est l’unité usuelle de la puissance ?
Q6. Établir la dimension de la constante de Planckh, puis son unité dans le système international. Quelle est l’unité usuelle deh?
III Homogénéité d’une expression
Une équation doit toujours être homogène !Pour cela, il faut que :
les deux membres de l’égalitéA=B aient la même dimension, c’est-à-dire [A] = [B] ;
les termes d’une somme ou d’une différence aient la même dimension (on n’ajoute pas des distances avec des masses) ; l’argumentxdes fonctions mathématiques (ex, cos(x), ln(x) . . .) soit toujours sans dimension, ces fonctions étant elles-
mêmes sans dimension ;
les deux membres d’une égalité, d’une somme ou d’une différence doivent être de la même nature scalaire/vectorielle
−−−−→
vecteur =−−−−→
vecteur ; scalaire=scalaire
À retenir
Vous devez prendre l’habitude de CONTRÔLER L’HOMOGÉNÉITÉ DE TOUTES LES RELATIONS LITTÉRALES, avant l’application numérique, c’est-à-dire en l’absence de toute valeur numérique.
Méthode
Une expressionnon homogèneest nécessairement fausse.
Une expression homogène peut être fausse, mais l’erreur de calcul sera plus excusable.
Attention
Exercice de cours C
Contrôler l’homogénéité des expressions suivantes. Pour cela, étudier la dimension de chaque terme des sommes/différences et de part et d’autre du signe égal, puis conclure.
Q1. c=λT, avecc la célérité de l’onde,λla longueur d’onde etT la période.
◦ [c] =...
◦ [λT] = [λ]×[T] =...×...
◦ Donc [c]...[λT], donc l’équation ... homogène
Q2. Position d’un point au cours d’une chute libre :z(t) =−1
2gt2+v0
t +z0, avecg le champ de pesanteur,v0la vitesse initiale et z0l’altitude initiale.
◦ [z] =...
◦ 1
2gt2
=...
◦ hv0 t
i=...
◦ [z0] =...
Donc..., donc l’équation ... homogène Q3. dEc
dt =F×v, avecEc l’énergie cinétique,F une force etv une vitesse.
◦ [Ec] =..., doncdEc
dt
= ...
... =...
◦ .[F] =...×...=...
.[v] =...
donc [F×v] =...
DoncdEc
dt
...[F×v], donc l’équation ... homogène Q4. Pour un photon :E=hν=hλ
c, avecE l’énergie,ν la fréquence,λla longueur d’onde,cla célérité de la lumière dans le vide eth= 6,62606957.10−34J · s, la constante de Planck.
◦ [E] =...
◦
.[ν] =...
donc [hν] =...
◦
hλ c
=...× ...
...=...
Donc [E]...[hν], donc l’équation ... homogène [E]...
hλ
c
, donc l’équation ... homogène
Q5. On noteR la résistance électrique équivalente à deux résistancesR1 et R2 en série. La relation R= 1
R1 + 1
R2 peut-elle être juste ?
Q6. L’expression uc(t) = Ee−t/τ où E et uc sont des tensions électriques, et t un temps est homogène à condition que τ soit homogène à ...
Q7. `0= D−d2
4D , où`0,D etdsont des distances peut-elle être homogène ? Q8. du
dt +u
τ =E, oùuet E sont des tensions ettetτ des temps, peut-elle être homogène ?
Q9. F =mg(1 +t), oùF est une force,mune masse,gle champ de pesanteur terrestre,t un temps, peut-elle être homogène ?
IV Analyse dimensionnelle
L’analyse dimensionnelle permet de contrôler l’homogénéité d’une expression, elle permet également de déterminer ou retrouver l’expression d’une grandeur.
Si une grandeur X est susceptible de dépendre d’un certain nombre de grandeurs A, B et C caractéristiques du problème et dimensionellement indépendantes, cette grandeur X peut très souvent se mettre sous la forme : X = kAαBβCγ, où k est une constante numérique (sans dimension), et où les exposantsα, β,γpeuvent être déterminés par analyse dimensionnelle.
1. Lister les grandeurs dont peut dépendre la grandeur recherchée.
2. Exprimer la grandeur recherchée sous la formeX =kAαBβCγ, oùkest une constante sans dimension.
3. Écrire l’équation aux dimensions [X] = [A]α[B]β[C]γ.
4. Poser le système d’équation vérifié parα,β, γen égalisant les exposants de chaque dimension et le résoudre.
5. Conclure sur l’expression deX.
Méthode : Comment déterminer une relation par analyse dimensionnelle ?
Exercice de cours D Période du pendule simple
Un pendule est constitué d’une ficelle de longueur `à laquelle est attachée une massem. La ficelle est fixée au plafond et la masse est supposée osciller sans frottement dans le champ de pesanteur terrestre d’intensitég.
Q1. Quels sont les paramètres pertinents du problème ?
Q2. Exprimer la grandeur recherchée en fonction des paramètres identifiés précédemment et d’exposants.
Q3. Après avoir déterminé les dimensions des différentes grandeurs, écrire l’équation aux dimensions.
Q4. Système d’équations vérifié par les exposants introduits précédemment : Q5. Conclusion sur l’expression deT.
V Réalisation d’un calcul
V.1 Rédaction d’un calcul
Tous lescalculs doivent être menés tout au long littéralement (avec les lettres) : aucune valeur numérique ne doit apparaître au cours du calcul.
Lesvaleurs numériquesn’interviennent qu’à ladernière étapelors de la réalisation des applications numériques.
Unrésultat numériquedoit toujours être accompagné d’uneunité. Sans unité, un résultat numérique est faux et sera donc considéré comme tel.
À retenir
À toute question nécessitant un calcul, vous devez : 1. Introduire les lois ou formules utilisées par une phrase.
2. Réaliser les calculs avec les grandeurs littérales.
3. Encadrer le résultat littéral final .
4. Réaliser l’application numérique et souligne le résultat numérique final.
Méthode : Rédaction d’un calcul
V.2 Chiffres significatifs
Leschiffres significatifssont tous les chiffres connus avec certitude plus le premier chiffre incertain, qui par convention est considéré connu à±0,5.
Le nombre de chiffres significatifs détermine la précision de la mesure et le physicien est tenu de l’indiquer, même de façon sous-entendue. Il faut donc veiller à utiliser le nombre de chiffres significatifs adéquat.
Définition : Chiffres significatifs
Tout dépend de la précision de la mesure effectuée ou des données fournies par l’énoncé.
On devra respecter les règles suivantes :
Lerésultat d’une addition ou d’une soustraction a autant de décimales qu’en a la mesure utilisée dans le calcul qui en a le moins.
Exemple Soit le calcul suivant : 115,3 + 17,02−3,008 la calculatrice donne 129,312, mais on ne peut pas avoir cette précision car 115,3 n’a qu’une décimale.
On doit donc garder une décimale pour le résultat final : 115,3 + 17,02−3,008 = 129,3
Le résultat d’une multiplication ou division comporte autant de chiffres significatifs que la donnée qui en a le moins.
Lerésultat d’une fonction mathématiqueusuelle (cos(x), ln(x) . . .) a le même nombre de chiffres significatifs que son argument.
Combien faut-il de chiffres significatifs lors d’une application numérique ?
Exemple 2.
— Si vous écrivezT = 12,34 s, vous avez calculé ou mesuré la période T au centième de seconde et si rien de plus n’est précisé, on considère avec une quasi-certitude que 12,335< T <12,345 s (4 est le chiffre incertain).
— De même, si on vous demande sans plus de précision lors d’une séance de travaux pratiques de réglerf = 1,5 kHz, il faudra se placer à une valeur située entre 1,45 et 1,55 kHz. Si la consigne est maintenantf = 1500 Hz, il faudra être plus précis et atteindre une fréquence comprise entre 1499,5 et 1500,5 Hz.
Exercice de cours E Donner les résultats des calculs ci-dessous avec un nombre de chiffres significatifs adapté : Q1. 1
340 = Q2. 1,00
340 =
Q3. 1,50.1011 299792458 = Q4. 45,5−23 =
Q5. 45,678−24,5 = Q6. 0,350−1,00
340 =
V.3 Regard critique
À la fin d’un calcul numérique, ayez un regard critique vis à vis de la valeur obtenue. Il est donc nécessaire d’avoir quelques ordres de grandeur en tête.
Si la valeur trouvée à la fin d’un calcul numérique est manifestement fausse, signalez-le sur votre copie, cela ne pourra que vous valoriser !
À retenir
Exemple : À la question, déterminer la vitesse d’un skieur en bas d’une pente, vous répondez « La vitesse du skieur en bas de la pente est dev= 100 m · s−1». Ne vous arrêtez pas là, vérifier votre calcul à la recherche d’une erreur.
Si vous ne la trouvez pas, ajoutez « La vitesse trouvée est manifestement fausse, car un skieur ne peut pas atteindre 100 m · s−1 (il peut atteindre environ 100 km/h soit environ 30 m/s) ».
