Nom : Groupe :
Module 3 : Les transformations géométriques dans le plan cartésien
Le plan cartésien
Un plan cartésien se compose de plusieurs caractéristiques:
∙ Le plan cartésien est d'abord défini par 2 axes perpendiculaires: l'axe des abscisses (les x) qui est horizontal et l'axe des ordonnées (les y) qui est vertical.
∙ Les deux axes se rejoignent à l'origine, c'est-à-dire au point (0,0).
∙ Le plan cartésien est alors divisé en 4 sections que l'on nomme les quadrants.
Les quadrants correspondent aux 4 régions délimitées par les axes. Les quatre quadrants sont numérotés dans le sens antihoraire comme dans le plan cartésien suivant.
(+,+) (- ,+)
(+,-) (- ,-)
La translation dans le plan cartésien
L’image du point P(x, y) obtenue par la translation t( a, b ) est le point P( x + a , y + b ).
Règle : t( a , b ) : ( x , y ) ( x + a , y + b ) Exemple :
Si le couple (–5, 4) définit la translation t, on a la règle t( –5 , 4 ) : ( x , y ) ( x – 5 , y + 4 ).
Exercice :
Voici le triangle A (2,4) B ( 3,6) et C (5,1). Trace l’image obtenue par la translation t(-6, -3) : (x,y) ( x-6, y-3)
A ( 2, 4) A’ ( , ) B ( 3, 6 ) B’ ( , ) C ( 5 , 1 ) C’( , )
La réflexion par rapport à l’axe des x, noté S
xL’image du point P(x, y) obtenue par une réflexion par rapport à l’axe des abscisses ( Sx ) est le point P’( x , -y) Règle : Sx : ( x , y ) ( x , -y )
Exemple :
A ( -2 , 0 ) B ( -5 , -4 ) C ( 3,-4 ) D ( 3,-2 ) Donc, A’( , ) B’( , ) C’( , ) D’( , )
Exercice :
Voici le triangle A(-2,4) B ( 3,6) et C (5,-1). Trace l’image obtenue par la Sx
A ( -2, 4) A’ ( , ) B ( 3, 6 ) B’ ( , ) C ( 5 , -1 ) C’( , )
La réflexion par rapport à l’axe des y, noté S
yL’image du point P(x, y) obtenue par une réflexion par rapport à l’axe des ordonnées ( Sy )est le point P’( -x , y) Règle : Sy : ( x , y ) ( - x , y )
Exemple 1 :
A( 4 , 5 ) B ( 2,2 ) C( 2 , -4 ) D ( 7, -1 ) Donc, A’( , ) B’ ( , ) C’( , ) D’( , )
Exercice :
Voici le triangle A(-2,4) B ( 3,6) et C (5,-1). Trace l’image obtenue par la Sy
A ( -2, 4) A’ ( , ) B ( 3, 6 ) B’ ( , ) C ( 5 , -1 ) C’( , )
La réflexion par rapport à la bissectrice des quadrants 1 et 3 : S S : ( x , y ) ( y , x )
Exercice :
Voici le triangle A(-2,4) B ( 3,6) et C (5,-1). Trace l’image obtenue par la Sy A ( -2, 4) A’ ( , )
B ( 3, 6 ) B’ ( , ) C ( 5 , -1 ) C’( , )
La réflexion par rapport à la bissectrice des quadrants 2 et 4 : S
S : ( x , y ) ( -y , -x )
Exercice :
Voici le triangle A(-2,4) B ( 3,6) et C (5,-1). Trace l’image obtenue par la Sy A ( -2, 4) A’ ( , )
B ( 3, 6 ) B’ ( , ) C ( 5 , -1 ) C’( , )
L’homothétie centré à l’origine
L’image du point P(x, y) obtenue par une homothétie centrée à l’origine est le point P’( kx , ky) Règle : h( o , k ) : ( x , y ) ( k x , k y )
Exemple 1 :
Dans la figure ci-contre, la règle
h : (x, y) est appliquée
à tous les points du plan.
A( -6 , 4 ) A’ ( , ) B (-8,0) B’ ( , ) C ( 0 , -4) C’( , ) D ( 6, 2) D’( , )
Exercices :
Si le rapport d’une homothétie centrée à l’origine est -3, on a la règle est : h( o , -3 ) : ( x , y ) ( , )
A ( 2 , 3 ) A’( , ) B’ ( 0, 2) B’( , ) C ( 1 , 1) C’( , )
Exercice :
Trouve l’image des points A( 2 , -3 ) et B( -3 , 2 ) par une homothétie de rapport -2.
Changement d’échelle: La dilatation et la contraction horizontale ou verticale
L’image du point P(x, y) obtenue par une dilatation (ou contraction) est le point P’( a x , b y) si on considère que a est le rapport de changement horizontal et b est le rapport de changement vertical. Règle : (x, y) ( a x , b y )
Exemple :
Si on effectue une dilatation horizontale de rapport 2 et une contraction verticale de rapport ½ on a la règle ( x , y ) ( , )
A ( 2 , 6 ) B( 5 , 5 ) C ( -2 , -2 ) et D (5 , -5) Donc, A’( , ) B’( , ) C’ ( , ) et D’ ( , )
Exercice :
Trouve l’image des points A ( -2 , 6 ) B ( -4 , 4 ) et C (2 ,-2) obtenue par une contraction verticale de rapport 0,5.
A ( -2 , 6 ) B ( -4, 4 ) C ( 2 , -2 ) Donc, A’( , ) B’( , ) C’ ( , )
Quelques définitions !
Une
isométrie
est une transformation du plan qui conserve les distances. Cela veut dire que, si les points A et B sont les images respectives des points A et B par une isométrie, alors on a d(A, B) = d(A, B).*Les translations, les réflexions, les rotations ainsi que toute composition de ces transformations géométriques sont des isométries.
Une
similitude
est une transformation du plan correspondant à la composition d’une homothétie et d’une isométrie. Soit les points A et B, images respectives des points A et B par une similitude. Si :0 < < 1, alors la similitude est appelée une contraction ;
= 1, alors la similitude est appelée une isométrie ;
> 1, alors la similitude est appelée une dilatation.
La rotation avec l’origine comme centre.
Rappel :
Une rotation d’un angle positif est une rotation de sens anti-horaire
Une rotation d’un angle négatif est une rotation de sens horaire.
Aide mémoire pour la rotation
( , ) ( , ) donc ( , ) ( , )
( , ) donc ( , )
Rotation de 90 degré (ou -270 degré)
L’image du point P(x, y) obtenue par une rotation de 90°
est le point P’ ( -y , x )
Règle : r ( o , 90° ) : ( x , y ) ( -y , x )
Exemple :
A ( -2 , 0) B ( -5 , 4 ) C ( 1, 1) Donc, A’( , ) B’( , ) C’ ( , )
Exercice :
Trouve l’image des points ( 2 , -3 ) et ( -3 , 2 ) par r ( o , 90° )
Rotation de 180 degré
L’image du point P(x, y) obtenue par une rotation de 180°
est le point P’ ( -x , -y )
Règle : r ( o , 180° ): ( x , y ) ( -x , -y )
Exemple :
A ( -2 , 0) B ( -5 , 4 ) C ( 1, 1) Donc, A’( , ) B’( , ) C’ ( , )
Exercice :
Trouve l’image des points ( 2 , -6 ) et ( 6 , 2) par r ( o , 180° )
Rotation de 270 degré (ou -90 degré)
L’image du point P(x, y) obtenue par une rotation de -90°
est le point P’( y , -x )
Règle : r ( o , -90° ) : ( x , y ) ( y , -x )
Exemple :
A ( -2 , 0) B ( -5 , 4 ) C ( 1, 1) Donc, A’( , ) B’( , ) C’ ( , )
Exercice :
Trouve l’image des points ( -3 , 2 ) et ( 2 , -3 ) par r ( o , -90° )
Effets des transformations sur les figures initiale et image
Translation Rotation Symétrie Homothétie
Changement d’échelle (vertical ou
horizontal) Les figures
sont
isométriques
√ √ √ √
(si k= 1) Les figures
sont
semblables
√ √ √ √
Composition de transformation
C’est une suite de deux ou plusieurs transformations. Elle permet d’établir une
correspondance entre un point dans le plan initial et son image après la succession des transformations indiquées.
Elle s’exprime avec le symbole
, qui se lit « rond », entre chaque transformation incluse dans la composition.Cette notation s’interprète de droite à gauche.
Exemple :
t(3, -1) sy : « appliquer au plan une réflexion par rapport à l’axe des Ordonnées, sy , suivie d’une translation de 3 unités vers la droite et de 1 unité vers le bas, t(3, -1) . »
Exercices
Effectue les composées de transformations suivantes, selon les sommets du triangle A ( 2 , 2) B ( 4 , 5 ) C ( 6, 3). Le composé de transformation est : t(3, -1) sy
sy : ( x , y) ( -x , y) t(3, -1) : ( x , y) ( x + 3 , y -1)
A ( 2 , 2) A’ ( , ) A’’( , ) B ( 4 , 5 ) B’ ( , ) B’’( , ) C ( 6, 3). C’ ( , ) C’’ ( , )
Les réciproques de transformation
Dans chaque cas ci-dessous, indique la transformation ou la composition de transformations qui a été appliquée au plan de sorte que la figure image se trouve aux coordonnées données. Trouvez les coordonnées des sommets de la figure initiale.
Exercice 1 :
T( 2, -1) o Sx Image A’’ (1,-4) B’’(4 , -1) C’’ (6,4)
sx : ( x , y) ( x , -y) t(2, -1) : ( x , y) ( x + 2 , y -1)
A’’ ( 1 , -4) A’ ( , ) A ( , ) B ( 4 , -1 ) B’ ( , ) B ( , ) C ( 6, 4 ) C’ ( , ) C ( , )
Exercices 2 :
Sy o h( o, 4/3 ) Image A’’ ( -8/3 , -8) B’’ (16 , 20/3) C’’( -4 , -3/4)
h( o, 4/3 ):( x , y) (4/3x,4/3y) sy : ( x , y) ( -x , y) A’’ ( -8/3, -8) A’ ( , ) A ( , )
B’’ (16 , 20/3) B’ ( , ) B ( , )
Exercices 3 :
Soit le quadrilatère ayant pour sommets A ( -5, -2), B (-3, 7), C ( 4, 6) et D (0,-9). Trouve la transformation géométrique ou la composition de
transformations ayant été appliquée au plan afin d’obtenir les figures images suivantes.
A ( -5, -2) A’ ( 15/4 , 3 /2)
B (-3, 7) B’ (9/4 , 21/4 )
C ( 4, 6) C’ (-3, -9/2)
D(0,-9) D’ (0, 27/4)
