L'ÉLECTRODYNAMIQUE DES LIGNES DE TOURBILLON DANS UN SUPRACONDUCTEUR DE SECONDE ESPÈCE

(1)

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L’ÉLECTRODYNAMIQUE DES LIGNES DE

TOURBILLON DANS UN SUPRACONDUCTEUR DE

SECONDE ESPÈCE

B. Goodman, J. Matricon

To cite this version:

(2)

JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque C 3, Supplément

au

no 7-8, Tome 27, juillet-août 1966, page C 3-39

L'ÉLECTRODYNAMIQUE DES LIGNES DE TOURBILLON

DANS UN SUPRACONDUCTEUR DE SECONDE ESPECE

par B. B. GOODMAN

Centre de Recherches sur les très Basses Températures Grenoble (Isère)

et

J. MATRICON Faculté des Sciences d'Orsay

Résumé.

-

On présente quelques théorèmes relatifs à l'électrodynamique des lignes de tourbillon dans un supraconducteur de seconde espèce dans la limite K % 1 et lorsque la faible densité

de lignes conduit à un système d'équations linéaires pour le champ magnétique et la densité de courant. On remarque surtout l'analogie entre les résultats obtenus et (a) l'électrodynamique de circuits linéaires et (b) la théorie des dislocations.

Abstract.

-

A number of theorems concerning vortex lines in Type II superconductors are presented, in the limit K % 1 and when the density of lines is sufficiently small for the magnetic field and current density to be governed by a set of linear equations. The similarity between the present results and (a) the electrodynamics of linear circuits and (b) the theory of dislocations, is striking.

1. Introduction.

-

La théorie d'Abrikosov [1], basée sur les équations de Ginzburg et Landau (GL) [2], rend bien compte du comportement magnétique réversible des supraconducteurs massifs de seconde espèce [3]. Le champ qui pénètre le corps est alors associé avec l'existence d'un réseau régulier de lignes de tourbillon qui sont parallèles au champ extérieur. Cependant, de nombreuses expériences démontrent qu'à moins de préparer l'échantillon avec un soin tout particulier l'on obtient un comportement magné- tique irréversible. Ceci correspond à une répartition non uniforme des lignes de tourbillon, due, proba- blement, à l'ancrage de celles-ci par des défauts étendus dans l'échantillon.

Afin d'étudier de telles situations, nous examinons ici certaines propriétés statiques de lignes de tourbillon non rectilignes.

L'existence et la structure de lignes de tourbillon découlent directement de la deuxième équation de GL [2], pour la densité de courant j , qui s'écrit :

où

iI/

=

Go

exp(i0) (iI/, et 0 réels) est le paramètre d'ordre, A(+,) = (mc2/16 ne2 t+b,2)112 est la profon-

deur de pénétration locale, a , le potentiel vecteur et les autres symboles ont leur signification habituelle. En effet, pour toute solution des équations de GL

t+b

_,.

doit être une fonction monotone, ce qui impose

$c dl. grad 0 = 2 nn, où n est un nombre entier et C

J

un contour fermé tracé à l'intérieur du supraconducteur. Cette condition, reportée dans l'équation (1. l), montre que le fluxoïde cp, enfermé par C est quan- tifié [4] :

où cp, = hc/2 e E 2 x gauss cm2.

Cependant, si London [4] a prévu la quantification du fluxoïde dans le cas où C enferme un trou dans un supraconducteur multiplement connexe, Abrikosov [Il a démontré que cp, pouvait également être non nul lorsque C entoure une « ligne de tourbillon » le long de laquelle t) = O et rot grad O est singulier.

De même que pour les lignes de vorticité en méca- nique des fluides classiques et pour les dislocations dans des cristaux, il est évident qu'une ligne de tourbillon ne peut pas s'arrêter à l'intérieur du corps. Elle doit soit se terminer à la surface de l'échantillon

(3)

C 3 - 4 0 B. B. GOODMAN E T J. MATRICON (Fig. 1 (a)), soit se renfermer sur elle-même pour

former une boucle (Fig. 1 (b)), soit s'associer avec une autre ligne de tourbillon (Fig. 1 (c)).

FIG. 1. -Exemples de la forme que peut prendre une ligne de tourbillon :

(a) la ligne se termine à la surface de l'échantillon, (b) elle se referme sur elle-même pour former une boucle,

(c) une ligne à deux quanta se divise en deux lignes à un quantum chacune.

Cependant, tout indique que dans des supraconducteurs de deuxième espèce un seul quantum de fluxoïde est associé avec chaque ligne de tourbillon, ce qui exclurait la situation de la figure 1 (c). Les variations spatiales de $ sont régies par la première équation de GL, laquelle démontre qu'une pertur- bation locale de la valeur de $, s'atténue dans l'espace sur une distance - de l'ordre de la distance

de cohérence,

5

= ÂL/ J2 rc, où Â, est la profondeur de pénétration, dite de London, d'un champ faible, et K , le paramètre de GL, supérieur à

1/45

pour un

supraconducteur de deuxième espèce. La figure 2 montre les variations de h (le champ magnétique),

et de $, au voisinage d'une ligne de tourbillon rectiligne isolée dans un cas où K 9 1 (rc = 10) [5].

On voit sur cette figure que l'on peut distinguer deux régions : (a) le cœur, de rayon

5,

où la supra- conductibilité est fortement perturbée, et (b) la région extérieure, où

iC/,

est sensiblement constant et égal à sa valeur $,, en champ faible.

Si l'on tient compte de l'existence du cœur de la ligne de vortex, sans en étudier la structure, on peut, lorsque K 9 1, écrire l'équation (1 . l ) sous la

forme

h

+

rot rot h = 9, 6(v

-

v,) , _{(1 .3)}

où Â, =

A($,,)

est la profondeur de pénétration dans

la région loin du cœur. La distribution delta satisfait

L'intégrale vaut zéro si la surface a ne coupe pas la ligne r = r,,

+

1 si le contour enfermant a entoure la ligne dans le sens positif et

-

1 dans le cas contraire (*).

Dans cet article nous présentons un certain nombre de relations théoriques qui peuvent être établies à l'aide de l'équation (1.3). Nous pouvons éviter d'étudier la structure du cœur des lignes de tourbillon en supposant (a) que K $- 1 (c'est-à-dire, Â, 9

5)

et (b) que toutes les dimensions géométriques de l'échantillon ainsi que toutes les longueurs décrivant la distribution des lignes de tourbillon (séparations entre lignes, rayons de courbure, etc ...) sont grandes par rapport à

5.

De plus, puisque l'on sait [6] qu'un champ magnétique de l'ordre de H, peut perturber

sérieusement la valeur de $, même en l'absence de lignes de tourbillon, nous limiterons notre attention au cas où B, l'induction moyenne à l'intérieur de l'échantillon, est partout faible. Ainsi, le champ en un point donné à l'intérieur de l'échantillon obéira toujours à l'équation (1.3) et sera la superposition linéaire des contributions provenant (a) des diffé-

rentes lignes de tourbillon présentes, et (b) des sources extérieures du champ.

Nous considérons uniquement des situations iso- thermes. Par conséquent, toutes les énergies seront mesurées par rapport à celle du supraconducteur dépourvu de lignes de tourbillon et en champ nul.

Pour une ligne de tourbillon rectiligne, éloignée FIG. 2. - Variaîjon du champ magnétique et de ~l/o au

voisinage d'une ligne isolée dans un supraconducteur pour lequel

K = 10.

(4)

L'ÉLECTRODYNAMIQUE DES LIGNES DE TOURBILLON C 3 - 4 1

des surfaces de l'échantillon, la solution de l'équation ( 1 . 3 ) est [ l ] .

'Po

h(r) =

-

Ko(r/AL)

,

2 711;

où Ko(x) est une fonction de Hankel d'ordre zéro [7], et r est la distance (>

t)

mesurée à partir de la ligne. Les contributions principales à l'énergie par unité de longueur de ligne (ou tension de ligne, 3 ) provien- nent de la densité d'énergie du champ magnétique (h2/8 n) et de la densité d'énergie cinétique des cou- rants supraconducteurs ( 1 rot h)'/8 7c dans la région extérieure au cœur. On trouve [ l ] :

lorsque

Â L / t

% 1, où H,, est le champ de transition inférieur.

-

Puisque la contribution à 3 provenant de la per- turbation de

S/

dans la région du cœur est de l'ordre de 7 1 t 2 ( ~ , 2 / 8 71) = ((p0/4 nÂL)'/8, celle-ci peut-être négligée lorsque rc % 1 .

Dans le cadre des approximations que nous faisons, nous étudions le problème d'une interaction purement électrodynamique entre les lignes de tourbillon elles-mêmes et entre celles-ci et le champ extérieur. Puisque cette interaction électrodynamique dépend surtout de la valeur de A,, avec seulement une faible variation logarithmique en fonction de

5,

on peut espérer que nos conclusions restent valables lorsque rc 9 1, même à des températures où les équations de G L ne sont pas rigoureusement valables.

2. Le champ dû à une distribution arbitraire de boucles de tourbillon. - Considérons d'abord un échantillon infini qui contient un certain nombre de lignes de tourbillon en forme de boucle. La fonction de Green de l'équation de London s'écrit alors

Le champ magnétique dû à la j-ième boucle, solution de l'équation ( 1 . 3 ) , s'écrit [8, 91

e - l r - r j l l A ~

h j ( r ) = --- ' O

$

dl,

4

~ n ;

L j ( l+ - Y ,

1

9 ( 2 . 2 )

où r, est la position de l'élément de longueur dlj. Lorsque la surface S de l'échantillon n'est plus très éloignée du point r par rapport à A, l'expression

( 2 . 1 ) cesse d'être valable. Le champ total h(r) s'ex- prime alors sous la forme [ I O ]

où h, est le champ à l'endroit de l'élément de surface dSk et cp = exp(-

1

r

-

r,

1

/AL)/([ r

-

r , 1). Cette expression pour h est semblable à celle du potentiel vecteur d'une répartition de courants linéaires. A l'aide de l'identité

i d l = J { d S ~ g r a d i ,

L 1 ( 2 . 4 ) .

où dS est un élément de la surface Z enfermée par le contour L et

I:

est un scalaire, on peut écrire l'équa- tion (2.2) sous la forme

où r j est la position de l'élément de surface dSj. Si la boucle est suffisamment petite par rapport à 1, on peut lui attribuer un a moment D ~i, = q,

1

dSj.

J J r j

Le champ en un point P, dont la position par rapport

à la boucle est définie par le vecteur r , = r

-

r j , devient alors

ce qui est analogue à l'expression pour le potentiel vecteur d'un dipole magnétique. La densité de courant s'écrit alors

où cp = exp(- rp/A3/r,, ce qui est analogue à l'expression classique pour le champ dû à un dipole magnétique.

(5)

C 3 - 4 2 B. B. GOODMAN ET J. MATRICON

totale due à la présence simultanée de deux boucles de tourbillon, j et k, situées à l'intérieur d'un volume

V et loin de sa surface S, s'écrit

Puisque h = hj

+

h,, hj étant la solution de l'équation (1.3) pour la j-ième boucle, l'identité vectorielle div (a A b) = b.rot a - a.rot b _(3.2) permet de réécrire l'équation (3.1) :

+

jIIv

hj.(hk

+

A:

rot rot hk) d i

+

/[IV

hk.(hj

+

1 :

rot rot hj) dr

+

(h, A rot hi)). _(3.3)

Les deux premiers termes représentent les énergies individuelles des lignes en l'absence d'interaction ; nous reviendrons sur ces expressions plus tard, dans le cas d'une ligne non rectiligne. Lorsque la surface S est très loin des lignes l'intégrale de surface devient négligeable à cause de la décroissance exponentielle des termes en cp dans l'équation (2.3). Grâce à l'équa- tion (1.3) l'énergie d'interaction entre les deux lignes peut alors s'écrire :

où h,(r,) est le champ dû à la j-ième ligne à l'endroit vk sur la k-ième ligne, et les intégrales curvilignes sont calculées le long de chacune des lignes de tour- billon. A l'aide de l'équation (2.2) on trouve que les deux intégrales sont identiques et que, par conséquent, les deux boucles jouent des rôles symétriques. Le résultat final s'écrit [8] :

De plus,

iy),

le courant qui passe à travers la

k-ième boucle, à cause de la densité de courant jj = ( 4 4 n) rot hj due à la j-ième boucle, peut s'écrire :

is"' =

SI,

dSk.jj = ( ~ / 4 n ) $ hj(d.dlk

L*

où

Zn

est la surface enfermée par la n-ième boucle. Donc le courant qui passe à travers la k-ième boucle, à cause de la proximité de la j-ième boucle, est égal au courant qui passe à travers la j-ième à cause de la présence de la k-ième boucle. Ainsi l'équation (3.5) peut s'écrire :

Ce résultat, valable uniquement lorsque chaque boucle porte un seul quantum de fluxoïde, se généralise facilement au cas où le nombre de quanta de fluxoïde dans chaque boucle de tourbillon est arbitraire. Nous avons déjà remarqué ci-dessus que certaines de nos équations ressemblent à celles qui décrivent le comportement de circuits linéaires. En effet, pour un circuit linéaire traversé par une intensité i l'analogue de l'équation (1.3) est

rot rot a = (4 nlc) i6(v

-

v,)

.

(3.8) Donc cpo joue le même rôle que l'intensité du courant, h joue le rôle du potentiel vecteur dû à cette intensité et ij(k) et ik(j) jouent chacune le rôle du flux magnétique qui passe à travers un circuit et qui est crée par l'inten- sité circulant dans l'autre. Dans l'équation (3.5) la double intégrale ressemble à celle qui donne le coeffi- cient d'induction mutuelle entre deux circuits, et les expressions pour Wjk sont analogues à celles que l'on peut écrire pour l'énergie d'interaction entre deux circuits.

(6)

L'ÉLECTRODYNAMIQUE DES LIGNES DE TOURBILLON 4. Energie d'une ligne de tourbillon non rectiligne.

-

On peut utiliser l'équation (3.5) afin de calculer l'énergie d'interaction d'une ligne avec elle-même, égale simplement au double de l'énergie propre de cette ligne. Cependant, pour empêcher l'intégrale de diverger nous excluons du domaine d'intégration la région où

1

r j - rk

1 < 5.

Dans le cas d'une ligne de tourbillon rectiligne on trouve ainsi

où El est l'exponentielle intégrale [15]. Puisque, lorsque

x 4 1, E,(x) E y

-

log x

+

O(x), (y = 0,577 est la

constante d'Euler) on retrouve, pour K 9 1, l'équa- tion (1 .6).

Considérons maintenant une ligne non rectiligne dont p, le rayon de courbure, non seulement est grand par rapport à A,, mais varie peu lorsqu'on se déplace le long de la ligne d'une distance A,. Soit dl, et dl, deux éléments de la ligne situés à r, et r, respectivement, et 2 8 l'angle entre les rayons qui relient dl, et dl, au centre de courbure locale de la ligne (Fig. 3).

L'énergie de la ligne s'écrit

e- l v i - v z l l L i .

W='(%)'f 2 4 na, d l , . I r > t dl, Ir1

-

Y 2

I

,

(4.2)

o ù r = Ir,

-

r , ] .

Pour un élément de longueur dl, donné

1

dl,

1

= 2 p de, d r

=

d

1

rl

-

r,

1

= d(2 p sin 8)

=

Donc

On voit que la diminution de W, due au manque de parallélisme entre dl, et dl,, donnée par l'équation (4.4), l'emporte sur l'augmentation de dl, pour une valeur de dr donnée, exprimée par l'équation (4.3). Pour calculer W1(p), le changement de W dû à la courbure de la ligne, représenté par le terme en 3 02/2 dans l'équation (4.5), nous utilisons 8 = r/2 p, et nous trouvons

Le signe négatif indique qu'une ligne de longueur fixe préférerait se courber, afin de diminuer son énergie. Cependant, dans le cas plus réaliste où c'est la distance L entre deux points d'ancrage de la ligne qui est fixe, deux causes de variation d'énergie entrent en compé- tition : d'une part la courbure de la ligne donne lieu à une diminution d'énergie, égale à

-

(3 L/2) ((po/8 np)2 ; d'autre part l'équation ('1.6) montre que l'allongement de la ligne, égale à L3/24p2, conduit à une augmentation de l'énergie égale à

Ce dernier terme l'emporte lorsque

L

>

3A,

{

log (A,/<) )"2

.

Puisque l'on peut espérer étudier le comportement d'une ligne isolée uniquement dans des échantillons où la densité de centres d'ancrage est faible, c'est- à-dire lorsque L %- AL, on conclut que dans les cas d'intérêt pratique une ligne ancrée en deux points suivra toujours la droite qui les rejoint.

(7)

C 3

-

44 B. B. GOODMAN ET J. MATRICON où a = 2 RIA,, et la limite inférieure de l'intégration

est choisie afin d'éviter la divergence de l'intégrale et d'obtenir la valeur attendue, W = 2 KR 3, lorsque R tend vers l'infini.

Si nous n'avons pas réussi à évaluer cette intégrale explicitement on peut faire un développement dans les deux cas limites a % 1 et a

<

1. Dans le premier cas (R p

A 3

on trouve

en accord avec l'équation (4.6). L'équation (4.8) montre que W,,

,

est une fonction monotone croissante de R. Dans l'autre cas limite,

t

4 R 6 A,, l'on trouve

qui est également une fonction monotone croissante de R. On peut donc penser que W est une fonction monotone croissante de R pour toute valeur de R et que, par conséquent, une ligne de tourbillon en forme de boucle aura tendance à se rétrécir et à disparaître si aucune force supplémentaire ne lui est appliquée. 5. La force qui s'exerce sur un Clément de ligne de toiirbillon à h9intérieur de l'échantillon.

-

A l'aide

des expressions déjà obtenues on peut maintenant calculer la force qui s'exerce sur un élément d'une ligne de tourbillon en forme de boucle à cause de la proximité d'une ou plusieurs autres lignes de tourbillon. Nous considérons toujours seulement des situations où la surface de l'échantillon est très éloignée, par rapport à A,, des lignes de tourbillon considérées. Les effets de surface et l'influence d'un éventuel champ extérieur seront pris en considération plus tard. Si un élément de ligne dlj se déplace d'une distance dsj, en moyenne, le changement de superficie de cette boucle de tourbillon vaut dsj A dlj. D'après l'équa-

tion (3.7) le changement de l'énergie d'interaction entre la j-ième et la k-ième boucle de tourbillon vaut

où

jk)

est la densité de courant due à la k-ième ligne au niveau de dlj.

Mais, d Wjk est également le travail fourni en dépla-

çant dlj, contre la force dFtk) exercée sur lui par la k-ième ligne de tourbillon :

Ainsi on trouve

Comme Pearl l'a fait remarquer [16], la force due à l'élément de ligne qui s'exerce sur le courant dû à une autre ligne,

-

d ~ y ) , est l'opposée de l'expres- sion usuelle pour la force de Lorentz exercée par un champ sur un courant. Cependant, ce paradoxe se trouve résolu si l'on se souvient que dans le présent problème le fluxoïde associé avec une ligne est l'analogue du courant porté par un circuit et la densité de courant est l'analogue de l'induction. Lorsque nous déplaçons l'élément dlj, nous le faisons à fluxoïde constant et le travail est d'origine purement mécanique. Par contre, lorsque nous déplaçons un élément de circuit, le travail est d'origine mécanique, mais aussi d'origine électrique car pour opérer à courant constant, nous demandons aux générateurs un travail supplémentaire égal au double du travail mécanique et de signe opposé. Les variations d'énergie par déplacement relatif de deux boucles de tourbillon et de deux circuits élec- triques sont donc égales et de signe opposé, d'où des forces de signes contraire. Le résultat (5.3) se géné- ralise facilement à un nombre quelconque de boucles. Dans l'équation (5.3) nous avons tenu compte uniquement des forces exercées sur dl, par les autres lignés de tourbillon présentes, mais il f& tenir compte également de la force due à la courbure de la ligne dont dlj fait partie.

Puisque Wjj, l'énergie propre de la j-ième boucle de tourbillon, est égale à la moitié de l'énergie d'interaction entre elle-même et une boucle identique qui lui est superposée, l'équation (3.7) montre que

où i($

,

est le courant qui passe à l'intérieur de la boucle [17]. Lorsque l'on calcule Wjj en intégrant la densité de courant sur la surface enfermée par la boucle on évite la divergence de cette intégrale en excluant des éléments de surface situés à une distance de la ligne inférieure à

5 .

Si un élément de ligne dlj se déplace d'une distance moyenne dsj, Wjj change d'abord parce que la surface sur laquelle l'intégration mentionnée ci-dessus change de dsj A dlj, ce qui conduit à un changement

(8)

de courant au niveau du cœur due au reste de la boucle. Mais ensuite, le courant total qui passe à l'intérieur de la boucle initiale Zo change parce que nous avons ajouté à celle-ci un élément de boucle dZ de surface (dsj A dlj), qui possède son propre champ de densité

de courant, donné par l'équation (2.7). D'après l'équation (3.7) l'augmentation de courant dans Z0 est égale au courant dû à celle-ci qui traverse dZ. Donc le changement total de Wjj, égal au double de la première contribution donnée ci-dessus, vaut

La densité de courant jSJ') due à la courbure de la boucle crée donc une force sur l'élément de ligne dlj quiiest donnée par une équation semblable à l'équa- tion (5.3).

6. Energie d'un système de lignes de tourbillon proches de la surface de l'échantillon. - Considérons maintenant un échantillon qui contient des lignes de tourbillon dont certaines peuvent soit être proches de la surface de l'échantillon (Fig. 4a), soit s'y terminer (Fig. 4b). Dans ce dernier cas la surface C

sur laquelle s'intègre la densité de courant est une surface s'appuyant et sur la ligne, et sur la surface extérieure de l'échantillon. On suppose qu'aucun champ magnétique de source extérieure n'est appliqué à l'échantillon. La seule restriction quant à la forme de celui-ci est que les rayons principaux de courbure de la surface soient toujours grands par rapport à

L'énergie du système est donnée par

où V I est le volume occupé par l'échantillon et V , est le volume extérieur. London [17] a calculé W, sans pourtant le décomposer explicitement en termes dus à l'énergie propre de chaque ligne et en termes dus à l'énergie d'interaction entre paires de lignes.

Puisque

où hj est le champ dû à la présence de la j-ième ligne, l'énergie d'interaction Wjk entre deux lignes différentes, j et k, s'écrit

" " P

+

511

(hj.hk) d i . (6.3)

V 2

A l'aide de l'identité (3.2) l'équation (6.3) se transforme en une intégrale prise sur le seul volume de l'échantillon

la somme des deux intégrales sur la surface de l'échan- tillon étant nulle à cause de la continuité de h etde a . En appliquant l'équation (1.1) à la région loin du cœur, la méthode de London [17] démontre que (6.4) peut s'écrire

Cette équation, qui démontre que i? = iy), est une généralisation de l'équation (3.7) au problème pré- sent.

L'énergie propre d'une ligne, Wjj, étant donnée Par [171

on retrouve immédiatement le résultat de London [17] lorsque plusieurs lignes de tourbillon sont présentes :

(9)

C 3 - 4 6 B. B. GOODMAN ET J. MATRICON

où

jk)

est la densité de courant due à la k-ième ligne dans V2, On trouve

au niveau de dlj. Ainsi l'on retrouve l'équation (5.3).

On remarque surtout que

jp)

est la densité de 8 n G = I I I { a - a e + 4 n A ~ j / c } . ( 4 n j / c ) d r , courant due à la k-ième ligne, compte tenu de la VI

présence de la surface de l'échantillon, et que nous (8.4)

n'avons pas besoin de connaître

jk)

pour établir _{où h}_{= rot} _{et he}₌_rotae.

l'équation (7.1). Cependant, pour calculer la force _{Ensuite l'équation (1.1) nous permet, grâce}_à_la explicitement,

jk'

peut être calculée par la méthode _{méthode d'intégration de London [17], d'écrire} _: des images. Le calcul de la force exercée sur une ligne

par elle-même se généralise de la même manière que

G = (9012 c)

-

(1,2

dans le cas précédent d'un milieu infini.

J

1 J

( i - j ) 9

Y1 (8.5)

8. Energie d'une ligne de tourbillon dans un échantil- lon soumis à un champ extérieur. - Considérons enfin le cas d'un échantillon, initialement en champ extérieur nul, et qui contient une ligne de tourbillon qui crée un champ h,(v) et une densité de courant j, = (cl4 TC) rot h,. L'énergie de l'échantillon est don-

née par I'équation (6.1) en mettant h = h,.

Supposons maintenant qu'une source extérieure crée un champ qui, en l'absence de l'échantillon, serait h,(r). A cause de la présence de l'échantillon et de la densité de courant ji = (c14.n) rot hi(r) induite par he dans celui-ci, il règne un champ total h(r) donné par

Lors d'une variation dh du champ total le travail élémentaire dW, fourni par l'alimentation de la source du champ est donné par [18]

où l'intégrale s'étend sur tout l'espace. Après l'appli- cation de h, l'énergie du système est toujoursldonnée par l'équation (6. l), h étant maintenant le champ total.

Le travail fait par une force qui déplace un élé- ment de ligne de tourbillon est égal à l'augmentation de l'énergie du système moins le travail fait par l'alimentation de la source du champ, soit au change- ment de l'énergie libre de Gibbs [16] G , donnée par

A l'aide de l'identité (3.2), du fait que rot h, = O à l'intérieur de VI et que

rot (h

-

h,) = rot (hi

+

hJ = O

où i, l'intensité totale qui circule autour de la ligne de tourbillon, est composée d'une partie i,, due à la ligne elle-même, et une partie induite, ii :

Puisque, dans VI, j = ji

+

j,, l'intégrale dans I'équation (8.5) se décompose en deux parties. La première, qui est fonction de a, et de ji, est indépen- dante de la présence de la ligne de tourbillon et ne nous concerne pas. La deuxième peut s'écrire [16]

Mais

De plus, si la surface extérieure tend vers l'infini on peut écrire

O =

J JJv.+v,

dz div { ai A rot a,

-

a,

A rot ai }

,

puisque ji = j, = O dans V2. Les équations (8.8) et (8.9) permettent d'écrire (8.7) sous la forme

= ((~012 c ) ii

,

(8 .1 O)

(10)

L'ÉLECTRODYNAMIQUE DES LIGNES DE TOURBILLON C 3 - 4 7 Pearl donne, pour la partie de G qui dépend de la

présence de la ligne de tourbillon :

Le dernier terme est le résultat familier pour l'éner- gie propre de la ligne. Le terme cpoii/c tient compte de l'interaction avec le champ extérieur. On peut donc démontrer que la force dF exercée sur un élé- ment dl de la ligne, à cause de la densité de courant ji due au champ extérieur, est de la forme

dl; = (cp,/c) ji A dl

.

(8.12)

Il apparaît donc que la force exercée sur un élé- ment de ligne de tourbillon est toujours de la forme (cpo/c) j A dl, où j est la densité de courant totale au

niveau de la ligne en l'absence de l'élément dl, que j soit due à la courbure de la ligne elle-même, à la pré- sence d'autres lignes ou bien à l'effet d'un champ exté- rieur, et ceci quelle que soit la forme de l'échantillon. Si notre résultat s'applique à un élément de ligne déter- miné, notons que Friedel et al. [19] ont calculé la force moyenne par unité de longueur des lignes de tourbillon présentes en fonction de la densité moyenne de courant.

9. Calcul explicite de l'énergie d'une ligne au voisi- nage d'une surface plane. - Jusqu'à présent, nous avons étudié différentes répartitions générales des lignes de tourbillon et du champ extérieur, sans calculer explicitement les intensités et la densité de courant qui permettent de connaître respectivement l'énergie du système et la force exercée sur un élément de ligne. Dans le cas où un champ uniforme H est appliqué parallèlement à la surface plane x = O d'un échantillon qui occupe la région x

>

O, on peut calculer la répartition de champ magnétique et la densité de courant dues à une ligne de tourbillon grâce à la méthode des images.

Soit r = u1 la position de la ligne de tourbillon L,, supposée parallèle à la surface, et r = r , celle de son image (x, = - x,, y, = y,, 2, = z,). Le calcul de W, l'énergie du système se fait en intégrant l'équation (3.1) à l'intérieur de l'échantillon, avec

hl

+

2; rot rot hl = cp, 6(r

-

r,) ,

\

h,

+

1: rot rot h, = cp, 6(r

-

r,)

,

(9.1) h,

+

2; rot rot h, =, 0 ,

Nous pouvons décomposer W de la façon suivante

3 r r r

+

2

IIIv

(h2

+

h3).(h1

+

2; rot rot hl) dr

+

2 2 : I j I do.{(h2

+

h3) A rot h l )

+

2

IIIv

h3.(h2

+

2: rot rot h,) dr

+

2 2 ; da.(h, A rot h,),

Z (9 2)

où C est la surface de l'échantillon.

Compte tenu des équations (9.1) et de l'égalité, facile à établir,

il reste finalement :

3 r r r

+

2 2 :

11

do.{h, A (rot hl

+

rot l , ) ) .

(11)

C 3 - 4 8 B. B. GOODMAN ET J. MATRICON De même que précédemment nous calculons l'éner-

gie libre de Gibbs

où B est la valeur moyenne des champs à l'intérieur de l'échantillon, soit

et V, le volume total du supraconducteur. Le terme provenant de h , ne nous intéresse pas, car il représente une contribution due au champ extérieur qui est une constante du problème. Il reste donc à évaluer

" , . O

Compte tenu des équations (9.1) ceci s'écrit

On voit que le dernier terme compense le dernier terme de l'équation (9.4). Finalement l'énergie de Gibbs est donnée par

La signification des différents termes est la suivante : le premier représente l'énergie de ligne de Li isolée, le second est l'énergie d'interaction de L, en présence de son- image, le troisième l'énergie de LI dans le champ de pénétration de London et le dernier, tel qu'il est écrit ici, représente l'énergie d'interaction de l'image avec le champ extérieur. Si la ligne LI est orientée parallèlement au champ, les trois premiers termes sont positifs et le dernier est négatif.

10. Calcul du champ de nucléation.

-

De Gennes a démontré [6] que le champ qui, appliqué à la surface d'un supraconducteur de K élevée, annule

+,

à la

surface est précisément

H,,

ce qui prouve que le champ de nucléation de lignes de tourbillon est au moins

H,. On peut essayer de décrire les étapes suivantes de cette nucléation en cherchant à partir de quelle valeur du champ à la surface une demi-boucle aurait tendance à croître sans limite.

Considérons la géométrie représentée sur la figure 5. Nous nous plaçons dans une situation où R,

FIG. 5. -Disposition d'une demi-boucle de tourbillon et de son image, dans un plan parallèle au champ extérieur.

le rayon de l'anneau, est grand devant

5

et petit devant A,. La solution de l'équation (1.3), en coor- données toroïdales, étant difficile, on peut se demander s'il est possible de chercher une solution approchée. Le problème, quelque peu similaire, du champ dû à une ligne de tourbillon droite qui rencontre perpen- diculairement la surface d'un supraconducteur, a été étudié par Pearl [16]. 11 trouve que le champ s'évase pour des distances, mesurées à partir de la surface, de l'ordre de ou inférieures à A,. En effet, alors qu'à I'in- térieur du spécimen la composante du champ paral- lèle à la ligne est donné par l'équation (1.5), près de la surface, pour r 4 AL, celui-ci vaut q, A,/2 nr3.

(12)

est correctement décrite par la méthode des images dans toutes les circonstances. Il est donc possible que l'on puisse utiliser la méthode des images pour une demi-boucle de forme arbitraire, à condition que ses dimensions soient petites par rapport à il,.

L'énergie libre de Gibbs de la demi-boucle est donnée par l'équation (8.1 1).

Afin de calculer le premier terme, égal à W j . de l'équation ( 6 . 6 ) , notons que, d'une part, pour un élément de ligne donné, la densité de courant tangentielle près de la surface est le double de la composante tangentielle en l'absence de la surface, à cause de l'effet de l'image. D'autre part, la surface sur laquelle la densité de courant s'intègre pour donner iy) dans l'équation ( 6 . 6 ) est la moitié de la surface T C R ~ enfermée par la demi-boucle et par son image. L'éner- gie W , recherchée est donc égale à celle d'une boucle de rayon R dans un milieu infini, donnée par l'équa- tion (4.9).

Le terme p , i i / c de l'équation (8.11) égale

-

cp, H R ~ / ~ il,, en premier ordre en (RIA,).

L'énergie libre de Gibbs totale est donc donnée Par

Il est commode de se servir de la relation H, = p0/4 et des unités réduites r = RI(,

k' = H / H , et g = 32 r c i l ~ ~ / p ~

5 ,

ce qui donne

Comme le montre schématiquement la figure 6 , la variation de g en fonction de r prend, selon la valeur de h', l'une ou l'autre des quatre formes sui- vantes : ( a ) pour h' = O, g possède un minimum pour r F 1 ; pour des valeurs plus élevées de r, la fonction

g est monotone croissante ; (b) pour h' légèrement supérieur à zéro, g possède en plus un maximum pour une certaine valeur assez élevée de i ; pour r supérieur à cette valeur, g est une fonction monotone décrois- sante de r ; ( c ) pour h' très élevé, g est une fonction décroissante de r pour toute valeur de r ;

(d)

pour une valeur intermédiaire de h', le maximum et le minimum dans la courbe g(r) se confondent pour donner un point d'inflexion avec une tangente hori- zontale. Cette valeur particulière de h' correspond à

FIG. 6. - Représentation schématique de la variation de g,

i'énergie libre réduite d'une demi-boucle au voisinage de la surface d'un échantillon, en fonction de son rayon réduit r, pour différentes valeurs du champ extérieur réduit, h' (voir équation 10.2).

dg/& = a2g/dr2 = O pour h' = 1,03 et r E 2,l. Le champ de nucléation serait donc de l'ordre de 1,03 H,.

Cependant, en l'absence de preuve rigoureuse de la validité de la méthode d'images que nous avons utilisée, et puisque la condition R &

5

n'est guère respectée, on doit considérer que notre résultat ne fait que compléter les précédents calculs du champ de nucléation [6, 211, en confirmant seulement l'ordre de grandeur de celui-ci dans des supraconducteurs dont la valeur de K est très élevée.

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