De la propagation de la chaleur et de la distribution de l'électricité (second article)

HAL Id: jpa-00236778

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Submitted on 1 Jan 1872

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l’électricité (second article)

A. Potier

To cite this version:

A. Potier. De la propagation de la chaleur et de la distribution de l’électricité (second article). J.

Phys. Theor. Appl., 1872, 1 (1), pp.217-221. �10.1051/jphystap:018720010021700�. �jpa-00236778�

DE LA PROPAGATION DE LA CHALEUR ET DE LA DISTRIBUTION DE L’ÉLECTRICITÉ

(SECOND ARTICLE);

PAR M. A. POTIER.

§ V.

Si divers corps

A, B, C, ...

^sont

chargés d’électricité,

que le

potentiel

^{sur ces} corps soit

V, V1, V 2,

^{... , on} pourra substituer à

un ou

plusieurs

^{de ces} corps ^{une autre} surface ayant ^{la même action}

qu’eux

^{sur tout}

point

^extérieur.

En

effet,

considérons l’état

thermique correspondant

^{à l’énoncé}

ci-dessus : les _corps

A, B, C,

^de

température

^constante

V, V1, V 2,

sont

plongés

^{dans un milieu}

conducteur ;

^{si nous} substituons aux

corps A ^{et B un} corps terminé par la surface isotherme correspon- dant à la

température

^{v, et maintenu}

précisément

^{à cette}

tempéra-

ture, ^{rien ne sera}

changé

^{à l’état}

thermique

^des

points

^{situés en}

dehors de cette surface v. Par

conséquent

^{rien non}

plus

^{ne sera}

changé

^{à l’état}

électrique

^{ni à la force} attractive ou

répulsive

^de

l’ensemble sur une masse

quelconque,

^{si cette surface se trouve}

chargée

d’électricité au

potentiel

^v.

Le flux de chaleur que traversait un élément 6 de _v, étant uE X

k,

restera

toujours

le même. Par

suite,

^{ce même élément de ~}

(§ II)

devra être

chargé

^d’une

quantité

d’électricité

égale

^à

a E ~

c’est-à-dire

47r

que la densité

4 E ~:

^{devra en un}

^point

^de la surface v être propor- tionnelle à la force exercée sur l’unité de masse

électrique placée

en ce

point. Si,

par

exemple,

le corps ^A seul existait et était une

barre suffisamment

longue

pour

pouvoir

^être considérée comme une

ligne FF’,

les surfaces isothermes seraient des

ellipsoïdes

^{de révolu-}

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:018720010021700

tion ayant ^{F ell~1 comme}

foycrs (~).

L’action d’un de ces

ellipsoïdes

sur un

point

^extérieur

quelconque

^{sera la} même que celle de la barre

FI?’,

^{s’il est}

chargé

^{en chacun de ses}

points

^d’une

quantité

d’électricité

égale à 1 multiplié

par la force exercée par la barre

Zi 7r

sur l’unité d’électricité

placée

^{en ce}

point.

Or cette force ou e est, pour les différentes

points

^d’un

ellipsoïde,

inversement

proportionnelle

^à la distance

qui

^les

sépare

^de

l’ellip-

soïde liomofocal infiniment

voisin,

ou,

d’après

^{un théorème connu,}

proportionnelle

^à la distance

qui

^lcs

sépare

^de

l’ellipsoïde

^homo-

thétique

infiniment voisin. On retrouve ainsi la distribution connue

de l’électricité à la surface de ^ces corps.

5 VI.

J’appliquerai

maintcnant les considérations

exposées

^{ci-dessus a}

la solution

complète

^d’un

problème simple

de distribution élec-

trique.

^Une

sphère

^en communication avcc la terre, ^{et sur}

laquelle

le

potentiel

^{est nul} par

conséquent,

^est influencée _par une boule

très-petite placée

^{en P}

fib~. ~ ~ (ou

^{bien la}

sphère

^est

pleine

^d’un

mélange

^{d’eau et de}

glace,

^{et la boule est à une}

température connue~ .

Les surfaces

d’égal potentiel,

^ou

isothermes,

^{sont des surfaces de}

révolution ^autour de la droite passant par le centre de la

sphère

^et

celui de la

petite boule ;

leurs méridiens tracés sur la

figure

^ont pour

équations,

^{comme il sera démontré}

ci-dessous,

^1"

4

^{r étant}

équations,

^{i? comme il sera démontré}

cl-deSSOLIS~ ~~

^’

== ’

^r

2013 20139~

^{r’ étant}

la distance au

point P,

^et 1’ la distance à ^un

point

^{S situé à l’inté-}

rieur de la

sphère qui

partage le diamètre dans le rapport ^{de 5 à}

3,

rapport

qui

^est

précisément

celui des distances du

point

^{P aux extré-}

mités de ce diamètre. Dans ces

conditions,

^{la courbe N -.} o, ^ou

le lieu des

points

^tels que le rapport

;~7 ’" ^{soit 4,}

^est la circonférence méridienne de la

sphère :

^{celle-ci est} donc la surface sur

laquelle

V ^‘. o. La

figure

montre comment ces surfaces se déforment

quand

^V

augmente.

Quand

la valeur de V devient

grande,

^{les méridiens se}

resserrent de

plus

^en

plus

^{autour du}

point

^{P en se}

rapprochant

^de

(1) Voir, pour ^la démonstration, ^les ouvrages cités de ^M. Lamé, ^{ou les travaux de} M, Chasles sur l’attraction des ellipsoïdes.

la forme de circonférence. Si la distance PS était de 5

centimètres,

les valeurs de V

correspondant

^aux différents

points

^{de la}

sphère

décrite du

point

^{P comme centre avec} OC,

o4

de rayon varieraient Fi~. 2.

seulement de

gg , ip8~

^à

gg , ~o i 6.

^On peut ^donc

regarder

^une

spllére

de

très-petit

rayon ayant ^{son centre au}

point

^{P comme une surface}

isotherme

correspondant

^{à une}

température (ou

^{à un}

potentiel)

d’autant

plus

^élevée que ^ce rayon ^sera

plus petit. Ainsi,

^{si nous}

supposons la

petite

^boule

placée

^au

point

^P ayant ^une

température

de 99

degrés environ,

^{et la}

sphère pleine

^de

glace fondante,

^{les sur-}

faces isotherme.-, auraient pour méridien les courbes tracées

ci-dessus,

et les

températures

^{de ces surfaces seraient données} par les chiures

placés

^{sur les courbes.} Si la boule est

chargée

d’électricité au poten- tiel gg environ ^et la

sphère

^en communication avec la terre, ^ces courbes sont les méridiens des surfaces

d’égal potentiel.

Ces surfaces

resteraient encore isothermes si la

tcmpératurc (ou

^le

potentiel)

^de

la boule P était diHërcnte de (~Q, mais la

température

^{de chacune}

d’elles serait modifiée dans le même rapport.

La

plus remarquable

^{de ces courbes est celle}

qui possède

^un

point singulier

^et

correspond

^à la valeur V ^- _0~2. Son

point singulier

est tel

qu’une

^molécule

électrique qui

y ^serait

placée

^{resterait en}

équilibrc

^sous 1’in ~lue~lce de la

petite

^{boule et de la}

sphére ;

^la

valeur de s en ce

point

^est

nulle,

^{et un} élément de surface ayant ^son

centre en ce

point

^{ne donnerait} passage à ^aucun flux. Les courbes amorcées

o, 18

^et o , 22 ^{montrent avec}

quelle

^{lenteur la}

température

ou le

potentiel

varie dans le

voisinage

^{de ce}

point.

En

général.,

pour obtenir ^{en un}

point quelconque

la valeur de _e, il

suffirait,

^{si les} méridiens tracés sont suffisamment

rapprochés

^dans

le

voisinage

^{de ce}

point,

^{de diviser la} ditrérence des nombres inscrits

sur ces méridiens _par la

plus

^courte distance de ces courbes aux

environs de ce

point.

^La

ligne

^de

propagation

^de la chaleur est

toujours dirigée

^{de la courbe à}

température plus

^{élevée vers la courbe}

à

température

^moins

élevée,

normalement à ces courbes.

S’il

s’agit d’électricité,

que l’on suppose la

petite

^boule

chargée

d électricité

positive,

^{la force}

qui

solliciterait une molécule élec-

trique positive

^sera

dirigée

^{comme la}

ligne

^de

propagation,

^{et dans}

le même sens. Sa mesure est la valeur de e.

Au lieu de construire

graphiquement

la valeur de _e, on peut ^la calculer _par les considérations suivantes :

l’expression

^{de V se com-}

pose de deux

parties : l’une 4 r

^{est le}

_potentiel

d’une masse électri-

r

que 4

rassemblée au

point P,

la seconde

2013 2013

^{est le}

^potentiel

^d’une

masse i de fluide

négatif

rassemblée au

point

^{S. La force exercée sur}

une molécule

électrique

s’obtiendra donc en composant ^deux

forces,

1,

4,

_{l.’ d. P l,} ^{. 1 ,}

l’une

4 2répulsive,

^{émanant du}

point P,

^l’autre attractive

r’2 ^éma-

r P P _r

Ilallt du

point

S. Cette valeur de ^e pour ^un

point quelconque

^est

Des théorèmes établis dans

le §

^{II de cet}

^article,

il résulte encore

que la densité

électrique

^en

chaque point

^{de la}

sphère

^est

4171: ^x

^{de la}

valeur de e en ce

point.

^Or pour les

points

^{de cette}

sphère

¹

== 4,.’,

. PS

1 d ^., ’1 ^. d d. ^{iY" .} d

par suite 1 ⁼

4 t’,3,

^{la densité}

électrique

^des différentes

points

^de

cette

sphère

variera donc ^en raison inverse du cube de la distance à la boule. On déduirait facilement de cette densité la

quantité

^d’élec-

’

tricité accumulée sur la surface de la

sphère,

^mais

l’intégration

^est

inutile

d’après

^ce que nous verrons ci-dessous.

Le

problème

^{sera donc résolu}

complètement

^si l’on démontre que les méridiens des surfaces isothermes ont bien pour

équations

v ‘.. 4 I, ;

r r ^{1 or, si l’on considère une}

sphère

p infiniment

petite

P P

pla-

cée en P et

chargée

^d’une

quantité

d’électricité

positive égale

^{à 4,}

une autre

placée

^{en S et}

chargée

^{d’une masse 1} d’électricité

néga- tive,

la valeur du

potentiel

^d’un

pareil système,

c’est-à-dire le travail nécessaire pour amener ^{de l’infini en un}

point

^déterminé

l’unité de _masse, ^’ serait

récisément

p la valeur

de ’~ - 1

_{r r} ^{l ou de V}

pour ^ce

point,

^{et la surface sur}

laquelle

^{V est nul est la}

sphère

^con-

_ sidérée.

Donc, d’après

^{le théorème énoncé au début de cet}

^article,

on pourra substituer ^à la

sphère

infiniment

petite chargée

^{de la}

quantité

ⁱ d’électricité et

placée

^au

point

^{S la}

sphère

^{dont le méri-}

dien a pour

équation -;:~; - 4,

r ^{sans rien}

^changer

^{à la valeur de V}

pour ^un

point quelconque,

pourvu que ^{sur cette}

sphère

^le

potentiel

soit

nul,

c’est-à-dire

qu’elle

^{soit en} communication avec la terre.

On

pourrait

^{encore à la}

sphère

substituer l’une

quelconque

^des

surfaces

qui l’entourent, jusques

^{et y}

compris

la surface

engendrée

par la rotation de la courbe _0, 2

(à

^{condition de}

charger

^{chacune de}

ces surfaces ^au

potentiel convenable),

et, ^{comme est nul au}

point singulier,

^on voit que,

malgré

^{la forme de cette}

surface,

la densité et, par

suite,

^{la tension}

électrique

^{seraient nulles en ce}

point.

^De

plus,

la

quantité

d’électricité à

répartir

^{sur chacune de ces surfaces serait}

toujours

^la

même, puisque

^la

figure

^montre que ^toute

ligne

^{de force}

arrivant à la

sphère

^{rencontre ces}

surfaces,

^et

réciproquement,

^et

cette

quantité

^est

précisément

^celle

qu’il

^faudrait supposer ^concen- trée au

point

S pour que les

lignes

^{de force et} les surfaces isothermes fussent les

mêmes

c’est-à-dire _i, la

quantité

d’électricité de la boule P étant !~ .