Discussion de l'influence de l'anisotropie du potentiel d'interaction sur l'élargissement et le déplacement, par collisions, de certaines raies de résonance

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Submitted on 1 Jan 1972

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Discussion de l’influence de l’anisotropie du potentiel d’interaction sur l’élargissement et le déplacement, par

collisions, de certaines raies de résonance

J. Butaux, F. Schuller, R. Lennuier

To cite this version:

J. Butaux, F. Schuller, R. Lennuier. Discussion de l’influence de l’anisotropie du potentiel d’interaction

sur l’élargissement et le déplacement, par collisions, de certaines raies de résonance. Journal de

Physique, 1972, 33 (7), pp.635-643. �10.1051/jphys:01972003307063500�. �jpa-00207289�

DISCUSSION DE L’INFLUENCE

DE L’ANISOTROPIE DU POTENTIEL D’INTERACTION

SUR L’ÉLARGISSEMENT

ET LE DÉPLACEMENT, ^PAR COLLISIONS,

DE CERTAINES RAIES DE RÉSONANCE

J.

BUTAUX,

F. SCHULLER

(*)

^{et R. LENNUIER}

Département

de Recherches

Physiques (**)

Université de

Paris-VI, 4, place Jussieu,

^Tour

22,

^2e

ét.,

75-Paris Ve

(Reçu

^{le 10 novembre}

1971,

^{révisé le 15}

février 1972)

Résumé. ²⁰¹⁴ On étudie l’influence sur la section efficace de l’anisotropie ^du potentiel d’interaction.

On introduit une méthode de résolution approchée ^de l’équation d’évolution, ^valable pour ^un niveau J = 1. On montre qu’il ^est nécessaire de tenir compte ^de l’anisotropie pour déterminer correc-

tement le potentiel ^à l’état excité à partir ^{des données} expérimentales.

Abstract. ²⁰¹⁴ One studies the influence on the cross section of the anisotropy of the interaction

potential. ^{A method for the} approximate resolution of the evolution equation ^{valid for a J = 1} level, ^is

proposed.

It is shown that one must take into account the anisotropy ^{in order to determine} correctly the interaction potential ^{in the excited state from} experimental ^data.

Classification Physics abstracts :

13-20

L’étude des

profils

des raies

spectrales atomiques élargies

par l’effet des collisions de l’atome

optique

avec des atomes d’un _gaz

perturbateur

^a

déjà

^fait

l’objet

^{de nombreux travaux}

expérimentaux.

^Parmi

eux, les mesures effectuées à très basse densité d’ato-

mes

perturbateurs présentent

^{un intérêt}

particulier

du

point

^{de vue de}

l’interprétation théorique,

^{car les}

critères de validité des théories basées sur

l’approxi-

mation

d’impact

^{sont alors}

remplis. Toutefois,

^dans

ces

conditions,

^les

analyses

^des

profils spectraux

nécessitent des

dispositifs

^{à très} haute résolution.

Pour l’étude en

absorption

^du

profil

^de la raie de résonance 2 537

Á

du _mercure, la méthode de

balayage magnétique

^est

particulièrement

^bien

adaptée.

^Cette

méthode,

^{dont les}

grandes lignes

^seront

rappelées

dans le

premier paragraphe,

^{nous a}

permis

^d’obtenir

les résultats rassemblés dans le tableau I :

TABLEAU 1

L’examen de ce tableau fait

apparaître

^l’insuffi-

sance de la théorie de Lindholm dans sa forme

pri-

mitive

[1],

^dans

laquelle

^un rapport

dUl/2/ du

^indé-

pendant

^du

couple

^et voisin de

2,8

^est

prévu.

^Plus

récemment,

^{certains auteurs}

[2], [3]

^ont

proposé

d’introduire dans cette théorie un

potentiel

^d’interac-

tion de Lennard-Jones à la

place

^du

potentiel

purement attractif. Par un choix

approprié

^des constantes du

potentiel

^on peut ^{obtenir un accord entre valeurs}

expérimentales

^et calculées. D’autre part, ^{à la suite} des travaux sur la théorie de la relaxation par collisions des états excités

[4], [5], [6], [7]

^{axés sur}

l’interprétation

des

expériences

^{de double résonance ou d’effet}

Hanle,

le rôle

joué

par

l’anisotropie

^du

potentiel

^{dans le}

mécanisme de l’interaction est apparu. Il ^a alors été

proposé

^{de tenir} compte ^{de cet effect}

d’anisotropie

^dans

l’étude des

profils

^de collisions

optiques [8], [9].

Dans le travail de

Rebane, qui s’applique plus parti-

culièrement à notre cas, toutes les valeurs de

dUl/2/ du

peuvent

^en

principe

^{être obtenues avec un}

potentiel

purement attractif. La raison en est l’influence consi- dérable _que peuvent avoir les effets de réorientation

sur le

déplacement [10]. Toutefois,

^cette réorientation

ne se

produit qu’aux

^faibles

paramètres d’impact

^et

nous pensons que ^son effet

global

n’est pas très

important

^{dans le cas d’un}

potentiel

purement ^attrac-

tif ;

^{cela a} d’ailleurs été montré dans la référence

[8].

C’est pour ^cette raison _que nous avons été conduits à effectuer un calcul de la section efficace de collision faisant intervenir un

potentiel anisotrope

^{de forme}

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01972003307063500

636

générale.

^{Nous avons} ensuite étudié les deux cas

particuliers

^des

potentiels

^{de London et} de Lennard- Jones. Dans le

premier

^{cas, nous montrons que les}

effets de

l’anisotropie

^sont insuffisants _pour

expliquer

les écarts à la valeur de Lindholm du rapport

expéri-

mental

AU1121Au.

^{Dans le second cas, nous étudions}

l’influence de

l’anisotropie

^sur la détermination des

paramètres

^du

potentiel envisagé.

I. Brève

description

^{de la méthode}

expérimentale.

^-

Les

expériences

que ^{nous avons} réalisées sur la vapeur de mercure

[11], [12], [13] présentent

par rapport ^{à des travaux} antérieurs les caractères ori-

ginaux

^{suivants :}

1)

^{Les raies sont observées en}

absorption,

^ce

qui

permet ^{une très} bonne connaissance des conditions

thermodynamiques auxquelles

^sont soumis les atomes et élimine des causes

d’élargissement

^{et de}

déplace-

ment autres que les collisions mercure-gaz.

2)

^Le milieu absorbant est constitué d’atomes de

l’isotope

^{198 du} mercure, ^ce

qui

permet de s’affranchir des

complications

^tant

expérimentales

que

théoriques

liées à la structure

hyperfine

^et

isotopique

^{de la raie}

considérée.

3)

^Les

pressions

^de gaz

perturbateur

^{sont dans}

tous les cas inférieures à une

atmosphère.

^Pour

chaque perturbateur,

^une

vingtaine

de déterminations de

profils

pour des

pressions comprises

^entre

0,02

^et

0,8 atmosphère

^{ont été réalisées.}

La méthode de

balayage magnétique présente

pour

ces études en

absorption

^l’énorme avantage ^{de conci-} lier haute résolution et forte densité

spectrale d’énergie.

En

effet,

^{une source à mercure 198 est}

placée

^{dans une}

induction

magnétique variable,

^ce

qui

permet ^d’ex-

plorer

le domaine

spectral

^couvert par la raie d’ab-

sorption

^{à l’aide} d’une des composantes ^Zeeman circulaires. En tenant compte ^du

profil spectral

^du

rayonnement

incident, profil qui joue

ici le rôle de fonction

d’appareil,

^{il est}

possible

d’améliorer l’ex-

ploitation

des résultats

[14].

Les conclusions essentielles ^sont les suivantes :

- dans le domaine de

pression considéré, les

pro- fils restent

symétriques

^{et le} coefficient

d’absorption

ne peut ^se

distinguer

^d’un

profil

^de

Voigt (produit

^de

convolution Gauss ^*

Lorentz)

dont la contribution lorentzienne a une

largeur /lu 1/2 proportionnelle

^{à la}

densité des

perturbateurs (après

déduction de la

largeur naturelle) ;

- le

déplacement

^{AJ du}

profil

^{est lui aussi} propor- tionnel à cette densité.

N. B. L’incertitude sur les valeurs

numériques

données dans le tableau I est inférieure à 5

%.

II.

Opérateur

d’évolution et section efficace. - L’effet d’une collision sur l’atome «

optique »

^sera

décrit _par

l’opérateur d’évolution,

^{dans la}

représen-

tation

d’interaction, opérateur

que ^nous

désignerons

par T.

Dans le cas où les niveaux

électroniques

^{des atomes}

sont bien

séparés,

^{il est convenu} d’introduire la sim-

plification

consistant à associer aux deux niveaux i et

f,

^reliés par la transition

optique, respectivement

deux

opérateurs ^T

^{‘ et Tf. Ces}

opérateurs agissant

dans les sous-espaces de dimensions

2 Ji

^{+ 1 et}

2 Jf + 1,

vérifient alors un

système d’équations qui

s’écrit :

où les

Ek/Mlf désignent

^{les éléments} de matrice d’un hamiltonien effectif

qui remplace l’énergie

^d’interac-

tion entre les atomes d’un

couple.

On sait _que la formule

générale

d’Anderson

[15]

relie la section efficace différentielle aux éléments de matrice de

T

ⁱ et Tf _par l’intermédiaire de certains coefficients de Clebsch-Gordan

[16] :

(b paramètre d’impact),

les éléments de matrice étant

pris

^{pour t = + 00. Si}

Ji

⁼

0, l’unique

^élément

de

Ti

est :

avec

et on a

alors, pour Jf

⁼

^1, l’expression plus simple

suivante :

Pour traiter l’état

final Jf

⁼

^1,

^{il est} avantageux ^de

diagonaliser

la matrice E en introduisant un réfé- rentiel tel _que l’axe de

quantification

^{coïncide avec}

la droite

joignant

^{les centres des deux atomes. Le}

système (1)

^se

présente

^{alors sous la forme :}

dans

laquelle

^D

désigne

^la matrice de rotation

D’f

et où les matrices 1: et s,

représentant l’opérateur

d’évolution et

l’énergie

d’interaction dans le

système

d’axes

mobiles,

^{sont définies} par les relations sui- vantes :

L’introduction des

grandeurs adiabatiques

eo ^et a,, fonctions de la seule distance

interatomique,

permet d’établir le lien avec la notion très utile des courbes de

potentiel représentables

par les formes

analytiques

habituelles.

En utilisant les

propriétés d’orthogonalité

^des

matrices de

rotation,

nous ramenons

l’éq. (2)

^au

système

^suivant

(M

⁼

0,

±

1)

(f3 désigne l’angle

^{entre l’ancien et} le nouvel axe de

quantification,

^{de sorte}

que fl

^{= 0} pour t ^{= -}

oo).

En posant :

on

simplifie

^le

système d’équations puisque

l’on obtient immédiatement une solution exacte pour ’tn’M et seules les

équations

^{contenant ’C1tM} et ’t IM restent

couplées.

^{On a, en efret :}

Introduisons le

paramètre

^{Q _}

(80 - si)/2 h

^carac-

téristique

^de

l’anisotropie

^de

l’énergie

d’interaction.

En posant :

on obtient le

système

dont ^une solution

numérique

^{a été obtenue} par Rebane dans le cas d’un

potentiel

d’interaction _pro-

portionnel

^{à R-6}

[9].

Nous nous proposons de

présenter

^{une solution}

littérale

approchée,

^valable pour ^un

potentiel

^d’in-

teraction

quelconque,

^dans

l’hypothèse

d’une aniso-

tropie

^{faible. Cette}

hypothèse paraît plausible

^{dans le}

cas d’un

couple métal-gaz

^rare.

Notre méthode consiste à introduire comme para- mètre

caractéristique l’anisotropie

^de

l’énergie

^d’in-

teraction,

^{et à raisonner sur} la section efficace

intégrée plutôt

que de chercher à raccorder des

expressions

limites de la section efficace différentielle.

Toutefois,

nous montrerons que la section efficace

totale,

^limitée

aux termes du

premier

^ordre par rapport ^{à l’aniso-}

tropie,

^{coïncide avec celle} obtenue par extension de

l’approximation

^« scalaire »

[5]

^{à toutes} les valeurs de b

(1).

III. Résolution du

système

différentiel dans le cas

d’une

anisotropie

^{faible. - Le}

principe

des calculs

qui

^{vont suivre est} le suivant :

Ecrire les éléments de matrice de z sous une forme

exponentielle

^{et faire}

apparaître

^le

développement

^de

l’exposant

par rapport ^aux

puissances

croissantes d’un

paramètre

caractérisant

l’anisotropie.

^L’avan-

tage ^{d’un tel}

développement

^dans

l’exposant

^est

d’éviter,

^{lors du} calcul de la section

totale,

^l’intro- duction d’un rayon de _coupure, dont le choix

comporte toujours

^une part d’arbitraire.

Conformément au

principe énoncé,

^nous poserons :

 _{et Il} étant des constantes.

Le

système

différentiel

prend

alors la forme suivante : -.

où les variables x et y ^{ont la}

signification

^{suivante :}

et où u ⁼

Q(p

^{est une}

quantité caractéristique

^de

-

l’anisotropie.

^Le

développement

^suivant les ordres

. croissants de

l’anisotropie,

^et limité ici au second

ordre,

^{est :}

où _xo est mis pour

Par

ailleurs,

^{on montre}

qu’en

supposant

rectiligne

(1) ^{On sait} que l’approximation ^« scalaire » ^{ou «} soudaine »

consiste à traiter les énergies à différents instants comme si celles-ci commutaient entre elles.

(2) ^{Le choix de la solution retenue} à l’ordre zéro est fait par référence ^{au cas} où l’anisotropie ^{est nulle.}

638

la

trajectoire

^du

perturbateur (j8(+ oo) = 7r),

^{on a les}

^phases

^{étant définies par}

la relation :

Il en résulte

l’expression

^suivante pour la section efficace différentielle :

1 et J

désignant respectivement

^les

intégrales

^sui-

vantes :

Selon les

éq. (4a, b)

la section efficace différentielle

se

présente

^{sous la forme d’un}

développement jusqu’au

second ordre _par rapport ^{à la}

grandeur représentant l’anisotropie

^du

potentiel

d’interaction.

Cependant,

il

apparaît

que pour le calcul

pratique

de la section efficace totale dans un

système

^{de faible}

anisotropie

comme le

nôtre,

^on peut ^{limiter ce}

développement

aux termes du

premier

ordre. Cela ressort d’une esti- mation de l’influence des termes du second ordre

(termes

^en

J)

^{sur cette section}

efficace,

^estimation effectuée _pour un

potentiel

^{de London et un}

potentiel

de Lennard-Jones

(Appendice II).

Par

ailleurs,

^on peut remarquer

qu’au premier

ordre

l’expression (4a)

s’identifie à celle

qu’on

peut obtenir dans le cas de

l’approximation

^« scalaire »

[17].

Il est

classique

que celle-ci

corresponde

^{au cas limite}

de

Q(b)

pour b - ^oo. Mais il se

dégage

^{ici un nouvel} aspect ^{de cette}

approximation

^{à savoir} que ^{son exten-} sion formelle à toutes les valeurs de b

équivaut

^{à un}

calcul du

premier

ordre de la section efficace totale par rapport ^au

paramètre d’anisotropie.

IV. Influencé de

l’anisotropie

^des forces attractives.

Dans le but d’évaluer l’ordre de

grandeur

^{de l’ani-}

sotropie

^de

l’énergie

d’interaction entre un atome actif et un

perturbateur sphérique,

^nous établissons dans

l’appendice

^{1 une formule où cette}

grandeur

^est

exprimée

^en fonction des nombres

quantiques J,

^L et S du niveau concerné. Dans le cas

particulier

que

nous considérons

ici,

^{cette formule donne :}

81/80

⁼

7/6,

valeur

déjà

mentionnée

précédemment

par Faroux dans une étude consacrée

principalement

^{au cas d’un}

niveau

3P1 [7].

^{Notre intention} n’étant pas de

pré-

senter une étude exhaustive du

problème,

^{nous avons}

introduit un certain nombre

d’hypothèses

^couram-

ment utilisées dans la littérature. De ce

fait,

les valeurs obtenues _pour

a,/eo

doivent être accueillies avec une

certaine réserve. Il faut néanmoins remarquer que dans un cas comme celui du _mercure, où les forces d’oscillateur sont très mal _connues, des calculs trop détaillés peuvent

parfois

^{conduire à} des résultats

incertains,

voire même

douteux,

^fait

souligné

^dans

l’étude citée.

La valeur

el/eo

⁼

7/6

^nous semble constituer un

ordre de

grandeur

^{en accord} raisonnable avec les résultats

expérimentaux.

^En

effet,

les sections effi-

caces que ^nous obtenons _pour

l’élargissement optique

sont environ deux à trois fois

plus importantes

que celles mesurées par Faroux pour la relaxation de

l’alignement [7].

^{Pour un}

potentiel

purement

attractif,

Rebane a calculé

numériquement

^ce rapport ^{en fonction} du

paramètre

^sans

dimension q

⁼

(Ci - Ci)/( Co - Ci),

les constantes C étant définies _par la relation

s ^{= -}

CR-6

et les indices se rapportant ^{aux diffé-}

rents états considérés : _{i pour} l’état initial

1 So,

^{0 et 1}

pour l’état

3pl.

^Un rapport des sections efficaces de l’ordre de 2 à 3

correspond, d’après Rebane,

^{à des} valeurs du

paramètre

^q

comprises

^{entre -}

1,5

^{et - 4.}

Ce résultat est

compatible

^{avec la valeur}

81/Bo

⁼

7/6

compte ^tenu de l’ordre de

grandeur de p = Ci/Cl, compris

^entre

1,5

^{et 2}

(cet

^{ordre de}

^grandeur

^est

obtenu en utilisant d’une part ^{nos données}

expéri-

mentales concernant

l’élargissement

^{et d’autre} part des valeurs de

C’

données dans la littérature

[20]).

D’autre part, pour ^cet ordre de

grandeur

du para- mètre _q, on montre,

d’après

la référence

[9],

que le rapport p ⁼

élargissement/déplacement

^{reste extrê-}

mement voisin de celui

prévu

^{par Lindholm.}

Il nous a paru intéressant de vérifier cette conclusion

en utilisant la formule

(4)

^du

paragraphe précédent.

Dans le cas d’un

potentiel

d’interaction en

R-6

et dans

l’hypothèse

^de

trajectoires rectilignes,

^{on a}

les

expressions

^suivantes pour les différentes

quantités

intervenant dans la section efficace différentielle :

où v

désigne

la vitesse relative _moyenne.

On constate que si ^on limite le

développement

^{de la}

section efficace différentielle aux termes du

premier

ordre par rapport ^à

l’anisotropie,

^ce

qui

^{revient à}

supprimer 3

^dans

l’expression (4),

^{on obtient} pour la section efficace totale :

alors _que dans le cas

isotrope,

^{on aurait :}

La correction

relative,

^la même pour

l’élargisse-

ment et le

déplacement,

^{est de -}

4 %

pour p ⁼ 2.

Cette valeur est en accord avec celle obtenue récem- ment par

Stacey

^et

Cooper [18].

Mais cette évaluation est obtenue en prenant A =

A 1.

^{Si on choisit} pour A la valeur _moyenne

ce

qui équivaut

^à considérer _que la constante du

potentiel

^{à l’état excité est la} moyenne

pondérée

la correction est encore

plus

faible : de l’ordre de 2 ^x

10-3.

Si,

^{au second}

ordre,

^{nous tenons} compte ^{de J} dans

l’expression (4),

^{nous pouvons chercher} pour ⁶

une forme

asymptotique

^valable pour les

petites

valeurs de

D/A2 et D/A3.

Le calcul de la section efficace totale fait intervenir des

intégrales

^de la forme :

Après transformations,

^ces

intégrales s’expriment

^à

l’aide de fonctions

paraboliques cylindriques,

^dont

nous utilisons le

développement asymptotique

^connu

pour les

grandes

valeurs du module de

l’argument.

Nous obtenons ainsi _pour la section efficace totale le

développement

^{suivant :}

Le terme correctif obtenu

plus

^haut par ^un calcul

rigoureux

peut ^être

retrouvé,

^{à un facteur}

numérique près,

^{avec un calcul}

beaucoup plus simple,

^faisant

intervenir le _rayon

optique bo. Rappelons

que ^ce rayon, introduit _par

Weisskopf, joue

le rôle de _rayon de _coupure dont la

justification

^{réside dans les}

rapides

oscillations de la fonction

Q(b)

^aux faibles valeurs de b.

En prenant ^donc

bo

^{comme limite} inférieure de

b,

on peut considérer 3 comme assez faible _{pour que}

l’expression (4)

prenne la forme du

développement

limité suivant :

Les termes correctifs de la section efficace totale sont alors donnés _{par :}

En remarquant que

bo

^est

proportionnel

^à

A/5

^et

bl

^à

A/5

^{on retrouve} facilement les termes

Le calcul du second ordre

n’apporte

pas de modifi- cation

significative

^{à la valeur}

numérique

de la section efficace. Par

ailleurs,

^le rapport p ⁼ 2 Re

(a)/lm (6)

reste

rigoureusement

^{le même} que dans le cas

isotrope

car on montre que même les termes non

explicités

dans le crochet de

l’expression (5)

^{sont tous réels.}

Pour obtenir une modification du rapport p, il faudrait que

l’anisotropie

^{soit telle} que le calcul du second ordre devienne insuffisant.

Toutefois,

^{cela ne se}

produirait

que pour des valeurs très élevées de

l’anisotropie,

valeurs

qui paraissent

^{tout à} fait irréalistes.

On peut ^{donc conclure que si l’on se limite à un}

potentiel

d’interaction en

R-6,

les effets

d’anisotropie

ne

permettent

pas de rendre compte ^{des valeurs} mesurées pour le rapport

élargissement/déplacement.

V. Etude d’un

potentiel

de Lennard-Jones _compre- nant des termes

d’anisotropie.

^{- Dans ce}

paragraphe,

nous étudions un

potentiel

de Lennard-Jones

640

dont les deux coefficients peuvent

dépendre

^{de l’état}

magnétique

^de l’atome actif. Pour le

calcul,

^{nous nous}

limitons au

premier

^{ordre dans} la formule

générale (4)

et nous pouvons alors utiliser certains résultats numé-

riques

^établis par Hindmarsh

[3]

^{dans le cas}

isotrope.

La validité de ce calcul sera

étayée

par ^une étude

comparative

^{des termes du}

premier

^{et du second}

ordre, présentée

^en

appendice.

Hindmarsh a montré _{que si} l’on écrit la

perturbation

de

fréquence angulaire

^{sous la forme}

et si l’on _suppose les

trajectoires rectilignes,

^le

dépla-

cement et

l’élargissement

^ont pour

expressions :

avec

N

désigne

la densité

numérique

^des

perturbateurs,

S(a)

^et

B(a)

^{sont des}

intégrales

^tabulées par Hindmarsh.

Introduisons les notations suivantes :

Le calcul de la section efficace totale à

partir

^{de la}

formule

(4),

^{en se limitant au}

premier ordre,

^{ne fait} intervenir _que des

intégrales

^du

type S

^ou

B,

^{et l’on} obtient _pour

¡j.(J 1/2

^{et AJ des}

expressions analogues

à celles de Hindmarsh. Il suffit de

remplacer

^dans

(6) Ce

par

(C6)1

^{et les}

quantités S(ce)

^et

B(a) respectivement

par :

ai est

analogue

^au coefficient a

envisagé

^{dans le cas}

isotrope,

a2 et a3 ont pour

expressions :

TABLEAU II

Les nombres

Q2, Q2, Q3, Q3 s’exprimant

^{en fonction}

de p, p’,

y,

y’

^sous la forme suivante :

On se rend compte

facilement,

^en considérant le

cas

isotrope,

^{que le}

paramètre p’

^{est très}

grand

devant 1

(3).

^On peut ^donc

remplacer Q2

^et

Q3

respec- tivement _par

Un calcul

numérique

permet ^de déterminer S et B en

fonction des trois

paramètres

^restants al,

y’

^et p.

En choisissant alors différentes valeurs de

y’,

^on peut déterminer _al et p ^tels que les valeurs calculées _pour

Au 1/2

^{et Au} coïncident avec les valeurs

expérimentales.

A

partir

^{de ces valeurs et en utilisant} par ailleurs pour les constantes d’interaction à l’état fondamental des valeurs de la littérature

[20],

^nous obtenons les résultats

présentés

^{dans le} tableau II. Dans ce tableau

sont inscrites dans

l’ordre,

pour

chaque

^{cas, les} quan- tités

Le cas de l’hélium n’a _pas été considéré ici car nous

pensons que pour le traiter correctement, ^une théorie

semi-classique

^est insumsante.

Le résultat essentiel

qui

^{ressort du tableau II est le}

suivant : la détermination des coefficients

C6

^{est très}

peu affectée _par

l’anisotropie

^du

potentiel

^d’interac-

tion. Par contre, ^{on note} des variations

importantes

de la valeur _moyenne

Même si l’on exclut les cas

b, f,

g ^sans doute _peu

réalistes,

la variation atteint

20 % lorsque

^{la valeur}

choisie _pour

y’

passe de

0,8

^à

1,2.

On peut donc conclure

qu’il

n’est pas

possible

^de

déterminer avec

précision

^les constantes du

potentiel répulsif

^{sans tenir} compte ^{de l’effet}

d’anisotropie.

Malheureusement,

^{il ne semble} pas exister actuelle- ment de méthode

expérimentales

^directe permettant de déterminer le

paramètre y’ caractéristique

^de

l’anisotropie

^{de la}

partie répulsive

^du

potentiel.

APPENDICE 1

Calcul de

l’anisotropie

^des forces attractives. ^- Nous allons évaluer l’ordre de

grandeur

^{de l’aniso-}

tropie

^de

l’énergie

d’interaction entre un atome

perturbateur

^à

symétrie sphérique

^{et un atome actif}

à deux électrons

optiques,

^{sur un niveau} appartenant ^à

une

configuration

^{où l’un de ces deux électrons est}

dans un état s. Les

hypothèses

^ou

approximations

utilisées _pour ce calcul sont les suivantes :

a)

^On

applique

^{un calcul de}

perturbation

^{du second}

ordre et on introduit une valeur

unique

AE pour les différences

d’énergie qui

y

figurent.

Notons _que le

choix, toujours

^un peu

arbitraire,

de AE n’a aucune influence sur le résultat

lorsqu’on

ne s’intéresse

qu’à

^des rapports

d’énergies.

b)

^{On ne considère que des}

isotopes pairs

^{de l’atome}

actif et, ^{dans un}

premier ^stade,

^{on suppose le}

couplage

purement ^LS.

(La

correction à apporter ^{dans le cas}

plus général

^sera

également étudiée.)

Désignons

par

He

l’hamiltonien d’interaction entre les

dipôles

instantanés des deux atomes, que ^nous

(3) ^Cela implique que le _rayon « optique » ^{est très} grand

devant le rayon de Lennard-Jones relatif à l’état de base

(rayon

« réel » [19]). ^Par conséquent, le modèle de trajectoires ^recti- lignes semble valable.

noterons p pour l’atome actif et x pour le

perturba-

teur. Il a pour

expression :

où R est la distance

interatomique

^{et n le vecteur}

unitaire

correspondant.

Dans le référentiel choisi n est

porté

par l’axe Oz et on a alors :

En utilisant les composantes ^{du tenseur}

sphérique

de rang 1 définies _par

on peut ^{écrire :}

Par

ailleurs,

^{si nous utilisons}

l’hypothèse simplifi-

catrice

a),

^nous pouvons

exprimer l’énergie

^d’interac-

tion sous la forme suivante :

642

En

développant ^G2

^{et en} utilisant la

symétrie sphé- rique

^{de l’atome}

perturbateur,

^{nous obtenons :}

où q désigne

^la

quantité 0

>.

Nous pouvons introduire les composantes ^suivantes de tenseurs irréductibles :

et écrire alors :

Cela conduit à

l’expression

^{suivante du}

potentiel

^effec-

tif V :

Dans

l’hypothèse

^d’un

couplage LS,

^{un élément de la} matrice ^a s’écrit :

On utilise le théorème de

Wigner-Eckart

pour écrire :

et l’on obtient

après

sommation des

produits

^{de trois}

coefficients de Clebsch-Gordan :

W étant un coefficient de Racah

[16].

Pour calculer les éléments de matrice réduits dans le cas des

configurations

^{6 s} 6 p de l’atome de mer-

cure, prenons par

exemple

^{des fonctions d’onde de}

Slater. La

partie

^{radiale est alors la} même pour les fonctions d’onde des deux

électrons,

^{et on obtient le} résultat suivant :

où 3t est un facteur

qui

^ne fait intervenir _que cette

partie

^radiale

(4).

On peut finalement

exprimer

am, ^sous la forme

générale

^{suivante :}

avec :

Appliquons

^{cette formule aux cas} des états 6

1 P 1

et 6

3P1

^de l’atome de mercure.

Pour l’état

singulet,

Pour l’état

triplet,

Il en résulte _que le rapport

E1 jEO

^{a les valeurs sui-}

vantes :

Les corrections à apporter ^{à ces}

valeurs,

si l’on tient compte ^{du fait} que le

couplage

^n’est pas purement

LS,

sont faibles. En

effet,

^l’état

désigné

par

3P1

^{devrait en}

réalité s’écrire sous la forme :

avec

Les

approximations

^faites pour

simplifier

^{les calculs}

rendent illusoire une telle correction.

(4) Lorsque ^les parties, ^{radiales des fonctions} d’onde des deux électrons sont différentes on a les expressions suivantes :

et

ce qui ^{conduit à}

Lorsqu’il y a un seul électron optique, le résultat reste appli- cable, ^{avec a =} î.

APPENDICE II Ordre de

grandeur

des différents termes

d’anisotropie

de la

phase.

^{- Le calcul}

explicite

du terme J défini selon

(4b)

^donne pour ^un

potentiel

^de Lennard-Jones le résultat exact suivant :

Selon les

principes généralement

^{admis en théorie}

de

l’élargissement

des raies

spectrales,

l’ordre de

grandeur

des valeurs efficaces peut ^{être estimé en}

adoptant

pour b la valeur du _rayon

optique

^{b =}

bo.

Le critère de

Weisskopf qui

^fait

correspondre

^cette

valeur à un

déphasage égal

^{à - 1 a été}

posé

^{dans le cas}

d’un

potentiel

purement attractif.

Lorsque

^le

potentiel

est du type Lennard-Jones il est nécessaire de redéfinir le rayon de coupure. Les variations de 11(b)

lorsque

^b

décroît deviennent

rapides

^à

partir

de valeurs de b de l’ordre de

grandeur

^de

bo

^tel que 11(b.) ⁼

0,

^entraî-

nant ainsi les oscillations serrées de ’7(b). ^{La valeur}

bo

peut ^{donc être}

adoptée

raisonnablement comme rayon de coupure.

Dans le cas

isotrope, l’expression

^du

déphasage

^{est :}

avec

donc

3 a alors _pour

expression :

(relation

^{obtenue en} arrondissant certains facteurs

numériques).

Avec les mêmes

hypothèses

^{les termes du}

premier

ordre à considérer ont pour

expressions :

APPLICATION

NUMÉRIQUE.

^- Choisissons un

exemple

de valeurs

typiques

^{définies comme suit :}

Nous obtenons alors :

On voit donc que l’on ne commet pas ^une

grande

erreur en

négligeant

^{les termes} d’ordre 2 dans le calcul de la section efficace totale.

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[20] Voir _par exemple HIRSCHFELDER, CURTISS, BIRD,

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[21] JEAN (P.), MARTIN (M.), ^BARRAT (J. P.), COJAN (J. L.), Comptes rendus, 1967, 264B, 1709.