Étude dynamique théorique de BaTiO3 dans la phase cubique

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Submitted on 1 Jan 1972

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Étude dynamique théorique de BaTiO3 dans la phase cubique

L. Gnininvi, J. Bouillot

To cite this version:

L. Gnininvi, J. Bouillot. Étude dynamique théorique de BaTiO3 dans la phase cubique. Journal de

Physique, 1972, 33 (11-12), pp.1049-1058. �10.1051/jphys:019720033011-120104900�. �jpa-00207330�

1049

ÉTUDE DYNAMIQUE THÉORIQUE ^DE BaTiO3

DANS LA PHASE CUBIQUE

L. GNININVI

(*)

^et

^J.

^BOUILLOT

Laboratoire de

Diélectriques,

Faculté des

Sciences, Dijon,

^France

(Reçu

^{le 4 avril}

1972)

Résumé. ²⁰¹⁴ Dans le cas de la

phase cubique

^de

BaTiO3,

^{nous avons} évalué les

opérateurs

^de

projection

pour divers vecteurs d’onde

correspondant

^{à des}

points

intérieurs à la

première

^{zone de}

Brillouin.

L’application numérique

^{en vue} d’obtenir les courbes de

dispersion

^{a été} effectuée à l’aide du « shell model ^» pour les seuls vecteurs d’onde

parallèles

à la direction

(0, 0, 1).

^{Les résultats} permettent de calculer les constantes

élastiques

C11 ^et C44, ^{en assez} bon accord avec

l’expérience.

Abstract. ²⁰¹⁴ In the case of the cubic

phase

^of

BaTiO3, projection

operators have been evaluated for several wave vectors

corresponding

^to

points

^located inside the first Brillouin zone. In order to get ^the

dispersion

curves, calculations have been made

using

^{the shell}

model,

^{for the wave vectors}

parallel

^to

(0, 0, 1)

direction. From these results we can calculate the elastic constants C11 and C44 in correct agreement ^with

experiment.

LE JOURNAL DE PHYSIQUE ^TOME 33, NOVEMBRE-DÉCEMBRE 1972,

Classification Physics ^Abstracts

16.70

Introduction. ^-

Quoiqu’une

^théorie

générale

^{de la}

ferroélectricité n’existe pas encore, il semble que les idées avancées par Cochran

[1] ]

concernant le mode

ferroélectrique

^{donnent des résultats en bon accord}

avec les valeurs

expérimentales.

^{Dans le cadre de}

cette

étude,

^{en se donnant un modèle}

théorique

^du

cristal,

^{on doit} d’abord effectuer une étude

dynamique

du réseau afin d’obtenir les

fréquences

^de

vibration, puis

introduire la

température

pour voir si le mode

moux révèle une instabilité ^au

point

de transition.

Nous faisons ici une étude

dynamique

du réseau de

BaTi03

^{dans sa}

phase cubique

^seulement.

Dans ^une

première partie,

pour ^{un vecteur} d’onde donné

k,

^on établit la

représentation mécanique Tk

du groupe

ponctuel Gok

^{de k}

[2],

^{et on}

décompose

celle-ci en

représentations

irréductibles

[3]. Ensuite,

on cherche les coordonnées

symétriques adaptées

^à

chaque représentation

irréductible. Cette recherche est rendue facile _par l’utilisation des

opérateurs

^de

projection.

^En

effet,

^dans les modes associés à une

représentation

irréductible _za, les seuls vecteurs défor- mation

Ia acceptables

^{doivent être vecteurs} propres invariants _pour

l’opérateur

^de

projection Pa

^{de cette}

représentation.

Dans la seconde

partie,

^nous

appliquons

^cette

technique

^des

opérateurs

^de

projection

^{au modèle des}

couches

(«

shell model

»)

^{tel que nous l’avons}

déjà

utilisé

[10].

Nous obtenons ainsi les courbes de dis-

persion

^{pour un vecteur d’onde k}

parallèle

à la direc- tion

(0, 0, 1).

^{Il en} résulte pour les constantes

élastiques C11

^et

C44

des valeurs assez

proches

^{des valeurs}

expérimentales.

I.

Symétries

^de

BaTi03

^{dans la}

phase cubique : opérateurs

^de

projection.

^- La théorie des _groupes

permet

^de

simplifier

les calculs des

fréquences

^de

vibration des réseaux cristallins. Elle facilite en outre l’identification de ces

fréquences

suivant les

symétries compatibles

^{avec un vecteur d’onde k dans}

l’espace réciproque.

Dans ^cette

première partie,

^nous donnerons les

expressions

^des

opérateurs

^de

projection

pour les cristaux de

type perovskite

^{dans la}

phase cubique, après

^avoir

précisé

les notations.

A)

REPRÉSENTATION

MÉCANIQUE

^ET NOTATIONS. ^-

Le _groupe

d’espaces

d’un cristal de

type perovskite,

dans la

phase cubique,

^est le groupe

symmorphique

Oh produit

^{direct du} groupe

ponctuel Oh

^{et du} groupe des translations élémentaires :F. On convient de

repérer

^une maille élémentaire par le ^vecteur lié a

joignant ^l’origine

des coordonnées à sa propre

origine

et de

repérer

^par l’indice  les ions de cette maille.

Soit Po;’ la

position

de l’ion À de la maille o et Pa03BB celle de l’ion de même

espèce

^de la maille a. Dans l’état de

vibration,

soit ua;’ le

déplacement

^{de l’ion}

(o, À)

^par

rapport

^{à la}

position d’équilibre

Po). et ua).

celui de l’ion

(a, À).

Pour un vecteur d’onde donné

k,

^{on a} la relation

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019720033011-120104900

Après

^une

opération

^de

symétrie ponctuelle r, qui

envoie l’ion

(o, 03BB)

^au site de l’ion

(a’, À)

^le

dépla-

cement uo03BB’ devient _ua-03BB- mais il est localisé dans la maille a’ si bien que le ^nouveau

déplacement

Uo03BB"

de l’ion

(o, À)

ramené à la maille ^o doit s’écrire :

où R est la matrice 3 x 3 traduisant

l’opération ponctuelle

^r.

Pour décrire la déformation de la maille o

entière,

il faut

préciser

^les

déplacements

uo03BB. de chacun de

ses

ions,

^ce

qui

revient à donner dans

l’espace

^L

à 3 ^x 5 dimensions un vecteur

Uo

^{dont les} compo- santes sont celles de uo03BB.

pour-

^{variant de 1 à 5.}

Après

^une

opération

^de

symétrie r

du groupe ponc- tuel

Gok

^dont les éléments sont toutes les

opérations

^de

symétrie compatibles

^{avec le vecteur d’onde k et}

qui

laissent le cristal

invariant,

^{on obtient les nouveaux}

déplacements

^en

appliquant

^{au vecteur}

Uo l’opérateur

dont la matrice s’écrit :

avec :

où :

Fo(À, r) =

^À"

désigne

l’ion dont le site est

occupé

par l’ion

(o, À) après l’opération r ;

aÂ

désigne

^{la maille}

de l’ion

(o, À) après l’opération r

On montre

[4]

que l’ensemble des matrices

Tk(r)

forme une

représentation projective

du groupe

ponctuel Gok

^{de k et} que, dans le cas d’un _groupe

symmorphique,

^la

représentation

ainsi obtenue est ordinaire. L’ensemble des

Tk(r)

^{est la}

représentation mécanique

^{M de}

Gok.

Le tableau 1

indique

les mailles des ions de la maille

o

après

^les

principales opérations

^de

Oh.

^Il

permet

ainsi d’obtenir les coefficients

ll(A, Â’).

^{Les ions sont}

numérotés comme

l’indique

^la

figure

^1.

FIG. 1. ^- Maille de BaTi03. ^d représente ^la longueur de l’arête.

l’ion 0 représente ^le baryum, ^l’ion 02 ^{le titane et les ions} 3 , a)

et 50 ^les oxygènes.

B)

OPÉRATEURS DE PROJECTION. ^- Afin de

simpli-

fier les

opérations dynamiques,

^{il est} utile de connaître les sous-espaces invariants

La

^{de L}

portant

^les

repré-

sentations irréductibles _ia de

Gok qui

interviennent dans la

décomposition

^{de la}

représentation

^mécani-

que X. Ceci

peut

^{être fait}

grâce

^à

l’opérateur :

TABLEAU 1

1051

qui projette

^sur

La.

^{Dans cette relation :}

Va

indique

^{la dimension de la}

représentation

^irré-

ductible _ia. _

N est l’ordre du groupe

ponctuel Gok

^{de k.}

xa(r)

^est le caractère de la

représentation

ia associé à

l’opération

^de

symétrie

^r.

Pour une

représentation

irréductible _ia de dimen-

sion v,,, intervenant /la fois,

il suffit de connaître le sous-espace

Lâ

^{formé à}

partir

^des

premiers

^vecteurs

xi’

des bases des sous-espaces

L,,,j ^{( j}

varie de 1 à

,ua),

^ces bases étant choisies telles _{que :}

Les indices u et v varient de 1 à _va.

On

prend alors,

^{au lieu de}

Pa,

^{le nouveau} pro-

jecteur :

La

figure

²

représente

^la

première

^{zone de Bril-}

louin,

^{l’unité dans le réseau}

réciproque

^{étant 2}

nld (d :

arête de la

maille).

FiG. 2. ^- Première zone de Brillouin.

Les

expressions

^des

opérateurs

^de

projection

^sont

écrites

ci-après

pour les

principaux points

^intérieurs

à la

première

^zone de Brillouin.

a)

^{Vecteur d’onde}

F,

^{où k =}

(0, 0, 0) [3].

^{- A}

l’aide du tableau

II,

^on voit que la

représentation mécanique

^se

décompose

^{en :}

Le

projecteur correspondant

^{à la}

représentation

irréductible

F15

d’ordre 3 s’écrit :

avec

TABLEAU II

Il lui

correspond

^{un état} vibratoire donné _par les

déplacements ioniques

La matrice

dynamique peut

^{alors se ramener à}

une matrice d’ordre

4,

^{d’où 4}

fréquences

propres.

Ces

fréquences

^sont

triplement dégénérées puisque

la

représentation T15

^{est d’ordre} 3. On sait

qu’en

réalité le

champ macroscopique

^{lève cette}

dégéné-

rescence et que l’on

distingue

⁴ vibrations

longitu-

dinales et 8 transversales.

Le

projecteur correspondant

^{à la}

représentation

irréductible

l’25 (d’ordre 3)

^{s’écrit :}

L’état vibratoire

correspondant

^est donné par les

déplacements ioniques

U3Z ⁼ U4Z-

La matrice

dynamique

^{se ramène à une matrice}

d’ordre

1,

^{d’où 1}

fréquence

propre

triplement dégé-

nérée

correspondant

^{à 1 vibration}

longitudinale

^et

2 transversales.

b)

^{Vecteur d’ordre}

Li,

^{où k =}

(0, 0, 03C3).

^{- A l’aide}

du tableau

III,

^on voit que la

représentation mécanique

se

décompose

^{en :}

TABLEAU III

Le

projecteur correspondant

^{à la}

représentation

irréductible

d 5 (d’ordre 2)

^{s’écrit :}

L’état vibratoire

correspondant

^est donné par les

déplacements ioniques :

La matrice

dynamique

^{se ramène à une matrice}

d’ordre

5,

^{avec 5 modes} doublement

dégénérés correspondant

à 10 vibrations transversales.

Le

projecteur correspondant

^{à la}

représentation

irréductible

Li 1 (d’ordre 1)

^{s’écrit :}

d’où 4

fréquences

^propres

correspondant

^{à 4 vibra-}

tions

longitudinales.

^Le

projecteur correspondant

^{à la}

représentation

irréductible

A2 (d’ordre 1)

^{s’écrit :}

d’où 1

fréquence

propre

correspondant

^{à 1 vibration}

longitudinale.

c)

^{Vecteur d’onde}

E,

^{où k =}

(u,

^cr,

0).

^{- A l’aide}

du tableau

IV,

^on voit que la

représentation mécanique

se

décompose

^{en :}

Le

projecteur correspondant

^{à la}

représentation

^irré-

ductible

Il (d’ordre 1)

^{s’écrit :}

avec

et

TABLEAU IV

L’état vibratoire

correspondant

^est donné par les

déplacements ioniques :

La matrice

dynamique

^{se ramène à une matrice}

d’ordre

5,

^{d’où 5}

fréquences

propres

correspondant

à 5 vibrations

longitudinales.

Le

projecteur correspondant

^{à la}

représentation

irréductible

I2 (d’ordre 1)

^{s’écrit :}

d’où 1

fréquence

propre

correspondant

^{à 1 vibration}

transversale. Le

projecteur correspondant

^{à la}

repré-

sentation irréductible

13 (d’ordre 1)

^{s’écrit :}

avec

L’état vibratoire

correspondant

^{est donné} par les

déplacements ioniques :

1053

La matrice

dynamique

^{se ramène à une matrice}

d’ordre

5,

^{d’où 5}

fréquences

propres

correspondant

à 5 vibrations transversales. Le

projecteur

^corres-

pondant

^{à la}

représentation

irréductible

E4 (d’ordre 1)

s’écrit :

d’où 4

fréquences

propres

correspondant

^{à 4 vibra-}

tions transversales.

du tableau V on voit que la

représentation mécanique

se

décompose

^{en :}

Le

projecteur correspondant

^{à la}

représentation

irréductible

At (d’ordre 1)

^{s’écrit :}

avec

L’état vibratoire

correspondant

^{est donné} par les

déplacements ioniques :

La matrice

dynamique

^{se ramène à une matrice}

d’ordre

4,

^{d’où 4}

fréquences

propres

correspondant

TABLEAU V

à 4 vibrations

longitudinales.

^Le

projecteur

^corres-

pondant

^{à la}

représentation

irréductible

A2 (d’ordre 1)

s’écrit :

avec

L’état vibratoire

correspondant

^est donné par les.

déplacements ioniques :

La matrice

dynamique

^{se ramène à une matrice}

d’ordre

1,

^{d’où 1}

fréquence

propre

correspondant

^à

1

fréquence longitudinale.

^Le

projecteur correspondant

à la

représentation

irréductible

A3 (d’ordre 2)

^{s’écrit :}

avec

L’état vibratoire

correspondant

^est donné par les

replacements ioniques :

et

La matrice

dynamique

^{se ramène à une matrice}

d’ordre

5,

^{d’où 5}

fréquences

propres doublement

dégénérées correspondant

à 10 vibrations trans- versales.

Ces résultats seront utilisés pour le calcul effectif des modes de vibrations. Nous nous limiterons alors aux vecteurs

d’onde k =

^{0 et} k ⁼

(0, 0, 0),

les calculs devenant vite

compliqués lorsque

^{le nombre}

des

symétries

du cristal diminue.

II.

Application

^au calcul des courbes de

disper-

sion de

BaTio3

^{dans la}

phase paraélectrique.

^{- De}

nombreux modèles

statiques

^ou

dynamiques

^ont

déjà

^été

proposés

pour le titanate de

baryum,

^notam-

ment par Slater

[5], Haguedorn [6],

Devonshire

[7],

Kinase et Takahashi

[8],

Triebwasser

[9] et

^Cochran

[1 ].

Les

exigences

d’un modèle

dynamique

^sont

plus

sévères que celles d’un modèle

statique,

aussi est-il intéressant de soumettre à ces

exigences

^{le « shell}

model » tel que ^nous l’avons

déjà

^utilisé

[10].

A)

^MATRICE DYNAMIQUE. ^- Dans

l’approximation harmonique, l’énergie potentielle

de vibration du réseau s’écrit :

où B caractérise l’indice de coordonnée de l’ion dans

l’espace

^{L :}

avec :

« n » étant le nombre d’ions _par maille.

Ceci signifie

que

chaque

^{ion a 3}

degrés

^de liberté déterminés par 0.

Les

équations

^{du mouvement} s’écrivent :

En introduisant la matrice

M,

^définie par :

me

représentant

^{la masse de l’ion  et les} solutions :

on obtient

l’équation indépendante

^du

temps :

où

03A6aa,

^{est une matrice} d’ordre 3 n définie par :

Pour passer ^aux coordonnées

réduites,

posons :

(6)

^devient

L’invariance de ÔP par les translations élémentaires

impose

que les ^vecteurs

Va

^{soient des vecteurs de}

base des

représentations

irréductibles de

7,

^{d’où :}

En

reportant

^dans

(9),

^{on obtient :}

avec

D(k)

^est la matrice

dynamique

^en coordonnées rédui- tes ; elle

peut

être ramenée à une forme réelle

C(k)

car le groupe

ponctuel

du cristal contient l’inversion

et que tout ^atome y occupe la

position

^{du centre}

d’inversion

[4].

1055

C(k)

^est définie par : ^’

Ceci revient

physiquement

^{à tenir}

compte

^d’un

déphasage

^{entre atomes} d’une même maille du fait de la

propagation ; mathématiquement,

^{c’est tout}

simplement

^un

changement

^de

base,!

^{et les deux}

matrices

D(k)

^et

C(k)

admettent les mêmes valeurs propres, mais la matrice

C(k)

^est

beaucoup

^mieux

adaptée

^{aux calculs}

numériques.

^Notons que pour k ⁼ 0 les 2 matrices C et D se confondent.

D(k)

^{commute avec toutes} les matrices

Tk(r) ^de

la

représentation mécanique.

^Le

problème

^{se traite}

alors comme pour les molécules dès _que

D(k)

^est

connue ; ^en

particulier

^on sait que si ^une

représen-

tation _03C4a de

dimension va

intervient _,ua fois dans

Tk,

les _,ua valeurs propres de

D(k) correspondantes, dégénérées v,,, fois, s’obtiennent

^à

partir

d’une matrice

dynamique partielle Da(k) d’ordre ,ua

^{obtenue en}

imposant Ua

déformations

Ia(k),

^{vecteurs propres de}

l’opérateur

^de

projection Pâ [2], corresponda’nt

^aux

valeurs propres ^non

nulles.

Le même raisonnement est valable _pour

C(k)

^{et on} s’intéressera aux matrices

partielles Ca(k).

^En

pratique,

^{on n’aura}

jamais

^à

diagonaliser C(k)

^tout

entière,

^{à moins de se}

placer

en un

point

^sans

symétrie

^{de la zone} de Brillouin.

B)

DESCRIPTION

DU

^{MODÈLE. - Dans le} modèle des couches

(«

shell model

»), chaque

^{ion est}

séparé

en 2

parties :

a)

^{Une «}

coquille »

formée d’électrons de la couche extérieure. On

appelle ( - Y.) e

^et

VoA respectivement

sa

charge

^{et son}

déplacement

par

rapport

^{à sa}

position d’équilibre

dans la maille

origine. e désigne

^la

charge

élémentaire.

b)

^Un « coeur » formé du _noyau de l’ion et des électrons n’entrant pas dans la

composition

^{de la}

coquille.

^On

appelle (ZA

⁺

Y.)

^e, uoA et mA

respecti-

vement sa

charge,

^son

déplacement

^par

rapport

^à

sa

position d’équilibre

dans la maille

origine,

^{et sa}

masse,

(Zz) e désignant

^la

charge

^{de l’ion.}

On ^a donc 10 centres de

charges

^en interactions par les forces suivantes

[10] :

a)

Forces coulombiennes dont ^on exclut celle

qui agit

^{entre 2 centres} d’un même ion. Nous nous limitons

au

premier

^ordre.

b)

^Forces

internes,

^de

type élastique,

^{entre 2 centres}

d’un même

ion, proportionnelles

^{à la}

polarisabilité

aA de cet ion A.

c)

^{Forces à courte distance}

n’agissant qu’entre

^les

coquilles

^les

plus proches. L’énergie

d’interaction entre deux de ces

coquilles,

distantes de _{z, est} choisie de la forme

K/zq,

les coefhcients K

et q

^ne

dépendant

que de la nature des

coquilles

considérées. Seuls les termes du

premier

^{ordre sont} considérés.

Dans, l’hypothèse

d’un cristal

partiellement ionique,

nous avons

pris

^un facteur d’ionicité

f,

le même pour

tous les ions

(0 f 1)

tel que les

charges

^attribuées

aux ions sont :

En

supposant

^les

amplitudes

de vibration faibles devant le

paramètre

^de

^la

^maille

(d

^{= 4}

Á)

^{et dans}

l’hypothèse adiabatique,

^{toutes ces forces sont} pro-

portionnelles

^aux

déplacements,

^{et nous} pouvons

adopter

^{une notation} matricielle _pour les

équations

^du

mouvement de ces centres :

Les masses des

coquilles

^sont

négligées

devant celles des coeur.

(Bt

^{est la matrice}

transposée

de la matrice

B.) Uo

^{est un vecteur à 15}

composantes :

uoe

qui repré-

sente les

déplacements

^{des coeurs} de la maille o

tandis _que les

composantes

Voe

de V0 représentent

ceux des

coquilles.

Compte

^{tenu de}

l’équation (11),

^{on obtient :}

et

l’équation (14)

^{devient :}

C)

^CALCUL DES VIBRATIONS ET AJUSTEMENT DES

PARAMÈTRES AU CENTRE DE LA ZONE DE BRILLOUIN. ^- Pour le vecteur d’onde nul k ⁼

0,

^la

représentation mécanique

^se

décompose

^{en :}

Tr = 4 T15

^~

F25.

Nous avons vu

qu’il

^en résultait 5

fréquences

propres

correspondant

à 5 vibrations

triplement dégénérées,

mais

compte

^{tenu du}

champ macroscopique

^de

Lorentz,

^{nous devons}

distinguer

^les vibrations trans- versales des

longitudinales.

D’après l’opérateur

^de

projection P1r15

^on

^peut

prendre

^{tous les}

déplacements

^{suivant un seul axe}

Oz ;

^{on a 4 vecteurs} invariants

indépendants

^de

P1r15

^{que nous} choisissons de manière à

séparer

^la

translation d’ensemble

14

^{des autres} déformations

11, 12

^et

1,.

^{De même}

l’opérateur Pr25 indique

^{une défor-}

mation où

Ba,

^{Ti et}

0.

^restent

immobiles, 03

^et

04

vibrant ^en

opposition

suivant l’axe

Oz,

^{d’où le vecteur} déformation

15 (2).

Ces déformations 1 sont

représentées schématique-

ment sur la

figure

^3.

FIG. 3. ^- 5

modes

de vibration correspondant ^{à un vecteur}

d’onde nul.

Nous construisons à

partir

^{de ces 5 vecteurs 1 une} base réduite

généralisée :

avec

A

partir

^{de cette base}

J,

^nous construisons la matrice

orthogonale S

^{de dimension 5 x 5 dont la i-ième}

colonne est constituée par les 5

composantes

^du

vecteur de base

Ji.

Etant ramené à des matrices

5 x 5,

^{l’indice E n’est}

plus indispensable, A

^sufht.

La matrice

D(k)

^à

diagonaliser

^{devient dans la}

base J :

Cette matrice finale

H(k) présente

^{un bloc 3 x 3}

sur la

diagonale

^dont les valeurs propres

w12, w22

^et

(O 2correspondent

^aux

fréquences optiques

^données

par la

représentation r155 ; H44 -

^{0 donne la fré-}

quence

acoustique

donnée par la

représentation r15

et

H55 0)2 correspond

^{à la}

fréquence optique

donnée _par

r25,

^{ce mode étant non actif dans le}

spectre infrarouge.

La matrice S est valable aussi bien _pour les modes transversaux que

longitudinaux puisqu’elle

^ne

dépend

que de la ^structure

microscopique

du cristal.

A l’aide du modèle

choisi,

nous avons

ajusté

^la

valeur des

paramètres f, Yl (au

nombre de

3), KAA, (au

^{nombre de}

3)

^et et;.

(au

^{nombre de}

),

^{de manière}

à retrouver, pour ^{un vecteur} d’onde

nul,

^{des vibra-}

tions transversales voisines des valeurs

expérimen-

tales

(tableau VI).

TABLEAU VI

Les mesures de Last

[11] ]

^{et Jacenko}

[12]

^sont

controversées

[13],

^aussi nous avons

préféré

^nous

rapprocher

de celles de

Ballantyne [14].

^{La valeur}

des

fréquences

^calculées

figure

^{dans le tableau VI.}

Le tableau VII

indique

^la modification des _para- mètres par

rapport

^{aux valeurs obtenues dans la}

phase ferroélectrique [10].

TABLEAU VII

1057

Avec le modèle ainsi

modifié,

^{nous trouvons} pour les vibrations

longitudinales

^les

pulsations

suivantes :

Ces valeurs sont obtenues en

changeant

^le

champ macroscopique

de Lorentz de la valeur 4

nP/3

^{à la}

valeur - 8

nP/3,

^{P étant la}

polarisation

induite par les vibrations.

D)

^COURBES DE DISPERSION ET APPLICATION. ^-

Le ^vecteur d’onde étant non

nul,

pour le

champ électrique

coulombien nous sommes amenés à calculer des sommes de la forme :

Ces sommations sont effectuées sur ordinateur en

regroupant

^{les centres de}

charge

^{sur des}

sphères concentriques

^{et en se} limitant à un rayon

égal

^à

20 fois la

longueur

^{de la maille} élémentaire.

Les courbes de

dispersion

obtenues pour le ^vecteur d’onde k ⁼

(0, 0, cr)

^sont

représentées

^{sur la}

figure

^4.

Elles ne révèlent pas d’instabilité

puisque

^{toutes les}

fréquences

^{sont réelles.}

Les

pentes

^{des courbes}

correspondant

^{aux modes}

acoustiques,

^{mesurées au centre de la zone de Bril-}

louin, permettent

^{d’évaluer la vitesse de}

propagation

des ondes

acoustiques longitudinales

^et transversales.

soit,

^en choisissant 6 =

0,1

De ces vitesses on

peut

^{déduire les} constantes élas-

tiques

po

désignant

^{la masse}

volumique.

On obtient alors les valeurs

théoriques

suivantes :

Berlincourt et Jane

[15]

^{ont trouvé}

expérimenta-

lement à

1500,

^les

compliances élastiques :

et

En utilisant les relations :

on obtient :

FIG. 4. ^- Courbes de dispersion pour ^un vecteur d’onde

k = (0, 0, a)

avec 1 k 1

^{= 2 na/d.}

a) Vibrations longitudinales acoustiques (LA) ^et optiques (LO).

b) Vibrations transversales acoustiques (TA) ^et optiques (TO).

La valeur _que nous obtenons pour

C44

^{est en bon}

accord avec

l’expérience,

^{tandis que celle trouvée}

par

C11

^{est un peu}

trop

élevée. Il serait souhaitable de confronter nos courbes de

dispersion théoriques

avec des courbes

expérimentales

^obtenues par diffu- sion de neutrons.

Ces mesures semblent n’exister encore que

partiel-

lement

[16].

Conclusion. ^- Le but initial de ce travail ^a été de calculer les

fréquences

de vibration pour divers vecteurs d’onde ^en utilisant la théorie des

représen-

tations telle

qu’elle

^{a été formulée} par

Lyubarskii [2]

et Kovalev

[3].

^La

partie

^abstraite s’est trouvée ^en

parfait

^{accord avec} les résultats obtenus _par d’au- tres méthodes _pour la

phase cubique

des cristaux

perovskites,

^notamment par

Cowley [17]

pour

SrTi03

aussi bien _pour la

décomposition

^des

représentations

mécaniques T,

^{que pour les}

déplacements

^{dans les}

modes normaux.

Pour

l’application

^au

^titanate

^de

baryum

^{dans la}

phase cubique,

^{les valeurs des}

paramètres déjà

^uti-

lisées en

statique [10]

^{ont dû être}

modifiées,

^{et leur}

ajustement

^{a été fait sur} les vibrations transversales pour le ^vecteur d’onde nul. Les constantes

élastiques

obtenues sont assez

proches

^{des valeurs}

expérimen-

tales.

Remerciements. ^-

Que

le Professeur

Godefroy

trouve ici

l’expression

^{de nos} remerciements _pour l’intérêt

qu’il

^a

porté

^{à ce travail et son}

précieux jugement

^sur la rédaction de ce texte.

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