Bakir FARHI

Bakir FARHI

D´ epartement de Math´ ematiques Universit´ e de B´ ejaia

Alg´ erie

[email protected] http://www.bakir-farhi.net

B´ ejaia, le 10 avril 2014

I Introduction

Ce que l’on appelle le lemme de Gauss en arithm´etique est l’´enonc´e suivant :

Le lemme de Gauss. Soient a, b etc des entiers relatifs tels que a divise bc et a est premier avec b. Alors a divise c.

Ce lemme ´el´ementaire et indispensable en arithm´etique des entiers relatifs est connu par presque toutes les civilisations anciennes (chinoise, indienne, grecque et arabe). En revanche, l’´enonc´e dulemme de Gauss pour ces civilisations n’est certainement pas le mˆeme que l’´enonc´e plus haut mais il lui est ´equivalent.

L’objectif de ce papier est de montrer la forme dans lequel le lemme de Gauss est utilis´e dans les Math´ematiques arabes. Nous nous int´eressons plus particuli`erement `a la m´ethode du math´ematicien pionnier Abu Kamil¹.

II Fractions irr´ eductibles et fractions minimales

La notion defraction rationnelle irr´eductible est certainement connue des lecteurs. Nous allons introduire dans ce qui suit la notion defraction minimale repr´esentant un nombre ration- nel et, puis apr`es, nous montrerons que ces deux notions co¨ıncident. Nous ne garderons donc

1. Abu Kamil (

Õ΃@ áK. ¨Am.… ÉÓA¿ ñK. @

^{) : Math´}ematicien arabe d’Egypte, n´e vers 850 et mort vers 930 (selon certaines sources). On lui doit entre autres l’alg´ebrisation de l’arithm´etique (voir aussi la note historique de la fin de ce papier).

que le vocabulaire de la premi`ere notion mais nous profiterons des avantages de la seconde pour

´

etablir le lemme de Gauss sous sa version arabe.

D´efinition 1. Une fraction rationnelle ^a_b (a, b∈Z^∗) est dite “irr´eductible” si les deux entiers a et b sont premiers entre eux (i.e., pgcd(a, b) = 1).

D´efinition 2. Etant donn´´ e x ∈Q, on appelle “fraction minimale repr´esentant x”, toute frac- tion rationnelle ^a_b tel que a∈Z, b∈N^∗, ^a_b =x et b est minimal²pour ces propri´et´es.

On a alors les r´esultats suivants :

Proposition 3. Tout nombre rationnel est repr´esentable par une unique fraction minimale.

D´emonstration. Soit x∈Q. Donc x s’´ecrit x= ^α_β, avec α∈Z etβ ∈N^∗. Existence d’une fraction minimale repr´esentant x :

Consid´erons le sous-ensembleE de N^∗ suivant :

E := {n∈N^∗ : nx∈Z}.

Commeβx=α ∈Z alorsβ ∈E et doncE ̸=∅. D’o`uE poss`ede un plus petit ´el´ement (en tant que partie non vide deN). Soient b ∈N^∗ le plus petit ´el´ement de E eta:=bx∈Z. On a ainsi x= ^a_b et ^a_b est (par construction mˆeme) une fraction minimale repr´esentant x.

Unicit´e de la fraction minimale repr´esentant x :

Soient ^a_b et ^a_b′^′ (avec a, a^′ ∈ Z et b, b^′ ∈ N^∗) deux fractions minimales repr´esentant x. On doit montrer que ces deux fractions sont identiques ; c’est `a dire que l’on a (a, b) = (a<sup>′</sup>, b<sup>′</sup>). La minimalit´e de <sup>a</sup><sub>b</sub> entraˆıne b ≤ b<sup>′</sup> et la minimalit´e de <sup>a</sup><sub>b</sub><sup>′</sup><sub>′</sub> entraˆıne b<sup>′</sup> ≤ b. D’o`u l’on d´eduit que b = b^′ et par suite que bx =b^′x; c’est-`a-dire a = a^′. On a donc (a, b) = (a^′, b^′), ce qui montre l’unicit´e de la fraction minimale repr´esentant x. La proposition est d´emontr´ee.

Proposition 4. Soient x un nombre rationnel et ^a_b (a ∈ Z, b ∈ N^∗) la fraction minimale repr´esentant x. Alors toute autre fraction rationnelle _d^c (c∈ Z, d ∈ Z^∗) repr´esentant x est de la forme ^ka_kb (k∈Z^∗); c’est-`a-dire que l’on a (c, d) = (ka, kb) pour un certain k ∈Z^∗.

2. Ce qui signifie que pour toute autre fraction rationnelle ^a_b^′_′, v´erifiant a^′ ∈ Z, b^′ ∈N^∗ et ^a_b′^′ =x, on a b≤b^′.

D´emonstration. Soit _d^c (c∈Z, d ∈Z^∗) une repr´esentation rationnelle quelconque de x. Quitte

`

a remplacer le couple (c, d) par le couple (−c,−d), on peut supposer que d ∈ N^∗. Montrons que d est un multiple de b. Pour ce faire, proc´edons par l’absurde en supposant le contraire et consid´erons la division euclidienne ded sur b :

d = kb+r, avec 1≤r < b.

D’apr`es les propri´et´es bien connues de la th´eorie des proportions, on a : x= c

d = a

b = c−ka

d−kb = c−ka r .

Ceci montre que ^c−_r^kaest une nouvelle fraction rationnelle repr´esentantxet dont le d´enominateur estr < b. Ce qui est en contradiction avec le fait que ^a_b est la fraction minimale repr´esentantx.

L’entierdest donc certainement un multiple deb; autrement dit, il existek ∈Ztel qued=kb.

Par suite, de l’´egalit´e ^a_b = _d^c, on tire c = ^d_ba = ka. D’o`u (c, d) = (ka, kb), comme il fallait le prouver. La proposition est d´emontr´ee.

Corollaire 5. Soient x un nombre rationnel et ^a_b (a ∈ Z, b ∈ N^∗) une fraction rationnelle repr´esentant x. Alors, on a ´equivalence entre :

(i) La fraction ^a_b est minimale (i.e., de d´enominateur minimal).

(ii) La fraction ^a_b est irr´eductible.

D´emonstration.

(i) =⇒(ii) :

Supposons que ^a_b est la fraction minimale repr´esentant x et montrons que ^a_b est irr´eductible.

On proc`ede par l’absurde en supposant que <sup>a</sup><sub>b</sub> est r´eductible ; ce qui ´equivaut `a l’existence d’un diviseur commun d > 1 aux deux entiers a et b. En ´ecrivant alors a = da^′ et b =db^′ (a^′ ∈ Z, b^′ ∈ N^∗), la nouvelle fraction rationnelle ^a_b^′_′ repr´esente ´evidemment le mˆeme nombre x alors que son d´enominateur est b^′ < b, ce qui contredit la minimalit´e de b (parmi l’ensemble des d´enominateurs des fractions rationnelles repr´esentant x). La fraction rationnelle ^a_b est donc forc´ement irr´eductible, comme il fallait le prouver.

(ii) =⇒(i) :

Supposons que ^a_b est irr´eductible et montrons que ^a_b est la fraction minimale repr´esentant x.

Notons par ^u_v (u∈Z,v ∈N^∗) la fraction minimale repr´esentantx. Il s’agit donc de montrer que l’on a (a, b) = (u, v). Comme ^a_b repr´esente xalors d’apr`es la proposition4, il existek ∈Z^∗ pour lequel on ait (a, b) = (ku, kv). En fait, on a mˆeme k∈N^∗ (car b etv sont strictement positifs).

Ainsik ∈N^∗ est un diviseur commun deaetb; mais puisqueaetbsont premiers entre eux (car la fraction rationnelle ^a_b est irr´eductible par hypoth`ese), on a forc´ement k = 1, ce qui entraˆıne (a, b) = (u, v), comme il fallait le prouver. Ceci compl`ete la preuve du corollaire.

A partir de maintenant, on peut oublier la notion de` fraction minimale repr´esentant un nombre rationnel en la rempla¸cant par la notion de fraction irr´eductible qui lui est ´equivalente (en vertu du corollaire pr´ec´edent). Ce faisant, le r´esultat de la proposition 3est ´equivalent `a la suivante :

Proposition 6. Tout nombre rationnel est repr´esentable par une unique fraction irr´eductible

a

b, avec a∈Z et b ∈N^∗.

Et le r´esultat de la proposition4 est ´equivalent `a l’important th´eor`eme suivant que l’on peut attribuer `a Abu Kamil.

Th´eor`eme 7 (Abu Kamil). Soient x un nombre rationnel et ^a_b (a ∈ Z, b ∈ Z^∗) une fraction rationnelle irr´eductible repr´esentantx. Alors, toute autre fraction rationnelle ^c_d (c∈Z, d∈Z^∗) repr´esentant x est de la forme ^ka_kb (k ∈ Z^∗); autrement dit, on a : (c, d) = (ka, kb) pour un

certain k ∈Z^∗.

Ce dernier th´eor`eme est l’outil principal qu’utilisait Abu Kamil pour r´esoudre des ´equations diophantiennes lin´eaires. Comme on le verra de suite, ce th´eor`eme est en fait ´equivalent au lemme de Gauss ; ce qui explique sa grande utilit´e.

III Equivalence entre le lemme de Gauss et le ´ th´ eor` eme d’Abu Kamil

Nous montrons dans cette section que le lemme de Gauss et le th´eor`eme 7 d’Abu Kamil sont ´equivalents.

III.1 Le lemme de Gauss implique le th´ eor` eme d’Abu Kamil

Moyennant du lemme de Gauss, montrons le th´eor`eme7d’Abu Kamil. Soientxun nombre rationnel repr´esent´e par une fraction irr´eductible <sup>a</sup><sub>b</sub> (a ∈ Z, b ∈ Z<sup>∗</sup>) et <sup>c</sup><sub>d</sub> (c ∈ Z, d ∈ Z<sup>∗</sup>) une autre fraction rationnelle repr´esentantx. On a donc <sup>a</sup><sub>b</sub> = <sub>d</sub><sup>c</sup>; c’est-`a-dire ad =bc. Par suite, on a bien : b divisebc=ad etb est premier avec a (car la fraction ^a_b est suppos´ee irr´eductible), ce qui entraˆıne (en vertu du lemme de Gauss) que b divised. Il existe donc k∈Z tel que d=kb.

En substituant d=kb dans l’´egalit´ead=bc, on tire (apr`es avoir simplifier surb)c=ka. D’o`u (c, d) = (ka, kb), comme il fallait le prouver.

III.2 Le th´ eor` eme d’Abu Kamil implique le lemme de Gauss

Moyennant du th´eor`eme 7 d’Abu Kamil, montrons le lemme de Gauss. Soient donc a, b et c des entiers relatifs tels que : a divise bc et a est premier avec b. Il s’agit de montrer que a divise c. Le cas o`u abc = 0 est trivial. Supposons pour la suite que abc ̸= 0, c’est-`a-dire que les entiers a, b et c sont tous non nuls. L’hypoth`ese “a divise bc” ´equivaut `a l’existence d’un d ∈ Z<sup>∗</sup> tel que ad =bc. Ceci entraˆıne que <sup>a</sup><sub>b</sub> = <sub>d</sub><sup>c</sup>. Ainsi, les deux fractions rationnelles <sup>a</sup><sub>b</sub> et <sup>c</sup><sub>d</sub> repr´esentent le mˆeme nombre rationnel ; mais puisque <sup>a</sup><sub>b</sub> est irr´eductible (car on a suppos´e que a etb sont premiers entre eux), le th´eor`eme 7d’Abu Kamil entraˆıne qu’il existe k∈Z^∗ tel que (c, d) = (ka, kb). En particulier, on a c=ka, ce qui montre que a divise c, comme il fallait le prouver.

Conclusion : Le lemme de Gauss et le th´eor`eme d’Abu Kamil son bien ´equivalents.

IV R´ esolution des ´ equations diophantiennes lin´ eaires par la m´ ethode d’Abu Kamil

IV.1 Description de la m´ ethode

Dans ce qui suit, nous allons expliquer (`a travers un exemple num´erique) la m´ethode d’Abu Kamil, qui s’appuie sur le th´eor`eme 7, pour r´esoudre une ´equation diophantienne lin´eaire ; i.e., une ´equation du type ax+by =c, aveca, b, c sont des constantes enti`eres et les inconnus x et y sont des entiers.

Soit `a r´esoudre dans Z² l’´equation diophantienne lin´eaire :

3x−5y = 4 (⋆)

Nous constatons que le couple (3,1) est une solution particuli`ere de (⋆), ce qui permet d’´ecrire (⋆) sous la forme :

3x−5y = 3(3)−5(1).

Ce qui ´equivaut `a :

3(x−3) = 5(y−1).

Lorsque (x, y)̸= (3,1), cette derni`ere ´equivaut `a : x−3 y−1 = 5

3.

Ceci montre que les deux fractions rationnelles ^x_y⁻₋³₁ et ⁵₃ repr´esentent le mˆeme nombre rationnel ; mais puisque la fraction ⁵₃ est irr´eductible, on en d´eduit (en vertu du th´eor`eme 7d’Abu Kamil) qu’il existe k ∈Ztel que (x−3, y−1) = (5k,3k). D’o`u l’on conclut `a :

(x, y) = (5k+ 3,3k+ 1) (k ∈Z).

Ce qui repr´esente la solution g´en´erale de (⋆) dans Z² (remarquer que la solution particuli`ere (3,1) n’´echappe pas `a cette formule g´en´erale ; on l’obtient, en effet, en prenantk = 0).

IV.2 Quelques probl` emes trait´ es par des math´ ematiciens arabes

Le premier probl`eme suivant est extrait du livre d’Abu Kamil, intitul´e “le livre sur les volatiles” (

Q ¢Ë@ H.AJ»

^).

Probl`eme 1.Son ´enonc´e en arabe est :

½JË@ © ¯ Y ¯ ,ÑëPYK. ék.Ag.X ð ÑëPYK. Pñ ®’« àðQ儫 ð Ñë@PX é‚Ò m'. é¢.

. ¬A J“B@ è Yë áÓ QKA£ éKAÓ AîE. øQ ƒ@ ½Ë ÉJ¯ ð ÑëPX éKAÓ

Et voici sa traduction :

On vous donne une somme de 100 dirhams et on vous demande d’acheter 100 volatiles de trois esp`eces : oies, moineaux et poules. Sachant qu’une oie coˆute 5 dirhams, 20 moineaux coˆutent 1 dirham et une poule coˆute 1 dirham, combien de volatiles vous devez acheter de chaque esp`ece^a?

a. La somme d’argent qu’on vous donne doit ˆetre enti`erement d´epens´ee tout en achetant au moins une volatile de chaque esp`ece.

Solution. D´esignons par x le prix d’une oie, par y le prix d’un moineau et par z le prix d’une poule. Les donn´ees du probl`emes s’interpr`etent par le syst`eme de deux ´equations `a trois inconnus (entiers strictement positifs) suivant :





x+y+z = 100 . . . .(1) 5x+ y

20+z = 100 . . . .(2)

L’´equation (1) donne z = 100−x−y. En substituant ceci dans (2), on trouve : 5x+ y

20+ 100−x−y = 100.

Ce qui se simplifie en :

x

y = 19 80.

Comme la fraction ¹⁹₈₀ est irr´eductible, on en d´eduit (en vertu du th´eor`eme7d’Abu Kamil) qu’il existek ∈Z tel que (x, y) = (19k,80k). Par suite, on az = 100−x−y= 100−99k.

Enfin, les conditions x > 0, y > 0 et z > 0 entraˆınent k ∈]0,¹⁰⁰₉₉[. Mais comme k est entier, l’unique valeur possible pour k est k = 1. Ce qui donne comme unique solution au probl`eme (x, y, z) = (19,80,1).

R´eponse : On doit acheter 19 oies, 80 moineaux et 1 poule (et c’est l’unique solution).

Abu Kamil propose plusieurs probl`emes de ce type et montre que ceux ci peuvent poss´eder une ou plusieurs solutions, comme ils peuvent ne pas avoir de solution. Le deuxi`eme probl`eme qui va suivre est extrait aussi du mˆeme livre d’Abu Kamil sur les volatiles et a ´et´e repris par un autre math´ematicien arabe, connu sous le nom d’al-Samaw’al<sup>3</sup>. N´eanmoins, ce probl`eme ne n´ecessite pas l’utilisation du th´eor`eme 7.

Probl`eme 2.

On veut acheter pour cent dirhams cent volatiles de trois esp`eces diff´erentes : canards, pigeons et poulets. Sachant qu’un canard coˆute deux dirhams, trois pigeons coˆutent un dirham et deux poulets coˆutent un dirham, combien doit-on acheter de volatiles de chaque esp`ece avec la somme donn´ee^a?

a. La somme d’argent dont on dispose doit ˆetre enti`erement d´epens´ee tout en achetant au moins une volatile de chaque esp`ece.

Solution.Ce probl`eme s’interpr`ete par le syst`eme de deux ´equations aux trois inconnusx, y, z

suivant : 





x+y+z = 100 2x+y

3 + z

2 = 100

(o`u l’on a d´esign´e parxle nombre de canards qu’on doit acheter, pary le nombre de pigeons et par z le nombre de poulets). En exprimantz dans la premi`ere ´equation en fonction dexetyet en le substituant, par l’expression trouv´ee, dans la seconde ´equation, on aboutit `ay= 9x−300 et z = 400− 10x. Enfin, les conditions x > 0, y > 0 et z > 0 se ram`enent `a x ∈]¹⁰⁰₃ ,40[.

Comme x est entier, on en conclut que x ∈ {34,35,36,37,38,39}. Le probl`eme poss`ede donc les 6 solutions (x, y, z) suivantes :

(34,6,60) ; (35,15,50) ; (36,24,40) ; (37,33,30) ; (38,42,20) ; (39,51,10).

Une fois qu’al-Samaw’al avait r´esolu ce probl`eme, il avait ´ecrit ceci :

.ÉÓA¿ úG.B Q¢Ë@ H.AJ» áÓ éJ KAJË@ úæë éËA‚ÖÏ@ è Yë ð

Nous traitons encore un dernier probl`eme de volatiles du mˆeme genre mais qui n´ecessite cette fois ci l’utilisation du th´eor`eme 7. Nous verrons qu’il poss`ede une unique solution.

3. al-Samaw’al (

úG.Q ªÖÏ@ È @ñÒ ‚Ë@

^{) : Math´}ematicien arabe d’origine juive, n´e `a Bagdad vers 1130 et mort

`

a Maragha vers 1180. Il est connu pour ses travaux d’alg`ebre des polynˆomes. En particulier, il pr´esenta et d´eveloppa des techniques op´eratoires sur les polynˆomes (multiplication, division euclidienne, extraction des racines carr´es, . . .etc).

Probl`eme 3.

On veut acheter pour cent dirhams cent volatiles de trois esp`eces diff´erentes : canards, poulets et moineaux. Sachant qu’un canard vaut six dirhams, deux poulets valent un dirham et cinq moineaux valent un dirham, combien doit-on acheter de volatiles de chaque esp`ece avec la somme donn´ee ?

Solution.D´esignons respectivement parx, y etz les nombres de canards, de poulets et de moi- neaux que l’on pourrait acheter avec nos cent dirhams. Les donn´ees du probl`eme s’interpr`etent par le syst`eme de deux ´equations suivant :





x+y+z = 100 6x+y

2 + z

5 = 100 .

La premi`ere ´equation donne z = 100−x−y. En substituant ceci dans la seconde ´equation, on aboutit (apr`es d´eveloppement et simplification) `a :

58x+ 3y = 800.

Nous constatons que le couple (x0, y0) = (2,228) constitue une solution particuli`ere de la derni`ere ´equation⁴. Celle ci se r´e´ecrit donc :

58x+ 3y = 58×2 + 3×228.

C’est `a dire :

58(x−2) = 3(228−y).

Pour (x, y)̸= (2,228), ceci ´equivaut `a :

x−2

228−y = 3 58.

Comme la fraction ₅₈³ est irr´eductible alors, d’apr`es le th´eor`eme 7, il existe k ∈ Z tel que (x−2, 228−y) = (3k , 58k) ; d’o`u (x , y) = (3k+ 2, 228−58k). Et puisquez = 100−x−y, on obtient pour le triplet (x , y , z) la forme :

(x , y , z) = (3k+ 2 , 228−58k , 55k−130) (k ∈Z).

Enfin, les conditions x > 0, y > 0 et z > 0 donnent k ∈]²⁶₁₁,¹¹⁴₂₉[. Mais puisque k ∈ Z, l’unique possibilit´e est k = 3. L’unique solution du probl`eme est celle qui correspond `a k = 3 et c’est (x, y, z) = (11,54,35).

R´eponse : On doit acheter 11 canards, 54 poulets et 35 moineaux.

Nous exposons maintenant (sans solution) le probl`eme pour lequel Abu Kamil a trouv´e 2696 solutions !

4. En prenant les deux membres de l’´equation en question modulo 3, on trouve x ≡ 2 (mod 3), d’o`u l’existence d’une solution de la forme (2, y₀) et puis les calculs donnenty₀= 228.

Probl`eme 4.

On vous donne 100 dirhams et on vous demande d’acheter 100 volatiles compos´ees de canards, de pigeons, de palombes, d’alouettes et de poules.

Sachant qu’un canard coˆute deux dirhams, deux pigeons coˆutent un dirham, trois palombes coˆutent un dirham, quatre alouettes coˆutent un dirham et une poule coˆute un dirham, combien de volatiles doit-on acheter de chaque esp`ece ?

Trait´e par Abu Kamil (2696 solutions)

Apr`es Abu Kamil, ces probl`emes de volatiles (appel´es aussi “probl`emes d’oiseaux” et qui sont connus il y a plus de deux mille ans en Chine et en Gr`ece antique) ont constitu´e une tradition chez les math´ematiciens arabes. D’autres probl`emes du mˆeme genre mais pour lesquels on cherchait des solutions fractionnaires (i.e., en nombres rationnels positifs) circulaient aussi `a l’´epoque d’Abu Kamil et bien apr`es. Les arithm´eticiens les nommaient “les probl`emes de fluides” (

éËAJ ‚Ë@ ÉKA‚Ó

). En voici un exemple trait´e par le c´el`ebre grand arithm´eticien du 13<sup>`eme</sup> si`ecle Ibn al-Banna al-Merakichi<sup>5</sup> et qui justifie, d’ailleurs, l’appellation attribu´ee `a ce genre de probl`emes.

Probl`eme 5.

Une livre de miel coˆute 4 dirhams, une livre d’huile coˆute 2 dirhams et 16 livres de vinaigre coˆutent 3 dirhams. On vous donne 45 dirhams et on vous demande d’acheter 45 livres de ces produits. Combien devez vous acheter de livres de chaque produit ?

Trait´e par Ibn al-Banna

Noter que ce dernier probl`eme n’a pas de solution enti`ere mais seulement des solutions frac- tionnaires.

N.B : Malgr´e l’alg´ebrisation de l’arithm´etique faite depuis le 9<sup>`eme</sup> si`ecle par Abu Kamil, cer- tains arithm´eticiens arabes (certes de second ordre) ont continu´e `a r´esoudre des probl`emes de volatiles (ou du mˆeme genre) par des proc´ed´es de tˆatonnement ! C’est le cas par exemple de l’´egyptien Ibn al-Ha’im⁶ du 14<sup>`eme</sup> si`ecle.

5. Ibn al-Banna (

ú愻@QÒË@ ZA JJ.Ë@ áK.@

^{) : Math´}ematicien arabe, n´e en 1256 `a Merakech et mort en 1321 `a la mˆeme ville. Il est surtout connu pour son manuel d’arithm´etique, intitul´e “

H.A‚mÌ'@ ÈAÔ«@ ‘J jÊK

”. Ibn al-Banna a d´evelopp´e son manuel dans un autre ouvrage (fournissant des d´emonstrations), aussi tr`es connu, qu’il a intitul´e

“

H.A‚mÌ'@ ÈAÔ«@ èñk.ð á« H.Aj.mÌ'@ © ¯P

^”.

6. Ibn al-Ha’im (

øQå”ÒË@ Õç'AêË@ áK.@

) : Enseignant et arithm´eticien ´egyptien, n´e en 1352 et mort en 1412.

Il a ´ecrit un livre d’arithm´etique qui s’intitule “

H.A‚mÌ'@ ú ¯ é KñªÒË@

” et qui contient un chapitre sur les probl`emes de volatiles. Cependant, les m´ethodes qu’il utilise sont bas´ees sur le tˆatonnement.

Note historique sur Abu Kamil

Õ΃@ áK. ¨Am.… ÉÓA¿ ñK. @

Abu Kamil chuja Ibn Aslam (

Õ΃@ áK. ¨Am.… ÉÓA¿ ñK. @

^{) est un}

math´ematicien arabe d’Egypte, n´e vers 850 et mort vers 930 (se- lon certaines sources). Il est le deuxi`eme grand alg´ebriste arabe apr`es le fondateur al-Khawarizmi et il est incontestablement le plus grand math´ematicien de son temps. Alors qu’al-Khawarizmi s’est limit´e, dans son ouvrage d’alg`ebre, aux ´equations de second degr´e `a coefficients rationnels, Abu Kamil ne s’est pas gˆen´e d’al- ler jusqu’au ´equations de degr´e 8 sans se limiter aux coefficients rationnels ; cependant, il ne consid`ere que des ´equations qui se ram`enent (par des changements de variables) aux ´equations qua- dratiques. Il a ´egalement r´esolu des probl`emes de g´eom´etrie plane en se servant de l’alg`ebre. Enfin, il est le math´ematicien qui a

alg´ebris´e l’arithm´etique et qui l’a nettoy´e de toute sorte de tˆatonnement.

En alg´ebrisant des probl`emes d’arithm´etique, Abu Kamil ´etait amen´e `a consid´erer des syst`emes d’´equations `a plusieurs variables qu’il avait r´esolu en introduisant de nouvelles m´ethodes comme celle de l’´elimination.

Dans son livre sur les volatiles (

Q ¢Ë@ H.AJ»

), Abu Kamil avait ´etudi´e des probl`emes d’oiseaux dont les inconnus sont des entiers (comme ceux qu’on a ´etudi´e dans ce papier) alors que dans son livre d’alg`ebre (

éÊK.A ®ÖÏ@ ð Q.m.Ì'@ H.AJ»

), il avait consacr´e un chapitre entier

`

a l’analyse ind´etermin´ee ; c’est `a dire aux probl`emes dont les inconnus sont des nombres ra- tionnels. Abu Kamil nous informa que les probl`emes de ce dernier type existent et circulent parmi les arithm´eticiens de son ´epoque et que ceux-ci les nomment “les probl`emes de flui- des” (

éËAJ ‚Ë@ ÉKA‚Ó

) et les classent en plusieurs genres mais qu’ils ne disposent pas de v´eritable m´ethode pour les r´esoudre. Cependant, Abu Kamil n’avait cit´e aucun nom d’un arithm´eticien ; en fait les seuls noms qu’il avait cit´e dans son livre d’alg`ebre sont ceux d’al-Khawarizmi, d’Eu- clide et de Ptol´em´ee. Ceci nous incite `a croire que ces arithm´eticiens -dont parlait Abu Kamil- ne sont que des amateurs qui proc´edaient par tˆatonnement et qui “peut ˆetre” avaient eu un

quelconque acc`es (par tradition alexandrine orale) aux Arithm´etiques de Diophante⁷.

Dans son livre d’alg`ebre, Abu Kamil avait fait un classement remarquable des probl`emes d’analyse ind´etermin´ee qui s’alg´ebrisent en une ´equation (ou un syst`eme d’´equations) de second degr´e : un premier groupe correspond aux courbes de genre 0 et un second aux courbes de genre 1. On ne sait comment Abu Kamil ´etait arriv´e `a ce classement (moderne) mais on ne peut que s’´emerveiller de ses connaissances profondes dans ce domaine. Dans son livre d’alg`ebre, Abu Kamil nous apprend ´egalement que si une ´equation de second degr´e `a deux inconnus poss`ede une solution rationnelle alors elle en poss`ede une infinit´e et il d´ecrit la m´ethode `a suivre pour trouver ces solutions (il s’agit de la m´ethode de la s´ecante ou de la corde, d´ej`a utilis´ee par Diophante).

A titre de comparaison entre Diophante et Abu Kamil, le premier ne s’int´` eresse qu’`a des exemples particuliers et mˆele `a ses m´ethodes des proc´ed´es de tˆatonnement alors que le second est beaucoup plus rigoureux et se soucie plutˆot de la th´eorie g´en´erale en visant d’assoir l’arithm´etique sur des bases solides.

Les travaux d’analyse ind´etermin´ee d’Abu Kamil ont ´et´e d´evelopp´e par le grand math´e- maticien al-Karaji dont j’aurais peut ˆetre l’occasion de vous en parler une autre fois . . .

7. Diophante d’Alexandrie : Math´ematicien grecque, n´e vers l’an 200 et mort vers l’an 284. Il a compos´e un livre important en arithm´etique qui contient `a la fois des probl`emes d’analyse ind´etermin´ee et des probl`emes dont les inconnus sont des entiers. Cependant ses m´ethodes ne sont pas d´epourvues de tˆatonnement comme celles d’Abu Kamil. Son ouvrage fut traduit en arabe `a la deuxi`eme moiti´e du 9<sup>`eme</sup>si`ecle par Qusta Ibn Luqa, ce qui fait que Diophante n’´etait pas connu d’Abu Kamil mais il ´etait connu d’al-Karaji.