Chapitre 8 MOD 4
Courbes B-spline
À la fin de ce chapitre, vous devez être capable de :
• Déterminer un polynôme de Riesenfeld à partir de la formule donnée.
• Étudier et construire des courbes B-Splines (polynômes de Riesenfeld de degré 2 ou 3).
• Étudier et construire des courbes B-Splines (modèle de Cox et de de Boor).
Modèle de Riesenfeld
8.1 On considère les polynômes de Riesenfield de degré 2.
On considère les points P0(0; 0), P1(0; 2),P2(2; 2), P3(4; 4) et P4(6; 0).
1. a. Déterminer une représentation paramétrique du premier arc de courbe déter- miné par P0, P1 etP2, soit
( x = f0(t) y = g0(t)
b. Déterminer une représentation paramétrique du deuxième arc de courbe déter- miné par P1, P2 etP3, soit
( x = f1(t) y = g1(t)
c. Déterminer une représentation paramétrique du troisième arc de courbe déter- miné par P2, P3 etP4, soit
( x = f2(t) y = g2(t)
2. Établir les trois tableaux des variations conjointes def0 etg0, puis f1 etg1 et enfin f2 etg2.
3. Construire les trois arcs de courbe.
8.2 On considère les polynômes de Riesenfield de degré 3.
On considère les points P0(0; 0), P1(0; 2),P2(2; 2), P3(4; 4) et P4(6; 0).
1. a. Déterminer une représentation paramétrique du premier arc de courbe déter- miné par P0, P1, P2 et P3, soit
( x = f0(t) y = g0(t)
b. Déterminer une représentation paramétrique du deuxième arc de courbe déter- miné par P1, P2, P3 et P4, soit
( x = f1(t) y = g1(t)
2. Établir les deux tableaux des variations conjointes de f0 et g0, puis de f1 et g1. 3. Construire les deux arcs de courbe.
Modèle de Cox et de de Boor
8.3 On considère le vecteur-nœud (0 ; 1 ; 1 ; 2).
1. Déterminer sur l’intervalle [0; 3[ les fonctions B-SplinesN(0,0),N(1,0),N(2,0),N(0,1), N(1,1) et N(0,2).
2. Tracer la représentation graphique de chacune de ces fonctions.
8.4 On considère le vecteur nœud (0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5).
Les fonctions B-Splines de degré 2 sont alors :
t [0; 1[ [1; 2[ [2; 3[ [3; 4[ [4; 5[
N(0,2) 12t2 −t2+ 3t−32 12(t−3)2 0 0
N(1,2) 0 12(t−1)2 −t2+ 5t− 112 12(t−4)2 0 N(2,2) 0 0 12(t−2)2 −t2+ 7t− 232 12(t−5)2
SoitC la courbe B-Spline définie par les trois points de contrôleP0(1; 2),P1(3; 0),P2(1;−1).
1. Donner la représentation paramétrique deC sur chacun des intervalles [0; 1[ ; [1; 2[ ; [2; 3[ ; [3; 4[ et [4; 5[.
2. Dresser le tableau des variations conjointes de x ety sur [0; 5[.
3. Tracer la courbe C.
8.5 On donne les points de contrôleP0(0; 0),P1(1; 0),P2(1; 1) etP3(0; 1). Soit le vecteur nœud (0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 2 ; 2 ; 2).
Les fonctions B-Splines de degré 2 sont alors :
t [0; 1[ [1; 2[
N(0,2) (t−1)2 0
N(1,2) −32t2+ 2t 12(t−2)2 N(2,2) 12t2 −32t2+ 4t−2
N(3,2) 0 (t−1)2
1. Donner une représentation paramétrique pour t ∈ [0; 1[ et t ∈ [1; 2[ de la courbe de B-Spline associée aux points de contrôle et au vecteur-nœud donnés ci-dessus.
2. Dresser le tableau des variations conjointes de x ety sur [0; 2[.
3. Tracer la courbe C.
8.6 On considère le vecteur nœud (0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 3 ; 3).
On donne le tableau suivant :
t [0; 1[ [1; 2[ [2; 3[
N(0,1) 0 0 0
N(1,1) 1−t 0 0
N(2,1) t 2−t 0
N(3,1) 0 t−1 3−t
N(4,1) 0 0 t−2
N(0,2) (1−t)2 0 0
N(1,2) 12t(4−3t) 12(t−2)2 0
N(2,2) 1
2t2 −t2+ 3t−32 12(t−3)2 N(3,2)
N(4,2) 0 0 (t−2)2
1. À l’aide de la formule de récurence définissant les fonction B-Splines, donnerN(3,2) sur les intervalles [0; 1[ ; [1; 2[ et [2; 3[.
2. Soit les 5 points P0(1; 0), P1(4; 2),P2(2; 4), P3(0; 2) et P4(−4; 4).
a. Donner une représentation paramétrique de la courbe de B-Spline de degré 2 associée aux points de contrôle et au vecteur-nœud donnés ci-dessus.
b. Dresser le tableau des variations conjointes de x ety sur [0; 3[.
c. Tracer la courbe.
d. Vérifier que :
• M(1) est le milieu de [P1P2] et que (P1P2) est tangente à la courbe enM(1) ;
• M(2) est le milieu de [P2P3] et que (P2P3) est tangente à la courbe enM(2) ;
• (P0P1) est tangente à la courbe en P0 et (P3P4) est tangente à la courbe en P4.
3. On conserve les points P0, P1, P2 et P4 et on prend P3′(0; 6) à la place de P3. a. Démontrer que le morceau de la courbe B-Spline correspondant à t ∈[1; 2[ est
alors un segment d’une droite dont on donnera l’équation.
b. Quel arc de courbe est inchangé par rapport à celle de la question 2. ?
c. Faire le tableau des variations de la représentation paramétrique de la courbe pour t∈[2; 3[.
d. Tracer la courbe dans le même repère.
Annales
8.7 France 2011 CPI
On considère les nombres réels t0 = 0, t1 = 1, t2 = 2, t3 = 3 ett4 = 4.
On se propose de construire une courbe B-spline de degré 2 de vecteur nœud(t0, t1, t2, t3, t4).
Partie A – Détermination des fonctions polynômes B-splines
On rappelle que les fonctions polynômes B-splines de degré m associées au vecteur nœud (t0, t1, t2, t3, t4) sont définies sur R et pour m6= 0, par :
Ni,m(t) = t−ti
ti+m−tiNi,m−1(t) + ti+m+1−t
ti+m+1−ti+1Ni+1,m−1(t).
1. On a déterminé des fonctions polynômes B-splines de degré 0 et 1 associées au vecteur nœud (0, 1, 2, 3, 4) qui ont été rassemblées dans les tableaux ci-dessous.
t N0,0(t) N1,0(t) N2,0(t) N3,0(t)
0 1 2 3 4
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
t N0,1(t) N1,1(t) N2,1(t)
0 1 2 3 4
0 t 2−t 0 0 0
0 0 3−t 0 0
0 0 0 t−2 4−t 0
Déterminer N1,1(t) pour tout t de l’intervalle [1, 2].
2. Le tableau suivant donne les fonctions polynômes B-splines de degré 2 associées au vecteur nœud (0, 1, 2, 3, 4) :
t N0,2(t) N1,2(t)
0 1 2 3 4
0 12t2 −t2+ 3t− 32 12t2−3t+92 0 0
0 0 12t2−t+ 12 12t2−4t+ 8 0
Démontrer que, pour tout t de l’intervalle [2, 3], N1,2(t) =−t2+ 5t− 112.
Partie B – Détermination des équations paramétriques d’un des arcs de la courbe B-spline
Dans le plan muni du repère orthonormal (O;~i,~j) d’unité 8 centimètres, on considère les points P0(0,1) et P1(2,1).
La courbe B-spline associée aux points P0 et P1, au vecteur nœud (t0, t1, t2, t3, t4) et aux polynômes B-splines de degré 2 est définie par −OM−−−−−−−−−−−(−−→t) = i=1X
i=0
Ni,2(t)−−→
OPi.
Démontrer que, pour tout t de l’intervalle [1, 2], le pointM(t) a pour coordonnées : x(t) =t2−2t+ 1 et y(t) =−12t2+ 2t−1.
Dans ce qui suit, on admet que, pour tout t de l’intervalle [2, 3], le point M(t) a pour coordonnées x(t) =−2t2+ 10t−11 ety(t) =−12t2+ 2t−1.
Partie C – Construction de la courbe B-spline
On considère l’arc C1, ensemble des points M(t) de coordonnées :
( x(t) =f1(t) =t2−2t+ 1
y(t) = g1(t) = −12t2+ 2t−1 , où t appartient à l’intervalle [1, 2].
1. a. Étudier les variations des fonctionsf1 etg1 sur [1, 2] et rassembler les résultats dans un tableau unique.
b. Préciser des vecteurs directeurs des tangentes à C1 aux points M(t) de para- mètres 1 et 2.
2. On considère l’arcC2, ensemble des points M(t) de coordonnées :
( x(t) =f2(t) =−2t2 + 10t−11
y(t) =g2(t) =−12t2+ 2t−1 , où t appartient à l’intervalle [2, 3].
On admet que le tableau des variations conjointes des fonctions f2 et g2 sur [2 ; 3] est le suivant :
t f2′(t)
f2(t)
g′2(t)
g2(t)
2 52 3
2 + 0 − −2
11
3 2 3 2
11
0 − −1
11
1 2 1 2 7
8
Déterminer (par lecture du tableau ou par calcul) des vecteurs directeurs des tan- gentes à C2 aux points M(t) de paramètres 2, 52 et 3.
3. On rappelle que le plan est muni d’un repère orthonormal (O;~i,~j)où l’unité gra- phique est 8 centimètres.
a. Construire les tangentes à la courbe C1 aux pointsM(1) et M(2).
b. Construire les tangentes à la courbe C2 aux pointsM(2), M52 etM(3).
c. On désigne par A le point de coordonnées A0,12.
On admet que pour t appartenant à l’intervalle [0, 1], l’arc C0 de la courbe B-spline cherchée est le segment [OA].
Construire sur le même graphique les arcs de courbe C0, C1,C2. 8.8 France 2009 CPI
Le plan est muni d’un repère orthonormal (O;~i,~j)où l’unité graphique est 2 centimètres.
On se propose de construire la courbe B-spline obtenue à partir de quatre points de définition P1, P2, P3 etP4 et de trois polynômes de Riesenfeld du second degré.
Les quatre points sont donnés par leurs coordonnées dans le repère (O;~i,~j).
P1(0 ; 3), P2(1 ; −2), P3(4 ; 3) et P4(−2 ; 5).
La courbe B-spline cherchée est la réunion de deux arcs de courbe C1 etC2.
A. Détermination d’une représentation paramétrique de l’arc de courbe C1 1. On rappelle que les polynômes de Riesenfeld Ri de degré 2, pour i prenant les
valeurs 0, 1 ou 2, sont définis pour tout t appartenant à [0 ; 1] par :
Ri(t) = 3
j=2−i
X
j=0
(−1)j(t+ 2−i−j)2 j!(3−j)! .
Démontrer que, pour tout t de [0 ; 1], R0(t) = t2
2 −t+1 2.
2. L’arc de courbe C1 est l’ensemble des points M1(t) tels que :
−−−−−−−−−−−−−−−→
OM1(t) = R0(t)−OP−−−−−−−−1−−−(t) +−→ R1(t)−OP−−−−−−−−2−−−(t) +−→ R2(t)−OP−−−−−−−−3−−−(t).−→ On admet que pour toutt de [0 ; 1] :R1(t) =−t2+t+1
2 etR2(t) = 1 2t2. Démontrer que l’arc de courbe C1 est défini par la représentation paramétrique :
x = f1(t) = t2+t+ 1 2 y = g1(t) = 5t2−5t+ 1
2
oùt appartient à l’intervalle [0 ; 1].
B. Étude de variations et construction de la courbe B-spline
1. a. Étudier les variations des fonctions f1 et g1 sur [0 ; 1], où f1 et g1 sont les fonctions définies à la question 2. de la partie A. Rassembler les résultats dans un tableau unique.
b. Donner un vecteur directeur de chacune des tangentes à l’arc de courbe C1 aux points M1(0), M112, M1(1).
2. L’arc de courbe C2 est l’ensemble des points M2(t) tels que :
−−−−−−−−−−−−−−−→
OM2(t) = R0(t)−O−−−−−P−−−2−−−(−→t) +R1(t)−O−−−−−P−−−3−−−(−t→) +R2(t)−O−−−−P−−−−4−−−(−t→).
On admet que l’arc de courbe C2 est défini par la représentation paramétrique :
x = f2(t) = −9
2t2+ 3t+5 2 y = g2(t) = −3
2t2+ 5t+1 2
oùt appartient à l’intervalle [0 ; 1].
Le tableau des variations conjointes des fonctions f2 etg2 est le suivant :
t 0 13 1
f2′(t) 3 + 0 − −6
f2(t)
5 2
3
1
g2′(t) 5 + 2
g2(t)
1 2
2
4
Donner un vecteur directeur de chacune des tangentes à l’arc de courbe C2 aux points C1 aux points M2(0), M212, M2(1).
3. On rappelle que le plan est muni d’un repère orthonormal (O;~i,~j)où l’unité gra- phique est 2 centimètres.
a. Construire sur une feuille de papier millimétré, les tangentes à l’arc de courbe C1 aux pointsM1(0), M1
1 2
etM1(1), puis l’arc de courbe C1.
b. Construire, sur le même graphique, les tangentes à l’arc de courbeC2aux points M2(0), M2
1 3
, M2(1), puis l’arc de courbe C2. c. Placer les points de définition sur la figure.
4. a. Donner les coordonnées du point I où se raccordent les arcs de courbe C1 etC2. b. Montrer que la tangente commune à l’arcC1 et à l’arcC2 au pointI est la droite
(P2P3).
8.9 France 2007 CPI
Le plan est muni d’un repère orthonormal (O;~i,~j) où l’unité graphique est 2 centimètres.
On souhaite construire la courbe B-spline obtenue à partir de quatre points de définition P1, P2, P3, P4 et de trois polynômes de Riesenfeld du second degré. Les quatre points sont donnés par leurs coordonnées dans le repère (O;~i,~j) :
P1(0 ; 1) ; P2(2 ; 1) ; P3(4 ; 3) et P4(6 ; 1).
1. On rappelle que les polynômes de Riesenfeld Ri de degré 2, pour i prenant les valeurs 0,1 ou 2, sont définis pour t appartenant à [0 ; 1] par :
Ri(t) = 3
j=2−i
X
j=0
(−1)j(t+ 2−i−j)2 j!(3−j)! . Montrer que, pour tout t de [0 ; 1], R0(t) = t2
2 −t+ 1
2. (On pourra utiliser ce résultat dans la suite de l’exercice)
Dans la suite de cet exercice, on admet que, pour tout t de [0 ; 1] : R1(t) = −t2+t+ 1
2 et R2(t) = 1 2t2.
2. La courbe B-spline Γ cherchée est la réunion de deux arcs de courbe Γ1 et Γ2. Γ1
est l’ensemble des points M1(t) tels que
−−−−−−−−−−−−−−−→
OM1(t) = R0(t)−O−−−−−P−−−1−−−(−→t) +R1(t)−O−−−−−P−−−2−−−(−t→) +R2(t)−O−−−−P−−−−3−−−(−t→). Γ2 est l’ensemble des points M2(t) tels que :
−−−−−−−−−−−−−−−→
OM2(t) = R0(t)−OP−−−−−−−−2−−−(t) +−→ R1(t)−OP−−−−−−−−3−−−(t) +−→ R2(t)−OP−−−−−−−−4−−−(t).−→
a. Montrer que l’arc de courbe Γ1 est défini par la représentation paramétrique :
( x1(t) = f1(t) = 2t+ 1
y1(t) = g1(t) = t2+ 1 où t appartient à l’intervalle [0 ; 1]. b. Étudier les variations de f1 et g1 sur [0 ; 1] et rassembler les résultats dans un
tableau unique.
c. On admet que l’arc de courbe Γ2 est défini par la représentation paramétrique :
( x2(t) = f2(t) = 2t+ 3
y2(t) = g2(t) = −2t2+ 2t+ 2 où t appartient à l’intervalle [0 ; 1]. Étudier les variations de f2 et g2 sur [0 ; 1] et rassembler les résultats dans un tableau unique.
d. Donner des vecteurs directeurs des tangentes à l’arc de courbe Γ1 aux points M1(0) et M1(1).
e. Donner des vecteurs directeurs des tangentes à l’arc de courbe Γ2 aux points M2(0), M2
1 2
etM2(1).
f. On rappelle que, dans le repère orthonormal (O;~i,~j), l’unité graphique est 2 cen- timètres.
Construire sur une feuille de papier millimétré, les tangentes à l’arc de courbe Γ aux points M1(0) et M1(1) puis l’arc de courbe Γ1. Construire, sur la même figure que Γ1, les tangentes à l’are de courbe Γ2 aux pointsM2(0), M2
1 2
et M2(1) puis l’arc de Γ2.
Placer les points de définition P1 , P2, P3, ăP4 sur la figure.
3. a. Donner les coordonnées du point I où se raccordent les arcs de courbes Γ1 et Γ2.
b. Montrer que les arcs de courbes Γ1 et Γ2 ont même tangente enI.
c. Montrer que la tangente commune à l’arc Γ1 et à l’are Γ2 au point I est la droite (P2P3).
d. Montrer que le point M1(0) est le milieu du segment [P1P2] et que le point M2(1) est le milieu du segment [P3P4].
